ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: 3x  y  1) Giải hệ phương trình:  2 x  y  2) Giải phương trình x4  12 x2  16  3) Giải phương trình 1   x   x  1 x   x Câu 2: x2 1) Vẽ đồ thị  P  hàm số y  2) Tìm tham số thực m để hai đường thẳng y  x y   m2  m  x  cắt 3) Tìm số thực a để biểu thức   2a xác định a2 Câu 3: 1) Cho hình cầu tích 288  cm3  Tính diện tích mặt cầu 2) Một nhóm học sinh giao xếp 270 sách vào tủ thư viện thời gian định Khi bắt đầu làm việc nhóm bổ sung thêm học sinh nên nhóm xếp nhiều dự định 20 sách, khơng hồn thành trước dự định mà vượt mức 10 sách Hỏi số sách nhóm dự định xếp bao nhiêu? 3) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm  x1  ,  x2  Câu 4:  a a   a  a   1) Rút gọn biểu thức P     (với a  a  )  a4  a  a     x  y  18 2) Tìm số thực x y thỏa mãn   y  x  18 Câu 5: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  có hai đường cao BE CF cắt trực tâm H , AB  AC Vẽ đường kính AD  O  Gọi K giao điểm đường thẳng AH với đường tròn  O  , K  A Gọi L, P giao điểm hai đường thẳng BC EF , AC KD 1) Chứng minh tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn tâm I đường tròn thuộc đường thẳng BC 2) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AH  2OM 3) Gọi T giao điểm đường tròn  O  với đường tròn ngoại tiếp EFK , T  K Chứng minh ba điểm L, K , T thẳng hàng Câu 6: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh  a  b  c    a  b  c  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Câu (1,75 điểm) Cách giải: 3x  y  1) Giải hệ phương trình:  2 x  y  1   y   2 x    x   22 y   11 x  y  x  10 y  14             2 x  y  2 x  4.     y   2 x  y  6 x  12 y  y         2 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất:  x; y    ;   2 2 2) Giải phương trình x4  12 x2  16  Đặt x  t  t   Khi ta có phương trình  t  12t  16  Phương trình có:  '  62  16  20  t1   20    tm   Phương trình có hai nghiệm phân biệt:  t2   20    tm  +) Với t    x    x2   5  x2    1 x  1 1    x    +) Với t    x    x2   5  x2    1 x  1 1    x      Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S    1;  5; 3) Giải phương trình   1;  1   x   x  1 x   x x   Điều kiện:  x  x   1   x   x  1 x   x  x  x    x   x  1 x    x  x  x  3x  x   x2  x    x2  6x  x    x  x  6   x  6    x  1 x     x   ktm  x 1    x    x   tm  Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S  6 Câu (2 điểm) Cách giải: 1) Vẽ đồ thị  P  hàm số y  x2 Ta có bảng giá trị: x y Do đó, parabol  P  : y  x 4 2 0 4 x2 đường cong qua điểm  4;  ,  2;1 ,  0;0  ,  2;1 ,  4;  nhận Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số: 2) Tìm tham số thực m để hai đường thẳng y  x y   m2  m  x  cắt Hai đường thẳng y  x y   m2  m  x  cắt chi khi: m2  m   m2  m    m  m  2m    m  m  1   m  1    m  1 m    m   m    m   m  2 Vậy với m  m  2 hai đường thẳng y  x y   m2  m  x  cắt 3) Tìm số thực a để biểu thức Biểu thức   2a xác định a2 a   a    2a xác định      a  a2 6  a  a  Vậy với  a  biểu thức   2a xác định a2 Câu (1,75 điểm) Cách giải: 1) Cho hình cầu tích 288  cm3  Tính diện tích mặt cầu Gọi R bán kính hình cầu Vì khối cầu tích 288  cm3  nên  R  288  R3  216  R  216   cm Vậy diện tích mặt cầu S  4 R  4 62  144  cm  2) Một nhóm học sinh giao xếp 270 sách vào tủ thư viện thời gian định Khi bắt đầu làm việc nhóm bổ sung thêm học sinh nên nhóm xếp nhiều dự định 20 sách, khơng hồn thành trước dự định mà vượt mức 10 sách Hỏi số sách nhóm dự định xếp bao nhiêu? Gọi số sách nhóm dự định xếp x (quyển) (ĐK: x   Thời gian dự định xếp xong 270 sách * ) 270 h x Vì nhóm xếp nhiều dự định 20 sách nên thực tế số sách nhóm xếp x  20 (quyển) Vì nhóm xếp vượt mức giao 10 sách nên nhóm xếp 270  10  280 (quyển)  Thời gian thực tế xếp xong 280 sách là: 280 h x  20 Vì thực tế hồn thành trước dự định nên ta có phương trình: 270 280  1 x x  20  270  x  20   280 x  x  x  20   270 x  5400  280 x  x  20 x  x  30 x  5400   x  60 x  90 x  5400   x  x  60   90  x  60     x  60  x  90    x  60  tm   x  60     x  90   x  90  ktm  Vậy số sách nhóm dự định xếp 60 3) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm  x1  ,  x2  Xét phương trình x  x   có ac  1  nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu  x1  x2  Gọi x1 , x2 nghiệm phân biệt phương trình x  x   , áp dụng định lí Vi-ét t có:   x1 x2  1 Vì hai nghiệm x1 , x2 trái dấu nên khơng tính tổng qt, ta giả sử x1   x2 Khi ta có: S   x1    x2    x13  x23 3   x2  x1   3x1 x2  x2  x1    x2  x1    x2  x1  P   x1   x2    x13 x23 3    x1 x2     1  3 Ta có:  x2  x1    x2  x1   x2 x1  22   1  2  x2  x1   x2  x1   Do x2  x1  Khi ta có: S   x1    x2    Vì S  P  10     3   8    10  4.4  184  nên  x1  ,  x2  nghiệm phương trình X  10 X   3 Vậy  x1  ,  x2  nghiệm phương trình X  10 X   3 Câu (1,25 điểm) Cách giải:  a a   a  a   1) Rút gọn biểu thức P     (với a  a  )  a4  a  a    Với a  0, a  ta có:  a a   a  a   P      a    a  a    a  23    a2 a 3 a 6    P  a 2   a  a    a            a  a2 a 4   a  2 a  3 P   a  2  a  2 a  2 P a 2 a2 a 4    a  2 a   a   a 2 3 P  a 3 Vậy với a  0, a  P  a   x  y  18 2) Tìm số thực x y thỏa mãn   y  x  18  x3  y  18 1 Xét hệ phương trình   y  x  18   Trừ vế theo vế phương trình (1) (2) ta có: x3  y  y  x   x  y   x  xy  y     x  y  x  y    x  y   x  xy  y  x  y   x  y   2  x  xy  y  x  y  TH1: x  y   x  y Thay vào phương trình (1) ta có: x  x  18  x3  x  18   x  27  x     x  3  x  x     x  3 x  3    x  3  x  x   x  3    x  3  x  x    x    x    x  2x   Xét phương trình x  x     x  1   (vô nghiệm  x  1    x ) 2 Với x   y   Hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 TH2: x  xy  y  x  y   x3  y  18  18  x  18   x y0 Vì  3  y  x  18  18  y  18  1   Lại có x  xy  y  x  x y  y  y   x  y   y  x, y 4   Do x  xy  y  x  y  x, y , phương trình x  xy  y  x  y  vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3 Câu (2,75 điểm) Cách giải: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  có hai đường cao BE CF cắt trực tâm H , AB  AC Vẽ đường kính AD  O  Gọi K giao điểm đường thẳng AH với đường tròn  O  , K  A Gọi L, P giao điểm hai đường thẳng BC EF , AC KD 1) Chứng minh tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn tâm I đường tròn thuộc đường thẳng BC Ta có: BE đường cao ABC  BE  AC hay BEC  HEC  900 AKD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  AKD  900 Xét tứ giác EHKP ta có: HEP  HKP  900  900  1800 Mà hai góc hai góc đối diện  EHKP tứ giác nội tiếp (đpcm) Có: HKP  900 góc nội tiếp chắn cung HP  HP đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác EHKP  Tâm I đường tròn trung điểm HP Gọi J giao điểm AK BC Ta có: HBJ  HAC (cùng phụ với ACB ) KBC  KAC (hai góc nội tiếp chắn cung KC ) Hay JBK  HAC  HBJ  JBK   HAC   BJ phân giác HBK Ta có: AH đường cao ABC  AH  BC   J   BJ đường cao BHK Xét BHK ta có: BJ vừa đường cao, vừa đường phân giác từ đỉnh B tam giác  BHK cân B BJ đường trung tuyến BHK  J trung điểm HK Gọi I ' giao điểm BC HP Ta có: AJ  BC   J  Mà KP  AH   K   BC / / KP hay JI '/ / KP Xét HKP ta có: J trung điểm HK (cmt) IJ / / KP (cmt)  I ' J đường trung bình HKP  I ' trung điểm HP  I  I ' hay I  BC (đpcm) 2) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AH  2OM  AB  BD Ta có: ABD  ACD  900 (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)    AC  CD  AB  EF  gt  CF / / BD  Mà  (từ vng góc đến song song)  BE / / CD  BE  AC  gt   BH / / CD Hay   BDCH hình bình hành (dhnb) CH / / BD  BC cắt HD trung điểm đường Lại có M trung điểm BC (gt)  M trung điểm HD Xét AHD ta có: O, M trung điểm AD, HD  OM đường trung bình AHD (định nghĩa) OM / / AH    AH  2OM  dpcm  OM  AH 3) Gọi T giao điểm đường tròn  O  với đường tròn ngoại tiếp EFK , T  K Chứng minh ba điểm L, K , T thẳng hàng Gọi T ' giao điểm tia LK với đường tròn  O  Xét tứ giác BFEC ta có: BFC  BEC  900 Mà đỉnh F , E đỉnh kề  BFEC tứ giác nội tiếp (dhnb)  LFB  LCE (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Xét LFB LCE ta có: L chung  cmt  LCE  g  g  LFB  LCE  LFB  LF LB   LE.LF  LB.LC LC LE Ta có tứ giác BCT ' K nội tiếp đường tròn  O   LKB  LCT ' (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Xét LBK LCT ' ta có: 10 L chung LKB  LCT '  cmt   LBK LT ' C  g  g  LB LK   LB.LC  LK LT ' LT ' LC  LE.LF  LK LT '   LB.LC    LF LK  LT ' LE Xét LFK LT ' E ta có: ELT ' chung LF LK  LT ' LE  LFK LT ' E  c  g  c   LKF  LET ' (hai góc tương ứng)  EFKT ' tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện)  T ' thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK  T  T '  L, K , T thẳng hàng (đpcm) Câu (0,5 điểm) Cách giải: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh  a  b  c    a  b  c  Ta có: a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca  2ab  a  b2  Mà 2bc  b2  c   ab  bc  ca    a  b  c  2ca  c  a   a  b2  c2   a  b  c    a  b2  c2    a  b2  c2    a  b  c    a  b2  c2   a  b  c 3   a  b2  c2   a  b  c 27 Ta cần chứng minh a  b  c  9a  b  c 27   a  b  c   243  a  b  c    a  b  c   a  b  c   243    11 Vì a, b, c   a  b  c  Do ta cần chứng minh  a  b  c   243    a  b  c   243  a  b  c  5 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a  b  c  3 abc  a  b  c Dấu “=” xảy    a  b  c 1 abc  Vậy ta có điều phải chứng minh -HẾT - 12