(Luận văn thạc sĩ hcmute) phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn cs mitc3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VÕ NGỌC TUYỂN PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRON CS-MITC3 NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP : 60.58.02.08 S K C0 Tp Hồ Chí Minh, tháng 4/2016 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VÕ NGỌC TUYỂN PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRƠN CS-MITC3 NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP - 60580208 Tp Hồ Chí Minh, tháng 04/2016 Luan van LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Võ Ngọc Tuyển Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 15 – 09 – 1989 Nơi sinh: Bình Định Quê quán: Tuy Phước – Bình Định Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: Phước Nghĩa – Tuy Phước – Bình Định Điện thoại quan: …………………………… Điện thoại nhà riêng: E-mail: ngoctuyentp@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo:……………………………… Thời gian đào tạo:……………… Nơi học (trường, thành phố):…………………………………………………… Ngành học:……………………………………………………………………… Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2007 đến 01/2013 Nơi học (trường, thành phố): Đại Học Tôn Đức Thắng Ngành học: Xây dựng dân dụng công nghiệp Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp: …………………………………… Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án thi tốt nghiệp: ……………………… Người hướng dẫn: ……………………………………………………………… III Q TRÌNH CƠNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian 04/2013 – 03/2016 Nơi công tác Công ty TNHH XD-TM Thuận Việt i Luan van Công việc đảm nhiệm Kỹ sư xây dựng LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2016 Võ Ngọc Tuyển ii Luan van LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Châu Đình Thành giúp đỡ, hướng dẫn cung cấp thơng tin cần thiết để tơi hồn thành luận văn thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh Xin cảm ơn tất người thân gia đình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Vì kiến thức thời gian thực luận văn thạc sĩ có hạn nên khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong đóng góp q thầy giáo, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 2016 Võ Ngọc Tuyển iii Luan van MỤC LỤC Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh sách ký hiệu vi Danh sách hình vii Danh sách bảng viii Chương TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu, kết nước ngồi nước cơng bố 1.1.1 Giới thiệu 1.1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1.1.3 Tình hình nghiên cứu nước 1.1.4 Tình hình nghiên cứu nước ngồi 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Nhiệm vụ đề tài giới hạn đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu Chương LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 2.1 Trường chuyển vị đặc trưng 2.2 Trường biến dạng 2.3 Trường ứng suất 2.4 Các thành phần nội lực 10 Chương CÔNG THỨC PHÂN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3 12 3.1 Xây dựng phần tử nút 12 3.2 Công thức phần tử MITC3 với nút bubble 17 3.3 Công thức phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 18 Chương VÍ DỤ SỐ 22 iv Luan van Chương KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 v Luan van DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU εx, εy, εz Biến dạng dài theo phương x, y, z u, v, w Chuyển vị theo phương x, y, z θx, θy, θz Chuyển vị xoay quanh trục x, y, z βx , βy Chuyển vị xoay quanh trục y, x γxy, γxz, γyz Biến dạng cắt mặt phẳng xy, xz, yz x, y Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y  xy ,  xz ,  yz Ứng suất cắt mặt có vector pháp tuyến x, y, z ν Hệ số poisson vật liệu E Mô đun đàn hồi h Bề dày tấm/vỏ a, L Chiều dài cạnh Mx , M y Môment uốn đơn vị chiều dài theo trục x, y mặt phẳng Oxy Mxy Môment xoắn đơn vị chiều dài mặt phẳng Oxz Qx, Qy Lực cắt theo trục x, y Dm Ma trận độ cứng vật liệu chịu uốn Ds Ma trận độ cứng vật liệu chịu cắt db Vector chuyển vị nút phần tử Bb Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị uốn Bs Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị cắt fb Vector lực k Độ cứng phần tử kMITC3 Độ cứng phần tử MITC3 Δ1 ,Δ2 ,Δ3 Tam giác phụ 1, 2, dCi Chuyển vị nút miền ΩC vi Luan van wiC , xiC , yiC Chuyển vị theo phương z chuyển vị xoay quanh trục x,y miền ΩC  Hệ số ổn định le Chiều dài lớn phần tử Ds Ma trận độ cứng vật liệu chịu cắt có hệ số ổn định kp Ma trận độ cứng phần tử uốn Db Độ cứng uốn Dsc Độ cứng cắt Ae Diện tích phần tử εb Biến dạng uốn εb Biến dạng uốn trơn εs Biến dạng cắt ε MITC s Biến dạng cắt MITC3 B MITC s Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị cắt MITC3 Bb Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị uốn trơn vii Luan van DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2.1: Mơ hình Mindlin – Reissner Hình 2.2: Các thành phần ứng suất phân bố theo chiều dày Hình 2.3: Các thành phần nội lực phần tử 10 Hình 3.1: Phần tử tam giác nút 12 Hình 3.2: Điểm buộc phần tử MITC3 17 Hình 3.3: Thể ba tam giác (Δ1, Δ2, Δ3) tạo từ nút 1, 2, điểm trọng tâm tam giác 19 Hình 4.1: Mô Patch test 23 Hình 4.2: Tấm vuông liên kết ngàm chia lưới 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 8x8 24 Hình 4.2.1: Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/L=0.1) liên kết ngàm 26 Hình 4.2.2: Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/L=0.001) liên kết ngàm 27 Hình 4.3: Tâm vng liên kết tựa đơn chia lưới 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 8x8 28 Hình 4.3.1: Biểu đồ so sánh đọ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/L=0.0001) liên kết tựa đơn 30 Hình 4.4: Tấm xiên 300 liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố q chia lưới 4x4, 8x8 ,10x10, 12x12, 16x16 31 Hình 4.4.1: Biểu đồ so sánh đọ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/L=0.001) xiên liên kết tựa đơn 33 Hình 4.5: Tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố q, chia lưới 6T3, 24T3, 54T3, 96T3 34 Hình 4.5.1: Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/R=0.02) tròn liên kết ngàm 36 Hình 4.5.2: Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (Với t/R=0.2) tròn liên kết ngàm 36 viii Luan van Vì tính đối xứng qua hai trục tốn, ¼ mô theo cách chia phần tử khác nhau: 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 8x8 kết hợp với tỷ lệ chiều dày chiều dài cạnh t/L ratio = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 Bảng 4.3 Kết chuyển vị phần tử phân tích vuông liên kết tựa đơn Lưới t/L 8x8 % sai 2x2 4x4 5x5 CS-MITC3 0,3834 0,4009 0,4029 0,4039 0,4039 0,57 CS-MITC3-N 0,3447 MITC4[29] 0,3969 0,0001 CS-DSG3[27] 0,3517 0,3931 0,3981 0,4007 0,4032 0,79 0,4041 0,4049 0,4053 0,4057 0,3928 0,3977 0,4004 0,403 0,79 MIN3[28] 0,3767 0,3873 0,3931 0,3989 1,80 0,2948 6x6 Giá trị xác[18] Element 0,4062 số 0,12 Kết tính tốn phần tử CS-MITC3 so sánh với phần tử MIN3[28], phần tử CS-DSG3[27], phần tử MITC4[29] giá trị xác[18] thể bảng 4.2 Trong kết phần tử CS-MITC3có hội tụ kết tốt cho kết xác số phần tử nghiên cứu trước Thông qua kết thu cho ta thấy trường hợp toán với liên kết tựa đơn phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 cho kết hội tụ tốt khử tượng “khóa cắt” thành cơng , đem lại kết hội tụ tốt phần tử nghiên cứu trước Tuy nhiên độ hội tụ phần tử hữu hạn trơn CS- MITC3 khơng thể xác phần tử hữu hạn MITC4 trường hợp phân tích vng liên kết tựa đơn 29 Luan van Số phần tử Hình 4.3.1 Biểu đồ so sánh đọ võng phân tích phương pháp CSMITC3 với phương pháp khác (với t/L=0,0001) 30 Luan van 4.4.Tấm xiên 300 liên kết gối tựa đơn chịu áp lực phân bố Hình 4.4.a thể xiên 30o chia lưới thuận liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố q chia lưới 4x4, 8x8, 10x10, 12x12, 16x16 Xét xiên 30o chia phần tử tam giác thuận liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố q, với thông số hình học, vật liệu sau: chiều dài cạnh L = 10m, môdul đàn hồi kéo nén E = 1092000KN/m2, Tỷ lệ chiều dày chiều dài cạnh t/L ratio = 0,1; 0,0001, hệ số poisson ν = 0,3 Sử dụng hệ số ổn định α = 0,1 Với điều kiện biên toán : -Tại vị trí y=0 => w =0, x≠0 y ≠0 -Tại vị trí y=10 => w =0, x≠0 y ≠ -Tại vị trí x=0 => w =0, x ≠0 y ≠ -Tại vị trí x=10 => w =0, x ≠ y ≠ 31 Luan van Bảng 4.4 Kết chuyển vị phần tử phân tích xiên liên kết tựa đơn: Chia lưới Phần tử t/L 0.001 8x8 10x10 0,4433 0,4031 CS-MITC3 CS-MITC3-N 0,2329 0,2916 MITC4[29] 0,3588 0,3571 ES-DSG3[27] 0,5926 0,4234 0,4004 0,3059 0,3993 0,3988 0,3161 0,3298 0,364 0,3717 0,3835 MIN3[28] 4x4 0,2726 0,3101 12x12 16x16 Giá trị xác[31] % sai số 2,25 19,17 0,408 6,00 0,4176 0,4179 0,4207 3,11 0,3228 0,3325 0,3465 15,07 Kết tính tốn phần tử CS-MITC3 so sánh với phần tử MIN3[28], phần tử CS-DSG3[27], phần tử MITC4 [29] giá trị xác [31]được thể bảng 4.2 Trong kết phần tử CS-MITC3có hội tụ kết tốt cho kết xác số phần tử nghiên cứu trước Qua kết thu cho ta thấy trường hợp tốn xiên với liên kết tựa đơn phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 cho kết hội tụ tốt khử tượng “khóa cắt” thành cơng , cho kết hội tụ tốt phần tử nghiên cứu trước 32 Luan van Số phần tử Hình 4.4.1 Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CSMITC3 với phương pháp khác (với t/L=0,001) 33 Luan van 4.5.Tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố Hình 4.5 Tấm trịn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố q, chia lưới 6T3, 24T3, 54T3, 96T3 Xét tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố q, với thông số hình học, vật liệu sau: bán kính R= 5m, môdul đàn hồi kéo nén E= 1092000KN/m2, Tỷ lệ chiều dày chiều dài cạnh t/R ratio = 0,2-0,02, hệ số poisson ν = 0,3 Sử dụng hệ số ổn định α = 0,1 Với điều kiện biên tốn : -Tại vị trí y=0 => w ≠0, x=0 y ≠ -Tại vị trí x=0 => w ≠0, x ≠0 y =0 Vì tính đối xứng qua hai trục tốn, ¼ mô theo cách chia lưới khác nhau: 6T3, 24T3, 54T3, 96T3 tương ứng với tỷ lệ chiều dày bán kính 0,2-0,02 34 Luan van Bảng 4.5 Kết chuyển vị phần tử phân tích trịn liên kết ngàm Chia lưới Phần tử t/R 0.2 CS-MITC3 CS-MITC3-N MITC4[29] CS-DSG3[27] 6T3 24T3 54T3 96T3 Giá trị xác[32, 33] 10,8495 11,4444 11,5160 11,5349 8,7865 10,8434 11,2397 11,3776 10,755 11,42 11,494 11,519 9,6481 11,089 11,354 11,442 MIN3[28] 6,4409 9144,3 CS-MITC3 CS-MITC3-N 6944,8 0.02 MITC4[29] 9068,1 CS-DSG3[27] 7896,2 MIN3[28] 5409,8 Kết tính tốn phần 9,3587 9,9418 9677,6 9745,1 9051,8 9460,0 9692,6 9738,5 9304,3 9576,1 8433,2 9158,8 tử CS-MITC3 % sai số 0,14 1,5 11,5513 0,28 0,95 10,133 12,28 9764,1 1,11 9603,0 2,7 9759,2 1,16 9873,48 9668,9 2,07 9428,5 4,51 so sánh với phần tử MIN3[28], phần tử CS-DSG3[27], phần tử MITC4[29] giá trị xác[32,33] thể bảng 4.2 Trong kết phần tử CS-MITC3có hội tụ kết tốt cho kết xác số phần tử nghiên cứu trước Thông qua kết thu cho ta thấy trường hợp tốn trịn với liên kết ngàm phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 cho kết hội tụ tốt khử tượng “khóa cắt” thành cơng , đem lại kết tốt phần tử nghiên cứu trước Trong toán khảo sát vuông trường hợp liên kết ngàm , vuông trường hợp liên kết tựa đơn , xiên góc 30o liên kết tựa đơn phân tích luận văn trịn cho kết xác phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu trước Từ ta đáng giá phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 tốt thích hợp để chọn làm phương pháp phân tích tiến hành phân tích tốn trịn 35 Luan van Số phần tử Hình 4.5.1 Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CS-MITC3 với phương pháp khác (với t/R=0,02) Số phần tử Hình 4.5.2 Biểu đồ so sánh độ võng phân tích phương pháp CSMITC3 với phương pháp khác (với t/R=0,2) 36 Luan van Chương KẾT LUẬN 5.1.Kết luận Dựa vào sở lý thuyết trình bày kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 để phân tích tốn , rút kết luận sau : + Nghiên cứu sử dụng phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 khử thành cơng tượng “khóa cắt “ sử dụng lý thuyết cắt bậc Mindlin- Reissner để phân tích mỏng có chiều dày nhỏ so với hai phương lại dẫn đến lượng biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) lớn nhiều so với lượng biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3) Và cho kết xác với kết nghiên cứu trước thông qua kết trường hợp t/L khác nhau, khảo sát từ 0,1->0,0001 + Kết thơng qua số tốn có hội tụ tốt so với nghiên cứu trước chia nhỏ lưới cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 phương pháp tốt phân tích mỏng + Một số kết nghiên cứu toán mỏng cho kết sát với kết chuẩn phương pháp trước đó, khẳng định độ tin cậy độ xác hướng nghiên cứu 5.2.Kiến nghị Qua kết luận cho thấy phần tử biến dạng trơn CS-MITC3 phần tử tốt, nhiên đề tài dừng lại phân tích đồng đẳng hướng Vì nghiên cứu mở rộng áp dụng phần tử biến dạng trơn CS-MITC3 để phân tích vỏ composite nhiều lớp dùng lý thuyết cắt bậc cao 37 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe Development of MITC isotropic triangular shell finite elements Computers and Structures 82 (2004) 945–962 [2] Klaus-Jurgen Bathe, Eduardo N Dvorkin A formulation of general shell elements-the use of mixed interpolation of tensorial components International journal for numerical methods in engineering, vol 22,697-722 (1986) [3] E Reissner The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates ASME Journal of Applied Mechanis, Vol 12, pp A68-77, 1945 [4] Dvorkin EN, Bathe KJ A continuum mechanics basedfour-node shell elementfor general nonlinear analysis EngComput 1984;1:77–88 [5] Bathe KJ, Dvorkin EN A formulation of general shell elements–the use of mixed interpolation of tensorial components Int J Numer Methods Eng1986;22:697–722 [6] Bathe KJ, Brezzi F, Cho SW The MITC7 and MITC9 plate bending elements Computers and Structures 1989;32:797–814 [7] Bucalem ML, Bathe KJ Higher-order MITC general shellelements Int J Numer Methods Eng 1993;36:3729–54 [8] M Cinefra, C Chinosi, L Della Croce MITC9 shell elements based on refined theories for the analysis of isotropic cylindrical structures In :Mechanics of Advanced Materials and Structures vol 20, pp 91-100 - ISSN 1537-6532 [9] J.D.Rodrigues, S.Natarajan, A.J.M.Ferreira, E.Carrera, M.Cinefra, S.P.A.Bordas Analysis of composite plates through cell-based smoothed finite element and 4-noded mixed interpolation of tensorial components techniques In : Computers and Structures, vol.135, pp 83-87 – ISSN 0045-7949 [10] Nguyễn Xuân Hùng, Ngô Thanh Phong Application of the curvature smoothing Technique for four-node quadrilateral reissner- mindlin plate element Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 29, No l (2007), pp 13 – 24 38 Luan van [11] Bischoff M, Bletzinger KU Stabilized DSG plate and shell element In Trend In Computational Mechanics CIMNE : Barcelona, Spain, 2001 [12] GR Liu, H Nguyen Xuan, T Nguyen Thoi A theoretical study on the smoothed FEM (S-FEM) models: Properties, accuracy and convergence rates International Journal for Numerical Methods in Engineering 84 (10), 1222-1256 [13] H Nguyen-Xuan, GR Liu, C Thai-Hoang, T Nguyen-Thoi An edgebased smoothed finite eleme nt method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 199 (9), 471-489 [14] T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, H Nguyen-Xuan, Chien H Thai A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plate International Journal For Numerical Methods In Engineering Int J Numer Meth Engng(2012) [15] P Phung-Van, T Nguyen-Thoi, H Luong-Van, C Thai-Hoang , H Nguyen-Xuan A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEMDSG3) using layerwise deformation theory for dynamic response of composite plates resting on viscoelastic foundation CMA 10147 21 January 2014 [16] Lương Văn Hải, Lê Đỗ Phương An, Đặng Trung Hậu, Nguyễn Thời Trung, Lê Trọng Nghĩa., Phân tích tương tác Mindlin đàn nhớt có gia cường Top Base chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3 , Tạp chí Xây dựng,, Số 8, 84-89., 2014 [17] Eugenio Onate, O C Zienkiewicz , Benjamín Suárez , R L Taylor A methodology for deriving shear constrained Reissner–Mindlin plate elements International Journal for Numerical Methods In: Engineering (Impact Factor: 1.96) 01/1992; 33(2):345 – 367 [18] Taylor RL, Auricchio F Linked interpolation for Reissner–Mindlin plate element International Journal For Numerical Methods In Engineering 1993; 36; 3057-3066 39 Luan van [19] Kaliti I A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on MindlinReissner plate theory and assumed shear strain fields-Part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis International Journal For Numerical Methods In Engineering 1993; 36; 1885-1908 [20] Kaliti I A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on MindlinReissner plate theory and assumed shear strain fields-Part I : An extended DKT element for thick-plate bending analysis International Journal For Numerical Methods In Engineering 1993; 36; 1859-1883 [21] P Phung-Van, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, Static and free vibration analyses of composite and sandwich plates by an edge-based smoothed discrete shear gap method (ES-DSG3) using triangular elements based on layerwise theory, Composite Part B, 60, 227-238, 2014 [22] Brezzi F, Fortin M, Stenberg R Error analysis of mixed – interpolated element for Reissner-Mindlin plate Math Models Meth Appl Sci 1, 125151(1991) [23] Tessler A, Hughes T.J.P A three-node Mindlin plate with improved transverse shear Comp Meth Appl Mech Engreg 50, 71-101 (1985) [24] E Reissner The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates ASME Journal of Applied Mechanis, Vol 12, pp A68-77, 1945 [25] R D Mindlin Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic Elastic plates, ASME Journal of Applied Mechanis, Vol 18 pp 31-38, 1951 [26] Youngyu Lee, Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe The MITC3+ shell element and its performance Computers and Structures 138 (2014) 12–23 [27] T Nguyen-Thoi, P Phung-Van, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan Cellbased smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures, International Journal of Mechanical Sciences, 74, 32-45, 2013 40 Luan van [28] Tessler A, Hughes TJR A three-node mindlin plate element with improved transverse shear Computer Methods Applied Mechanics Engineering 1985; 50; 71-101 [29] Bathe KJ, Dvorkin EN A four-node plate bending element based on Mindlin- Reissner plate theory and mixed interpolation International Journal For Numerical Methods In Engineering 1985; 21; 367-383 [30] Taylor RL, Auricchio F Linked interpolation for Reissner–Mindlin plate element Part II – a simple triangle International Journal For Numerical Methods In Engineering 1993; 36; 3057-3066 [31] Morley LSD Skew plate and structures Pergamon Press: Oxford, 1963 [32] Ayad R, Dhatt G, Batoz JL A new hybrid-mixed variational approach for Reissner–Mindlin plate The MiSP Model International Journal For Numerical Methods In Engineering 1998; 42; 1149-1179 [33] Ayad R, Rigolot A An improved four-node hybrid-mixed element based upon Mindlin’s plate theory International Journal For Numerical Methods In Engineering 2002; 55; 705-731 [34] T J R Hughes, F Brezzi On drilling degrees freedom Computer Method in Applied Mechanics and Engineering, 1989; 72: 105-121 [35] Bathe KJ, Brezzi F A simplified analysis of two plate bending elements—the MITC4 and MITC9 elements Numberical Methods in Engineering : Theory and Applications , University College (Swansea , UK , 1998 ), Martinnus Nijholff Publ (Kluwer ) [36] H Luong-Van, T Nguyen-Thoi, G.R Liu, P Phung-Van A cell-based smoothed finite element method using three-node shear-locking free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic response of laminated composite plates on viscoelastic foundation Engineering Analysis with Boundary Elements 42 (2014) 8–19 [37] Marco Gaiotti, Cesare M Rizzo, Kim Brannerb, Peter Berringb An high order Mixed Interpolation Tensorial Components (MITC) shell element approach 41 Luan van for modeling the buckling behavior of delaminated composites Computers and Structures V 108, February 2014, Pages 657–666 [38] Nguyen Van Hieu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen Thoi Trung Geometrically nonlinear analysis of composite plates and shells via a quadrilateral element with good coarse – mesh accuracy Composite Structures, Vol 112: pp 327 – 338, 2014 [39] Nguyen Van Hieu, Vo Anh Vu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen Ngoc Duong Analysis of shell structure via a smoothed four – node flat element Proceeding of the International Conference On Advances In Computational Mechanics (ACOME), 2012, Ho Chi Minh City, Viet Nam, pp 219233 42 Luan van S K L 0 Luan van ... xác phần tử Bảng 4.2 Kết chuyển vị phần tử phân tích vuông liên kết ngàm Chia lưới t/L Phần tử CS- MITC3 CS- MITC3- N MITC4[29] 0.1 CS- DSG3[27] MIN3[28] CS- MITC3 CS- MITC3- N MITC4[29] 0.001 CS- DSG3[27]... với phần tử CSMITC3-N (không sử dụng hệ số ), phần tử MIN3[28], phần tử CS- DSG3 [27] phần tử MITC4[29] giá trị xác thể bảng 4.2 Trong kết phần tử CS- MITC3 có hội tụ kết tốt cho kết xác số phần tử. .. 0,12 Kết tính tốn phần tử CS- MITC3 so sánh với phần tử MIN3[28], phần tử CS- DSG3[27], phần tử MITC4[29] giá trị xác[18] thể bảng 4.2 Trong kết phần tử CS- MITC3có hội tụ kết tốt cho kết xác số phần