Skkn giúp học sinh yếu, kém giải được một số bài toán về cực trị liên quan đến đạo hàm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH YẾU, KÉM GIẢI ĐƯỢC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM I MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Môn Toán ở trường phổ thông mang ý nghĩa là môn học công cụ, song[.]

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH YẾU, KÉM GIẢI ĐƯỢC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thơng mang ý nghĩa mơn học cơng cụ, song mơn học rèn luyện nhiều hình thức tư cho học sinh đặc biệt tư logic tư sáng tạo Mơn tốn khơng giúp học sinh phát triển lực tính tốn mà cịn giúp học sinh hình thành lực chung theo yêu cầu chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể (đó lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo) Trong chương trình Tốn THPT, đạo hàm công cụ quan trọng giúp ta giải nhiều toán hay đẹp Đặc biệt để giải toán liên quan đến hàm số như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, ta thường đến việc xét dấu đạo hàm lập bảng biến thiên Trong đạo hàm ngồi việc cho công thức, bảng xét dấu ta thường gặp đạo hàm cho đồ thị Từ việc đọc thay đổi dấu đạo hàm hàm số ta lập bảng biến thiên tìm nhiều tính chất hàm số từ giải nhiều toán hay Hơn nữa, đề thi thường xuất nhiều tốn có giả thiết cho đạo hàm, nhiên dạng toán tập sách giáo khoa chưa có, kiến thức trừu tượng nhiều đánh giá khó, em học sinh yếu Chính q trình dạy học lớp 12, dạng toán liên quan đến cực trị đưa hướng dẫn học sinh giải toán cực trị liên quan đến đạo hàm skkn Qua trình giảng dạy, đặc biệt dạy ôn tập cho học sinh khối 12 thi tốt nghiệp THPTQG tơi tìm tịi, học hỏi, tiếp cận tinh thần đổi phương pháp, hình thức tổ chức dạy học; đổi kiểm tra đánh giá Bộ Giáo dục Đào tạo, bám sát cấu trúc đề thi cách hỏi đề thi trắc nghiệm, rút nhiều kinh nghiệm hướng dẫn cho học sinh Đây lí tơi chọn đề tài: “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải tích 12 phần khác chương trình, đồng thời rèn luyện kĩ lập luận tư logic thơng qua q trình giải toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số toán cực trị liên quan đến đạo hàm dành cho học sinh lớp 12 THPT, đặc biệt hướng tới học sinh yếu, 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Khám phá, tự tìm tịi, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *) Định lí cực trị: Cho hàm số xác định liên tục khoảng + Điều kiện cần để hàm số có cực trị (định lí ): Nếu hàm số hàm khoảng đạt cực đại cực tiểu + Điều kiện đủ (định lí 2) Giả sử hàm số có đạo hàm trên , có đạo liên tục khoảng skkn - Nếu điểm cực đại hàm số và - Nếu điểm cực tiểu hàm số + Định lí Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng Khi đó: - Nếu điểm cực tiểu; - Nếu điểm cực đại 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn dạy học, dạy chương giải tích 12 tơi nhận thấy nhiều học sinh không hiểu bài, thực nhiệm vụ mà giáo viên giao cho, theo chuẩn kiến thức kĩ nhiệm vụ dễ cố gắng phân nhỏ nhiệm vụ để giảm bớt độ khó cho học sinh Bài kiểm tra thường xun định kì mơn giải tích chương điểm thấp phận học sinh yếu Tham khảo giáo viên tổ biết lớp khác có tình trạng tương tự em học sinh yếu, Tìm hiểu nguyên nhân từ em học sinh em trả lời: kiến thức nằm lớp 10, 11 em gần quên hết, mặt khác dạng tập lại khơng có sách giáo khoa nên việc tiếp thu kiến thức trở nên khó khăn Ngày nhiều kiến thức nên nhiều em chọn bỏ qua số dạng tập , chấp nhận điểm cách đáng tiếc Ngoài thời lượng dành cho chương cịn hạn chế giáo viên khó truyền đạt hết cách chi tiết, tỉ mỉ cho học sinh học sinh yếu, NỘI DUNG CỤ THỂ Để giải vấn đề đưa bước tiến hành sau: Bước Nhắc lại định lí cực trị hàm số sách giáo khoa *) Các thuật ngữ cần nhớ skkn - Điểm cực đại ( điểm cực tiểu) hàm số hàm số đồ thị hàm số Điểm Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi điểm cực đại (cực tiểu) - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Bước Định hướng nhận dạng dạng toán cực trị liên quan đến đạo hàm Trong chương trình tốn THPT có nhiều dạng, thời lượng định định hướng đưa dạng thường gặp sau phù hợp với đối tượng học sinh yếu, kém: Dạng 1: Từ bảng xét dấu xác định điểm cực trị hàm số *)Phương pháp: +) Dựa vào bảng xét dấu xác định nghiệm phương trình giá trị thuộc tập xác định đạo hàm không xác định +) Căn dấu dựa vào định lí suy kết luận điểm cực trị *) Minh họa: (Đề tham khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số xác định có bảng xét dấu đạo hàm sau: skkn Số điểm cực trị hàm số cho A Hướng dẫn giải: B Ta có Từ bảng xét dấu ta thấy khơng đổi dấu C đổi dấu qua nghiệm D qua nghiệm nghiệm ; nên hàm số có hai điểm cực trị Đáp án C Từ định lí cực trị ví dụ minh họa nêu trên, ta có nhận xét mối liên hệ đạo hàm cực trị hàm số sau : Cho hàm số +) Nếu liên tục khoảng đổi dấu từ âm sang dương đạt cực tiểu +) Nếu qua điểm hàm số qua điểm hàm số đổi dấu từ dương sang âm đạt cực đại , Ví dụ (Đề tham khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số có bảng xét dấu sau: Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Hướng dẫn giải: skkn Dựa vào bảng xét dấu qua nên hàm số có cần chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số hàm số cho có lần đổi dấu điểm cực trị liên tục Do đáp án có bảng xét dấu sau: Số điểm cực đại hàm số cho A Hướng dẫn giải: Do hàm số B C liên tục , D không xác định hàm số liên tục nên tồn đổi dấu từ sang qua điểm , nên hàm số cho đạt cực đại điểm Vậy số điểm cực đại hàm số cho Do đáp án đáp án C Ví dụ Cho hàm liên tục  có bảng xét dấu sau: Số điểm cực tiểu hàm số A B C D Hướng dẫn giải: skkn Ta thấy đổi dấu lần từ sang Mặt khác hàm số xác định có điểm cực tiểu Đáp án đáp án C qua điểm tồn hàm số Chú ý: Giáo viên cần nhấn mạnh điểm đạo hàm không xác định hàm số cho xác định để giúp học sinh tránh sai lầm Dạng Từ đồ thị xác định điểm cực trị hàm số *)Phương pháp: +) Dựa vào đồ thị xác định nghiệm phương trình +) Căn vào vị trí tương đối đồ thị với trục hồnh, xác định dấu suy cực trị *) Minh họa: Cho hàm số có đồ thị đạo hàm yêu cầu học sinh dựa vào đồ thị nghiệm phương trình khoảng ứng với bảng biến thiên +) +) +) (như hình vẽ ) Từ suy bảng xét dấu ) để kết luận điểm cực trị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số , (hoặc ta có kết luận sau: ứng với phần đồ thị hàm số ứng với phần đồ thị hàm số giao điểm đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh nằm phía trục hồnh với trục hồnh skkn +) Nếu đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ nghiệm bội chẵn phương trình khơng đổi dấu Do +) Nếu đồ thị hàm số qua đạo hàm điểm cực trị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ nghiệm bội lẻ phương trình qua đạo hàm đổi dấu Do điểm cực trị hàm số Dựa vào kết luận ta có bước giải cho toán minh họa sau: Từ đồ thị ta thấy: đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số có điểm cực trị Giáo viên làm rõ vấn đề thông qua lời giải sau: Phương trình Bảng biến thiên: + Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu hai điểm đạt cực đại điểm hàm số *)Ví dụ: Ví dụ Cho hàm số liên tục Biết đồ thị của hàm số hình vẽ Số điểm cực trị hàm số A B C D skkn Hướng dẫn giải: Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị cắt trục hồnh điểm có hoành độ theo thứ tự tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ đạo hàm ta có bảng biến thiên sau : Xét dấu Vậy hàm số có điểm cực trị Đáp án B Ví dụ Cho hàm sớ liên tục Biết đồ thị của hàm số đường cong hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số là A B C D Hướng dẫn giải: Dựa vào hình vẽ ta có: nằm phía trục hoành , và đồ thị hàm số Ta có bảng biến thiên: skkn Vâ ̣y hàm số không có cực trị Đáp án B Chú ý: Qua ví dụ giáo viên lưu ý cho học sinh trường hợp đồ thị tiếp xúc với trục hồnh Ví dụ Cho hàm số vẽ bên Mệnh , đồ thị hàm số đề sau đường cong hình A Hàm số có điểm cực tiểu khơng có cực đại B Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số có điểm cực đại khơng có cực tiểu đúng? D Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Hướng dẫn giải: Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số đổi dấu lần đổi dấu từ âm sang dương nên suy hàm số có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại Đáp án A Dạng Từ cơng thức *)Phương pháp: tìm điểm cực trị hàm số 10 skkn +) Từ cơng thức tìm giá trị làm cho đạo hàm không xác định +) Lập bảng biến thiên hàm số bảng xét dấu đạo hàm, dựa vào định lí suy kết luận cực trị hàm số *) Minh họa: (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số , A có đạo hàm Số điểm cực trị hàm số cho B C D Hướng dẫn giải: Phương trình Ta có bảng xét dấu đạo hàm: Do có ba nghiệm phân biệt đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị Do đáp án đáp án A Từ ví dụ minh họa nêu ta có nhận xét mối liên hệ nghiệm phương trình điểm cực trị hàm số sau: +) Nếu nghiệm bội lẻ phương trình đổi dấu nên +) Nếu điểm cực trị hàm số nghiệm bội chẵn phương trình khơng đổi dấu nên qua đạo hàm qua khơng phải điểm cực trị hàm số đạo hàm *)Ví dụ: 11 skkn Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm định số điểm cực trị hàm số A Xác ? B C D Hướng dẫn giải: Xét phương trình Ta có bảng xét dấu sau: Dễ thấy đổi dấu qua đổi dấu qua nên hàm số có điểm cực trị Trả lời trắc nghiệm : Do phương trình điểm cực trị Đáp án C có nghiệm bội lẻ nên hàm số có Tuy nhiên học sinh phải hiểu bước tìm điểm cực trị hàm số để giải tốn sau : Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm điểm cực tiểu hàm số cho A B Số C D Hướng dẫn giải: 12 skkn Ta có: Bảng xét dấu: - + - Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số sang dương lần qua + có đạo hàm đổi dấu từ âm Do hàm số có điểm cực tiểu Đáp án D Ví dụ Cho hàm số đại hàm số? có Tìm điểm cực B A C D Hướng dẫn giải: Ta có Nhận thấy khơng đổi dấu qua nghiệm khơng phải điểm cực trị hàm số Ta có bảng xét dấu: nên + Dễ thấy đại + đổi dấu từ dương sang âm qua Đáp án B - + nên hàm số có điểm cực Bước Đưa số tập trắc nghiệm củng cố nâng cao mức độ 13 skkn Bài (Đề thi TNTHPT 2019) A Cho hàm số Số điểm cực trị hàm số cho B C D Bài 2.(Đề thi TNTHPT 2019) Cho hàm số điểm cực trị hàm số cho A B có đạo hàm C Bài Cho hàm số có đạo hàm cực tiểu hàm số cho A B - Số D Số điểm C Bài Cho hàm số có đạo hàm cho đạt cực đại tai điểm A B Bài Cho hàm số có đạo hàm hàm số cho A B Bài (Đề thi TNTHPT 2020) Cho hàm số dấu đạo hàm sau: + có đạo hàm D Hàm số C D Giá trị cực đại C D liên tục có bảng xét + - - Số điểm cực trị hàm số cho A B Bài (Đề thi TNTHPT 2020) Cho hàm số dấu đạo hàm sau: - + C D liên tục có bảng xét - + + Số điểm cực tiểu hàm số cho A B C D 14 skkn Bài (Đề tương tự đề minh họa 2021) Cho hàm số xét dấu đạo hàm sau: + - + liên tục - có bảng + Số điểm cực đại hàm số cho A B Bài Cho hàm số liên tục Biết đồ thị của hàm số hình vẽ Số điểm cực trị hàm số A B C D C D Bài 10 Cho hàm số liên tục Biết đồ thị của hàm số hình vẽ Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = f ( x) A C B D III KẾT LUẬN 1.Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm a Hiệu đạt sử dụng đề tài 15 skkn - Khi áp dụng kinh nghiệm dạy học thấy học sinh dạy hứng thú với phần này, đặc biệt em học sinh yếu, Các em tự tin gặp dạng toán cực trị liên quan đến đạo hàm đề thi , giải nhanh xác yêu cầu đề Khi chia sẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp thấy đồng nghiệp ủng hộ góp ý nhiều ý kiến bổ ích giúp tơi ngày hồn thiện biện pháp giáo dục - Sau nắm vững nội dung nêu đề tài học sinh giải tập cực trị tốt hơn, toán cực trị liên quan đến đạo hàm - Đề tài giáo viên dạy dạng chủ đề hai tiết tự chọn tổ ban giám hiệu đánh giá thành cơng, có hiệu áp dụng tốt cho lớp 12 đặc biệt lớp thi khối có mơn Tốn b Các kết quả, minh chứng tiến học sinh áp dụng đề tài Năm học 2021-2022 phân công giảng dạy lớp: 12B2; 12B5; 12B6, lớp 12B2; 12B6 có nhiều học sinh yếu so với học sinh lớp khối 12 Năm học 2020-2021 chưa áp dụng biện pháp vào dạy học, năm 20212022 áp dụng vào dạy học lớp 12B2 Tôi thực kiểm tra hai lớp đạt kết qủa sau: Kết kiểm tra năm học 2021-2022 Lớp 12 B6 chưa áp dụng biện pháp Điểm Dưới Lớp 12B6 (40 em) 11 Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới 14 Từ 8-10 13 Lớp 12 B2 áp dụng biện pháp Điểm Dưới Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới Từ 8-10 Lớp 12B2 (40 em) 7 25 16 skkn Kết thu từ điểm số cho thấy điểm 12B2 tốt chứng tỏ tính khả thi hiệu biện pháp c Kết luận - Đề tài đưa biện pháp dạy học giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải tích 12 phần khác chương trình - Khi sử dụng đề tài vào dạy học thấy kết nâng cao rõ rệt phần này, đồng thời học sinh rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo Hình thành phát triển lực Tốn học - Thông qua đề tài này, cho thấy giáo viên cần ln tìm tịi, học hỏi đổi mới, áp dụng thành cách mạng 4.0 vào dạy học qua giúp học sinh nắm vững kiến thức mà em học, điều tạo hứng thú u thích mơn tốn Một số đề xuất Mơn Tốn mơn học địi hỏi nhiều kĩ lập luận tư logic, cần trang bị nhiều kĩ để tiếp cận tốt với dạng toán phương pháp giải Điều đòi hỏi tạo điều kiện cấp quản lý việc tăng cường tài liệu học tập, thiết bị hỗ trợ trình học, thi thử giúp học sinh tiếp cận đề thi từ nhiều kênh học tập khác Đề tài “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm” tổng hợp kinh nghiệm , kết hợp với nghiên cứu học hỏi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy thân Tôi cam kết tính trung thực sáng kiến kinh nghiệm Chọn đề tài cá nhân mong muốn chia sẻ kinh nghiệm thực tế làm, từ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn sở cơng tác Vì mong nhận góp ý từ ban giám khảo để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 17 skkn Nông Cống, ngày 10 tháng năm 2022 CƠ QUAN ĐƠN VỊ XÁC NHẬN Người viết SKKN Bùi Thị Hoa THƯ MỤC THAM KHẢO SGK Giải Tích 12 – NXBGD, 2015 18 skkn 19 skkn ... điểm cực trị hàm số cho A B có đạo hàm C Bài Cho hàm số có đạo hàm cực tiểu hàm số cho A B - Số D Số điểm C Bài Cho hàm số có đạo hàm cho đạt cực đại tai điểm A B Bài Cho hàm số có đạo. .. cho học sinh Đây lí tơi chọn đề tài: “ Giúp học sinh yếu, giải số toán cực trị liên quan đến đạo hàm? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh, đặc biệt học sinh yếu, tiếp cận tốt phần chương giải. .. điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Bước Định hướng nhận dạng dạng toán cực trị liên quan đến đạo hàm