(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Kết thức biệt thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUN VN THC S TON HC thái nguyên - năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, Năm 2014 i Lời nói đầu Trong đời sống, khoa học kỹ thuật nói chung tốn học nói riêng, ln ln xuất phương trình, hệ phương trình Việc nghiên cứu giải tường minh chúng cơng việc có từ xa xưa phát triển mạnh mẽ Một công cụ nghiên cứu lĩnh vực kết thức Thuật ngữ RESULTANT (kết thức) giới thiệu Bézout "Histoire de I’Academie de Paris." Sau đó, Karl Fink đưa khái niệm "Geschichte der Elementar-Mathematik 1764" hay Salmon "Modern Higher Algebra 1859." Ngày kết thức có mặt nhiều lĩnh vực toán học xa vật lý học Trong chương trình bậc đại học, kết thức xuất giáo trình Đại số sơ cấp, làm việc với hai đa thức biến vài ứng dụng Luận văn viết với mục đích sâu vào khái niệm kết thức Mở rộng từ trường hợp biến thành nhiều biến Hơn nữa, luận văn rõ việc áp dụng kết thức vào giải hệ phương trình đại số Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, kết có liên quan đến phần sau Các kiến thức quen thuộc tìm nhiều tài liệu, nhiên để tiện cho việc theo dõi luận văn tơi trình bày lại Nội dung chương việc xây dựng vành đa thức biến, vành đa thức nhiều biến vành giao hốn có đơn ii vị cho trước, vành Noether chứng minh định lý quan trọng Định lí Hilbert Chương chương nội dung luận văn Trong chương tập trung xây dựng khái niệm kết thức biệt thức xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức biến, hai đa thức hai biến cuối trường hợp n biến Biểu diễn kết thức qua nghiệm phép khử ẩn Nội dung cịn lại chứng minh mối liên hệ kết thức hệ phương trình đa thức Trong phần chứng minh định lý quan trọng, định lý Bézout số giao điểm siêu mặt Từ trình bày số ứng dụng kết thức giải hệ phương trình, tìm giao điểm biện luận số giao điểm hai đồ thị Định lý 3.3.1 kết quan trọng mà phần trình bày Nội dung định lý mở cho chúng phương pháp giải hệ phương trình đa thức Giả thiết giải phương trình đa thức biến, hệ phương trình đa thức giải Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Phó giáo sư Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ công tác Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội , Ban giám hiệu, tổ chức Đoàn thể, tổ Toán trường THPT Trương Định Hà Nội bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Hồng Thị Hồn iv Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Mục lục i iii iv KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức 1 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 Kết thức phép khử 2.1.1 Đặc biệt hóa 2.1.2 Khái niệm kết thức biệt thức 9 9 1.2 1.3 2.2 1.1.1 1.1.2 Vành Vành Khái niệm vành đa thức biến Nghiệm đơn nghiệm bội đa thức nhiều ẩn Noether 2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm 2.1.4 Phép khử ẩn 2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus Kết thức hệ dạng 2.2.1 2.2.2 2.2.3 16 22 25 29 Kết thức hai dạng hai ẩn Kết thức hệ dạng hai ẩn U-Kết thức 29 31 40 v ỨNG DỤNG 3.1 Khử ẩn giải hệ phương trình 3.1.1 Hệ phương trình đa thức hai ẩn 3.1.2 Tọa độ giao điểm hai đồ thị 3.2 Giải hệ u-kết thức 3.3 Giải hệ phương trình kết thức Kết luận 42 42 42 46 49 51 55 Tài liệu tham khảo 56 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần tập trung vào việc trình bày cách xây dựng vành đa thức biến, nhiều biến; chứng minh hai kết quan trọng: Nếu R vành nhân tử hóa (tương ứng Noether) vành đa thức biến, nhiều biến vành nhân tử hóa (tương ứng Noether) 1.1 1.1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức Khái niệm vành đa thức biến Giả sử R vành giao hoán với đơn vị Ký hiệu P ⊂ RN tập tất dãy f = (a0 , a1 , , an , 0, 0, ) với ∈ R có số hữu hạn thành phần khác 0, lại tất Vậy phần tử thuộc P có dạng (0, , 0, 0, ) (a0 , , an , 0, 0, ) với thành phần cuối an 6= Ta đưa phép toán vào P để biến P thành vành Với f = (a0 , , an , 0, ), g = (b0 , , bm , 0, ) ∈ P, định nghĩa: f = g = bi , i = 0, 1, 2, f + g = (a0 + b0 , a1 + b1 , , ak + bk , , 0, ) f.g = (a0 b0 , a1 b0 + a0 b1 , a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 , , 0, ) Bổ đề 1.1.1 Tập (P, +, ) vành giao hoán với đơn vị (1, 0, 0, ) · · · v0 v1 · · · vn−1 với vị trí trắng gọi Kết thức hay Định thức (−1)m(m−1)/2 Sylvester fu gv Kết thức D(fu ) = Res(fu , fu0 ) u0 gọi biệt thức fu Từ định nghĩa ta suy vài tính chất sau: (i) Res(fu , gv ) đa thức với hệ số nguyên bậc m + n đa thức bậc n ui , bậc m vj (ii) Res(fu , gv ) có hạng tử un0 vnm , cịn unn v0m với dấu + − (iii) Giả sử m > n c ∈ K Khi Res(fu + cgv , gv ) = Res(fu , gv ) (iv) Với đa thức ht ta có Res(fu , gv ht ) = Res(fu , gv ) Res(fu , ht ) 11 Định lý 2.1.1 Với hai đa thức fu gv ln có hai đa thức h(u, v, x) k(u, v, x) thuộc K[u, v][x] thỏa mãn bậc deg h(u, v, x) < deg gv deg k(u, v, x) < deg fu để có hệ thức biểu diễn sau: Res(fu , gv ) = h(u, v, x)fu + k(u, v, x)gv Chứng minh: Sử dụng hệ đồng thức đây:    xn−1 fu = u0 xm+n−1 + u1 xm+n−2 + · · · + um xn−1       xn−2 fu = u0 xm+n−2 + u1 xm+n−3 + · · · + um xn−2           f = u xm + u xm−1 + · · · + u u m   xm−1 gv = v0 xm+n−1 + v1 xm+n−2 + · · · + xm−1       xm−2 gv = v0 xm+n−2 + v1 xm+n−3 + · · · + xm−2           g = v xn + v xn−1 + · · · + v v n Ta coi zi = xm+n−1−i , i = 0, 1, , m+n−1, ẩn định thức hệ phương trình tuyến tính Res(fu , gv ) Ký hiệu ~ki , i = 0, 1, , m + n − 1, véc tơ  u0         v       cột ma trận u1 u2 · · · um u0 u1 · · · um−1 um · · · u0 u1 · · · um−1 um v1 v2 · · · v0 v1 · · · vn−1 · · · v0 v1 · · · vn−1                 ~k = (xn−1 fu , , fu , xm−1 gv , , gv )T Khi ta có hệ phương trình z0~k0 + z1~k1 + · · · + zm+n−1~km+n−1 = ~k ... HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên... KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đa thức nghiệm đa thức 1 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 Kết thức phép khử 2.1.1 Đặc biệt hóa 2.1.2 Khái niệm kết thức. .. khái niệm kết thức biệt thức xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức biến, hai đa thức hai biến cuối trường hợp n biến Biểu diễn kết thức qua nghiệm phép khử ẩn Nội dung cịn lại chứng minh