Microsoft Word Document1 NGUYÊN HÀM HỮU TỶ I LÝ THUYẾT Dấu hiệu nhận biết Là nguyên hàm có dạng ( ) ( ) f x I dx g x = Trong đó ( ) , ( )f x g x là các hàm đa thức Chú ý Tổng quát ta có + Mẫu bậ[.]
Tài Liệu Ôn Thi Group NGUYÊN HÀM HỮU TỶ I LÝ THUYẾT: - Dấu hiệu nhận biết: Là nguyên hàm có dạng I = f ( x) dx Trong f ( x ) , g ( x ) hàm g ( x) đa thức - Phương pháp chung: Nếu bậc tử lớn bậc mẫu ta đem chia tử cho mẫu Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu ta làm theo trường hợp đặc biệt - Chú ý: Tổng quát ta có + Mẫu bậc + Mẫu bậc 2: Có nghiệm , Có nghiệm , Vơ Nghiệm + Mẫu bậc cao + Đổi biến trở hữu tỉ II BÀI TẬP MẪU BẬC 1: Chú ý: 1 dx = ln ax + b + C ax + b a VÍ DỤ MINH HỌA: a) x + dx b) x + dx c) 2x + x + dx d) x2 + x + x − dx BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 5x − dx dx B = ln x − + C = − ln ( x − ) + C 5x − 5x − 2 dx dx C D = ln x − + C = ln x − + C 5x − 5x − Câu 2: Tính nguyên hàm dx 2x + 1 A ln x + + C B ln ( x + 3) + C C ln x + + C D ln x + + C 2 Câu 3: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F ( ) = Tính F ( 3) x −1 A F ( 3) = ln − B F ( 3) = ln + C F ( 3) = D F ( 3) = Câu 4: F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + Biết F ( ) = , 2x +1 b b F (1) = a + ln a , b , c số nguyên dương phân số tối giản Khi giá trị c c biểu thức a + b + c A B C D 12 T A IL IE U O N T H I N E T A https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 2x − dx x+2 A I = − ln x + + C B I = x + ln x + + C C I = x − ln x + + C D I = + ln x + + C Câu 5: Tìm I = 2x + F(1) = Tính F(2) x +1 2 C F (2) = + ln D F (2) = −2 − ln 3 Câu 6: Biết F(x) nguyên hàm hàm số f ( x) = 2 B F (2) = −2 + ln 3 x − x +1 Câu 7: Nguyên hàm dx = ? x −1 x2 A x + B + ln x − + C + C 2 ( x − 1) A F (2) = − ln C x + ln x − + C D x + +C x −1 A F ( x) = x + ln x − + 2x +1 thỏa mãn F (2) = Tìm F ( x ) : 2x − B F ( x ) = x + ln(2 x − 3) + C F ( x) = x + ln x − + D F ( x) = x + ln | x − | −1 Câu 8: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.C 7.B 8.C IE U O N T H I N E T 4.A IL 3.B A 2.A T 1.A https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group MẪU BẬC 2: Dạng 1: Khi tử số đạo hàm mẫu số VÍ DỤ MINH HỌA: a) 2x x + dx b) x+2 dx x2 + 4x + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số A F (1) = − ln B F (1) = + ln c) d) dx x3 + x + x + x + x dx 2x +1 F (2) = Tính F (1) x + x +1 C F (1) = − ln D F (1) = + ln 2x ∀x f ( ) = Tính f ( ) ? x +1 C f ( ) = + ln D f ( ) = + ln B f ( ) = ln Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x2 + f ( x) = Câu 2: Biết hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện f ' ( x ) = A f ( ) = ( x + 1) x −1 x − 2x − B f ( x)dx = A f ( x ) dx = ln x + + ln x − ln x − x − x − 2x − C f ( x ) dx = ln x + − ln x − D f ( x)dx = ln x3 Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x +1 A f ( x ) dx = x ln ( x + 1) + C B f ( x ) dx = ln ( x + 1) + C C f ( x ) dx = ln ( x + 1) + C x4 D f ( x ) dx= +C ( x + 1) BẢNG ĐÁP ÁN T 4.C E 3.B A IL IE U O N T H I N 2.C T 1.A https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group MẪU BẬC 2: MẪU CÓ NGHIỆM Mẫu nghiệm có dạng: Tách đơi Kết VÍ DỤ MINH HỌA: VD1: Tìm ngun hàm sau : a) dx b) dx x −4 x( x + 1) VD2 : Tính Nguyên Hàm sau x+9 3x + a) dx b) dx x −9 x + 2x c) c) x dx − x−6 3x − dx −3 x + x − BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Họ nguyên hàm f ( x) = là: x ( x + 1) x +c B F ( x) = ln x +1 x x +1 +c +c C F ( x) = ln D F ( x) = ln x +1 x Câu 2: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = x −x A F ( x) = − ln x + ln x − B F ( x) = ln x + ln x − A F ( x) = ln x ( x + 1) + c C F ( x) = − ln x − ln x − D F ( x) = ln x − ln x − Câu 3: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + 12 x+3 + x + 12 + C B f ( x)dx = ln x + + C x+3 +C x+4 Câu 4: Tìm nguyên hàm I = dx − x2 x+2 + C A I = ln x−2 x−2 + C C I = ln x+2 D f ( x)dx = ln A C f ( x)dx = ln x f ( x)dx = ln x+4 +C x+3 x−2 + C x+2 x+2 + C x−2 Câu 5: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = F (1) = ln Tính F (2) ( x − 3)( x + 3) 1 A F (2 ) = − ln + ln B F (2 ) = − ln − ln 6 1 C F (2 ) = ln + ln D F (2 ) = ln − ln 6 T A IL IE U O N T H I N E T B I = ln D I = ln https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Câu 6: Tìm ngun hàm x x+3 dx ? + 3x + x+3 dx = ln x + − ln x + + C x + 3x + x+3 B dx = ln x + + ln x + + C x + 3x + x+3 C dx = ln x + − ln x + + C x + 3x + x+3 D dx = ln x + − ln x + + C x + 3x + 2 x − 13 dx = a ln x + + b ln Câu 7: Cho biết ( x + 1)( x − 2) A a + 2b = B a + b = x − x2 + x + dx là: Câu 8: Nguyên hàm x − 3x + x −1 +C A x + ln x−2 x −1 +C C x + ln x−2 x − + C Mệnh đề sau đúng? C 2a − b = D a − b = x−2 x + ln +C x −1 x−2 +C D x + ln x −1 B BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.C 7.D 8.D U O N T H I N E T 4.D IE 3.C IL 2.A A 1.C T A https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group MẪU BẬC 2: MẪU CĨ NGHIỆM Mẫu bậc có nghiệm Có dạng : Đổi biến , đặt Chú ý: VÍ DỤ MINH HỌA: a) (2 x + 1)2 dx 2x x − x + dx b) c) x2 + x − x + dx BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm I = dx x − 2x +1 2 + C x −1 + C C I = − ( x − 1) + C x −1 + C D I = ( x − 1) B I = A I = − Câu 2: Biết F ( x) nguyên hàm hàm số B F (2) = A I = + C ( 3x + 1) C I = + C 3x + dx 9x + 6x + + C ( x + 1) D I = − + C 3x + B I = − dx 25 x − 10 x + 1 + C B I = A I = + C ( x − 1) 5x −1 Câu 4: Tìm nguyên hàm I = Câu 5: Tìm nguyên hàm I = C I = − + C D I = − + C ( x − 1) 5x −1 2x −1 dx 4x + 4x +1 T A IL IE U O N T H 1 A I = ln x + + B I = ln x + + + C + C 2x +1 2x +1 1 C I = ln x + − D I = ln x + + + C + C 2x +1 4x + x−3 b Câu 6: Biết ∫ dx = a ln x − + + C với a,b ∈ ℤ Chọn khẳng định x − 2x + x −1 khẳng định sau: a b 2a =− = −1 A B = C D a = 2b 2b a b T Câu 3: Tìm nguyên hàm I = E 14 I N A F (2) = F (1) = Tính F (2) (2 x − 1) 10 C F (2) = D F (2) = 3 f ( x) = https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 5x + dx − 6x + 16 A I = ln x − − +C x −3 16 C I = ln x − + +C x −3 Câu 7: Tìm x 16 B I = ln x − − +C x −3 16 D I = 5ln x − − +C x −3 x (2 + x) ? Câu 8: Hàm số không nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1) x2 − x −1 x +1 x + 12 x − Câu 9: Tìm nguyên hàm I = dx x + 12 x + A I = x + + C 2x + C I = − x + + C 2x + A x2 x +1 B C x2 + x + x +1 D x2 + x −1 x +1 + C 2x + D I = − x − + C 2x + − 5x Câu 10: Nếu đặt t = 3x − nguyên hàm I = dx trở thành x − 24 x + 16 17 17 A I = − ln t + + C B I = ln t − + C 9t 9t 17t 17t C I = − ln t + D I = ln t − + C + C 9 9 x3 Câu 11: Nếu đặt t = x + nguyên hàm I = dx trở thành x + 2x +1 1 1 A I = t + 3t + ln t + + C B I = t − 3t − ln t + + C t t 1 C I = − t + 3t + ln t − + C D I = t − 3t + 3ln t + + C t t 4x Câu 12: Nếu đặt t = x − nguyên hàm I = dx trở thành 4x − 4x +1 1 A I = ln t − + C B I = ln t + + C t t 1 D I = ln t + + C C I = ln t − + C t t N T H I N E T B I = x − 6.B 7.D 8.D 9.A https://TaiLieuOnThi.Net U 5.B IE 4.C IL 3.B A 2.D 12.C T 1.A 11.D O BẢNG ĐÁP ÁN 10.A Tài Liệu Ôn Thi Group MẪU BẬC 2: MẪU VÔ NGHIỆM Mẫu vơ nghiệm Có dạng : Đổi biến, Đặt Chú ý: VÍ DỤ MINH HỌA: a) dx x +1 b) x + x + dx c) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm I = d ) x3 + 3x − x dx x2 + x + dx x +4 C C I = − x +1 arctan + C dx Câu 3: Tìm nguyên hàm I = 4x + 4x + x +1 D I = − arctan + C A I = arctan ( x + 1) + C B I = B x tan + C 2 x arctan + C 2 x + C dx Câu 2: Tìm nguyên hàm I = x + 2x + x +1 A I = arctan + C A t + C x+2 x + x + dx B I = D x +1 arctan + C arctan ( x + 1) + C D I = − arctan ( x + 1) + C C I = − arctan ( x + 1) + C dx x + 24 x + 20 A I = − arctan ( x + ) + C Câu 4: Tìm nguyên hàm I = B I = arctan ( x + ) + C 3x + D I = − arctan + C x Câu 5: Nếu đặt x = tan t − nguyên hàm I = dx trở thành x + 4x + A I = − ln cos t − 2t + C B I = ln cos t + 2t + C T 3x + C I = arctan + C D I = ln cos t + t + C 2x −1 dx x + 4x + A I = ln x + x + + arctan ( x + ) + C B I = ln x + x + − arctan ( x + ) + C C I = ln x + x + − arctan ( x + ) + C D I = ln x + x + + 3arctan ( x + ) + C I N H A IL IE U O N T T Câu 6: Tìm nguyên hàm I = E C I = −2 ln cos t − t + C https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 7: Nếu đặt x = tan t nguyên hàm I = A I = 2t + C B I = t + C π D I = t + C dx π Biết F ( ) = Vậy F ( ) có giá trị x +4 3π −π π B F ( ) = C F (2) = D F ( ) = 4 Câu 8: Cho nguyên hàm F ( x ) = A F ( ) = dx trở thành x +4 t C I = − + C 2 BẢNG ĐÁP ÁN 5.A 6.C 7.D 8.C IE U O N T H I N E T 4.C IL 3.B A 2.A T 1.D https://TaiLieuOnThi.Net