ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP MÔN TOÁN 10 HK1 HÌNH HỌC VÀ ĐẠI SỐ
Ths Lê Văn Đoàn 750 tập đại số 380 tập hình học Trường : …………………………………… Lớp : ……………………………………… Đ IS M CL C ng M NH Đ – T P H P -A – M NH Đ -B – T P H P C – S G N ĐÚNG & SAI S -Ch ng HÀM S B C NH T VÀ B C HAI A – Đ I C NG V HÀM S -D ng tốn Tìm t p xác đ nh hàm s -D ng toán Xét tính đ n u hàm s -D ng tốn Xét tính ch n lẻ hàm s -B – HÀM S B C NH T -C – HÀM S B C HAI Ch ng PH NG TRÌNH VÀ H PH NG TRÌNH A–Đ IC NG V PH NG TRÌNH B – PH NG TRÌNH B C NH T C – PH NG TRÌNH B C HAI -D ng toán Gi i bi n lu n ph ng trình b c hai -D ng toán D u c a nghi m s ph ng trình b c hai -D ng toán Những toán liên quan đ n đ nh lí Viét D ng tốn Ph ng trình trùng ph ng – Ph ng trình qui b c hai D ng tốn Ph ng trình ch a n d u tr t đ i -D ng tốn Ph ng trình ch a n d i d u -Bài t p qua kǶ thi Đ i h c – Cao đ ng D – H PH NG TRÌNH B C NH T NHI U N E – H PH NG TRÌNH B C HAI HAI N S -Bài t p qua kǶ thi Đ i h c – Cao đ ng Bài t p ôn ch ng Ch ng B T Đ NG TH C VÀ B T PH NG TRÌNH A – B T Đ NG TH C D ng toán Ch ng minh BĐT dựa vào đ nh nghĩa tính ch t -D ng toán Ch ng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy -D ng toán Ch ng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki -D ng toán Ch ng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz D ng toán Ch ng minh BĐT dựa vào ph ng pháp t a đ véct D ng toán ng d ng BĐT để gi i ph ng trình Bài t p qua kǶ thi Đ i h c – Cao đ ng -HÌNH H C Ch Ch Ch ng VÉCT VÀ CÁC PHÉP TOÁN A – VÉCT VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCT D ng toán Đ i c ng v véct D ng toán Ch ng minh m t đ ng th c véct -D ng toán Xác đ nh điểm th a đ ng th c véct & Cm đ ờng qua điểm D ng tốn Phân tích véct – Ch ng minh th ng hàng – Song song D ng tốn Tìm mơđun – Quỹ tích điểm – Điểm c đ nh B – H TR C T A Đ D ng toán T a đ véct – Biểu di n véct D ng toán Xác đ nh điểm th a u ki n cho tr c D ng toán Véct ph ng ng d ng ng TÍCH VƠ H NG VÀ NG D NG A – GIÁ TR L NG GIÁC C A GÓC B T Kǵ B – TÍCH VƠ H NG C A HAI VÉCT -D ng tốn Tính tích vơ h ng – Góc – Ch ng minh vng góc -D ng toán Ch ng minh đ ng th c – Quỹ tích điểm – Cực tr 1 12 17 17 18 21 23 24 30 41 41 43 48 49 50 53 58 64 66 73 81 88 96 112 115 117 122 131 134 135 137 144 151 153 157 166 174 186 189 191 193 195 200 200 204 205 211 Đ c Ths Lê Văn Đoàn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I Chương M NH Đ – T P H P A – M NH Đ c M nh đ M nh đ m t câu kh ng đ nh m t câu kh ng đ nh sai M t m nh đ vừa đúng, vừa sai d M nh đ ph đ nh Cho m nh đ P M nh đ "không ph i P" đ c g i m nh đ ph đ nh c a P kí hi u P N u P P sai, n u P sai P e M nh đ kéo theo nh đ nh đ nh đ uýr P Q "N u P Q" đ c g i m nh đ kéo theo kí hi u là: P ⇒ Q P ⇒ Q ch sai P Q sai ng: Các đ nh lí tốn h c th ờng có d ng P ⇒ Q Khi đó: P gi thi t, Q k t lu n P u ki n đ để có Q Q u ki n c n để có P f M nh đ đ o Cho m M M # L Cho m nh đ kéo theo P ⇒ Q M nh đ Q ⇒ P đ g M nh đ t ng đ c g i m nh đ đ o c a m nh đ P ⇒ Q ng Cho m nh đ P Q M nh đ "P n u ch n u Q" đ c g i m nh đ t ng đ ng kí hi u P ⇔ Q M nh đ P ⇔ Q ch c hai m nh để P ⇒ Q Q ⇒ P đ u # L u ý r ng: N u m nh đ P ⇔ Q đ nh lí ta nói P u ki n c n đ để có Q h M nh đ ch a bi n M nh đ ch a bi n m t câu kh ng đ nh ch a bi n nh n giá tr m t t p X mà v i m i giá tr c a bi n thu c X ta đ c m t m nh đ i Kí hi u ∀ ∃ "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x)" M nh đ ph đ nh c a m nh đ "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x) " M nh đ ph đ nh c a m nh đ "∃x ∈ X, P(x)" "∀x ∈ X, P(x) " j Phép ch ng minh ph n ch ng Gi sử ta c n ch ng minh đ nh lí: A ⇒ B Cách Ta gi thi t A Dùng suy lu n ki n th c toán h c bi t ch ng minh B Cách (Ch ng minh ph n ch ng) Ta gi thi t B sai, từ ch ng minh A sai Do A vừa vừa sai nên k t qu B ph i " C n cù bù thông minh…………" Page - - BÀI T P ÁP D NG Bài Trong câu d i đây, câu m nh đ , câu m nh đ ch a bi n ? a/ S 11 s chẵn c/ Hu m t thành ph c a Vi t Nam b/ B n có chăm h c không ? d/ 2x + m t s nguyên d e/ - < g/ Hãy tr lời câu h i ! f/ + x = h/ Paris th n i/ Ph ng trình x - x + = có nghi m ng c Ý k/ 13 m t s nguyên t Bài Trong m nh đ sau, m nh đ ? Gi i thích ? a/ c/ e/ g/ N u a chia h t cho a chia h t cho N u a chia h t cho a chia h t cho hai s nguyên t > < b/ d/ f/ h/ N u a ³ b a ³ b S p l n h n nh h n 81 m t s ph ng S 15 chia h t cho cho Bài Trong m nh đ sau, m nh đ ? Gi i thích ? a/ Hai tam giác b ng ch chúng có di n tích b ng b/ Hai tam giác b ng ch chúng đồng d ng có m t c nh b c/ M t tam giác tam giác đ u ch chúng có hai đ ờng trung m t góc b ng 600 d/ M t tam giác tam giác vng ch có m t góc b ng tổng c e/ Đ ờng trịn có m t tâm đ i x ng m t tr c đ i x ng f/ Hình chữ nh t có hai tr c đ i x ng g/ M t t giác hình thoi ch có hai đ ờng chéo vng góc v h/ M t t giác n i ti p đ c đ ờng trịn ch có hai góc vng ng n b ng có a hai góc cịn l i i Bài Trong m nh đ sau, m nh đ ? Gi i thích ? Phát biểu m nh đ thành lời ? a/ " x Ỵ ¡ , x > b/ $ x Ỵ ¡ , x > x c/ $ x ẻ Ô , 4x - = d/ " n ẻ Ơ , n > n e) " x Ỵ ¡ , x - x = > f/ " x Ỵ ¡ , x > Þ x > g/ " x Ỵ ¡ , x > Þ x > h/ " x Ỵ ¡ , x < Þ x < i/ $ x Ỵ ¡ , 5x - 3x £ k/ $ x Ỵ ¡ , x + 2x + h p s l/ " n ẻ Ơ , n + không chia h t cho m/ " n ẻ Ơ *, n(n + 1) l s l n/ " n ẻ Ơ *, n(n + 1)(n + 2) chia h t cho o/ " n ẻ Ơ * , n + 11n chia h t cho Bài Đi n vào ch tr ng từ n i "và" hay "hoặc" để đ c m nh đ ? a/ p < p > b/ ab = a = b = c/ ab ¹ a ¹ b ¹ d/ ab > a > b > a < b < e/ M t s chia h t cho ch chia h t cho ……… cho f/ M t s chia h t cho ch chữ s t n c a b ng ……… b ng Bài Cho m nh đ ch a bi n P (x ), v i x ∈ ¡ Tìm x để P (x ) m nh đ ? a/ P (x ) : " x - x + = " b/ P (x ) : " x - 5x + = " c/ P (x ) : " x - 3x > " d/ P (x ) : " x ³ x " Page - - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đồn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I e/ P (x ) : "2x + £ " f/ P (x ) : " x + x + > " Bài Nêu m nh đ ph đ nh c a m nh đ sau: a/ b/ c/ d/ S S T S tự nhiên n chia h t cho cho tự nhiên n có chữ s t n b ng b ng giác T có hai c nh đ i vừa song song vừa b ng tự nhiên n có c s b ng b ng n Bài Nêu m nh đ ph đ nh c a m nh đ sau: a/ " x Ỵ ¡ : x > b/ $ x Ỵ ¡ : x > x c/ $ x ẻ Ô : 4x - = d/ " x Ỵ ¡ : x - x + > e/ " x Ỵ ¡ : x - x - < g/ " n ẻ Ơ , n + không chia h t cho f/ $ x Ỵ ¡ : x = h/ " n ẻ Ơ , n + 2n + s nguyên t i/ " n Î ¥ , n + n chia h t cho k/ " n ẻ Ơ , n - s lẻ Bài Phát biểu m nh đ sau, b ng cách sử d ng khái ni m "đi u ki n c n", "đi u ki n đ ": a/ b/ c/ d/ e/ N N N N N u m t s tự nhiên có chữ s t n chữ s chia h t cho u a + b > m t hai s a b ph i d ng u m t s tự nhiên chia h t cho chia h t cho u a = b a = b u a b chia h t cho c a + b chia h t cho c Bài Phát biểu m nh đ sau, b ng cách sử d ng khái ni m "đi u ki n c n", "đi u ki n đ ": Bài Phát biểu m nh đ sau, b ng cách sử d ng khái ni m "đi u ki n c n đ ": Bài Ch ng minh m nh đ sau b ng ph a/ Trong mặt ph ng, n u hai đ ờng th ng phân bi t vng góc v i m t đ ờng th ng th ba hai đ ờng th ng y song song v i b/ N u hai tam giác b ng chúng có di n tích b ng c/ N u t giác T m t hình thoi có hai đ ờng chéo vng góc v i d/ N u t giác H m t hình chữ nh t có ba góc vng e/ N u tam giác K đ u có hai góc b ng a/ b/ c/ d/ e/ a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ M M M M S t tam giác vng ch có m t góc b ng tổng hai góc cịn l i t t giác hình chữ nh t ch có ba góc vng t t giác n i ti p đ c đ ờng trịn ch có hai góc đ i bù t s chia h t cho ch chia h t cho cho tự nhiên n s lẻ ch n2 s lẻ ng pháp ph n ch ng: N u a + b < m t hai s a b nh h n M t tam giác không ph i tam giác đ u có nh t m t góc nh h n 600 N u x ¹ y ¹ x + y + xy ¹ N u bình ph ng c a m t s tự nhiên n m t s chẵn n m t s chẵn N u tích c a hai s tự nhiên m t s lẻ tổng c a chúng m t s chẵn N u t giác có tổng góc đ i di n b ng góc vng t giác n i ti p đ c đ ờng tròn N u x + y = x = y = BÀI T P RÈN LUY N " C n cù bù thông minh…………" Page - - Bài Trong câu sau, câu m nh đ , câu không m nh đ ? N u m nh đ m nh đ hay sai ? a/ b/ c/ d/ Các em có vui khơng ? C m h c sinh nói chuy n h c ! Ph ng trình x + x = có hai nghi m d 25 - m t s nguyên t ng phân bi t e/ m t s vô t f/ Thành ph Hồ Chí Minh th c a n c Vi t Nam g/ M t s tự nhiên chia h t cho s chia h t cho h/ N u 22003 - s ngun t 16 s ph ng Bài Vi t m nh đ ph đ nh c a m i m nh đ sau xét xem m nh đ ph đ nh hay sai ? a/ p < 3,15 b/ - 125 £ c/ s nguyên t e/ p s hữu t g/ Bài Bài d/ không chia h t cho f/ 1794 chia h t cho h/ Tổng c nh Ấ l n h n c nh th s hữu t Phát biểu thành lời m nh đ sau xét tính sai c a m nh đ đó: a/ " x Ỵ ¡ , x > c/ $ n ẻ Ơ , n Ê 2n b/ $ n ẻ Ơ , n = n d/ $ x Ỵ ¡ , x < e/ " x ẻ Ơ , 1, < x < 2,1 f/ " n ẻ Ơ , n + chia h t cho Các m nh đ sau hay sai ? Gi i thích ? Vi t m nh đ ph đ nh c a chúng ? a/ $ n ẻ Ô , n = b/ " x Ỵ ¡ , x > x c/ $ x Ỵ ¡ , x > x d/ " n ẻ Ơ , n n e/ $ n ẻ Ơ , n n f/ " x Ỵ ¡ , x - x + > g/ $ x Î ¡ , x - x + > h/ " n ẻ Ơ , n + không chia h t cho i/ $ n Ỵ ¥ , n + khơng chia h t cho j/ $ n ẻ Ơ , n + chia h t cho Bài Cho m nh đ ch a bi n P (x ) : " x = x " Xác đ nh tính – sai c a m nh đ sau: Bài Cho m nh đ ch a bi n P (x ) : " x - 2x = " Xác đ nh tính – sai c a m nh đ sau: Bài Các m nh đ sau hay sai ? N u sai sửa l i để có m t m nh đ ? P (0); P (- 1); P (1); " $ x Ỵ ¡ , P (x )"; " " x Ỵ ¡ , P (x )" P (0); P (2); P ¡ , P (x )"; " " x Ỵ ¡ , P (x )" a/ x = Û x = b/ 2001 s nguyên t c/ " x Ỵ ¡ , x > x c/ " x Ỵ ¡ , x + y £ 2xy d/ f/ g/ h/ i/ Bài ( ); " $x Ỵ e/ $ n Î ¥ , n + n + M7 $x ẻ Ơ , x2 Ê x ABCD l hình vng Þ ABCD hình bình hành ABCD hình thoi Þ ABCD hình chữ nh t T giác MNPQ hình vng Û Hai đ ờng chéo MP NQ b ng Hai tam giác b ng Û Chúng có di n tích b ng Dùng b ng chân tr ch ng minh: Page - - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đồn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I ( ) b/ éê(A Þ B )Ù A ù úû= A ë a/ (A Þ B) = A Ú B ( ) ( (A Ú B) = (A Ù B) d/ éê(A Þ B ) Þ B ùú= (A Ú B ) ë û e/ f/ A Ù B = A Ú B i/ êéA Þ ë Bài ) c/ (A Þ B ) = A Ú B = B Þ A (B Ù C )úùû= êéë(A Þ B )Ù (A Þ C )ùûú j/ ( ) ( ) é ù ê(A Ù B) Þ C ú= (A Ú B Ú C ) ë û V i n s tự nhiên lẻ, xét đ nh lí: " N u n s tự nhiên lẻ n - chia h t cho 8" Đ nh lí đ c vi t d i d ng P (n ) Þ Q (n ) a/ Hãy xác đ nh m nh đ P (n ) Q (n ) Bài b/ Phát biểu đ nh lí b ng cách sử d ng thu t ngữ "đi u ki n đ " " u ki n c n" Cho đ nh lí: " N u n s tự nhiên n - n chia h t cho 3" Đ nh lí đ c vi t d i d ng P (n ) Þ Q (n ) a/ Hãy xác đ nh m nh đ P (n ) Q (n ) b/ Phát biểu đ nh lí b ng cách sử d ng thu t ngữ "đi u ki n đ " " u ki n c n" c/ Ch ng minh đ nh lí Bài Sử d ng thu t ngữ "đi u ki n đ " để phát biểu đ nh lí sau: a/ N đ b/ N c/ N u m t t giác hình bình hành có hai đ ờng chéo cắt t i trung điểm c a m i ờng u m t hình thoi có hai đ ờng chéo b ng hình vuông u ax + bx + c = 0, (a ¹ 0) có b - 4ac > ph ng trình có nghi m phân bi t d/ N u x > x > Bài Sử d ng thu t ngữ "đi u ki n c n" để phát biểu đ nh lí sau: Bài Cho hai m nh đ , m nh đ A: "a b hai s tự nhiên lẻ" m nh đ B: " a + b s chẵn" Bài Ch ng minh m nh đ sau b ng ph a/ b/ c/ d/ N N N N u x > x > 25 u hai góc đ i đ nh chúng b ng u hai tam giác b ng di n tích c a chúng b ng u a s tự nhiên a chia h t cho a chia h t cho a/ Phát biểu m nh đ A Þ B M nh đ hay sai ? b/ Phát biểu m nh đ B Þ A M nh đ hay sai ? ng pháp ph n ch ng a/ N u tổng c a 99 s b ng 100 có nh t m t s l n h n b/ N u a b s tự nhiên v i tích a.b lẻ a b s tự nhiên lẻ c/ Cho a, b, c Ỵ ¡ Có nh t m t ba đ ng th c sau đúng: a + b ³ 2bc; b + c2 ³ 2ac; c2 + a ³ 2ab d/ V i s tự nhiên a b, n u a + b chia h t cho a b đồng thời s lẻ e/ N u nh t 25 th vào chuồng có nh t chuồng ch a nhi u h n th Bài Cho đ nh lí: " N u a b hai s nguyên d ng m i s đ u chia h t cho a + b chia h t cho 3" Hãy phát biểu ch ng minh đ nh lí đ o c a đ nh lí (n u có), dùng thu t ngữ "đi u ki n c n đ " để g p c hai đ nh lí thu n đ o B–T PH P " C n cù bù thông minh…………" c T ph p Page - - – ∞ ////////// ( ù////////// úû +∞ BÀI T P ÁP D NG Bài Vi t m i t p h p sau b ng cách li t kê ph n tử c a Page - - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đồn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I { (2x - 5x + 3)(x - 4x + 3) = 0} b/ B = {x Ỵ ¡ (x - 10x + 21)(x - x ) = 0} c/ C = {x Ỵ ¡ (6x - 7x + 1)(x - 5x + 6) = 0} a/ A = x Ỵ ¡ 2 2 { } d/ D = x Ỵ ¢ 2x - 5x + = { F = {x Ỵ } e/ E = x Î ¥ x + < + 2x ; 5x - < 4x - f/ } ¢ x+ £ { } g/ G = x ẻ Ơ x < { } h/ H = x Ỵ ¡ x + x + = Bài ìï üï 1 i/ K = ïí x Ỵ Q x = a £ , a Ỵ Nïý ïï ï 32 þï ỵ Vi t m i t p h p sau b ng cách ch rõ tính ch t đặc tr ng cho ph n tử c a nó: a/ A = {0; 1; 2; 3; 4} b/ B = {0; 4; 8; 12; 16} c/ C = {- ; 9; - 27; 81} d/ D = {9; 36; 81; 144} e/ E = {2; 3; 5; 7; 11} f/ F = {3; 6; 9; 12; 15} ïì 1 1 ïüï h/ H = ïí 1; ; ; ; ; ý ïỵï 27 81 234 ỵùù ùỡ ïü j/ J = ïí ; ; ; ; ïý ùợù 15 24 35 ỵùù g/ G = {0; 3; 8;15;24; 35; 48;63} ïì 1 1 ïü i/ I = ïí ; ; ; ; ùý ùợù 12 20 30 ỵùù k/ K = {- 4; - 3; - 2; - 1; 0;1;2; 3; 4;5} l/ L = {3, 8,15, 24, 35, 48, 63} ïì ïü m/ M = ïí 1, , , , , , , ïý ïỵï 11 13 15 ỵùù n/ N = {3, 4, 7,12,19, 28, 39, 52} ìï ü ï p/ P = ïí 0, , , , , , , , , ïý ïỵï 10 þïï q/ Q = T p t t c điểm thu c đ ờng trung trực c a đo n th ng AB r/ R = T p t t c điểm thu c đ ờng tròn tâm I cho tr c có bán kính b ng Trong t p h p sau đây, t p t p r ng ? { } o/ O = 0, 3, 2, 15, 6, 35, 3, 63 Bài c/ e/ Bài { C = {x Ỵ E = {x Ỵ } } + 7x + 12 = 0} Ô x - 4x + = d/ ¥ x2 f/ } } Ô x2 - = { } { } d/ D = x ẻ Ô x - 4x + = Trong t p h p sau, t p t p c a t p ? { } ¡ x - 4x + = Tìm t t c t p con, t p gồm hai ph n tử c a t p h p sau: b/ B = {1; 2; 3} a/ A = {1;2} c/ C = x Ỵ ¡ 2x - 5x + = Bài { D = {x Ỵ F = {x Ỵ b/ B = x Ỵ ¡ x - x + = a/ A = x ẻ Â x < } { } a/ A = {1; 2; 3}, B = x Î ¥ x < , C = (0; + ¥ ), D = x Ỵ ¡ 2x - 7x + = " C n cù bù thông minh…………" Page - - b/ A = T p c s tự nhiên c a 6; B = T p c s tự nhiên c a 12 c/ A = T p hình bình hành; B = T p hình chữ nh t; C = T p hình thoi; D = T p hình vng B = T p tam giác đ u; d/ A = T p tam giác cân; C = T p tam giác vuông; D = T p tam giác vuông cân Bài Tìm A Ç B; A È B; A \ B; B \ A v i: a/ A = {2, 4, 7, 8, 9,12}; B = {2, 8, 9,12} b/ A = {2, 4, 6, 9}; B = {1, 2, 3, 4} { { } } c/ A = x Î ¡ 2x - 3x + = ; B = x Ỵ ¡ 2x - = d/ A = T p c s c a 12 ; B = T p { (x + 1)(x - 2)(x { } e/ A = x Ỵ ¡ ( { 2x - 3) = 0} ( 6) = 0}; B = { x Ỵ ¥ /x s nguyên t , x ≤ 5} )( g/ A = x ẻ Ơ x - x - 5x - Bài ) } 3x )(x - - 8x + 15 = ; B = T p s nguyên t có chữ s f/ A = x ẻ Â x < ; B = x ẻ Â 5x - { c s c a 18 2 Tìm t t c t p h p X cho: a/ {1, 2}Ì X Ì {1, 2, 3, 4, 5} b/ {1, 2}È X = {1, 2, 3, 4} c/ X Ì {1, 2, 3, 4}, X Ì {0, 2, 4, 6, 8} Bài Xác đ nh t p h p A, B cho: a/ A Ç B = {0,1, 2, 3, 4}; A \ B = {- 3, - 2}; B \ A = {6, 9,10} Bài Xác đ nh A Ç B; A È B; A \ B; B \ A biểu di n chúng tr c s , v i: ù é ù b/ A = é- 4; - 2ù, B = (3;7 ù a/ A = êé- 4; ú êë úû ë û, B = êë1;7 ûú ûú é ù é c/ A = ê- 4; - 2ú, B = (3;7 ) d/ A = (- ¥ ; - 2ù úû, B = êë3; + ¥ ) ë û e/ A = éê3; + ¥ ), B = (0; ) f/ A = (1; ), B = (2;6) ë Xác đ nh A È B È C; A Ç B Ç C biểu di n chúng tr c s , v i: é b/ A = (- ¥ ; - 2ù a/ A = éê1; ù úû, B = êë3; + ¥ ), C = (0;4) ë úû, B = (2;6), C = (1;2) é ù c/ A = éê0; ù d/ A = (- ¥ ; - 2ù ûú, B = ëê2; + ¥ ), C = (0;3) ë ûú, B = (1, 5), C = (- 3;1ûú é ù é e/ A = (- 5;1ù úû, B = êë3; + ¥ ), C = (- ¥ ; - 2) f/ A = (- 2;5úû, B = (0;9), C = êë- ¥ ;6) Ch ng minh r ng: a/ N u A Ì B A Ç B = A b/ N u A Ì C B Ì C (A È B ) Ì C Bài Bài b/ A Ç B = {1, 2, 3}; A \ B = {4, 5}; B \ A = {6, 9} c/ N u A È B = A Ç B A = B d/ N u A Ì B A Ì C A Ì (B Ç C ) Bài M i h c sinh l p 10A1 đ u ch i bóng đá bóng chuy n Bi t r ng có 25 b n ch i bóng đá, 20 b n ch i bóng chuy n 10 b n ch i c hai môn thể thao H i l p 10A1 có h c sinh ? Bài Trong m t tr ờng THPT, kh i 10 có: 160 em h c sinh tham gia câu l c b Toán, 140 tham gia câu l c b Tin, 50 em tham gia c hai câu l c b H i kh i 10 có h c sinh ? Bài M t l p có 40 HS, đăng ký ch i nh t m t hai mơn thể thao: bóng đá c u lơng Có 30 Page - - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Ths Lê Văn Đoàn Bài Bài Ph n Hình h c Cho sin a + cos a = Ch ng Tích vơ h ng & ng d ng Hãy tìm a/ A = sin a cos a b/ B = sin a + cos a c/ C = sin a + cos a d/ D = sin a + cos6 a f/ F = sin a + cos a g/ G = Ch ng minh đ ng th c sau: cos2 a - cot a sin a - t an a a/ (sin x + cos x ) = + sin x cos x b/ sin x + cos x = - sin x cos2 x c/ t an x - sin x = t an x sin x d/ sin x + cos6 x = - sin x cos2 x e/ - sin x cos x = cos x + sin x g/ sin x sin x + cos x = sin x + cos x sin x - cos x t an x - f/ cos2 x - cot x = cot x 2 sin x - t an x h/ sin x cos x (1 + t an x )(1 + cot x ) = + sin x cos x ổ ữ 1 ỗ ữ= , bi t 00 < x < 1800 i/ sin x ỗỗ + - sin x ữ ữ ççè + cos x - cos x ÷ ø + t an x Bài Đ n gi n (rút g n) biểu th c sau a/ A = + cos x - cos x c/ C = - cos2 x + t an x cot x - sin x ( ) b/ B = sin a + t an a d/ D = ( ) - sin x cos2 x (sin x + cos x ) ( ) e/ E = sin 900 - x + cos 1800 - x + sin x + t an x - t an x f/ F = g/ G = i/ I = ( ) ( ) ( cos 1800 - x - cos 900 - x + cot 1800 - x ( sin x - cos 900 - x ) cos 360 - sin 234 cos 54 sin 144 - cos1260 ( sin (180 ) ( + x )cos (270 ) ( x )t an (x - ) ỉ1 + sin x ÷ - cos x ữ h/ H = cot x ỗỗỗ ữ ữ çè cos x ø ) 90 ) cos 900 + x cos 2700 + x t an x + 1800 0 - ỉ3p ỉ3p ỉ ỉ 7p ư÷ 7p ư÷ ÷ ÷ ÷ ÷ j/ J = cos ỗỗ - x ữ - sin ỗỗỗ - x ữ + cos ỗỗỗx - sin ỗỗỗx ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố 2ữ 2ữ ứ ố2 ø è ø è ø k/ K = sin x - Page - 198 - ( ) cot x - cos2 x, 1800 < x < 2700 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đoàn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I l/ L = m/ M = + sin x + - sin x sin x + - sin x , 00 < x < 900 + sin x ( ) ( ) , 900 < x < 1800 cot x - cos x n/ N = cos100 + cos 200 + cos 300 + + cos1600 + cos1700 + cos1800 o/ O = cos2 120 + cos2 78 + cos2 10 + cos2 890 p/ P = sin 30 + sin 150 + sin 750 + sin 87 Bài Cho A, B, C l n l t ba góc c a tam giác ABC Ch ng minh r ng: a/ sin (B + C ) = sin A b/ cos (B + C ) = - cos A c/ sin (A + B ) = sin C d/ cos (A + B ) = - cos C e/ sin A+ B C = cos 2 f/ t an A+ B- C = cot C g/ t an A+ B C = cot 2 h/ cos B+ C A = sin 2 j/ sin A + B + 3C = cos C l/ sin A + B - 2C 3C = cos 2 n/ t an B + C - 2A 3A = cot 2 i/ t an (A + B ) = - t an C k/ t an A + B - 2C 3C = cot 2 m/ cos (A - B + C ) = - cos 2B Bài Ch ng minh biểu th c sau không ph thu c vào bi n (hay biểu th c đ c l p v i bi n s ) a/ A = cos x - sin x + sin x cos2 x + sin x b/ B = cos6 x + sin x cos2 x + sin x cos x + sin x 2 c/ C = (cot x + t an x ) - (cot x - t an x ) ( ) ( ) ( ) ( ) d/ D = cos x - 600 cos x - 450 + cos x + 300 + cos 1350 + x e/ E = sin x + cos2 x + cos x + sin x f/ F = cot x + + t an x - cot x - g/ G = cot x - cos2 x sin x cos x + cos x cot x " C n cù bù thông minh…………" Page - 199 - Ths Lê Văn Đồn Ph n Hình h c B – TÍCH VƠ H Ch ng Tích vô h ng & ng d ng NG C A HAI VÉCT c Góc hai véct r r r uuur r uuur r Cho a, b ¹ Từ m t điểm O b t kì vẽ OA = a, OB = b r r · · v i 00 £ AOB Khi a, b = AOB £ 1800 # L uý ( ) r r r r ● a, b = 900 Û a ^ b r r r r ● a, b = 1800 Û a, b ng ( ) ( ) ch r r r r ● a, b = 00 Û a, b h r r r r ● a, b = b, a ( ) ( ) ( ) ng d Tích vơ h ng ng c a hai véct rr r2 r2 rr r r r r Đ nh nghĩa: a.b = a b cos a, b Đặc bi t: a.a = a = a r r r Tính ch t: v i a, b, c b t kǶ " k Ỵ ¡ , ta có: rr rr r r r rr rr ● a.b = b.a ● a b + c = a.b + a.c ( ) ( r r rr r r ● ka b = k a.b = a kb r2 r2 r r ● a ³ 0; a = Û a = ( ) ( ) ( ) r r r rr r ● (a + b ) = a + 2a.b + b r r r r r r ● a - b = (a - b )(a + b ) rr r r ● a.b < Û (a, b ) góc tù 2 ) r r ● a- b ( ● ● r2 rr r2 ) = a - 2a.b + b rr r r a.b > Û (a, b ) góc nh n rr r r a.b = Û (a, b ) góc vng e Biểu th c t a đ c a tích vơ h ng rr r r r r r r Cho a = (a 1;a ), b = (b 1; b ) Khi đó: a.b = a 1b + a b = a b cos a, b ( ) (Hoành nhân hoành + Tung nhân tung = h ng s ) rr r r a 1b + a b a.b ● cos a, b = r r = a 12 + a 22 b 12 + b 22 a.b ( ) r r r r rr ● a ^ b Û cos a, b = Û a.b = Û a 1b + a b = ( ) r r ● Để ch ng minh a b không ph ng, ta ch ng minh (Dùng để ch ng minh ba đ nh c a m t tam giác) ● V i A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) Þ AB = ● Khi tính tích vơ h Page - 200 - (x B a1 b1 ¹ a2 b2 hay a 1b ¹ a b - x A ) + (y B - y A ) ng véct , ta nên để ý đ n chi u nh m xác đ nh góc " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đoàn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I D ng Tính tích vơ h ng – Tính góc – Ch ng minh & thi t l p vng góc c Tính tích vơ h ng Ta lựa ch n m t h H ng sau r r ng Sử d ng đ nh nghĩa b ng cách đ a hai véct a b v g c để xác đ nh r r rr r r xác góc a = a, b , từ đó: a.b = a b cos a ( ) H H ng Sử d ng tính ch t h ng đ ng th c c a tích vơ h ng c a hai véct r r rr ng N u đ cho d ng t a đ a = (a 1; a ), b = (b 1; b ) Þ a.b = a 1b + a b rr r r a.b d Tính góc: cos a, b = r r = a.b ( ) a 1b + a b a 12 + a 22 b 12 + b 22 e Ch ng minh vng góc Ta lựa ch n m t h H ng sau ng N u đ không cho t a đ , ta sử d ng tính ch t c a tích vơ h ng Đặc bi t: ér êa = r r rr r r r r êr a ^ b Û a ^ b Û a.b = Û a b cos a, b = Û êêb = r r ê êcos a, b = êë r r ng N u đ cho d ng t a đ a = (a 1; a ), b = (b 1; b ) r r rr a ^ b Û a.b = Û a 1b + a b = ( ) H ( ) Bài Cho ẤABC vuông t i A có AB = a, BC = 2a Tính tích vơ h ng uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ AB.AC b/ AC.CB c/ AB.BC Bài Cho ẤABC đ u c nh b ng a Tính tích vơ h uuur uuur uuur uuur a/ AB.AC b/ AC.CB Bài Bài Bài ng uuur uuur c/ AB.BC Cho ẤABC vuông cân có AB = AC = a có AH đ ờng cao Tính tích vơ h ng sau uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ AB.AC b/ AH.BC c/ AC.CB AB.BC uuur uuur uuur uuur Cho ẤABC vuông t i A, có AB.CB = AC.BC = a/ Tính c nh c a ẤABC uur uur uur r uur uur r b/ G i I, J điểm th a đ ng th c véct IA + 2IB = 0, 2J B - J C = Tính IJ theo uuur uuur hai véct BA, BC Cho ẤABC vuông t i A có AB = 3, AC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Tính tích vơ h ng: AB.BC, BC.CA, CA.AB b/ N u BC = (cm ), CA = (cm ), AB = (cm ) " C n cù bù thông minh…………" Page - 201 - Ths Lê Văn Đoàn Ph n Hình h c uuur uuur ( ) Ch ng Tích vơ h ng & ng d ng µ Tính BC, BA B uuur uuur ( ) Trên c nh AB l y điểm D cho AD = cm Hãy tính AD, AC ( ) Bài Bài uuur uuur a2 Cho ẤABC vng t i A có BC = a 3, M trung điểm c a BC Bi t r ng AM.BC = Hãy tính AB, AC Cho ẤABC đ u c nh a AM trung n c uuur uuur uuur a/ AC 2AB - 3AC uuur uuur c/ AM.AB uuur uuur uuur uuur e/ CA + BC CA + CB ( ) ( Bài Bài Bài Bài )( ) a tam giác Tính tích vơ h ng sau uuur uuur uuur b/ AC AC - AB uuur uuur uuur uuur d/ AB - AC AB + AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur f/ m = AB.BC + BC.CA + CA.AB ( ) ( )( ) Cho ẤABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính tích vô h ng sau theo a, b, c uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ BA.BC b/ CB.CA c/ AC.AB uuur uuur µ= 600 Tính AB.AC Suy đ dài c nh BC đ dài Cho ẤABC có AB = 3a, AC = a, A đ ờng trung n AM Cho ẤABC có µ= 600 Hãy tính đ dài c nh BC a/ AB = 2, AC = 3, A µ= 450 Hãy tính đ dài c nh AC b/ AB = 3, BC = 4, B µ= 1200 Hãy tính đ dài c nh AB c/ CA = 5, BC = 6, C Cho ẤABC có BC = a, CA = b, AB = c Ch ng minh r ng: (1) : a (2) : b (3) : c = b + c2 - 2bc cos A = a + c2 - 2ac cos B 2 (Đ nh lý hàm cos) = a + b - 2ab cos C Bài Cho ẤABC có AB = 5, BC = 7, CA = a/ Tính cosA, cosB, cosC uuur uuur uuur uuur uuur uuur b/ Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB c/ Tính đ dài ba đ ờng trung n AM, BN, CP c a tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = uuur uuur a/ Tính AB.AC , suy giá tr c a góc A uuur uuur b/ Tính CA.CB uuur uuur c/ G i D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài Cho hình vng ABCD c nh a Tính giá tr biểu th c sau uuur uuur uuur uuur uuur a/ AB.AC b/ AC AB + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur c/ AB.BD d/ AB + AD BD + BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur f/ AB + AC BC + BD + BA e/ AC - AB 2AD - AB ( ( Page - 202 - )( ) ( ( ) )( )( ) ) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đoàn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I uuur uuur uuur uuur uuur uuur g/ AB + AC + AD DA + DB + DC ( )( uuur uuur h/ OA.AB ) Bài Cho ẤABC có AB = c, AC = b, AB = a G i G tr ng tâm D, E, F l n l đ ờng phân giác c a góc A, B, C Tính uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Tích vơ h ng c a véct : AG.BC, BG.AC, CG.AB b/ Đ dài c nh AG, BG, CG uuur uuur uuur uuur uuur uuur c/ Tính giá tr c a S = GB.GC + GC.GA + GA.GB Bài Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Tính AB.AC, BC.BA, CA.CB , suy cosA, cosB, cosC uuur uuur b/ G i G tr ng tâm c a ∆ABC Tính AG.BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur c/ Tính giá tr biểu th c S = GA.GB + GB.GC + GC.GA uuur uuur uuur · d/ G i AD phân giác c a góc BAC, theo Tính AD AB, AC , suy AD D Ỵ BC ( ) uuur uuur uuur uuur 29 c/ S = b/ AG.BC = HD: a/ AB.AC = - , cos A = uuur uuur uuur uuur AB uuur 54 DC ⇒ AD = AB + AC , AD = d/ Đ ờng phân giác DB = AC 5 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 G i M trung điểm c a BC a/ Tính BC, AM Bài b/ Tính IJ, I, J đ uur uur r uur uur c xác đ nh bởi: 2IA + IB = 0, J B = 2J C 133 b/ IJ = Cho hình thang vng ABCD, đ ờng cao AB = 2a, đáy l n BC = 3a, đáy nh AD = 2a uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Tính tích vơ h ng: AB.CD, BD.BC, AC.BD uur uuur uur uuur b/ G i I trung điểm c a CD, tính AI.BD Suy góc c a hai véct AI BD HD: a/ BC = Bài t chân 19, AM = Bài Cho hình thang vng ABCD có đ ờng cao AB = a , canh đáy AD = a, BC = 2a uuur uuur a/ Tính AC.BD Suy góc nh n t o hai đ ờng AC BD uuur uuur b/ G i G tr ng tâm c a ẤBCD tính AG.AB Bài Cho hình chữ nh t ABCD có tâm I, c nh AB = a, AD = b Tính theo a, b tích vơ h ng uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ AB.AC, BD.AC, AC - AB AC + AD uuur uuur uuur uuur b/ MA.MC + MB.MD v i M điểm thu c đ ờng trịn ngo i ti p hình chữ nh t ABCD Bài Cho tam giác ABC có A (1;2), B (- 2; 6), C (9; 8) uuur uuur a/ Tính AB.AC Ch ng minh tam giác ABC vuông t i A ( )( ) b/ Tìm tâm bán kính đ ờng trịn ngo i ti p tam giác ABC c/ Tìm to đ trực tâm H tr ng tâm G c a tam giác ABC d/ Tính chu vi, di n tích tam giác ABC e/ Tìm to đ điểm M Oy để B, M, A th ng hàng f/ Tìm to đ điểm N Ox để tam giác ANC cân t i N " C n cù bù thông minh…………" Page - 203 - Ths Lê Văn Đoàn Ph n Hình h c Ch ng Tích vơ h ng & ng d ng g/ Tìm to đ điểm D để ABDC hình chữ nh t h/ Tìm to đ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO uuur uuur uuur r i/ Tìm to đ điểm T tho T A + 2T B - 3T C = k/ Tìm to đ điểm E đ i x ng v i A qua B l/ Tìm to đ điểm I chân đ ờng phân giác t i đ nh C c a ∆ABC Bài Bài Bài Cho tam giác ABC có A (0;2), B (6;9), C (4;1) Câu h i t ng tự nh 302 Xác đ nh hình d ng c a tam giác ABC bi t a/ A (1; 0), B (5; 0), C (3; 4) b/ A (1;2), B (- 2;6), C (9; 8) ( ) c/ A (- 1; 0), B (3; 0), C 1;2 d/ A (5;7 ), B (8; - 5), C (0; - ) Xác đ nh hình d ng c a t giác bi t a/ A (2;6), B (3; 3), C (- 3;1), D (- 4; 4) b/ A (- 2; - 2), B (- 1; 3), C (3;2), D (2; - 2) c/ A (- 2; - 6), B (4; - 4), C (2; - 2), D (- 1; - 3) d/ A (2;1), B (3;6), C (- 2; 5), D (- 3; 0) Bài r r r Trong mặt ph ng t a đ Oxy, cho a = (1; 3), b = (6; - 2), c = (x;1) r r r r a/ Ch ng minh a ^ b b/ Tìm x để a ^ c r r r r r r r c/ Tìm x để a ph ng v i c d/ Tìm t a đ véct d để a ^ d b.d = 20 r Trong mặt ph ng Oxy, cho A (1; 4), B (- 3;2) véct v = (2m + 1; - 4m ) r uuur r uuur a/ Tìm m để v ph ng v i AB b/ Tìm m để v ^ AB Bài Trong mặt ph ng Oxy cho b n điểm: A (2; 3), B (9; 4), C (5; y ), D (x; - 2) Bài Trong mặt ph ng Oxy cho hai điểm A (- 3; 3), B (4; 4) Bài Bài a/ Tìm y để ẤABC vng t i C b/ Tìm x để điểm A, B, D th ng hàng · a/ Tìm M Ỵ Oy để AMB = 900 b/ r r Tính góc hai véct a b tr ờng h r r a/ a = (4; 3), b = (1;7 ) b/ r r c/ a = (6; - 8), b = (12; 9) d/ Bài Cho ẤABC v i A (1;6), B (2;6), C (1;1) Bài Cho tam giác ABC có A (1; –1), B (5; –3), C (2; 0) Bài Cho ẤABC cso A (4; 3), B (0; - 5), C (- 6; - 2) a/ Tìm t a đ trực tâm H Tìm N Ỵ Ox để A, B, N th ng hàng p sau r r a = (2; 5), b = (3; - ) r r a = (2; - 6), b = (- 3;9) b/ Vẽ AK ^ BC Xác đ nh t a đ điểm K a/ Tính chu vi nh n d ng tam giác ABC uuur uuur uuur b/ Tìm to đ điểm M bi t CM = 2AB - 3AC c/ Tìm tâm bán kính đ ờng trịn ngo i ti p tam giác ABC a/ Ch ng minh ẤABC vuông t i B b/ Tìm tâm c a đ ờng trịn ngo i ti p tam giác ABC c/ Tìm tâm c a đ ờng tròn n i ti p tam giác ABC Page - 204 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I Bài Cho ẤABC bi t A (1;2), B (- 3; - 4) Bài Cho ba điểm A (7; 4), B (0; 3), C (4; 0) Tìm t a đ hình chi u vng góc H c a A lên BC Từ Bài Cho ẤABC, bi t A (1;2), B (- 1;1), C (5; - 1) uuur uuur a/ Tính AB.AC c/ Tìm t a đ chân đ ờng cao A1 c a ẤABC e/ Tìm t a đ tr ng tâm G c a ẤABC g/ Ch ng minh r ng I, H, G th ng hàng Bài Cho A (0;2), B (6;9), C (4;1), D (2;10) Bài Cho ẤABC có AB = a, AC = 2a G i D trung điểm c nh AC, M điểm th a uuur uuur BM = BC Ch ng minh BD vng góc v i AM Bài Cho ẤABC có góc A nh n Vẽ bên ngồi ẤABC tam giác vng cân đ nh A ẤABD, ẤACE G i M trung điểm c a BC Ch ng minh r ng: AM ^ DE N u góc A tù vng k t qu cịn khơng ? T i ? Bài Cho ẤABC cân t i A, H trung điểm c a BC D hình chi u c a H lên AC, M trung điểm c a HD Ch ng minh AM ^ BD Bài Cho tam giác ABC v i ba trung n AD, BE, CF uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ch ng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = Bài a/ Tìm t a đ hình chi u c a A lên BC Ths Lê Văn Đồn b/ Tìm di n tích tam giác ABC suy t a đ điểm A1 điểm đ i x ng v i A qua BC b/ Tính cos sin góc A d/ Tìm t a đ trực tâm H c a ẤABC f/ Tìm t a đ tâm I đ ờng tròn ngo i ti p Ấ a/ Ch ng minh: ẤABC vuông b/ Ch ng minh: ABCD hình chữ nh t uuur uuur c/ G i C' th a CC ' = AB Tìm C', suy D đ i x ng v i C' qua B Cho b n điểm A, B, C, D b t kì uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Ch ng minh: DA.BC + DB.CA + DC.AB = b/ Từ suy m t cách ch ng minh đ nh lí: "Ba đ ờng cao tam giác đồng qui" Bài uuur uuur uuur uuur Cho ẤABC đ u, BC, CA, AB l y điểm D, E, F th a 3DB = BC, 3CE = 2CA uuur uuur 15AF = 4AB Ch ng minh: AD ^ EF Bài Cho hình vng OACB m t điểm M thu c OC Kẻ đ ờng PP' qua M vng góc v i OA, đ ờng QQ' qua M vng góc v i OB a/ Ch ng minh: AM = P Q b/ Ch ng minh: AM ^ P Q Bài Cho ba điểm A, B, M G i O trung điểm c a AB Ch ng minh r ng: 4OM = AB Û MA ^ MB Bài Bài Bài Cho ẤABC có AB = c, BC = a, AC = b Ch ng minh u ki n c n đ để hai trung n BM CN vng góc b + c2 = 5a uuur uuur Ch ng minh r ng u ki n c n đ để tam giác ABC vuông t i A BA.BC = AB uuur uuur uuur uuur Cho ẤABC n i ti p đ ờng tròn tâm (O ) G i H điểm xác đ nh OH = OA + OB + OC uuur uuur a/ Tính AG.BC Suy H trực tâm c a tam giác ABC b/ Tìm h th c đ dài ba c nh tam giác ABC a, b, c cho AH ^ AM v i M trung điểm c a BC " C n cù bù thông minh…………" Page - 205 - Ths Lê Văn Đồn Ph n Hình h c Ch ng Tích vơ h Bài Cho hình vng ABCD a/ G i M, N l n l t trung điểm c a BC, CD Ch ng minh AM ^ BN 1 b/ G i P, Q t ng ng BC, CD cho BP = BC, CQ = CD 4 Ch ng minh AP ^ BQ Bài Cho hình chữ nh t ABCD có ng & ng d ng a/ AB = a, AD = a G i K trung điểm c a AD Ch ng minh: BK ^ AC b/ AB = a, AD = b G i K trung điểm c a AD L tia DC cho DL = b2 2a Ch ng minh: BK ^ AL Bài Bài Cho t giác ABCD có AC ^ BD t i M G i P trung điểm c a AD Ch ng minh r ng: uuur uuur uuur uuur MP ^ BC Û MA.MC = MB.MD AC G i N trung điểm c a Cho hình vng ABCD, điểm M n m AC cho AM = DC Ch ng minh tam giác BMN tam giác vuông cân Bài Cho hình thang vng ABCD có đ ờng cao AB = h , c nh đáy AD = a, BC = b Tìm u ki n a, b, h để: · = 900 v i I trung điểm c a CD a/ AC ^ BD b/ AIB Bài Cho hình thang vng ABCD, đ ờng cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a uuur uuur a/ Tính AC.BD Suy góc AC BD b/ G i I trung điểm c a CD, J điểm di đ ng c nh BC Dùng tích vơ h cho AJ BI vng góc Bài Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b , đ ờng cao AB = h Tìm h th c liên h a, b, h để a/ BD ^ CI v i I trung điểm c a AB b/ AC ^ DI c/ BM ^ CN v i M, N l n l t theo th tự trung điểm c a AC BD ĐS: a/ h = 2ab b/ h = 2ab c/ h = 2b - ab Bài Cho t giác ABCD ng để tính BJ uuur uuur a/ Ch ng minh: AB - BC + CD2 - DA = 2AC.DB b/ Suy u ki n c n đ để t giác có hai đ ờng chéo vng góc là: AB2 + CD2 = BC + DA Bài Cho ẤABC vuông t i A, g i M trung điểm c a BC L y điểm B1, C1 AB AC cho AB.AB1 = AC.AC Ch ng minh: AM ^ B1C Bài Cho ẤABC cân đ nh A, O tâm đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC, M trung điểm c a AB, E tr ng tâm c a ẤACM Ch ng minh: OE ^ CM Bài Cho đ ờng tròn tâm O m t điểm P thu c mi n c a đ ờng tròn Qua P, kẻ hai dây AB, CD vng góc G i M trung điểm c a dây BD Ch ng minh: P M ^ AC Bài Cho ẤABC cân đ nh A, O tâm đ ng tròn ngo i ti p, g i BB1 CC1 đ ờng cao c a tam giác ABC Ch ng minh: OA ^ B1C1 Page - 206 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c Ths Lê Văn Đoàn ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I D ng Ch ng minh đ ng th c tìm quỹ tích điểm th a biểu th c v tích vơ h ng hay đ dài Sử d ng tích vơ h ng gi i tốn cực tr c Ch ng minh đ ng th c tích vơ h ng hay đ dài V i biểu th c v tích vơ h ng, ta sử d ng đ nh nghĩa tích ch t c a tích vơ h ng C n đặc bi t l u ý phép phân tích véct để bi n đổi (quy tắc ba điểm + , - , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, …) uuur uuur uuur V i công th c v đ dài, ta th ờng sử d ng: AB = AB = AB.AB C n nắm vững hình tính c a hình c b n d Xác đ nh điểm, quỹ tích điểm th a mãn đ ng th c v tích vơ h ng hay đ dài ur Bài tốn: Tìm điểm M th a mãn đ ng th c f WW v tích vơ h ng hay đ dài , ( ) Þ Ta bi n đổi biểu th c ban đ u v m t d ng sau: D ng AM = k > , điểm M thu c đ ờng trịn tâm A, bán kinh R = uuur uuur D ng MA.MB = k v i A, B c đ nh k khơng đổi Khi đó: k G i I trung điểm c a AB, ta đ c: uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur k = MA.MB = MI + IA MI + IB = MI + IA MI - IA = MI - IA ( )( ) ( )( ) AB AB đặt 2 IM = k + IA = k + = IM = k + IA = k + = l 4 Khi đó: 2 ● N u l < M khơng tồn t i ● N u l = M º I : trung điểm c a AB ● N u l > M thu c đ ờng trịn tâm I bán kính R = uuur uuur D ng MA.MB = k v i A, B c đ nh Khi đó: l G i M o , A o theo th tự hình chi u vng góc c a M, A len BC, ta đ c: uuur uuur k k = MA.MB = M o A o BC Û M o A o = , có giá tr khơng đổi Ao c BC đ nh nên Mo c đ nh V y điểm M thu c đ ờng vng góc v i BC t i Mo Đặc bi t, k = M thu c đ ờng th ng qua A vng góc v i BC e Sử d ng tích vơ h Ph ng gi i toán cực tr ng pháp: Sử d ng tích vơ h ng bi n đổi biểu th c c n tìm cực tr v biểu th c đ dài, ch ng h n nh : S = MI + c v i c h ng s I c đ nh Smin = c đ t đ c MI = Û M º I # L u ý: C n nắm vững cách tìm cực tr ph n đ i s (BĐT Cauchy, BCS,…) " C n cù bù thơng minh…………" Page - 207 - Ths Lê Văn Đồn Ph n Hình h c Ch Ch ng minh đ ng th c tích vơ h Bài Bài Bài Bài Bài ng Tích vơ h ng & ng d ng ng hay v đ dài Cho hai điểm A B G i O trung điểm c a AB M m t điểm tùy ý Ch ng minh r ng: uuur uuur MA.MB = OM2 - OA uuur uuur Cho ẤABC, g i M trung điểm c a BC Ch ng minh: AB.AC = MA - MB uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cho ẤABC đ u, c nh a, có đ ờng cao AH tr ng tâm G Tính GB.GC, AB.GC, GC.BH uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cho ẤABC m t điểm M tùy ý Ch ng minh: AB.CM + BC.AM + CA.BM = Ch ng minh r ng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ MA.BC + MB.CA + MC.AB = v i m i điểm M, A, B, C (g i h th c Euler) uuur uuur AB + AC - BC v i m i điểm A, B, C b/ AB.AC = uuur uuur c/ MN.P Q = MQ + NP - MP - NQ v i m i điểm M, N, P, Q ( ) ( ) Bài Cho ẤABC v i ba đ ờng trung n AD, BE, CF uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ch ng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = Bài Cho I trung điểm c a đo n AB, M m t điểm tùy ý G i H hình chi u c a M lên đ ờng th ng AB Ch ng minh r ng: uur uuur a/ MI.AB = MB - MA ( c/ MA + MB = 2MI + ) AB uuur uuur b/ MA.MB = MI - AB d/ MA - MB = 2IH.AB Bài Cho hình chữ nh t ABCD điểm M tùy ý Ch ng minh: uuur uuur uuur uuur a/ MA.MC = MB.MD b/ MA + MC = MB + MD2 Bài Cho hai điểm M, N n m đ ờng tròn đ ờng kính AB = 2R G i I giao điểm c a hai Bài uuur uuur Cho ẤABC có trực tâm H, M trung điểm c a BC Ch ng minh: MH.MA = BC Bài đ ờng th ng AM BN uuur uur uuur uur a/ Ch ng minh: AM.AI = AB.AI, uuur uur uuur uur b/ Tính AM.AI + BN.BI theo R uuur uur uuur uur BN.BI = BA.BI Cho hình chữ nh t ABCD, M m t điểm b t kì Ch ng minh: uuur uuur uuur uuur b/ MA.MC = MB.MD a/ MA2 + MC = MB2 + MD2 uuur uuur uuur uuur c/ MA + MB.MD = 2MA.MO (O tâm c a hình chữ nh t) Page - 208 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c ng h c t p môn Toán 10 – H c kǶ I Ths Lê Văn Đồn Bài Cho ẤABC có AA ', BB ', CC ' trung n, G tr ng tâm, M điểm tùy ý Ch ng minh r ng: uuuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ AA '.BC + BB '.CA + CC '.AB = uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur b/ MA '.BC + MB '.CA + MC '.AB = uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA + MB + MC AB + BC + CA c/ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB + BC + CA d/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA '2 + MB '2 + MC '2 e/ MA + MB + MC = MA '2 + MB '2 + MC '2 + Bài ( ) ( ) AB2 + BC + CA ( ) Cho ẤABC có G tr ng tâm M điểm tùy ý Ch ng minh r ng: a/ GA + GB + GC = AB + BC + CA ( b/ MA + MB2 + MC = 3MG + ) AB + BC + CA ( ) c/ MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC (đ ng th c Leibnizt) Bài Cho ẤABC, M trung điểm c a BC, I trung điểm c a AM Bài Cho ẤABC, H trực tâm, M trung điểm c a BC, I trung điểm AM Ch ng minh r ng: uuur uuur 1 b/ MH + MA = AH + BC a/ MH.MA = BC Bài Cho ẤABC đ u n i ti p đ ờng trịn tam O bán kính R, M Î (O ) Ch ng minh r ng: Ch ng minh r ng: 2MA + MB + MC = 4MI + 2IA + IB + IC a/ MA + MB + MC = 6R uuur uuur b/ MA + 2MB.MC = 3R c/ MA = MB + MC (M thu c cung nh BC) Bài Cho đ ờng th ng AB cắt đ ờng th ng d M m t điểm C d (C khác M) Ch ng minh Bài uuur uuur Cho t giác ABCD Ch ng minh: AB2 + CD2 = BC + AD2 + 2AC.BD Từ suy u Bài Cho ẤABC hai điểm M, M ' b t kǶ G i I I', Hvà H', K K' theo th tự hình chi u c a uuur uur uuur uuuur uuur uuuur M M' lên BC, CA, AB Ch ng minh: BC.II ' + CA.HH ' + AB.KK ' = Bài Cho hình thoi ABCD có c nh a góc A = 600 Ch ng minh r ng v i m i điểm M, ta có r ng d ti p n c a đ ờng tròn (ABC ) ch MC = MA.MB ki n c n đ để t giác có hai đ ờng chéo vng góc MA - MB + MC - MD = a " C n cù bù thông minh…………" Page - 209 - Ths Lê Văn Đồn Ph n Hình h c Ch ng Tích vơ h ng & ng d ng Bài Cho ẤABC n i ti p đ ờng tròn (O, R ), H trực tâm c a ẤABC Ch ng minh r ng: Bài Cho MM1 đ ờng kính b t kǶ c a đ ờng trịn tâm O, bán kính R A m t điểm c đ nh, ( ) OH = 9R - a + b + c2 v i a, b, c đ dài t ng ng c a ẤABC đặt OA = d Gi sử AM cắt (O ) t i N a/ Ch ng minh r ng tích vơ h b/ Ch ng minh r ng tích vơ h uuur uuuur ng AM.AM1 có giá tr khơng ph thu c vào điểm M uuur uuur ng AM.AN có giá tr khơng ph thu c vào v trí điểm M Bài Cho nửa đ ờng trịn đ ờng kính AB, có AC, BD hai dây cung thu c nửa đ ờng tròn, cắt uuur uuur uuur uuur t i E Ch ng minh: AE.AC + BE.BD = AB2 Bài Cho ẤABC đ u c nh b ng a G i M điểm tùy ý đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC Ch ng minh r ng: MA + MB + MC = 2a T p h p điểm cực tr Bài Cho ẤABC có AB = Tìm t p h p điểm M th a u ki n uuur uuur uuur uuur MA.MB = AM.AB = a/ b/ Bài Cho AB = a có trung điểm I Tìm t p h p điểm M th a u ki n b/ 2MA - MB = k (k cho tr c) uuur uuur d/ MA.MB = k uuur uuur e/ 2MA - MA.MB = k (k cho tr c) a/ 2MA + MB = a c/ MA - 3MB = a uuur uuur d/ MA + MA.MB = Bài Cho hình vng ABCD c nh a Tìm t p h p điểm M cho uuur uuur uuur uuur a/ MA.MC + MB.MD = a b/ MA - MB + MC = a uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur c/ MA + 2MB + MC MA - MC = 2a d/ MA.MB + MC.MD = k (k cho tr ( )( ) uuur uuur uuur uuur e/ MA.MB + MC.MD = 5a uuur uuur uuur uuur uuur g/ MA + MB + MC MC - MB = 3a ( Bài )( c) f/ MA + MB2 + MC = 3MD2 ) Cho ẤABC Tìm t p h p điểm M th a u ki n a/ MA - MB + CA - CB = uuur uuur c/ 2MB + MB.MC = BC uuur uuur uuur uuur e/ MA + MB MC - MB = b/ 3MA - 2MB - MC = uuur uuur d/ AM.BC = k (k cho tr c) uuur uuur uuur uuur f/ MA.MB - MA.MC = MC2 - MB2 + BC2 uuur uuur uuur uuur g/ MA.MB = AB.MC uuur uuur h/ MA = MB.MC uuur uuur uuur uuur k/ 2MA = MA.MB + MA.MC ( )( ) i/ MA + MB + MC = AB + AC Page - 210 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Đ c ng h c t p mơn Tốn 10 – H c kǶ I uuur uuur uuur uuur l/ MA - MB 2MB - MC = ( )( ) Ths Lê Văn Đoàn uuur uuur uuur uuur m/ 2MA + MA.MB = MA.MC t trung điểm c a AB CD Tìm t p h p điểm M cho: Bài Cho t giác ABCD, I, J l n l Bài Cho ẤABC đ u c nh a Tìm t p điểm M th a u ki n uuur uuur uuur uuur b/ MA.MC = MC.MB a/ MA + MB + MC = 2a uuur uuur uuur uuur MA.MB + MC.MD = IJ uuur uuur uuur uuur c/ MA + MA.MB + MA.MC = uuur uuur a2 d/ MB.MC = MA + uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5a e/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = f/ MA - 3MB + 2MC = g/ 2MA + MB - MC = a uuur uuur uuur uuur uuur uuur a2 h/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = Bài Cho hình bình hành ABCD Bi n lu n theo k t p h p điểm th a mãn: Bài Cho ẤABC có G tr ng tâm M điểm tùy ý uuur uuur uuur uuur uuur uuur a/ Ch ng minh r ng: MA.MB + MB.CA + MC.AB = MA + MB + MC + MD2 = k b/ Ch ng minh r ng: MA + MB + MC = GA + GB + GC + 3MG Từ suy v trí c a điểm M để MA + MB + MC đ t giá tr nh nh t ĐS: M º G Bài Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M điểm b t kǶ ( ) a/ Ch ng minh r ng: MA - MB + MC = MD2 - OB - OA b/ Gi sử M di đ ng đ ờng tròn (D ), tìm v trí c a M để MA - MB + MC đ t giá tr nh nh t ĐS: M hình chi u vng góc c a D lên (D ) Bài Cho ẤABC đ u, c nh b ng (cm ) L y M m t điểm thu c đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC Đặt S = MA - MB - MC Tìm v trí c a điểm M để S đ t giá tr nh nh t, l n nh t ? ĐS: Smin = - a , Smax = Bài 2a Cho ẤABC, G tr ng tâm M điểm tùy ý r uuur uuur uuur a/ Ch ng minh r ng véct v = MA + MB - 2MC không ph thu c vào v trí M b/ G i O tâm đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC Ch ng minh r ng: uuur r MA + MB - 2MC = 2MO.v " C n cù bù thông minh…………" Page - 211 - Ths Lê Văn Đồn Ph n Hình h c Ch ng Tích vơ h ng & ng d ng c/ Gi sử M di đ ng đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC Tìm v trí c a điểm M để MA + MB - 2MC đ t giá tr nh nh t, l n nh t Bài Cho ẤABC nh n Tìm điểm M cho MA + MB + MC đ t giá tr nh nh t Bài Cho ẤABC nh n Tìm đ ờng th ng BC, CA, AB điểm X, Y, Z cho chu vi Bài Bài µ= 1200 Tìm điểm M cho MA + MB + MC đ t giá tr nh nh t Cho ẤABC có A ẤXYZ đ t giá tr nh nh t Cho ẤABC có M điểm tùy ý Tìm v trí M tr ờng h p sau a/ MA + MB - MC đ t giá tr nh nh t b/ M thu c đ ờng tròn ngo i ti p ẤABC MA + 3MB - MC đ t giá tr l n nh t Bài Cho hình vng ABCD c nh a, tâm O a/ Ch ng minh r ng: MA + MB + MC + MD = a Û M n m đ ờng tròn ngo i ti p hình vng ABCD uuur uuur uuur uuur uuur b/ Ch ng minh r ng: MA + MB + MC - 3MD2 = 2MO MA + MB + MC - 3MD ( ) c/ Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a MA + MB + MC - 3MD2 M di đ ng đ ờng trịn ngo i ti p hình vng ABCD Page - 212 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"