Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16

Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16

Lần thứ 16 Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Mục lục Tỉnh Trang An Giang 3(18) Bạc Liêu .4(22) Bến Tre .5(25) Cà Mau .6(29) Cần Thơ 7(34) Đồng Tháp (TP.Cao Lãnh) .8(38) Đồng Tháp (Sa Đéc) 9(42) Hậu Giang 10(46) Kiên Giang .11(50) Long An 12(56) Sóc Trăng 13(61) Tiền Giang (Cái Bè) 14(66) Tiền Giang 15(70) Trà Vinh 16(76) Vĩnh Long 17(83) Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 ĐỀ DỰ TUYỂN HSG T ỐN ĐỒNG BẰNG SƠNG CỬU LONG Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Câu 1: (3 điểm) ax  a   y  sin x có nghiệm Xác định a để hệ phương trình  2  tan x  y  Câu 2: (3 điểm) Cho ABC , M điểm thuộc miền tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ M a  b2  c Dấu xảy 2R nào?  a  BC; b  AC;c  AB; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC  đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh x y z Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cặp số  x; y  với x, y   cho: x  y3  2y2  Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số u n  0  u n   thỏa mãn điều kiện  ; n  2,3, 4,  u n 1  u n 1   Tìm lim u n n  Câu 5: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ số tự nhiên n cho n! tận 1987 chữ số Câu 6: (3 điểm) Tìm hàm f :    thỏa:   f    2008, f    2009 2  f  x  y   f  x  y   2f  x  cos y, x, y    Câu 7: (3 điểm) Cho hình cầu tâm O, bán kính R Từ điểm S mặt cầu kẻ cát tuyến cắt mặt cầu A, B, C đơi tạo với góc  Gọi V thể tích tứ diện S.ABC Định  để V lớn Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu 1: ( điểm ) Giải phương trình 3x  4 2x3  18  Câu 2: ( điểm ) Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M’, N’, P’ cho đường thẳng MM’, NN’, PP’ chia chu vi tam giác ABC thành hai phần M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui điểm Câu 3: ( điểm ) Cho số nguyên tố p dạng 4k  Chứng minh khơng có số ngun x thỏa điều kiện (x  1) p Câu 4: ( điểm ) Cho dãy số nguyên dương an  thỏa mãn điều kiện a n  a n 1a n 1 n  N * Tính lim n  1 n     n  a1 a an    Câu 5: ( điểm ) Xung quanh bờ hồ hình trịn có 17 cau cảnh Người ta dự định chặt bớt cho khơng có kề bị chặt Hỏi có cách thực khác nhau? Câu 6: ( điểm ) x Tìm tất hàm số f  x  liên tục R thỏa: f  x   f     x ; x  R 2 Câu 7: ( điểm ) Cho số thực a, b, c, d, x, y, z, t Chứng minh số sau có số khơng âm: ac  bd, ax  by, az  bt, cx  dy, cz  dt, xz  yt Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Bến Tre Trường THPT chuyên Bến Tre Câu 1: (3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 (x  3y  4z  t)  27(x  y  z  t )  3 3  x  y  z  t  93 Câu 2: (3 điểm) Cho đường trịn với hai dây AB CD khơng song song Đường vng góc với AB kẻ từ A cắt đường vng góc với CD kẻ từ C từ D M P Đường vng góc với AB kẻ từ B cắt đường vng góc với CD kẻ từ C từ D Q N Chứng minh đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy Câu 3: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 4y  4x y  4xy  x y  5x  4y  4xy  8x  Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định sau: 2008  u1  2009  u  2u   , n  1, 2, 3,  n n 1 Tìm lim u n n  Câu 5: (3 điểm) Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :  k  n Chứng minh : n 2 n 2 C n2n  k C 2n  k  ((C n )  (C n )   (C n ) ) Câu 6: (3 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xy yz zx   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f  z x y Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm X,Y,Z di động cạnh C’D’, AD, BB’ Định vị trí X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Cà Mau Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: log 2008 Câu 2: (3 điểm) 4x   x  3x  x  x 1 Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, CA = b, BC = a Gọi I tâm đường tròn nội tiếp IA IB2 IC    tam giác cho Chứng minh rằng: bc ca ab Câu 3: (2 điểm) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp cho tổng bình phương ba số số nguyên tố Câu 4: (3 điểm) Xét dãy  x n  x n nghiệm dương phương trình: x n  x  x  Dãy số  y n  : y n = n(x n  1) Chứng minh rằng:  yn  có giới hạn Tìm lim y n Câu 5: (3 điểm) n  Cho tập hợp A  1,3,5, , 2n  1 ( n   ) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho tồn 12 tập B1, B2, …, B12 A thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) Bi  B j   (i  1,12; j  1,12;i  j) ; ii) B1  B2   B12  A ; iii) tổng phần tử tập Bi ( i  1,12 ) Câu 6: (3 điểm) Cho hàm số f liên tục  thoả mãn: f (x  y)  f (x).f (y)  f (xy)  f (x)  f (y); x, y    f (0)  2, f (2)  Chứng minh rằng: f(x + y) = f(x) + f(y), x, y   Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a M, N hai điểm di động thuộc AD’, DB thoả điều kiện: AM = DN = x (  x  a ) a Tìm x để đoạn MN ngắn b Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN // A’C Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Thành phố Cần Thơ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Câu : ( điểm ) Tìm giá trị thực a cho tồn số thực không âm x1 , x , x , x , x thỏa đồng thời điều kiện  k.x k  a; k 1  k x k  a ; k 1  k x 5 k 1 k  a3 Câu : ( điểm ) Cho ABC nhọn, H trực tâm tam giác Gọi A’, B’, C’ giao điểm HA, HB, HC với đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh 1 1 1      HA ' HB' HC' HA HB HC Câu : ( điểm ) a) Chứng minh phương trình z  (x  1)(y  1)  2010 (1) vô nghiệm với x, y, z  Z b) Chứng minh phương trình z  (x  1)(y  1)  2008 (2) có nghiệm với x, y, z  Z Câu : ( điểm ) Cho dãy số (an) bị chặn a n   a n 1  a n 6 Chứng minh dãy (an) hội tụ  n  1 Câu : ( điểm ) Cho 15 toán trắc nghiệm, đánh số từ đến 15 Mỗi có khả trả lời: Đúng Sai Có 1600 thí sinh tham gia thi, khơng có trả lời liền nhau.( Nếu xem làm thí sinh tương ứng với dãy 15 phần tử Đ, S khơng làm có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS chữ kề nhau.) Chứng minh có thí sinh trả lời toàn 15 giống hệt Câu : ( điểm ) Tìm hàm f: R  R khả vi thỏa điều kiện f (x  f (y))  f (y  f (x)) x, y  R Câu : ( điểm ) Cho tứ diện ABCD có trung điểm cạnh thuộc mặt cầu AB  3.CD, AC  3.DB, AD  3.BC Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT TP.Cao Lãnh Câu : ( điểm ) Giải bất phương trình: 2x   2  x  12x  9x  16 Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O Các tiếp tuyến với (O) B, C cắt M, AM cắt BC N Chứng minh : NB.AC  NC.AB2  Câu : ( điểm ) Tìm tất cặp số nguyên dương (a,b) cho 2a+1 chia hết cho b 2b+1 chia hết cho a Câu : ( điểm ) Tìm giới hạn dãy (u n ) với un  36 6n    n 1 n 1 n (9  4)(3  2) (27  8)(9  4) (3  )(3  2n ) Câu : ( điểm ) Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước số tự nhiên Các mặt hình hộp sơn màu xanh Chia hình hộp thành khối lập phương đơn vị mặt phẳng song song với mặt hình hộp Tìm kích thước hình hộp , biết số tổng số khối lập khối lập phương đơn vị khơng có mặt màu xanh phương đơn vị Câu : ( điểm ) Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình : x 2n 1  x   có nghiệm số thực Gọi nghiệm số thực xn Hãy tìm lim x n Câu : ( điểm ) Cho đường tròn (O,R) đường kính PQ cố định đường trịn Trên tia PQ ta lấy điểm S cố định ( khác P Q) Với điểm A thuộc đường trịn ta dựng tia Px vng góc với tia PA nằm phía với đường thẳng PQ Gọi B giao điểm Px SA Tìm tập hợp điểm B, điểm A di động đường tròn (O,R) Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu Câu : ( điểm ) Giải phương trình 4x  log 2008  x  3x  x  x2 1 Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC có sin A , sin B , sin C lập thành cấp số cộng có tổng sin A  sin B  sin C  Đường cao kẻ từ A đường phân giác góc B cắt I, biết I thuộc miền tam giác ABC Chứng minh rằng: SIAC  SIBC Câu : ( điểm ) a b c ; ; tạo thành cấp số cộng biết : d d d b 1 a c 1 b  ;  a 1 d b 1 d Tìm ba phân số tối giản Câu : ( điểm ) Cho dãy (Un), biết U1 = 1, dãy (Vn) với Vn = Un+1 - Un , n = 1,2 … Lập thành cấp số cộng, V1 = 3; d = Tính : S  U1  U    U n Câu : ( điểm ) Trong thư viện có 12 sách gồm sách Tốn giống nhau, sách Vật lý giống nhau, sách Hóa học giống sách Sinh học giống xếp thành dãy cho khơng có ba mơn đứng kề Hỏi có cách xếp ? Câu : ( điểm ) Cho x, y , z thỏa điều kiện  x  y2    z  2z(x  y)  Tìm giá trị lớn biểu thức A  z(y  x) Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC có cạnh 2a (d) đường thẳng tùy ý cắt đường thẳng BC, CA, AB Gọi x, y, z tương ứng góc đường thẳng (d) đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh sin x.sin y.sin z  cos x.cos y.cos z  16 Trang Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Vì (q  1)!  (q  1)! k! k 1 q 1 số nguyên dương q1  n (q  1)!  (q  1)! số nguyên (*) lim    (q  1)!    n  k! k 1  k q 2 k!  n (q  1)! (q  1)! (q  1)! (q  1)! Mà       k! (q  2)! (q  3)! n! k q  1     q  (q  2)(q  3) (q  2)(q  3) n   1 n   1 1   (q  2) <      = , n  q  1  n n  q  (q  2) (q  2) q   1  q   (q  2)   q    Do q + > nên lim  n  (q  2) n  n (q  1)!   Do đó, < lim    n   k q 2 k!  q  Điều mâu thuẩn với (*) Do điều giả sử sai hay  số vô tỉ nên Câu : ( điểm ) Giả sử N Đảng phái khác X1, … , XN S1 ,…, SN tập hợp tất lời hứa ứng viên Đảng X1, … , XN Giả sử tập hợp n lời hứa khác tất ứng viên P = {x1, x2 , …, xn} x1 lời hứa đưa kinh tế Mỹ khỏi tình trạng khủng hoảng Theo giả thiết tất ứng viên hứa đưa kinh tế Mỹ thoát khỏi tình trạng khủng hoảng nên x1  Si , i  1, N Đặt Si '  Si \ {x1} , P '  P \ {x1} Vì ứng viên có lời hứa đưa khơng hồn tồn giống có chung Si '  S j ' , i  j lời hứa nên  Si ' S j '   Mỗi tập Si ' tập khác  tập P ' Tập P ' có n – phần tử nên số tập khác rỗng tập P ' n1  Mỗi tập khác rỗng ( ngoại trừ tập P ' ) có phần bù P ' khác rỗng Do đó, số 2n 1   cặp tập khác rỗng P ' có giao rỗng   2n   Si '  S j ' , i  j , i , j 1, N Vì vậy, số tập Si ' tập P ' thỏa  Si ' S j '    (2 n1  1)  (2n 2  1)  2n 2 Hay N  2n 2 Câu : ( điểm ) Ta thấy x, y, z > x2 + y2 + z2 + xyz > Điều mâu thuẩn với giả thiết x2 + y2 + z2 + xyz = (*) Do vai trị bình đẳng x, y, z , khơng tính tổng qt ta giả sử x  Trang 72 Tuyển tập đề dự tuyển HSG Tốn ĐBSCL lần thứ 16 Khi đó, xy + yz + zx – xyz  yz – xyz = (1 – x)yz  Tiếp theo ta chứng minh xy + yz + zx – xyz  Nếu x = ta có : = y2 + z2  yz Suy : xy + yz + zx – xyz = yz  Vì vậy, vai trị bình đẳng x, y, z , khơng tính tổng qt ta xét x, y, z  Đặt x = 2a  0, y = 2b > , z = 2c > Khi đó,  a  (  x  ) Hệ thức (*) thành : a2 + b2 + c2 + 2abc = (**) Từ ta có :  b,c     Do đó, ta đặt a = cos A , b = cos B,  A  ,  B  2 Khi đó, từ hệ thức (**) ta có : cos2A + cos2B + c2 + 2cos A.cosB.c =  c + 2cos A.cos B.c + cos 2A + cos 2B  =  c + 2cos A.cos B.c + cos 2A.cos 2B  cos 2A + cos 2B   cos A.cos B =   c + cosA.cosB   (1  cos A)(1  cos B) =   c + cosA.cosB  sin A.sin B =   c  cos A.cos B  sin A.sin B  c  cos A.cos B  sin A.sin B     c  cos(A  B)  c  cos(A  B)    c   cos(A  B)       A  ,  B  nên   A  B    cos(A  B)  2 c  cos(A  B) > ( c > ) )     Mặt khác,  A  ,  B  nên  A  B   Đặt C    A  B 2 2 Khi ta có :  C  A  B  C   Và c   cos(A  B)   cos(  C)  cosC   Như vậy, A,B, C   0;  A  B  C    2   Áp dụng BĐT Jensen cho hàm f(x) = cos x khoảng  0;  ta có :  2  A BC  cos A  cos B  cos C  3cos     Suy :  cos B  cos C   cos A Mặt khác,  2cosB.cosC = cos(B – C) + cos(B + C)= cos(B – C) – cosA   cos A Và cosA = a    2cos A  Do đó, xy + yz + zx – xyz = 4(ab + bc + ca – 2abc) = 4(cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA – 2cosA.cosB.cosC) =  cos A(cos B  cos C)  cos B.cos C(1  2cos A)  ( Câu : ( điểm ) 1     cos A(  cos A)  (1  cos A)(1  2cos A)    2 2   ( đpcm ) Trang 73 Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trước tiên ta có nhận xét sau : Nhận xét : Cho O điểm nằm tam giác ABC Khi :     SOBC OA  SOAC OB  SOAB OC  Thật vậy, đặt     x  SOBC OA  SOAC OB  SOAB OC     AOC,    AOB  Đặt   BOC, Khi đó,    x.OA  OA OB.OC  sin   sin .cos   sin .cos   = OA OB.OC  sin   sin(   )   OA OB.OC  sin   sin(2   )     Tương tự, x.OB       Mà OA, OB không phương nên k,l   : x  k.OA  l.OB 2        x  k.OA.x  l.OB.x   x  Từ ta có đpcm Nhận xét : Cho M điểm nằm tứ diện A1A2A3A4 Gọi V1 , V2 , V3 , V4 thể tích tứ diện MA2A3A4,MA1A3A4,MA1A2A4,MA1A2A3 Khi đóta có :    V1.MA1  V2 MA  V3 MA3  V4 MA  Thật vậy, gọi O giao điểm MA4 mp(A1A2A3) Do M nằm tứ diện nên O nằm tam giác A1A2A3 Theo xét ta có : nhận    S1.OA1  S2 OA  S3 OA  (1) S1,S2,S3 diện tích OA A , OA1A , OA1A Mặt khác, S1 VOA 2A3A VOA 2A 3M VOA 2A 3A  VOA 2A3M V1 S S       S2 VOA1A3A VOA1A3M VOA1A 3A  VOA1A 3M V2 V1 V2 S2 S3 S S S Do đó,    V2 V3 V V2 V3  1   Từ (1) suy : V1.OA1  V2 OA  V3 OA3        V1.MA1  V2 MA  V3 MA3  (V1  V2  V3 ).MO  (2) OA VA1A 2A 3A V1  V2  V2  V4 Mà   OM VA1A 2A3M V4  V  V  V  V    2  OA  OM  (V1  V2  V3 ).MO  V4 MA (3) V4 Tương tự , Trang 74 Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16      Từ (2) & (3) suy : V1.MA1  V2 MA  V3 MA3  V4 MA  Trở lại tốn, ta sử dụng hệ tọa độ Đềcác xiên góc Sxyz cách chọn đỉnh S tứ diện SABC làm gốc tọa độ, nghĩa S(0;0;0) A  Sx, B  Sy,C  Sz , với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)      Theo nhận xét ta có : VS MS  VA MA  VB MB  VC MC  ( với VS = VMABC )          (VS  VA  VB  VC ).SM  VA SA  VB SB  VC SC  V.SM  VA SA  VB SB  VC SC  V  V  V   SM  A SA  B SB  C SC V V V  VA VB VC  Vì M  ; ;   V V V Giả sử phương trình mặt phẳng    : ax + by + cz + d = (với a2+ b 2+ c2+ d2 > ) Và A ' (xo;0;0), B' (0;yo;0), C ' (0;0;zo) với xo = SA ' > 0, yo = SB' > 0, zo = SC' > Khi đó, axo = byo = czo = – d ( a, b, c, d  ) aVA  bVB  cVC V V V   d Vì M  A ; B ; C      nên V  V V V aVA  bVB  cVC Do đó, = axo = byo = czo  V V V V V V V aV bV cV  A  B  C  A B C  A B C SA ' SB ' SC ' x o y o z o ax o by o cz o V   aVA  bVB  cVC   V ( đpcm ) aVA  bVB  cVC Trang 75 Tuyển tập đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Trà Vinh Trường THPT chuyên Trà Vinh Câu : (3 điểm) Đặt X  x (1)  X  X  X  X  X   (2)  Ta thấy X=2 nghiệm (2)  Xét X≠2: (2)  ( X  2)( X  X  X  X  X  1)   X  6X  9X  X   (0.5điểm)  ( X  3X )  X  (3)  X nghiệm (3)  X  2 đó: (3)  X  X   X  (0.5điểm) ( 4)  Xét X>2: X  X  X ( X  4)  X  X  X  X    X   (4) vô nghiệm  Xét   X  : đặt X=2cost (0