CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hồn_Vũ Đình Thụy_12Tốn_THPT chun Lương Thế Vinh Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh LỚP 12 TOÁN ( 2008 – 2011) -1- WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hồn_Vũ Đình Thụy_12Tốn_THPT chun Lương Thế Vinh Lời nói đầu Nhằm tóm tắt điều số toán bất đẳng thức đề tuyển sinh đại học cao đẳng, chúng em xây dựng chuyên đề khái quát phần lí thuyết, phương pháp giải phổ biến điều cần lưu ý trình bày Hầu hết bất đẳng thức giải cách áp dụng nhiều phương pháp biến đổi khác nên việc phân nhỏ chuyên đề theo phương pháp giải mang tính tương đối, chúng em trọng vào phân tích sở ví dụ, từ có đánh giá, nhận xét đối sánh cách giải với Tuy bố cục khơng rõ ràng hệ thống ví dụ dẫn dắt theo mạch tăng tiến độ khó phức tạp cách giải Hi vọng với cách xếp chuyên đề không làm đọc giả phương hướng tồn ví dụ Nhưng theo chúng em kinh nghiệm làm điều lưu ý để định hướng phương pháp làm quan trọng việc liệt kê hàng loạt phương pháp Ngồi mục đích hướng tới hoàn thiện giải cho đề thi đại học- cao đẳng, chúng em mở rộng số toán thành dạng tổng quát để tạo chiều sâu cho chuyên đề Vì tác giả nghiệp dư nên khơng thể tránh khỏi sai xót, mong q thầy q đọc giả góp ý để chun đề hoàn thiện -2- WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hoàn_Vũ Đình Thụy_12Tốn_THPT chun Lương Thế Vinh I Lí thuyết: Định nhgĩa: Cho a;b ∈ R Mệnh đề “ a > b ”; “ a ≥ b ”; “ a < b ”; “ a ≤ b ” gọi bất đẳng thức Tính chất: * a > b va b > c ⇒ a > c * a >b ⇔ a+c >b+c * a > b va c > d ⇒ a + c > b + d ac > bc c > *a>b⇒ ac < bc c < * a >b≥0⇒ a > b * a ≥ b ≥ ⇔ a2 ≥ b2 * a > b ≥ ⇒ a n > bn Một số bất đẳng thức bản: a Bất đẳng thức Cauchy- bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân: Với hai số thực khơng âm a,b ta có: a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a=b Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức biến đổi tương đương a+b ≥ ab ⇔ ( a− b ) ≥ (đúng ∀ a,b không âm) Vậy bất đẳng thức chứng minh * Bất đẳng thức Cauchy mở rộng: Với n số thực không âm a1 , a2 , , an ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an Chứng minh: Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học a1 + a2 ≥ a1a2 ⇔ Dấu “=” xảy a1 = a2 * Xét n=2 ta có: ( a1 − a2 ) ≥ (đúng ∀ a1 , a2 không âm) * Giả sử bất đẳng thức với n=k (k ≥ 2) hay a1 + a2 + + ak ≥ k k a1a2 ak (*) Ta chứng minh • bất đẳng thức với n=2k Thật vậy, ta có: a1 + a2 + + a2 k = (a1 + a2 + + ak ) + ( ak +1 + ak + + + a2 k ) ≥ k k a1a2 ak + k k ak +1ak + a2 k ≥ 2k k a1a2 a2 k • ak = bất đẳng thức với n=k-1 Đặt: x = a1 + a2 + + ak −1 chọn x thì: k −1 -3- WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hồn_Vũ Đình Thụy_12Tốn_THPT chun Lương Thế Vinh x+ a a a x a a a x a a a x x xk ≥ k k k −1 ⇔ ≥ k k k −1 ⇔ x k ≥ (k − 1)k k −1 k −1 k −1 k −1 k −1 k −1 ⇔ x ≥ (k − 1) k −1 a1a2 ak −1 Suy ra: Với k ta có: y ( 1+ x) 1+ 1+ x y ≥ 256 Đẳng thức xảy nào? Bài giải: Ta có: 1+ y x 1+ Vậy: 1+x=1+ =1+ y x x x x3 + + ≥ 44 3 3 y y y y3 + + ≥ 44 3 3x 3x 3x x =1+ y + y + y ( 1+ x) 1+ 1+ x y y ≥ 44 33 y3 ≥ 256 ⇒ x3 36 1+ ≥ 164 y y y3 36 33 33 x3 y3 = 256 *Nhận xét: Ở ví dụ 5, phương pháp tách hạng tử phụ thuộc lớn vào toán, đơn giản để tách dạng cần thiết khó Có tách hệ số tự do(ví dụ 4), có tách hạng tử mang ẩn(ví dụ 5) Với phương pháp giải này, khơng có quy luật định Nhưng nhìn chung cách giải địi hỏi khả nhạy bén người giải Ví dụ sau áp dụng Cauchy, phân tích tích thành dạng phù hợp để Có thể nói trường hợp đảo ví dụ 4, -7- WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hồn_Vũ Đình Thụy_12Tốn_THPT chun Lương Thế Vinh Ví dụ 6: (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Khi đẳng thức xảy ra? *Nhận xét: Giả thiết cho tổng a+b+c, định hướng làm thức Nhận thấy dấu bất đẳng thức " ≤ " phù hợp áp dụng Cauchy, mà bậc nên sử dụng Cauchy cho số Trong tồn hạng tử, để phân tích thành tích hạng tử mà khơng làm phức tạp tốn, ta lấy tích với Cụ thể giải sau: Bài giải: a + 3b + 1+ 1 = (a + 3b + 2) 3 b + 3c + 1+ 1 (b + 3c).1.1 ≤ = (b + 3c + 2) 3 c + 3a + + 1 (c + 3a).1.1 ≤ = (c + 3a + 2) 3 1 + 6 = a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ [ 4(a + b + c) + 6] ≤ 3 a + b + c = Dấu "=" xảy ⇔ ⇔a=b=c= a + 3b = b + 3c = c + 3a=1 Ta có: (a + 3b).1.1 ≤ Suy ra: Biến đổi tương đương: Phương pháp thường sử dụng phổ biến sau cách áp dụng bất đẳng thức Thông thường, qua phép biến đổi tương, bất đẳng thức đưa dạng bình phương, tổng bình phương hay giá trị tuyệt đối, sử dụng bất đẳng thức trung gian để giải Biến đổi có kết hay khơng phụ thuộc hồn toàn vào cách tư kĩ làm Để rõ xin mời bạn xét ví dụ sau: Ví dụ 7: (Đại học khối A 2005) 1 + + = x y z 1 + + ≤1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z Cho x, y, z số dương thoả mãn : Chứng minh rằng: *Nhận xét: Giả thiết cho tổng phân thức mà mẫu chứa ẩn Nhận định sử dụng bất đẳng thuức trung gian chuyển đổi hạng tử vế trái dạng a b c 1 1 + + Xét với hai số x,y dưong, ta có: ≤ + Mở rộng cho hạng tử a + b a b x y z vế trái, cụ thể lời giải sau: Bài giải: Với a, b > ta có: 4ab ≤ (a + b)2 ⇔ a+b ≤ a + b 4ab ⇔ 1 1 ≤ + a + b 4 a b Dấu "=" xảy a = b Áp dụng kết ta có: 1 1 ≤ + 2x+y+z 2x y + z ≤ 1 1 + + 2x y z = 1 1 1 + + x 2y 2z Tương tự: -8- WWW.VINAMATH.COM (1) WWW.VINAMATH.COM Phạm Lê Hồn_Vũ Đình Thụy_12Toán_THPT chuyên Lương Thế Vinh 1 1 ≤ + ≤ x + 2y + z 2y x + z 1 1 + + 2y x z = 1 1 1 + + y 2z 2x 1 1 1 1 1 + + + + 2z x y = z 2x 2y 1 1 1 + + ≤ + + 1 = 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z x yz 1 1 ≤ + x + y + 2z 2z x + y ≤ Vậy: (2) (3) Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z = Một số phương pháp khác: Ngoài hai phương pháp lớn trên, phương pháp giải bất đẳng thức đa dạng Sau đây, chúng em xin trích dẫn vài cách làm: • Phương pháp tọa độ • Khảo sát hàm số • Bất đẳng thức lượng giác • Sử dụng điều kiện giả thiết thành lập bất đảng thức trung gian Ví dụ 8: (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z số dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + x + y2 + y + z2 + z2 ≥ 82 Bài giải: * Nhận thấy: Giả thiết đề cập đến tổng x+y+z, ẩn nằm riêng biệt thức khác Nếu sử dụng Cauchy ngược dấu với bất đẳng thức cần chứng minh Để ý biểu thức có dạng độ dài vectơ nên ta sử dụng bất đẳng thức vectơ đề cậpr ởr đầur chuyên đề r rr Với u,v ta có: u + v ≤ u + v (*) Đặt r r r 1 a = x; ; b = y; ; c = z; x z y r r r r r r r r r a + b + c ≥ a + b + c ≥ a + b+ c Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: Vậy P = x2 + x + y2 + y + z2 + z ≥ 1 1 (x + y + z)2 + + + x y z *Nhận xét: Đến đây, ta có hai cách sử lí biểu thức thức: quy biến khảo sát hàm số để tìm giá trị Min vế trái; hay biến đổi tương đương dạng bất đẳng thức Cauchy • Cách 1: (Khảo sát hàm số) Ta có: P≥ với t = 1 1 (x + y + z) + + + x y z 2 (3 xyz)2 ⇒0