(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng(Luận án tiến sĩ) Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ THỊ HOÀI AN GS TSKH HÀ HUY KHOÁI Nghệ An - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Diệp ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Tạ Thị Hoài An GS TSKH Hà Huy Khoái Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Thị Hồi An, người Cơ nghiêm khắc mẫu mực, định hướng nghiên cứu, đặt toán hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ kính trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Hà Huy Khoái, người thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Ban Giám hiệu, phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp Khoa Toán, Tổ Đại số tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Viện Tốn học, phịng Lý thuyết số, phòng Đại số, nhà khoa học Viện Tốn giúp đỡ tác giả, tạo mơi trường học tập tham gia buổi sinh hoạt khoa học Viện để tác giả hồn thành luận án Nhân dịp tác giả xin cảm ơn đến TS Chu Trọng Thanh quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập Xin cảm ơn thầy cô, bạn bè trao đổi, chia sẻ công iii việc sống Xin cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh Viện Toán, Trường Đại học Vinh chia sẻ, động viên trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án đến hương hồn Bố, kính tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo Chính Mẹ em chấp nhận khó khăn dành hết tình thương yêu cho tác giả suốt năm tháng qua để tác giả hồn thành luận án Nghệ An, 2014 Nguyễn Thị Ngọc Diệp MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đa tạp đại số 11 1.2 Cấu xạ đa tạp 13 1.3 Đường cong phẳng 15 1.4 Không gian Hyperbolic 18 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp đường cong trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng 1-dạng quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề 2.3 Một số điều kiện đủ để thành phần bất khả quy 22 đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn 28 2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I 28 2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I 33 2.4 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống iv 34 2.4.1 Bội giao 34 2.4.2 Phép biến đổi toàn phương 37 2.4.3 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành 2.5 phần bất khả quy có giống 39 Một số ứng dụng ví dụ 49 Độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56 3.1 Một số kết bổ trợ 57 3.2 Chặn độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I 3.4 62 66 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác 70 Kết luận kiến nghị 78 Danh mục cơng trình NCS liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường số phức k : Trường An (k) : Không gian afin n chiều trường k Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trường k k[x1 , , xn ] : Vành đa thức n biến trường k degf : Bậc đa thức f V (S) : Tập nghiệm hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A tập B A 6⊂ B : A không tập B A ∩ B : A giao B A ∪ B : A hợp B idX : Ánh xạ đồng từ tập X vào I(X) : Iđêan X Γ(X) : Vành toạ độ X J (V, k) : Tập hợp tất hàm từ tập V vào k gcd(a, b) : Ước chung lớn a b MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một toán Lý thuyết số nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm tốn giải phương trình Diophant Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên phương trình Diophant với hệ số số nguyên Sau đó, việc xem xét nghiệm phương trình Diophant mở rộng tập số hữu tỷ trường hàm hàm phân hình phức, hàm phân hình khơng Acsimet, hàm hữu tỷ Cho P Q đa thức biến trường đóng đại số k Bài tốn tồn hay khơng hàm f g khác thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từ lâu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Bên cạnh đó, tốn phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành nhân tử bất khả quy tính hữu hạn nghiệm nguyên đa thức k trường số nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo Định lý Faltings Định lý Picard, hai toán liên quan chặt chẽ với Ngay từ năm đầu kỷ XX, số kết toán đưa cơng trình J F Ritt [36], sau A Ehrenfeucht [19], H Davenport, D J Lewis A Schinzel [16], M Fried [22], Khi Q = cP , C C Yang P Li [44] giới thiệu khái niệm đa thức mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trường đóng đại số k gọi đa thức mạnh họ hàm F với hàm f, g ∈ F số c khác khơng mà P (f ) = cP (g) c = f = g Cho đến tốn tìm điều kiện để đa thức đa thức mạnh họ hàm giải trọn vẹn trường hợp phức trường hợp p-adic cho họ hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]) Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng tự nhiên vấn đề đa thức mạnh, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình P (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phương trình P (f ) = Q(g) khơng có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác đường cong P (x) − Q(y) = không chứa thành phần có giống Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống đưa J F Ritt ([36]) U M Zannier ([46]) R M Avanzi U M Zannier ([11]) đưa điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống Trong trường số phức, số điều kiện bậc P Q để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác xem xét tác giả H H Khoái C C Yang [31], C C Yang P Li [45] Gần đây, [7], T T H An A Escassut xem xét vấn đề trường không Acsimet Họ đưa điều kiện đủ P Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết giới thiệu lần Fujimoto [24], điều kiện cần đủ degP = degQ Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ đường cong khơng có nhân tử có giống bé vấn đề mở Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trường hàm hữu tỷ đề tài thời nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chọn đề tài nghiên ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý... thức trường hàm hữu tỷ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số, đồng thời xem xét điều kiện để đa thức. .. cứu với việc xét phương trình Diophant trường hàm trường hàm phân hình phức, trường hàm phân hình khơng Acsimet, trường hàm hữu tỷ Cho phương trình P (x) = Q(y), P Q đa thức biến trường đóng đại