MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm nhiều Một trong những nguyên nhân khó giải quyết vấn đề này là vì phương pháp tiếp[.]
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa quan tâm nhiều Một nguyên nhân khó giải vấn đề phương pháp tiếp cận khơng phải phương pháp thơng thường hay áp dụng hình học, phương pháp đại số tuý Để giải toán bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Học sinh nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp lớp học phương pháp tự học nhà tốt hơn, nhằm đáp ứng đổi thường xuyên khoa học công nghệ ngày Là giáo viên trực tiếp giảng dạy tìm hiểu thực tiễn trường PT DTNT THCS Mường Lát, huyện Mường Lát, tỉnh Thanh Hóa Khi giảng dạy cho em học sinh, nhận thấy em học sinh lớp gặp nhiều khó khăn giải toán bất đẳng thức cực trị hình học Đây thuộc loại tốn khó, làm cho học sinh phổ thông, trung học sở, kể học sinh giỏi lúng túng gặp dạng toán Thực phần quan trọng hình học, kiến thức bất đẳng thức hình học làm phong phú phạm vi ứng dụng Toán học Song giải tốn học sinh gặp khơng khó khăn, phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh thường bế tắc, lúng túng cách xác định dạng tốn chưa có nhiều phương pháp giải hay gọn gàng Chính vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài:“Nâng cao chất lượng mơn hình học học sinh lớp Trường PT DTNT THCS Mường Lát cách sử dụng bất đẳng thức Côsi” Với mong muốn tài liệu tham khảo hữu ích với em học sinh giỏi Tốn lớp 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm giúp học sinh thấy liên hệ mật thiết đại số hình học So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa quan tâm nhiều Một nguyên nhân khó giải vấn đề phương pháp tiếp cận khơng phải phương pháp thông thường hay áp dụng hình học, khơng phải phương pháp đại số tuý Cung cấp cho em kiến thức cần thiết, phải biết để vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén Nhằm khơi gợi khả tư sáng tạo em, từ giúp nâng cao kết học tập mơn hình học em 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh sử dụng bất đẳng thức Côsi vào giải tốn hình học Học sinh thấy mối liên hệ thú vị kiến thức đại số hình học, em hứng thú học hình, skkn khơi gợi khả tư sáng tạo em, từ giúp nâng cao kết học tập mơn hình học em 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Để biết cách vận dụng Cơsi vào tốn cực trị hình học lớp 9, học sinh cần nắm được: Khái niệm bất đẳng thức Côsi (BĐT cô si): Cho a1, a2, …, an số không âm Ta ln có: (với n ) Dấu xảy a1 = a2 = … = an * Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với số khơng âm, trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân Trung bình cộng trung bình nhân số * Ý nghĩa BĐT Côsi: + n số không âm có tổng khơng đổi, tích chúng đạt giá trị lớn số + n số dương có tích khơng đổi, tổng chúng đạt giá trị nhỏ số Lưu ý: Trước thực bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng tốn dạng tốn nào, chuyển đổi việc tìm cực trị tốn qua việc vận dụng BĐT cơsi khơng, sau tóm tắt đề giải Bước có tính chất định cách giải toán dễ dàng hay phức tạp.`` - Học sinh cần nắm yêu cầu giải số tập Tốn nâng cao hình học mà áp dụng BĐT côsi Cụ thể: Yêu cầu 1: Sai lầm không xác định giá trị đoạn thẳng tương ứng để bất đẳng thức trở thành đẳng thức ( Tức dấu BĐT xảy vi phạm nội dung giả thiết cho) Yêu cầu 2: Sai lầm sử dụng sai điều kiện tồn để áp dụng bất đẳng thức ( BĐT ) Yêu cầu 3: Sai lầm chưa hết trường hợp hình Yêu cầu 4: Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện u cầu 5: Lời giải toán đơn giản tốt 2 Thực trạng Như biết, bất đẳng thức Côsi xuất nhiều, xuyên suốt chương trình em, thường xuyên có mặt đề thi cuối cấp, thi vào trường cấp 3, thi học sinh giỏi Tốn bất đẳng thức khó, chúng giải khơng hồn tồn dựa vào cơng thức Đặc biệt lại bất đẳng thức hình học Hơn tập sách giáo khoa chưa thể đủ phương pháp chứng minh học sinh thường thiếu tự tin lúng túng gặp phải dạng toán Từ lý mà học sinh ngại làm loại tốn Trong thực tế giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần lí thuyết mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tập nhiều dạng tương skkn tự Kỹ phân tích tổng hợp học sinh chưa thành thạo, cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng bất đẳng thức chưa thạo, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại tốn Vì kết học tập em giỏi chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải tập lại khơng làm Điều thể thông qua thi khảo sát chất lượng cuối kì hai năm học 2019 – 2020 cụ thể sau: Giỏi Tổng số HS 60 Khá SL % SL 1,67 TB % 15 Yếu SL % SL % 46 76,66 6,67 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Giải pháp - Giáo viên củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết bất đẳng thức cho học sinh - Phân tích, tìm hiểu u cầu giải tốn hình học hình học có áp dụng BĐT qua nội dung ví dụ 2.3.2 Cách thực Ta bắt đầu việc nhắc lại Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2, …, an số khơng âm Ta ln có: (với ) Dấu xảy a1 = a2 = … = an * Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với số không âm, trung bình cộng khơng nhỏ trung bình nhân Trung bình cộng trung bình nhân số * Ý nghĩa BĐT Cơsi: + n số khơng âm có tổng khơng đổi, tích chúng đạt giá trị lớn số + n số dương có tích khơng đổi, tổng chúng đạt giá trị nhỏ số nhau.[3] Bài tốn gốc : Chứng minh a1, a2, …, an số dương, (a1 + a2 + … + an)( + + … + ) n2 Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: (1) (2) Do vế (1) (2) số dương, nên nhân vế hai bất đẳng thức trên, ta được: (a1 + a2 + … + an)( + + … + ) n2 Dấu xảy a1 = a2 = … = an [3] Trong nhiều toán, người ta thường sử dụng hai trường hợp riêng sau đây: Với a, b > 0, ta có: (a + b)( + ) Với a, b, c > 0, ta có: (a + b + c)( + + ) (3) skkn Bài 1: (Một kết đẹp thú vị tứ giác nội tiếp) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Hai đường chéo AC BD cắt I Chứng minh rằng: + + + + + + ( 1) * Phân tích tốn: Để chứng minh đẳng thức (1) ta chuyển đổi hạng tử vế trái thành dạng bậc hai tích ( = , …), từ áp dụng bất đẳng thức Cơsi chứng minh hạng tử vế trái nửa tổng hai hạng tử vế phải cụ thể: Hướng dẫn: (Hình 1) Dễ thấy ABI ∽ DCI (g.g) C B = = = (1) Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: ( + ) (2) I Dấu (2) xảy = Từ (1) (2) ( + ) (3) A D Hình Hồn tồn tương tự, ta có: ( + ) (4) ( + ) (5) (+ ) (6) Dấu (4), (5), (6) xảy tương ứng = , = , = Cộng vế (3),(4), (5), (6) ta điều phải chứng minh Dấu xảy IA = IB = IC = ID tứ giác ABCD hình chữ nhật * Nhận xét: Chìa khố để giải tốn việc chuyển đổi hạng tử vế trái thành dạng bậc hai tích, từ áp dụng bất đẳng thức Cơsi chứng minh toán Việc linh hoạt biến đổi tốn để áp dụng bất đẳng thức Cơsi trường hợp cụ thể cần thiết, địi hỏi người làm tốn tư duy, rèn luyện nhiều dạng hình thành kĩ cần thiết, tìm tịi sáng tạo Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ ba chiều cao AA 1, BB1, CC1; ba trung tuyến AA2, BB2, CC2 Giả sử AA2 BB1=P, BB2 CC1=Q, CC2 AA1=R Chứng minh rằng: + + (2) *Phân tích: Để chứng minh (2) ta chuyển đổi tỉ số vế trái tỉ số lượng giác Sau ta áp dụng định lí Menelauyt tìm mối quan hệ tỉ số lượng giác = = ; ……… áp dụng BĐT Côsi để chứng minh tỉ số lượng giác Hướng dẫn: skkn A Áp dụng định lý Menelauyt tam giác AA2C với đường thẳng BRB1, ta có: =1 Suy ra: = B1 C1 C2 P Q R (1) Do AA2 trung tuyến nên BC = 2.A2B, BB1 AC nên = B2 B A A2 = C Hình Vậy từ (1) = = Từ đó: Hồn tồn tương tự, ta có: ; = + + = 2.( + + ) Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi, thì: + + =3 Vậy: + + Dấu “=” xảy = = , tức tam giác ABC Bài 3: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C, D Xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Phân tích: Để xác định vị trí điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ vào GT tốn, ta đưa toán việc sử dụng tỉ số lượng giác để tính cạnh MC, MD theo tỉ số lượng giác sinα, cosα Và nhớ tới hệ thức sin2α + cos2α = liên hệ BĐT Côsi: x2 + y2 2xy Dấu đẳng thức xảy vị trí điểm C, D tìm Hướng dẫn: (Hình 3) y Ta có: SMCD = MC.MD Đặt : MA = a, MB = b, =α x D Khi MC = , MD = α Nên: SMCD = C Do a, b số nên SMCD nhỏ 2sinαcosα lớn F A a α M b B Hình Theo bất đẳng thức Côsi: 2sinα.cosα sin α + cos α = Nên SMCD ab Dấu xảy sinα = cosα α = 450 skkn Như Min SMCD = ab Điểm C, D xác định thứ tự tia Ax, By cho AC = AM, BD = BM Nhận xét: Điểm sáng tạo cách giải ta chọn biến tỉ số lượng giác sinα, cosα Giữa sinα Cosα với sin2α + cos2α có liên hệ BĐT Côsi: x2 + y2 2xy Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D, E Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn * Phân tích: Ta xét biểu thức trung gian, tỉ số diện tích hình bình hành ADME diện tích tam giác ABC tức = (Kẻ BK AC, cắt MD H) Đặt MB = x, MC = y, ta có: = = , = = , bất đẳng thức Côsi dạng Hướng dẫn: Cách : Ta thấy SADME lớn lớn Kẻ BK AC, cắt MD H SADME = MD.HK, SABC = AC.BK Suy ra: = A Đặt MB = x, MC = y, ta có: = = , = = Do đó : = (*) Theo bất dẳng thức Côsi: x + y D K (x + y)2 4xy (**) Từ E (*) (**), H ta được: Dấu xảy x = y Như max SADME = SΔABC, M C x B M y trung điểm BC * Phân tích: Dựa vào diện tích miền đa Hình giác ta xét biểu thức trung gian tỉ số tổng diện tích tam giác DBM, EMC diện tích tam giác ABC, lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng Cách 2: Ký hiệu SABC = S, SDBM = S1, SEMC = S2 Rõ ràng SADME lớn S1 + S2 nhỏ nhỏ Vì tam giác DBM EMC đồng dạng với tam giác ABC nên: = ( )2, = ( )2 Suy ra: = = Như S1 + S2 S nên SADME S Xảy dấu x = y Kết luận: max SADME = SΔABC, M trung điểm BC Nhận xét: Qua toán 4, toán, với cách khai thác khác việc vận dụng bất đẳng thức Cơsi dạng khác Vấn đề đòi hỏi người làm toán khả vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt mục đích cụ thể skkn Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình ? Phân tích: Ta có 2SDEKH = (DH+EK).HK =(BH+KC).HK Từ ta nhớ tới ý nghĩa BĐT Côsi: Với hai số dương x, y có tổng x + y khơng đổi, tích xy đạt giá trị lớn x = y Ngược lại tích xy khơng đổi tổng x + y đạt giá trị nhỏ x = y Ta thấy tổng (BH + KC) + HK không đổi (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn BH+KC = HK = Từ tìm diện tích lớn hình thang trở thành hình ? Hướng dẫn (Hình 5) Ta có: 2SDEKH = (DH+EK).HK B =(BH+KC).HK Ta thấy tổng (BH+KC) + HK không đổi H (bằng BC = a cho trước) nên tích (BH+KC).HK lớn M D K BH+KC = HK = Do đó: max S = = Khi hình thang DEKH có đường cao HK= kẻ AM BC tam giác ABC vng cân A nên MB = MC = C A E nên HB = HM = Hình Vậy KC = BC - BH - HK = a - - = Khi DH = HB = , EK = KC = Hình thang DEKH hình chữ nhật, E trung điểm AC Bài 6: Hai anh em chia tài sản mảnh đất hình tam giác ABC Họ muốn chia mảnh đất thành miếng đất có diện tích bờ rào thẳng ngắn Tính độ dài m bờ rào theo diện tích S góc nhỏ α tam giác * Phân tích: Một tình thực tế giải thuyết phục toán Nếu để chia mảnh đất hình tam giác thành mảnh có diện tích q đơn giản (chỉ cần bờ rào ba trung tuyến tam giác xong), mục đích đặt vừa phải chia đơi diện tích, vừa đảm bảo độ dài bờ rào thẳng ngắn Từ ta nghĩ đến bờ rào phải cắt cạnh tam giác Giả sử góc đỉnh A nhỏ nhất, , độ dài bờ rào IK = m Gọi khoảng cách từ đỉnh A tới hai đầu bờ rào x, y ta sử dụng công thức: IK2 = x2 + y2 - 2xy.cosA để từ khẳng định tích xy khơng đổi, sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị nhỏ IK.Sau dấu đẳng thức ta tính độ dài bờ rào theo S nhỏ Hướng dẫn : (Hình 6) Bờ rào phải cắt cạnh tam giác Giả sử góc đỉnh A nhỏ nhất, , độ dài bờ rào IK = m Gọi khoảng cách từ đỉnh A tới hai đầu bờ rào x, y Ta có: IK2 = x2 + y2 - 2xy.cosA (*) skkn Đặt SABC = S , SAIK = S’ S’ = khơng đổi Mặt khác, S’ = xy.sinA, mà S’ không đổi nên xy không đổi Từ (*) ta thấy: IK nhỏ x2 + y2 nhỏ Áp dụng BĐT Côsi: x2 + y2 2xy (x, y số) Vậy x2 + y2 nhỏ x = y Như vậy, xét bờ rào chắn góc A bờ rào ngắn tam giác AIK cân A(**) Bây ta tính độ dài bờ rào IK theo S α A α x y I K C B Hình Kẻ đường cao AH tam giác cân AIK (hình 6.1) Khi đó: IH = AH.tan suy IK = m = 2AH.tan Mặt khác 2S’ = IK.AH = m.AH nên 2.AH = Vậy m = tan m2 = 4S’.tan A α α 2 m=2 Thay S’ = m = I H K Hình 6.1 Vậy: Bờ rào có độ dài ngắn m = với α = ( , , ) *Nhận xét: Bài tốn thực tế khai thác việc chọn lọc, đề thi chọn học sinh giỏi Toán hay phù hợp với việc kết hợp câu hỏi phụ “ Chứng minh tam giác ABC, với độ dài AB = c, BC = a, AC = b, a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = a2 + b2 – 2ac.cosC ” Hoặc kết luận (**) lời giải cho ta toán “ Chứng minh tam giác AIK có diện tích số đo góc A không đổi, tam giác cân A độ dài IK nhỏ nhất” Dưới ví dụ khác việc khai thác toán gốc tốn khác, tuỳ theo mục đích hỏi đối tượng làm Bài 7: Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB tam giác theo thứ tự M N Đường thẳng vị trí tam giác CMN có diện tích nhỏ ? * Phân tích: Đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB tam giác theo thứ tự M N Đường thẳng vị trí tam giác CMN có diện tích nhỏ skkn nhất? Dựa vào diện tích miền đa giác ta có : SΔCMN = SΔOCM + SΔOCN = (CM + CN).r = (CM + CN) Mà : (CM + CN) Từ suy : = (CM + CN) Dấu “ = ” xảy Tam giác CMN cân đỉnh C có CO phân giác nên CO MN Hướng dẫn : A Gọi S diện tích CMN, ta có : M S = SΔOCM + SΔOCN = (CM + CN).r Do đó: = (CM + CN) (1) Theo bất đẳng thức Côsi: r O (CM + CN) (2) r Mặt khác: CM.CN 2S (3) B N C Hình Kết hợp (1), (2), (3) suy ra: = (CM + CN) hay S r S2 2S.r2 S 2r2 Vậy S nhỏ bẳng 2r2 CM = CN Tam giác CMN cân đỉnh C có CO phân giác nên CO MN Kết luận: Đường thẳng MN CO O CMN có diện tích nhỏ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường năm học gần thu kết khả quan hiệu quả, chất lượng mơn Tốn học sinh ngày nâng lên theo năm chất lượng học sinh giỏi mơn hình học Đề tài giúp em hứng thú học toán hơn, vận dụng sử dụng thành thạo BĐT Côsi BĐT hệ suy từ BĐT Côsi linh hoạt Khảo sát chất lượng sau áp dụng đề tài: So sánh kết trước sau áp dụng đề tài thấy tỉ lệ học sinh giỏi năm học 2020 - 2021 tăng lên rõ rệt cụ thể : Giỏi Tổng số HS 60 Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 16 26,67 39 65 3,33 Qua trình áp dụng sáng kiến này, tơi thấy để có kết cao, giáo viên cần lưu ý số vấn đề sau: - Phải hướng dẫn học sinh nắm phần lý thuyết - Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo tìm tịi cho em - Khi giải tốn hình học nâng cao hình lớp có áp dụng BĐT Cơsi trước hết phải đốn dạng, sau chọn lựa phương pháp để giải - Phải rèn học sinh cách suy nghĩ tìm tịi lời giải thực hành nhiều với tốn từ dễ đến khó Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác để củng cố rèn khả tư sáng tạo cho học sinh skkn Giáo viên cần đưa toán nâng cao từ toán sẵn có, làm Muốn cần phải soạn kĩ trước lên lớp để đưa phương án giải tốt cho chọn cách giải hay Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Với giải pháp nêu vận dụng vào trình hướng dẫn cho học sinh giải tốn hình học nâng cao lớp có sử dụng BĐT Côsi số BĐT hệ suy từ BĐT Cơsi nhận thấy em nắm quy tắc giải toán vận dụng làm tập tương tự tốt hơn, linh hoạt hơn, kích thích học sinh lịng say mê tìm hiểu cách giải khác nhau, trường hợp hình xảy ra, giúp học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải toán Những toán cực trị thường gắn Tốn học với thực tiễn, việc tìm lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, nhất… tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật Trong trình giảng dạy năm học vừa qua áp dụng kinh nghiệm để soạn giảng vận dụng vào thực tế tơi thấy có thay đổi: + Học sinh có thái độ học tập tích cực, thích thú, chủ động nêu lên thắc mắc, khó khăn vướng mắc q trình làm tập hình học dạng Bên cạnh tập giao nhà em làm cách nghiêm túc, tự giác học nắm kiến thức sau học xong + Chất lượng môn nâng lên, đặc biệt số học sinh ngại học phần toán giảm đáng kể thay vào nhiều em có kĩ giải dạng toán tốt 3.2 Kiến nghị + Cần tạo điều kiện thuận lợi thời gian tài liệu để giúp giáo viên, giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi giảng dạy tốt + Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu giáo viên học sinh Với thời gian nghiên cứu có hạn nên mức độ nghiên cứu chưa sâu, cố gắng kinh nghiệm thân hạn chế nên nội dung sáng kiến chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Vậy tơi kính mong đồng chí bạn đồng nghiệp, trao đổi, nhận xét góp ý chân tình để sáng kiến tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết: skkn 10 Mai Văn Tiến TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK toán 8, tập 1, Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 SGK toán 8, tập 2, Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 skkn 11 Các chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS – Nguyễn Thị Thanh Thủy, Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9– Bùi Văn Tuyên, Nhà xuất giáo dục – Năm 2006 Toán nâng cao hình Nguyễn Vĩnh Cận, Nhà xuất đại học sư phạm – Năm 2004 Rèn kỹ hình học - Nguyễn Đức Tấn, Đặng Anh Tuấn, Nhà xuất giáo dục – Năm 2005 Chuyên đề bồi dưỡng nâng cao Hình – Đặng Đức Trọng, Nhà xuất đại học quốc gia TPHCM – Năm 2006 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS hình học - Trần Văn Tấn - Nguyễn Thị Thanh thủy - Phạm Minh phương, Nhà xuất giáo dục Việt Nam – Năm 2014 Tuyển chọn chuyên đề Toán học Tuổi trẻ - Quyển 3, NXB Giáo dục skkn 12 ... kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Để biết cách vận dụng C? ?si vào tốn cực trị hình học lớp 9, học sinh cần nắm được: Khái niệm bất đẳng thức C? ?si (BĐT cô si) : Cho a1, a2, …, an số khơng âm Ta ln... lí thuyết bất đẳng thức cho học sinh - Phân tích, tìm hiểu u cầu giải tốn hình học hình học có áp dụng BĐT qua nội dung ví dụ 2.3.2 Cách thực Ta bắt đầu việc nhắc lại Bất đẳng thức C? ?si: Cho a1,... nghiệm Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường năm học gần thu kết khả quan hiệu quả, chất lượng mơn Tốn học sinh ngày nâng lên theo năm chất lượng học sinh giỏi mơn hình học Đề tài