Thông tin tài liệu
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHỨC NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP" skkn A Đặt vấn đề: Trong chương trình phổ thơng, toán tổ hợp phần quan trọng để phát triển tư duy, tính sáng tạo em học sinh Những năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Để giải tốn có nhiều phương pháp khác nhau, dùng trực tiếp tính chất tổ hợp, phép biến đổi tương đương, có sử dụng đạo hàm, tích phân, cịn số phức thật cịn mẻ Song nội dung viết tơi trình bày số toán tổ hợp hay gặp mà cách giải tổng thể sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác Mong muốn tơi cho em nhìn tổng thể cách giải toán Tất nhiên, tổ hợp học chương trình lớp 11, cụ thể HKI Cịn đạo hàm trình bày cuối HKII lớp 11, tích phân học chương trình lớp 12, chí số phức trình bày cuối chương trình lớp 12 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng đạo hàm, tích phân số phức để giải tốn tổ hợp khơng trình bày nhiều, học sinh khơng rèn luyện kỹ lớp Do đó, gặp tốn đề thi Đại học Cao đẳng, phần lớn em khơng làm Nhằm mục đích em học sinh chuẩn bị bước vào kỳ thi quan trọng, thấy tổng thể phương pháp giải tốn tổ hợp, từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Tôi chọn đề tài “Sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số tốn tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm Đồng thời áp dụng đề tài cho em học sinh dang học lớp 12 năm 2013 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop B Giải vấn đề: I Cơ sở lý luận vấn đề Rõ dàng tập tổ hợp mà ta giải chuyên đề là: Tính tổng, Chứng minh đẳng thức, hay tìm nN* thoả mãn đẳng thức đó, tất nhiên dạng chứa toán liên quan đến khai triển nhị thức Newton, mà việc chọn số hạng nhị thức, số mũ nhị thức có vai trị quan trọng tốn ta cần giải Giả sử, ta xét nhị thức: (1 + x)n = (1) (với x với nN*) Từ suy ra: a) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: [(1+x)n]′= ′ n(1+x)n−1= (2) b) Lấy tích phân hai vế (1) ta được: c) Giả sử tốn cần tính tổng (với k = 0,1,2, n) Ta Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Mặt khác khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument , , ) Rồi so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Từ tìm mối liên hệ cho tổng cần tính Sau tơi trình bày phương pháp ví dụ tương ứng, để làm minh chứng cho sở lý luận đề tài Ở phần giải vấn đề tơi cố gắng trình bày tốn cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học KA -2005) Tìm số nguyên dương n cho : Giải Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có : Chọn x= -2 thay vào (2) ta được: Từ (1) (3) ta thấy VT (1) = VP (3) suy 2n+1=2005 Kết luận: (thoả mãn) gái trị cần tìm Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học KA-2007) Cho n số nguyên dương,chứng minh: Giải: Xét khai triển (1) (2) Trừ vế theo vế (1) (2) ta được: Suy skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop (đpcm) Ví dụ 3: (Bài tập 29 trang 206 SGK Giải tích 12- Nâng cao) Tính: S = Giải Ta có: = +( )i Từ suy phần thực vế phải mặt khác, = = -29 + 29i = = -29 = -512 So sánh hai cách tính ta S = II Thực trạng vấn đề: Thuận lợi: Năm 2013 đặt mục tiêu hồn thành chun đề “ Sử dụng cơng cụ đạo hàm, tích phân số phức nhằm giúp học sinh giải nhanh số toán tổ hợp” lại trùng với việc tơi trực tiếp giảng dạy hai lớp 12, mà số đông em học sinh tâm thi vào trường Đại học cao đẳng Đó thuận lợi đáng kể để áp dụng đề tài này, tin lớp học sinh truyền đạt chuyên đề đạt kết khác biệt so với lớp học sinh có chất lượng tương tự trực tiếp giảng dạy em năm 2010 Khó khăn: Tỷ lệ học sinh làm loại tốn cịn thấp Điều tơi thu hai năm lớp 10, 11 trực tiếp dạy em sang năm 2013 tiến hành khảo sát chất lượng làm loại toán thông qua số kiểm tra học sinh lớp 12C1 12C3 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 25 60.9% 18 39.1% 12C3 44 30 63.6% 14 36.4% (Khảo sát chất lượng chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy) Tôi hiểu rằng, việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ em học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Hiện nhận thức học sinh thể rõ là: - Các em cịn lúng túng việc tìm hướng giải cho toán tổ hợp - Nhiều học sinh có tâm lí sợ loại tập Đây chun đề địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng học sinh mà cịn khó giáo viên việc truyền tải kiến thức, lẫn phương pháp tới em Cụ thể làm để em hiểu tốn tổ hợp sử dụng công cụ III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề : Trong dạy học tốn nhiệm vụ thầy trị tìm phương pháp phù hợp để giải tập quan trọng Như nói trên, phần giải vấn đề này, cố gắng trình bày tốn cách chi tiết, phân tích nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy dùng công cụ đạo hàm, tích phân hay số phức có hiệu cao, giúp học sinh giải toán nhanh, gọn, xác Từ tạo cho em niềm tin làm tốt kỳ thi tới Sau xin vào phần cụ thể SỬ DỤNG CƠNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP 1.1 Phương pháp Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức khai triển Newton phép lấy đạo hàm đẳng thức Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 1: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức số hạng có dạng ta dùng đạo hàm cấp để tính Cụ thể: a) (1+x)n= [(1+x)n]′= ′ skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop n(1+x)n−1= b) (1−x)n= [(1−x)n]′= ′ −n(1−x)n−1= c) (x+1)n= [(x+1)n]′= n(x+1)n−1= d) (x−1)n= [(x−1)n]′= n(x−1)n−1= Tổng quát: Đến thay x,a số thích hợp ta tổng cần tìm Dấu hiệu áp dụng đạo hàm cấp 2: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…, (n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 2,22,…,n2 (không kể dấu) tức số hạng có dạng hay tổng qt ta dùng đạo hàm đến cấp để tính Xét đa thức Từ đẳng thức đạo hàm cấp ta có a) n(n−1)(1+x)n-2 = b) n(n−1)(1−x)n-2 = c) n(n−1)(x+1)n-2 = d)(n−1)(x−1)n-2 Tổng quát = skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Đến ta việc thay a,b,x số thích hợp thơi Một số lưu ý: - Tùy thuộc mà số mũ n, giá trị x và công thức cho phù hợp - Nếu số hạng đầu ( , ) ta sử dụng công thức chứa (1+x) cho tổng không đan dấu, tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng sau ( , ) ta sử dụng công thức chứa (x+1) cho tổng khơng đan dấu, cịn tổng đan dấu ta sử dụng công thức chứa (1- x) - Nếu số hạng ta đạo hàm cấp 1, số hạng ta đạo hàm cấp Ta bàn phân tích kỹ cách áp dụng phương pháp tốn cụ thể Tóm lại: Với loại tập sau chọn hàm số đạo hàm hàm số chọn theo hai cách: thích hợp ta tiến hành lấy - Lấy đạo hàm trực tiếp hàm số cho - Lấy đạo hàm sau sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số chọn (Dĩ nhiên có dạng dùng cơng thức khai triển nhị thức Newton) -Với phép lấy đạo hàm, ta lựa chọn giá trị phù hợp cho x, thay vào hai biểu thức tính đạo hàm Như tơi nhấn mạnh cho học sinh thấy gặp tốn có chứa hệ số kiểu a.n ta ý đến cách dùng đạo hàm 1.2 Bài tập =n.2n-1 Bài 1: Chứng minh rằng Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất dụng (1+x)n, đạo hàm cấp và tổng không đan dấu nên ta sử Giải: Ta có (1+x)n= [(1+x)n]′= ′ n(1+x)n−1= Thay x=1, ta có điều phải chứng minh skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop = n(n−1).2n-2 Bài 2: Chứng minh: Phân tích: trong tổng có tổ hợp n, mất dụng (1+x)n, đạo hàm cấp , và tổng không đan dấu nên ta sử Giải: Ta có (1+x)n= [(1+x)n]′′= ′′ n(n−1)(1+x)n-2 = Thay x=1 vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh Bài 3: Chứng minh: = n Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất và tổng đan dấu nên ta sử dụng (1−x) , đạo hàm cấp Giải: Ta có (1−x)n= [(1−x)n]′= ′ −n(1−x)n−1= Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 4: Chứng minh =0 Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất hàm cấp tổng đan dấu nên ta sử dụng (x−1)n, đạo Giải: Ta có: (x−1)n= [(x−1)n]′= n(x−1)n−1= Thay x=1 ta có điều Bài 5: Chứng minh Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất dụng (x+1)n, đạo hàm cấp phải chứng minh và tổng không đan dấu nên ta sử Giải: skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop (x+1)n= [(x+1)n]′′= ′′ n(n−1)(x+1)n-2 = Thay x=1 ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh: =n Phân tích: do −1 đi kèm với lũy thừa, số hạng dấu + nên ta xem tổng không đan dấu, chứa tổ hợp của n, mất Ta sử dụng (−1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có: [(−1+x)n ]′=[ n(−1+x)n−1 = chứng minh Bài 7: Chứng minh ]′ Thay x=2 ta có điều phải Phân tích: vế trái chứa tổ hợp của n, đan dấu, mất nên ta sử dụng (x−1)n, đạo hàm cấp Vế phải chứa tổ hợp của n nhưng không đan dấu, mất nên ta sử dụng (1+x)n, đạo hàm cấp Giải: Ta có: (x−1)n= [(x−1)n]′= n(x−1)n−1= Thay x=4 ta n3n−1= (1+x)n= [(1+x)n]′= (1) ′ n(1+x)n−1= Thay x=2 ta Từ (1) được n3n−1 (2) ta = có điều phải chứng (2) minh 10 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Bài 8: Chứng minh (n+4)2n−1=2 Phân tích: tương tự độ chênh lệch nên ta nhân thêm x2 trước đạo hàm Giải: x2(1+x)n Ta có: Đạo hàm n 2x(1+x) +nx (1+x)n−1= Thay x=1 ta 2n+1+n.2n−1= = vế ta được n−1 (n+4)2 = Bài 9:Tính tổng: S = Giải: Phân tích: tổng chứa tổ hợp 2012, không đan dấu, hệ số gắn với lớn nên ta sử dụng (1+x)2012. SHTQ là (k+1) , hệ số đầu chênh lệch đơn vị nên ta nhân thêm vế với x Giải: Ta Đạo x(1+x)2012= xét: hàm (2012x+x+1)(1+x)2011 Cho x=1 ta VP = tổng S, VT = 2014.22011 Vậy Các tập làm thêm tổng vế ta được = S = 2014.22011 Bài Chứng minh : HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)n Khai triển đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x Thay x = Ở tốn tơi muốn rèn luyện kỹ lựa chọn hàm số Bài Chứng minh : 11 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)n Đạo hàm cấp theo x, hai vế suy x.f’(x) (1) Thay x , ta (2) Nhân (1) cho (2), ta thu hệ số số hạng không chứa x đẳng thức chứng minh Bài 3: :(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Bài 4:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: Bài 5:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : Bài 6: Rút gọn tổng: Bài 7: Tính tổng: HD : Xét SỬ DỤNG CƠNG CỤ TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP 2.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân Nếu tổng dãy tổ hợp, số hạng chứa phân số mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp Bước 2: Lấy tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận Ta tìm hiểu phương pháp (dùng tích phân hàm đa thức) phương pháp bổ sung: Như nhân thêm x,x2, (tất nhiên phương pháp Truy hồi tích phân Dựa vào tích phân cho trước tơi xin phép không đề cập viết khuôn khổ 12 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Lưu ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng SKKN) , ta chọn cận từ a đến b, tức Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức tích phân sau: Tiếp theo ta nghiên cứu toán cụ thể theo cách chia dạng sau: 2.2 Bài tập 13 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Phương pháp 1: Xét tích phân dựa vào hàm đa thức Bài 1: Tính: 2 Phân tích: tổng khơng đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số , ta biết cận từ đến Nên ta sử dụng Giải: Ta có = =[ ] = Vậy S = Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng tổ hợp để tính kết nhanh Bài 2: Tính tổng S= Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, gắn với , có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số số hạng cuối ta lấy cận từ đến 2, tức là Giải: = = = Vậy S = 14 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Bài (ĐH Khối B-2003) Cho Tính tổng: Phân tích: Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng Giải Ta có : Suy Vậy Phương pháp 2: Nhân thêm x,x2, ( Các phương pháp bổ sung) Thơng thường sau lấy tích phân hệ số chứa dạng Nếu cho hệ số ta phải nhân thêm x trước lấy tích phân, cịn dạng ta nhân thêm x2 trước lấy tích phân,… Bài 1: Tính S= Phân tích: tổng khơng đan dấu, độ chênh lệch so với dạng nên ta nhân thêm x trước tích phân 15 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Giải: = = [ ] = = mặt khác S = [ = ] = Vậy S = Bài 2: Tính S= Phân tích: tương tự chuỗi đan dấu Giải: = Tính = Đặt u=1−x du= −dx, { x=0 u=1 x=1 u=0 = = = =[ = =In ] =S Vậy S = Bài 3: Chứng minh : Giải Áp dụng khai triển nhị thức Newton = 16 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop (1) Mặt khác (2) Từ (1) (2) suy đpcm Các tập làm thêm Bài (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Cho Chứng minh rằng: HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tổng khơng đan dấu, ta sử dụng Bài (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Cho Chứng minh rằng: HD: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu nên ta sử dụng Bài 3: 1/Tính tích phân 2/Chứng minh: 17 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop SỬ DỤNG CƠNG CỤ SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP 3.1 Phương pháp Các dấu hiệu nhận biết dùng số phức để tính tổng Đây vấn đề lớn cần ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng tổng có hai đặc điểm: + Các dấu tổng xen kẽ + k lẻ, chẵn chia k cho số ta số dư (trong chương trình phổ thơng ta cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2) Lưu ý + Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) So sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển trực tiếp số phức (thường xét số phức có argument , , ) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính + Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp (thường ta chọn x = i) Sau so sánh phần thực phần ảo số phức hai cách tính Điều quan trọng phải quan sát tổng cần tìm có đặc điểm để lựa chọn cách Chủ yếu vào hệ số tổng Để nói chi tiết điều địi hỏi phải có lượng lớn nhận xét, vượt khuôn khổ cho phép đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi đưa số ví dụ minh hoạ cho vài dạng hay gặp, qua người đọc trả lời câu hỏi cho 3.2 Bài tập: Dạng 1: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Bài 1: Tính tổng sau S = P= Giải : 18 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Xét khai triển = Mặt khác ta tính ta : + theo dạng lượng giác số phức áp dụng công thức Moivre = = Vậy so sánh phần thực phần ảo ta có S = B= Bài Tính tổng: Giải: Xét khai triển: =( ) + Mặt khác: So sánh phần thực hai cách tính ta có: = - 219 D= Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp Bài 1: Tính tổng S= 19 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = Đạo hàm hai vế ta có: 20 = = Cho x = i ta có: 20 = = Mặt khác: 20 = So sánh phần ảo 20 hai cách tính ta có: = 30.219 S= Bài Tính tổng sau: M= N= Giải: Xét khai triển: (1 + x)15 = Nhân hai vế với x ta có: x(1 + x)15 = Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 20 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop = + + i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = So sánh phần thực ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta được: M= = 7.28 N= = -27 Các tập làm thêm 1) Tính tổng sau: Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau cho x = i So sánh phần thực phần ảo hai số phức ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 2) Tính tổng sau: Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100 Đạo hàm hai vế Nhân hai vế với x Lại đạo hàm hai vế Cho x = i ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250 3) Chứng minh 21 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop 4) Tính tổng sau S = IV Hiệu SKKN Như tơi nói trên, việc áp dụng đề tài học sinh lớp 12C1 12C3, thu kết sau (kết thúc học kì năm học 2012-2013) Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 12C1 43 19.5% 35 80.5% 12C3 44 12 34.1% 32 65.9% Như vậy, qua việc áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, điều khơng nằm ngồi dự đốn tơi kết em học sinh nâng lên đáng kể Quan trọng học sinh cảm thấy tự tin với loại toán này, tạo niềm tin hứng thú cho em học tập C Kết luận: Qua thời gian viết SKKN vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn xác Đồng thời em có nhìn tổng thể cách giải toán Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kỳ thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, nhận thấy chuyên đề tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ trình áp dụng SKKN là: Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho em thấy tinh thần nghiêm túc hăng say nghiên cứu khoa học mình, có học sinh noi gương Thầy tâm ham mê học tập, từ để em khơng cảm thấy áp lực học tập 22 skkn Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop Skkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hopSkkn.su.dung.cong.cu.dao.ham tich.phan.va.so.phuc.nham.giup.hoc.sinh.giai.nhanh.mot.so.bai.toan.to.hop
Ngày đăng: 30/12/2023, 03:48
Xem thêm:
