Skkn Chuyên Đề Số Phức.pdf

Nguyễn Văn Xá CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (Đang chỉnh sửa) BẮC NINH - 2015 skkn 3007 5/28-15 2015 Mã số: 11391-2-TSCBDMCC skkn Mở đầu Xét tập số thực R phương trình bậc có nghiệm, phương trình bậc hai có biệt thức ∆ ≥ có hai nghiệm (phân biệt trùng nhau), có phương trình bậc hai đơn giản, chẳng hạn x2 + = 0, lại vơ nghiệm Năm 1545 nhà tốn học G.Cardano (1501-1576) người Italia giải √ vấn đề nghiệm phương trình x2 + = cách đưa vào kí hiệu −1 √ để biểu diễn nghiệm phương trình này, dĩ nhiên −1 ∈ / R Tiếp theo đó, ơng √ 2 kí hiệu nghiệm phương trình x = −b (b ∈ R\ {0}) b −1 nghiệm √ phương trình (x − a)2 = −b2 (a ∈ R, b ∈ R\ {0}) a + b −1 Cardano gọi √ a + b −1 (a, b ∈ R) đại lượng ảo, để thể đại lượng khơng có thực, đại lượng giả tưởng Năm 1572, cơng trình có tên Bologne (Đại số), nhà toán học Italia R.Bombelli (1526-1573) định nghĩa phép tốn số học đại lượng ảo Ơng xem người sáng tạo nên lí thuyết số ảo, người thấy lợi ích việc đem số ảo vào tốn học cơng cụ hữu ích Nhà tốn học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đưa dạng tổng quát số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn n nghiệm phương trình đa thức bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đề xuất kí hiệu "i" để bậc hai −1 gọi đơn vị ảo (imaginary unit number), đến năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) dùng lại kí hiệu người sử dụng √ thuật ngữ số phức để đại lượng ảo Tuy nhiên kí hiệu i = −1 gây nhiều tranh cãi nghi ngờ giới toán học Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh người không thừa nhận số ảo Đẳng thức đáng ngờ i2 = −1 phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc R Người có cơng lao biến số phức từ số giả tưởng với tính chất bí hiểm skkn Mở đầu i2 = −1 thành số có thật nhà bác học Ireland W.R.Hamilton (1805-1865) Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số phức cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ số phức trở thành số quen thuộc với người làm toán số truyền thống Càng ngày người ta thấy số phức có vai trị vơ quan trọng tốn học khoa học - kĩ thuật Nhiều nhà toán học tiếng Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866), A.L.Cauchy (1789-1857), K.T.W Weierstrass (1815-1897) nhiều nhà toán học khác kỉ XX có đóng góp to lớn cho phát triển lí thuyết số phức giải tích phức Giải tích phức, đặc biệt lí thuyết ánh xạ bảo giác, có nhiều ứng dụng khí Nó sử dụng lí thuyết số giải tích Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức fractal Ứng dụng quan trọng khác giải tích phức lí thuyết dây Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học có đóng góp quan trọng nghiên cứu giảng dạy giải tích phức Đối với chương trình tốn học phổ thơng, số phức đưa vào cuối lớp 12 Số phức khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng ứng dụng số phức vào giải tốn học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Tài liệu nhỏ trình bày số dạng toán thường gặp số phức bậc THPT, góp phần giúp giáo viên có nhìn tồn diện sâu sắc chủ đề số phức chương trình tốn phổ thơng, chọn lựa phương án tốt cho giảng mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ giải toán số phức ứng dụng số phức giải số toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư logic cho học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập mơn tốn, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn nói chung chủ đề số phức nói riêng Bắc Ninh, tháng năm 2015 Nguyễn Văn Xá skkn Những kí hiệu Trong tài liệu ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định sau: N N∗ Z Q R C k Cm tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác (các số nguyên dương) tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số phức số tổ hợp chập k m phần tử skkn Mục lục Mở đầu Những kí hiệu Mục lục Chương Sơ lược Số phức 1.1 Khái niệm số phức 1.2 Một số phép toán C 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức 11 1.4 Dạng lượng giác số phức 12 Chương Một số dạng toán Số phức 13 2.1 Các phép toán tập số phức 13 2.2 Biểu diễn hình học số phức 18 2.3 Giải phương trình tập số phức 21 2.4 Dạng lượng giác số phức 23 Tài liệu tham khảo 26 skkn Chương Sơ lược Số phức 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 Khái niệm số phức Một số phép tốn C Phương trình bậc hai tập Dạng lượng giác số phức số phức 11 12 Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng z = a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 = −1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức Cách viết z = a + bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp số phức kí hiệu C Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ C Do đó, xem R tập C Số phức có phần thực gọi số ảo (số ảo) Đơn vị ảo i số ảo, số = + 0i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) gọi nhau, viết z = z , a = a0 , b = b0 Với a, b ∈ R, số phức z = a + bi tương ứng với điểm M (a; b) mặt tọa độ Oxy Ta gọi M (a; b) biểu diễn hình học số phức z = a + bi Những số thực có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Ox, số ảo có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Oy Vì trục Ox gọi trục skkn Sơ lược Số phức thực, trục Oy gọi trục ảo Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức −−→ Ta để ý mặt phẳng Oxy M (a; b) OM = (a; b) Giả sử điểm M, N biểu diễn hình học số phức z z z = z −−→ −−→ OM = ON Giả sử số phức z = a + bi (a, b ∈ R) có biểu diễn hình học điểm M (a; b) mặt phẳng Oxy M1 (a; −b), M2 (−a; −b) điểm đối xứng với M qua trục hoành qua gốc tọa độ Gọi z1 , z2 số phức có biểu diễn hình học M1 , M2 tương ứng Ta gọi z1 số phức liên hợp z, kí hiệu z¯, gọi z2 số đối số phức z, kí hiệu −z Như (a + bi) = a − bi − (a + bi) = (−a) + (−b)i, với a, b ∈ R Ta dễ dàng kiểm tra z¯ = z −(−z) = z −−→ Độ dài vectơ OM = (a; b) gọi môđun số phức √ z = a + bi (a, b ∈ R), kí hiệu |z| Như |a + bi| = a2 + b2 (a, b ∈ R) Với z ∈ C ta có |z| = |¯ z | = |−z| ≥ 0, đẳng thức xảy z = 1.2 Một số phép toán C 1.2.1 Phép cộng a) Tổng hai số phức Tổng hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) số phức z + z = (a + a0 ) + (b + b0 )i Nếu hai số phức z, z có biểu diễn hình học điểm M, N mặt phẳng −−→ −−→ −→ Oxy, điểm T biểu diễn hình học số phức z +z OM + ON = OT Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng số phức b) Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức có tính chất sau đây, tương tự phép cộng số thực • Tính chất kết hợp (z + z ) + z 00 = z + (z + z 00 ) , ∀z, z , z 00 ∈ C Nhờ đó, ta có skkn 1.2 Một số phép toán C thể viết z + z + z 00 để tổng (z + z ) + z 00 • Tính chất giao hoán z + z = z + z, ∀z ∈ C • Cộng với (phần tử trung hòa phép cộng) z + = + z = z, ∀z ∈ C • Với z ∈ C, số đối −z tồn nhất, z + (−z) = • |z + z | ≤ |z| + |z | , ∀z, z ∈ C • z + z = z¯ + z , ∀z, z ∈ C 1.2.2 Phép trừ a) Hiệu hai số phức Hiệu hai số phức z z tổng z với −z , tức z − z = z + (−z ) Nếu z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) z − z = (a − a0 ) + (b − b0 )i Nếu hai số phức z, z có biểu diễn hình học điểm M, N mặt phẳng −−→ −−→ −−→ Oxy, điểm H biểu diễn hình học số phức z−z OM − ON = OH Phép tốn tìm hiệu hai số phức gọi phép trừ số phức b) Tính chất phép trừ số phức Phép trừ số phức có tính chất sau đây, tương tự phép trừ số thực • z − (z + z 00 ) = (z − z ) − z 00 , ∀z, z , z 00 ∈ C • z − (z − z 00 ) = (z − z ) + z 00 , ∀z, z , z 00 ∈ C • z − = z, − z = −z, z − z = 0, ∀z ∈ C • z − z = z¯ − z , ∀z, z ∈ C skkn 10 Sơ lược Số phức • |z − z | ≤ |z| + |z | , ∀z, z ∈ C 1.2.3 Phép nhân a) Tích hai số phức Tích hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) số phức zz = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)i Phép tốn tìm tích hai số phức gọi phép nhân số phức b) Tính chất phép nhân số phức • Tính chất giao hoán zz = z z, ∀z, z ∈ C • Tính chất kết hợp z (z z 00 ) = (zz ) z 00 , ∀z, z , z 00 ∈ C Để tích (zz ) z 00 ta viết zz z 00 Với n số nguyên dương, với số phức z, để tích z.z z (có n số phức z nhân với nhau) ta viết z n • Nhân với (phần tử đơn vị phép nhân) z.1 = 1.z = z, ∀z ∈ C • Tính chất phân phối z (u + v) = zu + zv, z (u − v) = zu − zv, ∀z, u, v ∈ C • zz = z¯.z , ∀z, z ∈ C Do z n = z¯n , ∀z ∈ C, ∀n ∈ N∗ • |z|2 = z.¯ z , ∀z ∈ C • |zz | = |z| |z | , ∀z, z ∈ C Do |z n | = |z|n , ∀z ∈ C, ∀n ∈ N∗ • i4n = 1, i4n−3 = i, i4n−2 = −1, i4n−1 = −i, ∀n ∈ N∗ 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = skkn z |z |  0 z |z | z z0 ∈ C, z = 0, ta có = = z z¯ z |z| 1.2.5 Căn bậc n số phức Số phức w gọi bậc n (n ∈ Z, n ≥ 2) số phức z wn = z Mỗi số phức z 6= ln có n bậc n (n ∈ Z, n ≥ 2) n số phức 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình bậc hai Az + Bz + C = (1) với hệ số A, B, C số thực phức, A 6= 0, z biến số phức Đặt ∆ = B − 4AC Khi −B ± δ , - Nếu ∆ 6= phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = 2A δ bậc hai ∆ B - Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép z1 = z2 = − 2A Trong hai trường hợp ta có   S = z1 + z2 = − B ; A C  P = z1 z2 = A Người ta chứng minh phương trình bậc n An z n + + A1 z + A0 = (2) (trong n số nguyên dương, n + hệ số A0 , A1 , , An số phức, An 6= 0) ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) Hơn nữa, z0 nghiệm phương trình (2) A0 , A1 , , An số thực z0 nghiệm (2) skkn 12 Sơ lược Số phức 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Định nghĩa acgument số phức khác Cho số phức z 6= Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgument z 1.4.2 Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R) có mơđun |z| = r > ϕ acgumen Lúc z viết dạng z = r(cosϕ + i sin ϕ) Ta gọi dạng z = r(cosϕ + i sin ϕ) dạng lượng giác số phức z 6= 1.4.3 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cosϕ + i sin ϕ), z = r0 (cosϕ0 + i sin ϕ0 )(r ≥ 0, r0 ≥ 0) 
 zz = rr0 cos ϕ + ϕ0 + i sin(ϕ + ϕ0 )]

 r0  z0 = cos ϕ0 − ϕ + i sin ϕ0 − ϕ (khi r > 0) z r 1.4.4 Công thức Moa-vrơ a) Công thức Moa-vrơ Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n, [r(cosϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) , r = ta có (cosϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa-vrơdễ thấy số phức  z = r(cosϕ + i sin ϕ) (trong r > 0) có √ ϕ ϕ hai bậc hai + − r cos +i sin skkn Chương Một số dạng toán Số phức 2.1 2.2 2.3 2.4 Các phép toán tập số phức Biểu diễn hình học số phức Giải phương trình tập số phức Dạng lượng giác số phức 13 18 21 23 Chương này, đề xuất phương án phân chia số dạng toán liên quan tới số phức, ứng dụng số phức 2.1 Các phép toán tập số phức Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số phức thực số z0 thực, lưu ý thêm i2 = −1, để tính thương ta nhân tử mẫu với số phức z liên hợp z¯ = a − bi z = a + bi Ví dụ a) Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức √ √ z = (1 + i 3) + ( − i) b) Tìm bậc hai số phức z = 21 − 20i Hướng dẫn a) Ta có  √  √ √ √ √ z = + 3i − + 2 − 6i − + i = − − + i(2 − 5) √ √ Vậy phần thực z − − 2, phần ảo − môđun r 2  √ 2 q √ √ √ |z| = − − + − = 43 + − 20 b) Giả sử w = a + bi (a, b ∈ R) bậc hai z Ta có w2 = z hay (a + bi)2 = 21 − 20i ⇔ (a2 − b2 ) + i.2ab = 21 − 20i skkn 14 Một số dạng toán Số phức ( ( " a = 5, b = −2 a − b2 = 21 a − 21a2 − 100 = ⇔ ⇔ ⇔ a = −5, b = 2ab = −20 ab = −10 Vậy có hai bậc z w1 = − 2i, w2 = −5 + 2i Ví dụ a) Cho n số nguyên dương Chứng minh 4n−2 4n + C4n − C4n + − C4n + C4n = (−4)n , C4n − C4n 4n−3 4n−1 C4n − C4n + C4n − C4n + + C4n − C4n = 15 18 b) Tính tổng S = C 020 +3C 320 +6C 620 + +3kC 3k 20 + +15C 20 +18C 20 Hướng dẫn a) Để ý với k số tự nhiên thì: + ik = k chia hết cho 4; + ik = i k chia cho dư 1; + ik = −1 k chia cho dư 2; + ik = −i k chia cho dư  2n Ta có (1 + i)4n = (1 + i)2 = (2i)2n = (−4)n 2 3 4 4n 4n (1 + i)4n = C4n + C4n i + C4n i + C4n i + C4n i + + C4n i

4n−2 4n 10 + = C4n + C4n + C4n + + C4n − C4n + C4n + C4n + + C4n

4n−1 4n−3 11 − i C4n + C4n + C4n + + C4n + i C4n + C4n + C4n + + C4n = 2n X k=0 k (−1) 2k C4n + i 2n−1 X 2k+1 (−1)k C4n k=0 So sánh phần thực phần ảo số phức (1 + i)4n theo hai cách tính đó, suy 2n−1 2n P P 2k+1 2k = (−4)n , (−1)k C4n = hay (−1)k C4n k=0 k=0 4n−2 4n C4n − C4n + C4n − C4n + − C4n + C4n = (−4)n , 4n−3 4n−1 C4n − C4n + C4n − C4n + + C4n − C4n = b) Xét phương trình x3 − = có nghiệm √ √ 3 i, x3 = − − i x1 = 1, x2 = − + 2 2 √ √ 3 Các nghiệm bậc Đăt ε = − − i⇒ε =− + i 2 2 có tính chất sau skkn 15 2.1 Các phép toán tập số phức (i) ε + ε2 = −1, ε3 = 1; (ii) ε3k = 1, ε3k+1 = ε, ε3k+2 = ε2 với k ∈ Z Trở lại toán, theo cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 18 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + x3 C20 + + x18 C20 + x19 C20 + x20 C20 Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức 18 19 20 20(1 + x)19 = C20 + 2xC20 + 3x2 C20 + + 18x17 C20 + 19x18 C20 + 20x19 C20 sau nhân hai vế đẳng thức thu với x 18 19 20 + 3x3 C20 + + 18x18 C20 + 19x19 C20 + 20x20 C20 20x(1 + x)19 = xC20 + 2x2 C20 Từ cho x = 1, x = ε, x = ε2 ta 18 19 20 20.219 = C20 + 2C20 + 3C20 + 4C20 + + 18C20 + 19C20 + 20C20 (1), 18 19 20 20ε(1 + ε)19 = εC20 + 2ε2 C20 + 3C20 + 4εC20 + 18C20 + 19εC20 + 20ε2 C20 (2), 19 20ε2 (1 + ε2 ) 18 19 20 = ε2 C20 + 2εC20 + 3C20 + 4ε2 C20 + 18C20 + 19ε2 C20 + 20εC20 (3)   19 Cộng (1), (2) (3), vế theo vế, ta có 20 219 + ε(1 + ε)19 + ε2 (1 + ε2 ) = 3S−C20
19 Mặt khác ε(1 + ε)19 = ε −ε2 = −ε39 = −1,
19 ε2 + ε2 = ε2 (−ε)19 = −ε21 = −1 Vậy 3S = + 20(219 − 2) = 10.220 − 39 nên S = skkn 10.220 − 13 16 Một số dạng toán Số phức BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Tìm phần thực, phần ảo, mơđun số phức liên hợp số phức z, biết (21 − 7i)(4 + 3i) a) z = + 5i (2 − 3i).5i b) z = + 3i √ √ c) − z = (i + 2) (1 − i 2) d) (1 + i)z + (3 − i)¯ z = − 6i e) (1 − i)z − + 5i = f) (3 + i)¯ z = 13 − 9i Bài 1) Cho z1 = + 2i, z2 = − 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z1 − 2z2 2) Cho z1 = + 5i, z2 = − 4i Tìm phần thực phần ảo số phức z1 z2 √ (1 − i 3) 3) Cho z = Tìm mơđun số phức z + iz 1−i 4) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Tính |z1 |2 + |z2 |2 √ 5) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình z −2 3iz−4 = Tính z12016 +z22016 6) Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn |6z − i| = |2 + 3iz| |z1 − z2 | = Tính |z1 + z2 | ... ảo số phức Cách viết z = a + bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp số phức kí hiệu C Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ C Do đó, xem R tập C Số phức có phần thực gọi số ảo (số. .. 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = skkn z |z | 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức 11 z0 phép chia số phức z cho số phức z 6= tích z với số phức z z0 z0 z0z... tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác (các số nguyên dương) tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số phức số tổ hợp chập k m phần tử skkn Mục lục Mở đầu