Skkn kĩ thuật chọn hàm số trong phương pháp tích phân từng phần

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KĨ THUẬT CHỌN HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Người thực hiện: Trần Thị Thanh Bình Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn -MỤC LỤC Nội Dung Trang 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………….………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………….…………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… ……… II NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… …………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………… …………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường …………… …… 14 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………….… 16 3.1 Kết luận ………………………………………………… ……… 16 3.2 Kiến nghị …………………………………………………… … 16 Tài liệu tham khảo: …………………………………………………… 17 I MỞ ĐẦU skkn skkn -I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tích phân chủ đề xuất đề kiểm tra, đề thi học kỳ đặc biệt đề thi Tốt nghiệp THPT hàng năm học sinh lớp 12 Giải toán nhiều cách thời buổi này, cách thi có lẽ xa xỉ nhiều em học sinh, kể em có học lực Khá – Giỏi Bởi lý đơn giản là: có tìm cách giải hay thi có cho thêm điểm cách giải hay, cuối khoanh tròn đáp án Theo suy nghĩ không sai, nhiên áp dụng cho học sinh học Tốn với mục đích để thi khơng phải để học để tìm tịi rèn luyện tư sáng tạo, từ dẫn đến nhàm chán cho học sinh Chúng ta người dạy Tốn, trước hết phải khơi dậy niềm vui, niền đam mê học Toán cho học sinh Khơng phải giải tốn khó hay mà theo tơi hay, thú vị toán người làm toán phải biết nhìn tốn nhiều góc độ, phải biết bám vào lý do, điều kiện liên quan giả thiết cho để phụ vụ mục đích giải tốn mình, phải khám phá hiểu tốn khơi dậy niềm đam mê Tất nhiên học sinh học cuối để thi kết cao, học với mục đích để thi để đạt kết cao khó, mà có đạt học sinh cỗ máy giải Tốn Điều có nghĩa cần phải hướng cho học sinh “đích” xa nghĩa cho việc học, cho học sinh hiểu học Tốn q trình tìm tịi, khám phá cần sáng tạo để phát triển tư duy, cịn việc thi điều tất yếu đến, đánh giá trình học hỏi mình.Thành đạt tốt người học nắm vững kiến thức, làm chủ kiến thức Đó lý để tơi chăn trở, tìm tịi rút kinh nghiệm q trình học cho việc dạy Với khn khổ đề tài này, xoay quanh việc làm rõ, làm cho học sinh thấy hay, biến hóa sử dụng phương pháp để giải Tốn Phương pháp tích phân phần Có thể không mới, để làm rõ hay người để ý! Một điều tất yếu người tiếp nhận thấy hay, thấy hứng thú với phương pháp lĩnh hội hay khơng phải xem họ có hiểu sử dụng cách thành thục hay không, việc dẫn dắt học sinh tạo hứng thú, niềm tin học sinh phải phát cách tự nhiên tạo cảm giác họ phát Từ hứng thú kích thích học sinh tìm tịi, sáng tạo giải tốn cách tự tin hơn, có nhiều lời giải phong phú Có nhiều ý tưởng cho rằng, cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp em giải nhiều tốn Nhưng theo tôi, điều quan trọng việc vận dụng, vận dụng phương pháp Khi em thấy hiệu phương pháp từ tị mị, em khám phá nhiều ta tưởng! skkn -1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý trên, mục đích nghiên cứu đề tài dẫn dắt cho học sinh tiếp cận phương pháp cách nhẹ nhàng, nắm vững dần hình thành kỹ cho học sinh, lĩnh hội được: “Kĩ thuật chọn hàm số phương pháp tích phân phần ” để từ học sinh có thêm nhiều lời giải cho toán Để em thấy mặt tích cực việc học Tốn phát triển tư tìm tịi sáng tạo, u thích mơn học từ hay khơng phải mục đích thi Cũng dùng phương pháp tính tích phân phần học sinh phải biết phân tích tình đưa định nhanh-chính xác hiệu để đạt yêu cầu đặt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với khuôn khổ có hạn đề tài này, tơi xin trình bày số kĩ thuật để hương dẫn học sinh tiếp cận nắm vững Kĩ thuật chọn hàm số phương pháp tích phân phần 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chọn phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Từ toán cụ thể, vào yêu cầu toán kết hợp với điều kiện mà từ định hình cho học sinh kỹ thuật tách – ghép, thêm – bớt từ có lựa chọn phù hợp cho việc giải toán theo phương pháp tích phân phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tính nguyên hàm phần – tính tích phân phần, sách giáo khoa có đưa định lí – cơng thức tính: ; Trong đoạn , hàm số phụ thuộc biến xác định Tuy nhiên để vận dụng cơng thức cơng việc người dạy phải cho học sinh tách, chọn hàm , từ hàm số tích phân skkn -Có dễ chọn kiểu , ,… mà hàm tích hai loại hàm số khác nhau, việc chọn hàm cho khả thi thực nhanh Bên cạnh có bài: , ,… hàm , khơng tường minh, người làm phải có cách lựa chọn cho phù hợp khả thi Một điều quan trọng mà đề cập đến đề tài nhiều người, nhiều học sinh việc lấy hàm từ hàm đơn lấy nguyên hàm ứng với từ công thức mà quên số khác Trong nội dung đề tài đưa số ý để khắc phục cho thấy ưu điểm việc chọn số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước SKKN áp dụng, thấy đa số em học sinh giải tốn tích phân theo kiểu tù mù khơng có ý tưởng, khơng biết vận dụng phương pháp để giải toán Chỉ thực phần yêu cầu “ Sử dụng phương pháp tính tích phân phần để giải tốn sau” em có ý tưởng đó, mị mẫm, thử “ may được” Thiếu tính đoán dẫn đến làm đặc biệt thi với hình thức thi trắc nghiệm thời gian, ảnh hưởng khơng đến kết kiểm tra, thi Khi thực sử dụng phương pháp tích phân phần, vấn đề đặt học sinh chọn hàm , cho phù hợp Đó nội dung tơi đề cập đề tài 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trên sở kiến thức nguyên hàm, tích phân bản, từ tốn cụ thể để phân tích, hướng dẫn cho học sinh phát hiện, lựa chọn phù hợp có ý tưởng sử dụng phương pháp phần để giải toán Bài Tính tích phân sau: Khi đưa tốn này, không đặt nặng vấn đề cho học sinh kết đâu phải khó mà tơi đặt tình để học sinh lựa chọn: skkn -Phân tích tình huống: Với cách phân tích ta chọn cặp , , , sau: , Vậy phải bốn tình giải tốn này! 1) Xét tình tìm hàm tìm Để thực với cách chọn ta phải từ hàm điều khơng khả thi dễ nhận toán ban đầu ( thấy ) 2) Xét tình đơn giản việc tính từ khó (đối với học sinh) Khó khả thi! 3) Xét tình ta có nhiên việc tìm Đến dễ dàng tưởng tượng cơng việc tính tích phân tích phân bản! 4) Xét tình , khơng khó tìm , hệ phải tính đến có em thấy khó, em phát xuất tích phân ban đầu! Từ tình đưa trên, yêu cầu học sinh thực tình khả thi để so sánh Lời giải Cách 1: Đặt , ta có: Cách 2: Đặt , ta có: skkn -Suy ra: Như với tình đặt ra, em thấy có hai tình khả thi Với cách có số học sinh thấy xuất lại tích phân ban đầu dừng lại Khi giải xong này, gạt bỏ số chướng ngại cho học sinh tạo niềm tin, tính kiên trì cho em! Bài 2.(SGK Giải tích12 chuẩn/tr 100 )Tính tích phân: Phân tích tình huống: Với cách phân tích ta chọn cặp , , sau: , 1) Xét tình , Để thực với cách chọn ta phải tìm hàm từ hàm điều khơng khả thi dễ nhận tìm tốn ban đầu ( thấy ) 2) Xét tình ta có Đến dễ dàng tưởng tượng cơng việc tính tích phân tích phân bản! 3) Xét tình sinh đơn giản việc tính nhiên vấn đề nảy (Hàm lượng giác không mà bậc đa thức lại tăng lên) Khó khả thi! 4) Xét tình , khơng khó tìm hệ phải tính ban đầu! , cịn phức tạp nhiều so với tích phân Từ tình đưa ta có lời giải sau: Lời giải Đặt , ta có: skkn - Nhận xét Qua hai tốn trên, từ cách phân tích tình huống, ta yêu cầu học sinh nâng dần tư suy đốn để dần có “cảm giác” lựa chọn hàm số, từ nâng dần độ khó tốn Khơng phải giải tốn ta liệt kê mà tình em tư nhanh đầu dần hình thành kĩ phán đốn Bài Tính ngun hàm sau: Phân tích tình huống: Trong tích phân hàm tương đối phức tạp, việc phân tích thành tích hai hàm số nhiều Nếu ta chọn , , việc tìm hàm tạp, cịn việc tính đạo hàm hàm Vậy đảo lại sao? tương đối tương đối phức khơng phải vấn đề đây! , việc tìm q đơn giản Cịn Trong phân thức có xuất “tử số đạo hàm mẫu số”! Ta có Từ ta có cách giải sau: Lời giải Đặt:  Ta có: (1) Xét tích phân: Đặt: ,  skkn -Suy : thay vào (1): Nhận xét Nếu ta biến đổi lượng giác trước: ta có cách giải khác: Ta biến đổi: Đặt Nhận xét chung rút kinh nghiệm! 1) Chọn hàm số : Khi biểu thức dấu tích phân có chứa đồng thời hai hay nhiều hàm số hàm số: đa thức, lượng giác, logarit, mũ ta ưu tiên chọn theo thứ tự: logarit đa thức lượng giác mũ 2) Bên cạnh cần ý đến phần lại hàm phải hàm mà dễ dàng lấy nguyên hàm khơng phức tạp ngun hàm ban đầu Để minh họa nhận xét trên, ta tiếp tục cụ thể toán sau: Bài Tính ngun hàm sau: Phân tích tình huống: Nếu ta chọn , ta đạo hàm, hàm tăng bậc mẫu dẫn đến tốn cịn phức tạp hơn, phân tích để chọn hàm !? (gặp khó khăn) Ta chuyển sang để ý đến chọn hàm nguyên hàm bậc mẫu giản!) Vậy chọn (lấy đạo hàm bậc mẫu tăng lấy ? skkn -Theo phương pháp giải hàm phân thức ta phải làm xuất nguyên hàm, từ ta chọn lại để lấy , ta có lời giải cụ thể sau: Lời giải  Đặt: Vậy: Đặt: =  suy ra: = Ngồi ta gặp tích phân tích hàm số khơng phải bốn hàm số nói phải thận trọng việc lựa chọn hàm Bài Tính tích phân sau: Với số Phân tích tình huống: Nếu chọn Nếu chọn bậc tăng lên bậc ba! việc lấy nguyên hàm lại ý chút, bên ngồi ta cịn thêm tương đối khó Ta ta dễ dàng biến đổi thành Vậy ta chọn ta có , Bên cạnh đó, ta tính tích phân có xuất hàm thức bậc hai , ta lợi dụng tích phân sau: *) Ta có lời giải sau: Lời giải skkn - Đặt: Ta có: hay  Xét (1)  , Đặt: Vậy: thay vào (1) Suy ra: Như đề cập phía trên, lấy nguyên hàm hàm đến việc lựa chọn số , cụ thể ta xét tốn sau: Bài Tính tích phân sau: ta cần ý Phân tích tình huống: Với toán này, việc học sinh nghĩ đến phương pháp phần có lẽ dễ hiểu có dạng tích hai loại hàm số rõ ràng Lời giải Cách thứ (Cách giải “thông thường”) + Đặt Khi đó: skkn -+ Tính Ta phân tích: Chọn giá trị thay vào ta Khi Thay vào ta được: Qua lời giải cho thấy, sau sử dụng phần, ta gặp phải tích phân hàm phân thức hữu tỉ khơng khó nhiên lời giải tương đối dài Khi tác dụng việc chọn số chỗ này: Ta để ý hàm số có mẫu số cạnh , bên có biểu thức đồng dạng Cách giải thứ (Sử dụng “Kĩ thuật chọn số”) Đặt ( chọn ) Khi đó: Vậy để chọn số ta cần ý đến mối quan hệ, biểu thức đồng dạng hai hàm số , này, sau phân tích ta thấy xuất số 10 skkn -Ngồi tìm số (nếu có) cách sau: Từ đó, để giản ước ta đồng hệ số biểu thức để tìm Bài Tính tích phân sau: Phân tích tình huống: Hàm số dấu tích phân tích hai loại hàm số khác nên ta dùng phần Đặt ; Quan sát thấy mẫu số Đồng hệ số ta có , ta biến đổi thỏa mãn mục tiêu đặt Lời giải Đặt Khi = Để thấy khác biệt, ta cần cho học sinh tiếp cận lại cách giải thông thường sau: Cách giải “thơng thường” +) Đặt Khi đó: +) Tính Đặt Khi đó: 11 skkn Thay vào ta được: Bài Tính tích phân sau: Lời giải Các thứ (cách giải “thông thường”) Đặt Ta tính tích phân: Đặt Đổi cận: , suy ra: Ta phân tích: Đồng hệ số, ta có 12 skkn -Khi đó: Thay vào ta được: Cách giải thứ (Sử dụng “Kĩ thuật chọn số”) Đặt Khi Nhận xét: Khi chưa có ý tưởng chọn số học sinh khơng nghĩ đến cách thứ 2, nhiên tiếp cận em cần để ý thấy phán đốn số Bài Tính tích phân sau: Phân tích tình huống: Dạng tốn tương đối quen thuộc, dạng phân thức hữu tỉ, khơng học sinh tiếp cận cách giải Phân tích: Tuy nhiên ta có lựu chọn phù hợp giải phần cách đơn giản! Việc phát phương pháp phần có xuất biểu thức tương đối đơn giản thực lấy nguyên hàm Lời giải Cách thứ (cách giải “thông thường”) 13 skkn -Ta phân tích: Lần lượt ta chọn ta Cách giải thứ (Sử dụng “Kĩ thuật chọn số”) Đặt Khi đó: Nhận xét Từ toán em thấy ưu điểm việc chọn số cách phù hợp để có lời giải đẹp cho toán, giúp em giảm độ phức tạp, tiết kiệm thời gian đặc biệt tin tưởng để tìm, đề khám phá chưa biết! 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với nội dung ý tưởng đề tài hy vọng SKKN phổ biến rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho học sinh cách tiếp cận mơn Tốn nói chung Đặc biệt qua đề tài góp phần làm rõ ý tưởng tác giả dạy cho học sinh khám phá triệt để tính hiệu phương pháp học, phát triển tư tìm tịi, vận dụng để rèn luyện thành kĩ hướng tới phản xạ Đề từ có hướng đào sâu vận dụng phương pháp giải toán khác, linh hoạt nhiều tình đặt giải Toán Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy lớp, tơi thấy học sinh khơng cịn lúng túng trước tốn tích phân có đặc điểm nhận dạng ứng với phương pháp phần phát hiện, vận dụng vào mà phương pháp bị ẩn sâu 14 skkn -Có tác dụng liên quan em tự ý thức tư tìm tòi, khám phá vận dụng linh hoạt phương pháp khác để giải tích phân nói riêng phương pháp giải tốn nói chung Đa số em học sinh có lực học từ trung bình trở lên tự tin làm hết Bài tập SGK tập sách Bài tập Giải tích nâng cao 12 Đặc biệt, có em cịn đưa nhiều cách giải cho toán không dừng lại cách giải cho tốn Kết đạt được : Đối với chương trình cải cách SGK mới, so sánh kết năm học trước (2020-2021) năm học vừa qua (2021-2022) (Áp dụng giảng dạy năm học 2021 – 2022 luyện thi HSG cấp Tỉnh) cho thấy tiến rõ học sinh Là giáo viên trường THPT chuyên Lam Sơn, theo phân công chuyên môn nhà trường, phụ trách dạy áp dụng ba lớp thuộc ba ban :Lớp 12chuyên Sử, lớp 12 chuyên Anh lớp 12 chuyên Hóa Kết qủa so sánh thể bảng sau : Năm học 2019 - 2020 Năm học 2021 - 2022 Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 8 8 % % % % % Lớp lớp 12 chuyên 0,0 Anh lớp 12 chuyên 0,0 28,6 48,6 22,8 0,00 14,3 51 36,7 Hóa 15 skkn -III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua SKKN rút cho riêng thân học kinh nghiệm là: - Trong q trình giảng dạy khơng thiết phải chọn hay trình bày tốn q khó, hay lời giải ngắn gọn ( hiểu mà học sinh khơng hiểu ) Phải xác định vị trí – đóng vai trị hướng dẫn – khơng phải giải thay học sinh Dạy cho học sinh biết làm tốn khơng phải giải tốn cho học sinh - Tạo cho học sinh ln có ý khám phá phát để vận dụng cách hiêu phương pháp giải tốn mà học, kết hợp lại để tạo phương pháp đặc trưng cho riêng - Ln trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi, tích lũy cho nhiều hướng giải tốn để chủ động việc hướng dẫn học sinh - Từ toán cách giải toán, ta thấy học sinh định hướng tốt cách giải tốn khả giải tốn tăng lên 3.2 Kiến nghị Với nội dung có hạn đề tài nghiên cứu, xin kiến nghị đến Sở GD & ĐT, nhà trường đồng nghiệp đưa vào ứng dụng tiếp tục mở rộng thêm nội dung đề tài cho rất nhiều nội dung khác môn Tốn như: Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình,….Từ tạo niềm đam mê học Tốn cho học sinh, để em thoát khỏi khái niện học để “thi” Cuối cùng, xin cảm ơn thầy tổ Tốn trường THPT chun Lam Sơn đọc, góp ý giúp đỡ tơi hồn thành đề tài MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Tính tích phân sau: 1) 3) 2) 4) 5) 6) 7) 8) 16 skkn -9) 10) TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Toán nâng cao cho học sinh – Giải tích ( Phan Huy Khải - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội ) 2/ Bài giảng chuyên sâu Tốn THPT (Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn Nhà xuất Hà Nội) 3/ Giải tích 12- Chuẩn ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 4/ Giải tích 12- Chuẩn- Sách giáo viên ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 5/ Giải tích 12- Nâng cao ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) 6/ Giải tích 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội ) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Thị Thanh Bình 17 skkn ... tơi xin trình bày số kĩ thuật để hương dẫn học sinh tiếp cận nắm vững Kĩ thuật chọn hàm số phương pháp tích phân phần 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài này, chọn phương pháp nghiên cứu xây... suy ra: = Ngồi ta gặp tích phân tích hàm số khơng phải bốn hàm số nói phải thận trọng việc lựa chọn hàm Bài Tính tích phân sau: Với số Phân tích tình huống: Nếu chọn Nếu chọn bậc tăng lên bậc... dần hình thành kĩ phán đốn Bài Tính ngun hàm sau: Phân tích tình huống: Trong tích phân hàm tương đối phức tạp, việc phân tích thành tích hai hàm số nhiều Nếu ta chọn , , việc tìm hàm tạp, cịn