CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 TỪ 0 ĐẾN 1800 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đị h ghĩa Trong mặt phẳng tọầ độ góc 180 ,àtầ y Oxy Với àđị hàđiểm M M(x;y) Q t àđường nửaàđườ gàt àđơ àvị tâm O cho Giả sử điểm M có tọầđộ x ; y Khiàđ : O P x Hình 2.1 sin y; cos y ( x x; tan số sin , cos , tan , cot x ( y 900 ); cot 0, gọi giá trị lượng giác góc 1800 ) Các Chú ý: Từ đị hà ghĩaàtaà :    Gọi P, Q lầ àlượt hình chiếu M lên trụ àO ,àO àkhiàđ M OP ;OQ Với 00 1800 ta có Dấu giá trị lượng giác: Góc sin 1; cos 900 00 + + + + sin cos tan cot 1800 + - Tính chất  Góc phụ ) cos cos(900 ) sin ) cot cot(900 ) tan sin(90 tan(90 Giá trị lượng giác g Góc 00 đặc biệt 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin cos tan 2 3 2 2 3 3 3  cot Các hệ thứ lượ g giá sin ( cos cos 2) cot ( sin 3) tan cot 1( tan2 6) cot2 2 –1 3 3 3  900 ) ; 00 ; 1800 ) 00 ; 900 ; 180 ) cos2 5) 0 ản 1) tan 4) sin2  2 1 cos2 sin2 ( 900 ) ( 00 ; 1800 ) Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) 3) dễ dàng suy từ đị hà ghĩa - Ta có sin OQ, cos Suy sin2 cos2 OP 2 OQ OP + Nếu 00 , 900 + Nếu 00 , 900 sin2 cos2 Vậy ta có sin2 OQ cos2 Mặt khác tan2 Tươ gàtự cot2 OQ OP 1800 dễ dàng thấy sin2 1800 khiàđ àtheoàđịnh lý Pitago ta có OP OQ QM OM 1 sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos sin2 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI cos2 sin2 cos2 sin2  DẠNG : X càđịnh giá trị lượng giác củaàg càđặc biệt Phươ g pháp giải  cos2 Sử dụng đị hà ghĩaàgi àt ị lượng giác góc su ầđược 5) su ầđược 6)  Sử dụng tính chất bảng giá trị lượngàgi àđặc biệt  Sử dụng hệ thứ àlượ gàgi ơà ản Các ví dụ Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) A a sin 900 b) B c) C sin2 450 b cos 900 sin2 900 c cos1800 cos2 600 sin2 500 tan2 450 cos2 450 sin2 400 tan 550 tan 350 sin2 400 tan 550.cot 550 Lời giải a a) A b c) C sin2 450 C 2 2 2 b) B c2 3 cos2 450 a2 c2 2 sin2 500 2 sin2 500 cos2 400 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) A sin2 30 sin2 150 b) B cos 00 cos 200 c) C tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 sin2 750 cos 400 sin2 87 cos1600 cos1800 Lời giải sin2 30 sin2 87 sin2 30 cos2 30 a) A 1 cos 00 b) B cos 00 sin2 150 sin2 150 sin2 750 cos2 150 cos1800 cos 00 cos 200 cos 200 cos1600 cos 200 cos 800 cos 800 tan 50 tan 850 c) C tan 50 cot 50 tan150 tan 750 tan 450 tan 450 tan150 cot 50 tan 450 cot 50 cos1000 cos 800 Bài tập luyện tập: Bài 2.1: Tính giá trị biểu thức sau: a) A sin 450 b) B 4a sin2 450 c) C sin2 350 d) D tan 300 sin2 730 12 tan2 760 cot1200 3(a tan 450 )2 sin2 20 cos3 10 cos3 20 cos2 350 cos2 730 sin2 890 cos3 30 sin 1350 (2a cos 450 )2 tan 850 cot 950 sin2 10 e) E f) F cos 600 12 sin2 1040 sin2 900 cos3 1790 cos3 1800 Bài 2.2: Tính giá trị biểu thức sau: P tan x x 300 sin x cot 4x 26 tan2 30 tan 5x x cos2 x 30  DẠNG : Chứ gà i hà đẳng thứcà lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, àgiản biểu thức Phươ g pháp giải  Sử dụng hệ thứ àlượ gàgi ơà ản  Sử dụng tính chất giá trị lượng giác  Sử dụng hằ gàđẳng thức đ gà hớ Các ví dụ Ví dụ 1: Chứ gà i hà a) sin x cos4 x b) 1 c) cos x sin x cos3 x cot x cot x àđẳng thức sau(giả sử biểu thứ àsauàđềuà ghĩa) sin2 x cos2 x tan x tan x 1 tan3 x tan2 x tan x Lời giải a) sin x cos4 x sin x sin2 x b) c) 1 cot x cot x cos x sin x cos3 x cos2 x sin2 x cos2 x 2 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x t anx tan x tan x t anx tan x tan x cos2 x tan x cos4 x sin x cos3 x tan2 x tan x tan x tan2 x tan x 1 tan x tan2 x Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh sin cos B A B A C sin cos3 C Lời giải Vì A B C 1800 nên cos A sin B C tan B sin VT B cos3 1800 B cos B B sin B B cos sin cos3 B cos 1800 1800 B sin cos B tan B sin B B tan B sin B sin2 B cos2 B 2 VP ìu ầđiều phải chứng minh Ví dụ 3: Đơ àgiản biểu thức sau(giả sử biểu thứ àsauàđềuà ghĩa a) A sin(900 b) B sin x cos(1800 x) cos x sin2 x (1 x) cos x tan2 x ) tan2 x Lời giải a) A cos x b) B 1 sin x cos x sin2 x cos x cos x sin x cos2 x sin2 x cos2 x 1 tan2 x cos x cos x 2 sin x sin2 x 2 cot2 x Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x P sin x cos2 x cos4 x cos4 x sin2 x sin x Lời giải P cos2 x cos4 x cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x 1 2 sin2 x Vậy P không phụ thuộc vào x cos4 x sin x sin2 x 1 sin2 x sin2 x sin2 x sin4 x Bài tập luyên tập Bài 2.3 Chứ gà i hà àđẳng thức sau(giả sử biểu thứ àsauàđềuà ghĩa a) tan2 x sin2 x tan2 x sin2 x b) sin x cos6 x c) tan3 x sin2 x cot3 x cos2 x sin x cos x d) sin2 x e) sin2 x cos2 x tan2 x tan x tan6 x (cos2 x tan a tan2 b tan a tan2 b cot3 x cot2 x ) sin2 a sin2 b sin2 a sin2 b Bài 2.4 Đơ àgiản biểu thức sau(giả sử biểu thứ àsauàđềuà ghĩa a) A cos2 x tan2 1800 b) B cos2 x cot2 x sin2 x tan2 x c) C sin3 a cos3 a cos2 a sin a(sin a cos a ) 1 d) D cos2 1800 x x cos2 x sin a sin a 1 sin a sin a Bài 2.5 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào cot )2 a) (tan b) 2(sin c) cot2 300 (sin8 d) (sin x e) cos x cot )2 (tan cos6 ) 3(sin cos8 ) cos4 ) cos 600 (cos6 1)(tan x sin x cos4 x sin x cos6 x cos4 x cot x sin6 ) 2) Bài 2.6: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn a) A cos2 B cos2 A C (giả sử biểu thứ àsauàđềuà ghĩa tan B A C tan 2 sin6 (900 ) tan2 sin b) B cos B A cos C sin B A cos A C sin B C tan B  DẠNG : X càđịnh giá trị biểu thứcàlượ gàgi càc àđiều kiện Phươ g pháp giải  Dựa vào hệ thứ àlượng gi ơà ản  Dựa vào dấu giá trị lượng giác  Sử dụng hằ gàđẳng thứ àđ gà hớ Các ví dụ với 900 Ví dụ 1: a) Cho sin 1800 Tính cos b) Cho cos Tính sin c) Cho tan 2 tính giá trị lượng giác cịn lại tan cot Lời giải a) Vì 900 cos Dồđ tan b) Vì sin2 cot mặt khác sin2 1800 nên cos sin2 2 sin cos cos2 c) Vì tan cos Ta có tan 2 2 2 cos2 tan2 sin cos suy 1 nên sin cos sin cos2 mặt khác tan2 cos sin 1 cos2 tan cos 2 2 nên 2 cos sin cot 2 với 00 Ví dụ 2: a) Cho cos Tính B b) Cho tan tan tan 900 Tính A sin cot cot sin cos 3 cos sin Lời giải tan tan 17 cos cos3 tan a) Ta có A tan Suy A b) B sin cos3 Suy B 16 tan tan2 sin cos3 cos3 cos 2 2 Ví dụ 3: Biết sin x 2 2 cos x 3 cos2 1 tan2 tan tan2 cos2 x 1 m a) Tìm sin x cos x sin x b) Chứng minh m tan2 tan cos2 tan sin cos 1 cos2 cos4 x Lời giải a) Ta có sin x Mặt khác sin x Đặt A sin x sin2 x A A2 sin x cos x sin2 x sin x cos x m nên m cos x sin cos sin x cos x (*) hay sin cos m2 cos4 x Ta có cos2 x cos x sin2 x sin x cos2 x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x DM DA x AB a Suy DM CN x AB a x AB a AM AD AD x2 AB.AD a2 x AD a AB.AD Vì ABCD hình vng nên AB.AD Doàđ DM CN ax x AD a AB 0 ax Vậy CN vng góc với DM b) Ta có MN AN Suy MN a x a a x a x AD a 2 AB x a MN MP MP AB a AM a x y.AD a MB BP a x a AB yAD a Ví dụ 3: Chồta àgi àđều ABC Lấ x axy BC , AN àđiểm M, N thỏa mãn BM IC Lời giải kAM Ta có CI AI CI k AB AC Mặt khác CN Vì CI , CN kAM AC AC AN AB gàphươ gà k AB 2k BM AC 2k AB AC AB AC yAD l àgiaoàđiểm AM CN Chứng minh BI Giả sử AI AB x a x AD ; MP a AB k AC k k k AB BC AC AC Hay AB Gọi I AI AM AB Suy BI IC AI AC AB AB AB AB AC 10AB 49 Vậy BI AB AB AB AB AB AB AC AC AC AC AC 6AC Vì tam giác ABC nên AB Suy BI IC AC AC AC AI Doàđ BI IC AB BM 32AB.AC AC , AB.AC AB 2 AB.AC cos A IC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân A GọiàMàl àt u gàđiểm AB, G trọng tâm tam giác ACM , I t àđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI vng góc với CM Lời giải (2.12) Đặt AB CM AM y : AB x ; AC AB AC a Ta có : AC x AC y A (1) G M GọiàJàl àt u gàđiểm CM, ta có : AG AJ (AM 3 1 ( AB AC ) I x C B AC ) Hình 2.12 y Mặt khác IA IA IB IC IA IA Từ (1) (2) ta có : IB 2 IA (IA AB ) AI x IC IA2 (IA AC )2 AI y a2 a2 (2) CM GI CM AI x AI a2 x 12 y AI a2 x AG a2 12 a2 x y y x AI x y y y Suy GI vuông góc với CM Bài tập luyện tập: Bài 2.96: Choà4àđiểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức AC BD AD BC Chứng minh AB Bài 2.97 : Cho hình vng ABCD ,àMàl àđiểm nằ àt CD àđoạn thẳng AC cho AM t u gàđiểm củaàđoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Bài 2.98: Cho tam giác ABC vuông cân tạiàđỉnh A Trên cạnh AB, BC, CA ta lấ AM MB BN NC CE EA Chứng minh AN ME cho AC , N àđiểm M, N, E Bài 2.99: Choàta àgi àđều ABC ,àđộ dài cạnh 3a Lấy M, N, P nằm cạnh BC, CA, AB cho BM a, CN 2a, AP x Tính x để AM vng góc với PN Bài 2.100: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK CD Chứng minh BMN 900 Bài 2.101: Cho hình thang vuông ABCD AD AC Gọi M, N lầ àlượtàl àt u gàđiểm AK àđường cao AB a Iàl àt u gàđiểm CD Chứng minh AI 2a ,àđ àlớn BC 3a ,àđ hỏ BD Bài 2.102: Cho tứ giác lồi ABCD ,àhaiàđường chéo AC BD cắt O Gọi H K lầ àlượt trực tâm tam giác ABO CDO Và I, J lầ àlượtàl àt u gàđiểm AD BC Chứng minh HK vng góc với IJ Bài 2.103: Cho tam giác ABC cân A GọiàHàl àt u gàđiểm BC D hình chiếu H lên AC, M l àt u gàđiểm HD Chứng minh AM vng góc với DB Bài 2.104: Cho tam giác ABC kh gà àĐường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạ hàBC,àCá,àáBàtươ gàứng A', B' C' GọiàPàl àgiaoàđiểm BC với B'C' Chứng minh IP vng góc AA' Bài 2.105: Cho tam giác ABC có AB AE 4, AC 600 Lấ àđiể àEàt A àtiầáCàv àđặt kAC àT àkàđể BE vng góc với trung tuyến AF tam giác ABC Bài 2.106: Cho tam giác ABC có BC trịn nội tiếp T a,CA c G trọ gàt b, AB à,àIàl àt àđường àđiều kiện a, b, c để IG vuông góc với IC Bài 2.107 : Tứ giác ABCD àhaiàđường chéo AC BD vng góc với tạiàM,àPàl àt u gàđiểm củaàđoạn thẳng AD Chứng minh : MP BC MA.MC MD.MB aàđường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ àđường Bài 2.108: Cho tam giác ABC thẳng song song với BE, CF lầ àlượt cắtà àđường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vng góc với trung tyến AM ABC III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU THỨC HÌNH HỌC Phươ g pháp giải Sử dụng bấtàđẳng thức  Cho a, b bấtàk àKhiàđ àtaà + a.b a b dấu xảy cos a, b hay a; b a b dấu xảy cos a, b + a.b gàhướng hay a; b gượ àhướng 0 Dấu xảy u  u  Bấtàđẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki ) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G M mộtàđiểm Chứng minh MA2 MB MC MAGA MB.GB MC GC Lời giải Ta có MAMG MAMG cos MA; MG Tươ gàtự MB.GB MB.GB ; MC GC MAMG MC GC GA2 GB GC Suy MAGA MB.GB MC GC MAGA MB.GB MC GC Mặt khác MAGA MBGB MG GA MC GC GB Suy MAGA MG GA GA GA2 GC MB.GB MG GB GB GB GC GA2 MC GC GA2 MG GC GC GB GB GC (*) 2MAGA 2MBGB GC Theo bấtàđẳng thức Cauchy ta có MA2 MB MC GA2 GB GC 2MC GC Kết hợp (*) suy MA2 MB MC GA2 GB GC MA2 MB MC MAGA MAGA MBGB MC GC GA2 GB GC hay MB GB MC GC Vậ àtaà àđiều phải chứng minh Nhận xét:  Ta có GA GA2 m , GB a GB GC 2 m , GC b m a m c mb2 a mc2 b2 c2 Suy với mọiàđiểm M a ma MA mb MB MA2 MB MC a2 MA2 MB MC 2 ma MA mc MC b2 b2 c2 c2 mb MB mc MC Đặc biệt  O t àđường trịn ngoại tiếp tam giác, ta có OB OC OAGA OB.GB OC GC GA2 Với M OA2 Mặt khác ta có OA OB OC GB GC R , ta có R GA GB GC 3R2 hay ma mb R GA GB GC GA2 GC hay GB mc R suy ma ma2 ma mb2 mb mc2 mc mb 3R mc R 3R  GA2 GB GC hay ma2 mb2 27 R , 9R mc2 a2 b2 c2 I t àđường trịn nội tiếp tam giác, ta có IAGA IB.GB IC GC GA2 GB GC r r r Mặt khác IA dồđ àtầ , IB , IC A B C sin sin sin 2 Với M ma A sin  mb B sin a2 mc C sin b2 2r H taàđược HA2 Với M c2 HB HC a2 b2 c2 Xét tam giác ABC nhọ àkhiàđ àtaà HC CA ' sinCHA ' CA ' sin B AC cosC sin B 2R cosC Tươ gàtự taà ũ gà :àHBà=à2R osB,àHCà=à2R osCààààà Doàđ cos2 A cos2 B cos2 C p 3R Ví dụ 2: Cho tam giác ABC v àđiểm M Chứng minh A cos MA cos B MB cos C MC a b c Lời giải (2.13) GọiàIàl àt àđường tròn nội tiếp tam giác ABC A IA IA cos Ta có a IA b.IB A Vì cos MA c.IC A MA.IA IA cos B IB IB cos C IC IC cos A MA.IA ,àtươ gàtự ta có IA cos A' B cos MB C cos MC B MB.IB IB C cos MC IC IC A cos O G B' B C' Hình 2.13 C A MA.IA Mà IA B MB IB IB cos A IA IA B IB IB cos MI A cos IA Doàđ cos C MC IC IC cos cos cos B IB A MA cos cos C IC IC cos cos C IC AE B MB cos C MC A cos IA BF a cos CD b B IB a b cos C IC c c Tổng qt Chồđầgi àlồi A1A2 An ( n n kỳ cos i=1 Ai MAi ) ngoại tiếpàđường tròn tâm J Chứng minh vớiàđiểm M bất JAi Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với G trọ gàt àQuaàđiểm O nằm tam giác kẻ đường thẳng song song vớiàGá,àGB,àGCàtươ gàứng cắt CA, AB, BC tạià àđiểm A', B', C' mb MB ' mc MC ' đạt giá trị nhỏ X àđịnh vị t àđiể àMàđể ma MA ' Lời giải Ta có ma MA ' GA.MA ' Tươ gàtự mb MB ' GA.MA ' GB MO Suy ma MA ' mb MB ' mc MC ' Hay ma MA ' GA MO OB ' , mc MC ' GA GB GC mb MB ' mc MC ' OA ' GC MO OC ' ' GBOB ' GC OC ' GAOA maOA ' mbOB ' mcOC ' Dấu xảy M trùng với O Vậy với M trùng với O ma MA ' mb MB ' mc MC ' đạt giá trị chỏ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và ba số thực x , y , z Chứng minh x Lời giải y2 z2 2yz cos A 2zx cos B 2xy cosC Gọi I ; r l àđường tròn nội tiếp  ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Khiàđ x IM x IM y.IN y IN x2 y2 z2 r2 x2 y2 z2 z IP z IP 2xyIM IN 2r xy cos 1800 C 2yz cos A 2yzIN IP yz cos 1800 A 2zxIP IM zx cos 1800 B 2xy cosC đp 2zx cos B 0 ààààààààààààààààààààààààààààà Nhận xét: + Khi chọn x y + Khi chọn y z z ta có: cos A ta có cos A cos B x cos B cosC x cosC Bài tập luyện tập Bài 2.109: Cho tam giác ABC ba số thực x , y , z Chứng minh rằng: yz cos 2A zx cos 2B xy cos 2C x y2 z2 Bài 2.110: Choàta àgi àáBCàkh gàđều nội tiếpàđườ gàt O àT àt àđườ gàt tổ gà hàphươ gàkhoảng cách từ đ àđế ầđỉnh tam giác nhị nhất, lớn Bài 2.111: Cho tam giác ABC vuông A Gọi góc cos àđiể àMàđể có hai trung tuyến BD CK Tìm giá trị nhỏ Bài 2.112: Cho M mộtàđiểm nằm mặt phẳng tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ T MA a MB b MC c Bài 2.113: Cho tam giác ABC áBC.àT T 2.cos A MA MB àđiểm M cho biểu thứ àsauàđạt giá trị nhỏ nhất: MC Bài 2.114: Cho tam giác ABC Chứng minh a) ama2 b) ambmc bmb2 cmc2 bmcma abc cma mb abc c) ma2 a mb2 b mc2 c a3 ab b3 bc c3 ca Bài 2.115: Cho tam giác ABC Chứng minh a) a b2 c2 9R b) R c) R a2 b2 c2 d) 4S e) a b b c 2 c a 2r ab bc 8R R 2r ca a abc b3 c3 Bài 2.116: Cho tam giác ABC ,àOàl àđiểm tam giác Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, BC, CA cắt BC, CA, AB A', B', C' Chứng minh với mọiàđiểm M ta có cMA ' aMB ' bMC ' cOA ' aOB ' bOC ' Bài 2.117: Cho tam giác ABC nhọ àT Bài 2.118: Chồđầgi àlồi A1A2 An ( n àđiểm M cho MA 3MC đạt giá trị nhỏ 2MB 1, n ,àOàl àđiểm nằm trongàđaàgi Gọi ), ei , i Bi hình chiếuàđiểm O lên AiAi+1 Chứng minh với mọiàđiểm M ta có n AA i i MBi OBi i Bài 2.119: Chồđầgi àđều A1A2 An T àđiểm M cho tổng MA1 MA2 MAn nhỏ Bài 2.120: Cho tam gi àáBC;àOàl àđiể àt o gàta àgi ,àđặt BOC ,COA , AOB Chứng minh với mọiàđiểm M ta có MA sin MB sin MC sin OA sin OB sin Bài 2.121: Cho tam giác ABC , tìm vị t àđiể àMàđể P nhỏ nhất.Biết: OC sin a.MA2 b.MB c.MC đạt giá trị a àMàl àđiểm a) M nằ àt àđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) M nằ àt àđường thẳng d n Bài 2.122: Choà àđiểm A1A2 An , n số dươ gà , , , n Oàl àđiểm thoã mãn i OAi i n n MAi2 i Chứng minh với mọiàđiểm M ta có bấtàđẳng thức i n OAi2 OAi MAi i i i i Bài 2.123: Cho tam giác ABC vuông cân tạiàá.àX àđị hàđiểm M cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ a) 2MA MB b) 2MA MC 10 MB MC Bài 2.124: Chứng minh tam giác nhọn ABC ta ln có cos2 A cos2 B cos2 C cos A.cos B cosC Bài 2.125: Cho tam giác ABC Chứng minh : 2.2 a) sin2 A sin2B c) sinA.sinB.sinC e) cos A cos B sin2C 3 cos C b) sinA d) cos2 A sinB cos2 sinC B cos2 A B C 3 f) cos cos cos 2 2 3 C 3 IV KHÁI NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Phươ g pháp giải a) Bài tốn: Chồđườ gàt O;àR àv àđiểm M cố định Mộtàđường thẳ gàtha àđổiàđià uầMà đường trịn tạiàhaiàđiểm A, B Chứng minh MA.MB MO R Chứng minh: Vẽ đường kính BC củầđường trịn (O;R) Ta có MA hình chiếu MC l àđường thẳng MB Theo công thức hình chiếu ta có C C O O M M B A A B Hình 2.14 MA.MB MC MB MO OB MO OC MO MO MO OB OB OB MO R2 Từ iàto àt àtầ àđị hà ghĩầsau: ) Đị h ghĩa: Chồđường trịn (O; R àv àđiểm M cố định Mộtàđường thẳ gàtha àđổiàđià uầMà ắtàđường trịn tạiàhaiàđiể àá,àB.àKhiàđ R l àđạiàlượ gàkh gàđổiàđược gọi phươ g tích củầđiể àMàđối vớiàđường trịn (O;R), kí hiệu PM / O MA.MB MO Chú ý: Nếu M go iàđường tròn, vẽ tiếp tuyế àMT.àKhiàđ àà PM / O MT MO R2 c) Các tính chất:  Chồhaiàđường thẳng AB CD cắt tạiàM.àĐiều kiện cầ àv àđủ để bố àđiểm A, B , C , D nội tiếpàđượ àđường tròn MA.MB  ) Cho đường điểm C Điều kiện tiếp tròn giác MAMB MC MD (hay MA.MB D A A M B M C C B MC D Hình 2.15 MC MD đường AB cắt thẳng M t àđường thẳng C M cầ àv àđủ để tuyến đường ngoại tiếp tam ABC C Δ A M O C Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọ à àđường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh HA.HA ' HB HB ' HC HC ' Hình 2.16 Lời giải(hình 2.17) A BC 'C 900 suy tứ giác Ta có BB 'C BCB 'C ' nội tiếpàt o gàđườ gàt C àđường kính B' C' HB HB ' HC HC ' (vì bằ gàphươ gàt hàtừ tớiàđường tròn (C)) (1) H Tươ gàtự tứ giác ACA 'C ' nội tiếpàđược nên HA.HA ' HC HC ' (2) A' Từ (1) (2) suy HA.HA ' HB HB ' HC HC ' B Ví dụ 2: Chồđường trịn (O;R) mộtàđiểm P cố định Hình 2.17 đườ gàt àđ àHaiàd u gàtha àđổiàáBàv àCDàlu àđià P vng góc với a) Chứng minh AB CD kh gàđổi b) Chứng minh PA2 PB PC PD không phụ thuộc vị t àđiểm P Lời giải(hình 2.18) a) Gọi E, F theo thứ tự l àt u gàđiểm AB, CD suy BC Doàđ điểm H C bên uaàđiểm OE AB C OF CD Ta có AB CD AO OE 2R OE 2 2AE 2 2CF CO OF 2R P OP A B E D CD kh gàđổi Suy AB O F OF Hình 2.18 b) PA2 PB AB PC CD PD 2PAPB PA PAPB Suy PA2 Vậy PA2 PB PB PC PD PC PC 2 PC PD 2PAPB 2PC PD 2PC PD Mặt khác theo câu a) ta có AB PP (O ) PB CD PO PD 2R2 OP R2 2R OP PO R2 4R PD không phụ thuộc vị t àđiểm P vng góc với AB Ví dụ 3: Chồđườ gàt àđườ gàk hàáBàv àđường thẳng A, H B Mộtàđường thẳng quay quanh H cắtàđường tròn M,àNàv H H AM, AN lầ àlượt cắt M', N' àđường thẳng B a) Chứng minh bố àđiểm M, N, M', N' thuộc mộtàđườ gàt b) Chứng minh rằ gà àđườ gàt C àlu C ồđ àđià uầhaiàđiểm cố định Lời giải(hình 2.19) a) Vì M ' HB AH AB AM '.AM (1) Tươ gàtự Vì N ' HB nội tiếpàđược suy AH AB 900 nên tứ giác BHM ' M nội tiếpàđược suy M ' MB 900 nên tứ giác N ' NB M E M' A AN '.AN (2) Từ (1) (2) suy AM '.AM AN '.AN PH F N Suy bố àđiểm M, N, M', N' thuộc mộtàđường Δ B Khiàđ àtaà AP AQ Mặt khác AH AB AF AM AM ' AE tròn AE Suy AP AQ tròn (C) với với Hình 2.19 AH AB EH AB FH AB Q N' b) Gọi P, Q lầ àlượtàl àgiaoàđiểm củầđường đường thẳng AB E, F lầ àlượtàl àgiaồđiểm đườ gàt àđường kính AB AH AB HBN ' N AF AF AE AE FB EB AE AF AF Doàđ àP,àQ thuộ àđường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF E, F V ì àl àđường trịn cố định nên P, Q cố định thuộ àđường trịn (C) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếpàđường trịn (O) bán kính R Giả sử Màl àđiể àdiàđộng đường tròn (O) Nối AM, BM, CM lầ àlượt cắt (O) A', B', C' Tìm tập hợpàđiểm M cho MA MA ' MB MB ' MC MC ' Lời giải(hình 2.20) Taà àĐTà MA2 MA '.MA MB MB '.MB MC MC '.MC MA2 MB MC MA '.MA MB '.MB MC '.MC Mặt khác (*) A B' C' M B O A' Hình 2.20 C PM /(O ) MA '.MA MA2 (*) MB '.MB MB MC MO MC '.MC MO R Suy R (1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,àIàl àt u gàđiểm GO Ta có: MA2 MB MC MG 3MG 2MG GA 3MG GA2 GB GB MI MO IG 2MI 2IO 2 R MI MI 2 MG GA2 GC GB GB 2 MG GC GC GC (2) Từ (1) (2) ta có 3MG MG GA GA2 GB GC MO R2 GA2 MI IO R2 GA2 GB GC GB GC IO GA2 GB GC GA2 R2 R2 GB GC k T o gàđ k 2 R GA2 GB GC IO Vậy tập hợpàđiểm M l àđường trịn tâm I bán kính R k Bài tập luyện tập Bài 2.126: T o gàđường tròn tâm (O;R) cho hai dây cung AA' BB' vuông góc với S Gọi M A 'B ' t u gàđiểm AB Chứng minh SM Bài 2.127: Chồhaiàđường trịn (O) (O'); AA', BB' tiếp tuyến chung ngồi củầ h B 'N thẳng AB' theo thứ tự cắt (O) (O') M, N Chứng minh AM g.àđường Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân A; AM, AD lầ àlượt trung tuyến, phân giác tam gi àĐường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC E, F Chứng minh BE CF Bài 2.129: Choàđườ gàt O àv àhaiàđiểm A, B cố định Mộtàđường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh rằ gàt àđường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc mộtàđường thẳng cố định Bài 2.130: Choàđườ gàt àà O;R àv àđiểm P cố định nằ àt o gàđường tròn Giả sử AB dây cung tha àđổiàlu àđià uầP.àTiếp tuyến củầđường trịn (O) A, B cắt C Tìm tập hợpàđiểm C Bài 2.131: Choàđườ gàt O àđườ gàk hàáB,àv àđiểm H cố định thuộc AB Từ điể àKàtha àđổi tiếp tuyến B (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh rằ gàCDàlu mộtàđiểm cố định àđià uầ Bài 2.132: Chồđườ gàt àđườ gàk hàáB,àHàl àđiểm nằm giữầáBàv àđường thẳng vng góc với AB H GọiàE,àFàl àgiaồđiểm củầđường trịn Vẽ đườ gàt àt àá,à àk hàáv àđường trịn (C) qua H, B Giả sử haiàđườ gàt àđ M N, chứng minh AM AN hai tiếp tuyến (C) Bài 2.133: Choàhaiàđườ gàt àđồng tâm O C C ( C nằm C ) Từ mộtàđiểm A nằm C kẻ tiếp tuyến AB tới C AB giao C lần thứ hai tạiàC.àDàl àt u gàđiểm AB Mộtàđường thẳng qua A cắt C điểm M nằm AC Tính tạiàE,àFàsaồ hồđường trung trực củầđoạn DF EC giao AM ? MC Bài 2.134: Choàđườ gàt O;R àv àhaiàđiểm P, Q cố định (P nằm (O), Q nằm (O)) Dây cung AB củaà O àlu àđià uaàQ PA, PB lầ àlượt giao (O) lần thứ hai D, C Chứng minh CD lu àđià uầđiểm cố định Bài 2.135: Chồhaiàđườ gàt àkh gàđồng tâm O1 ; R1 phươ gàt hàđối vớiàhaiàđường tròn O2 ; R2 Tìm tập hợpà àđiểm M có