Chapter 2b

LOGIC ỨNG DỤNG TRONG KINH DOANH CHƯƠNG 2B: SUY LUẬN TRUY HỒI Hà Bình Minh Nguyễn Minh Tuấn Phan Đình Phùng ————— Trường Đại học Ngân hàng Thành phố Hồ Chí Minh CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Nội dung giảng Quan hệ truy hồi 1.1 Một ví dụ 1.2 Dãy Fibonacci 1.3 Mơ tả mối quan hệ công thức truy hồi Định nghĩa truy hồi 2.1 Cách viết định nghĩa truy hồi 2.2 Hình học fractal Phép chứng minh quy nạp 3.1 Nguyên lý quy nạp 3.2 Các ví dụ ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách 4.2 Hàm nhị phân CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.1 Một ví dụ Quan hệ truy hồi 1.1 Một ví dụ Ví dụ: Xét hàm số P : N → Z sau: P(n) = n(n + 1) Nhận xét: Hàm số P cho công thức sau: n(n + 1) = + + ··· + n = [1 + + · · · + (n − 1)] +n | {z } P(n) = P(n−1) = P(n − 1) + n CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.1 Một ví dụ Định nghĩa truy hồi Xét hàm số P : N → Z với P(n) = n(n+1) định nghĩa theo công thức truy hồi sau:  P(n) = 1, n + P(n − 1), n = n > Ví dụ: Sử dụng cơng thức truy hồi, tính P(5) =? P(5) = + P(4) = + + P(3) = + + + P(2) = + + + + P(1) = 5+4+3+2+1 = 15 CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.2 Dãy Fibonacci 1.2 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) dãy số định nghĩa theo công thức truy hồi sau:  1, F (n) = F (n − 1) + F (n − 2), n = n = n > Nguồn gốc: Dãy Fibonacci bắt nguồn từ toán nhà toán học Leonardo Pisano Fibonacci đưa vào đầu kỷ 13: “A certain man put a pair of rabbits in a place surrounded on all sides by a wall How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a year if it is supposed that every month each pair begets a new pair which from the second month on becomes productive?” CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.2 Dãy Fibonacci Ví dụ: 12 số hạng dãy Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 6, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Những số Fibonacci tự nhiên: Trong tự nhiên, có nhiều số dãy Fibonacci Có F (6) = hình xoắn ốc ngược chiều kim đồng hồ F (7) = 13 hình xoắn ốc chiều kim đồng hồ CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.2 Dãy Fibonacci Những số Fibonacci: Vỏ ốc, âm nhạc, chứng khoán, CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.2 Dãy Fibonacci Những số Fibonacci: CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.3 Mô tả mối quan hệ công thức truy hồi 1.3 Mô tả mối quan hệ công thức truy hồi Mô tả mối quan hệ công thức truy hồi nào? Mối quan hệ mô tả dựa thành phần sau: Điều kiện đầu (base case): mô tả thời điểm ban đầu đại lượng Cơng thức truy hồi (recursive case): mô tả phụ thuộc giá trị tương lai giá trị khứ Ví dụ: Một người mượn ngân hàng 500 triệu VNĐ, với lãi kép 1% tháng Gọi M(n) số tiền người phải trả ngân hàng (cả gốc lẫn lãi) tháng thứ n Hãy mô tả M(n) công thức truy hồi?  M(n) = 500, (1.01) · M(n − 1), CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI n = n > (điều kiện đầu) (công thức truy hồi) / 49 Quan hệ truy hồi 1.3 Mô tả mối quan hệ công thức truy hồi Ví dụ: Cơng thức truy hồi sử dụng để tính tích phân sau: Z I (n) = x n e x dx Điều kiện đầu: I (0) = e − Công thức truy hồi: Ở đây, ta sử dụng cơng thức tích phân phần để tìm cơng thức truy hồi Z I (n) = x n e x dx Phép chứng minh quy nạp 3.2 Các ví dụ Khẳng định (k − 1) ⇒ Khẳng định (k): Do K (n) tạo từ K (n − 1) cách thay đoạn thẳng K (n − 1) hình nên cạnh K (n − 1) sinh cạnh K (n) Do đó, số cạnh K (n) · 4k−2 · = 4k−1 · Như vậy, ta chứng minh xong nguyên lý quy nạp CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 32 / 49 Phép chứng minh quy nạp 3.2 Các ví dụ Ví dụ: Chứng minh số nguyên n ≥ số nguyên tố, tích số nguyên tố Giải: Ta chứng minh theo nguyên lý quy nạp Khẳng định (2): số nguyên tố Khẳng định (2) ∧ · · · ∧ Khẳng định (k − 1): Với k > 2, ta giả thiết số i cho ≤ i ≤ (k − 1) số nguyên tố, tích số nguyên tố Khẳng định (2) ∧ · · · ∧ Khẳng định (k − 1) ⇒ Khẳng định (k): Nếu k số nguyên tố ta có Khẳng định (k) Nếu k khơng số ngun tố k = pq với p ≥ q ≥ Do p q nhỏ k Theo giả thiết quy nạp, p q số nguyên tố, tích số ngun tố Vì vậy, k = pq tích số nguyên tố CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 33 / 49 Phép chứng minh quy nạp 3.2 Các ví dụ Ví dụ: (sinh viên tự giải) Chứng minh với n ≥ 1, số Fibonacci thứ n αn − β n F (n) = , α−β α = √ 1+ β = √ 1− Giải: 2B .-.SUY LUẬN TRUY HỒI 34 / 49 CHƯƠNG Phép chứng minh quy nạp 3.2 Các ví dụ Ví dụ: (sinh viên tự giải) Sử dụng nguyên lý quy nạp, tìm chu vi hình bơng tuyết Koch Snowflake K (n) Giải: 35 / 49 CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI Phép chứng minh quy nạp 3.2 Các ví dụ Ví dụ: (sinh viên tự giải) Chứng minh mã đến tất ô cờ bàn cờ n × n, với n ≥ Giải: CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 36 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Định nghĩa danh sách Giả sử X tập hợp Danh sách (list) phần tử X định nghĩa sau: (B.) x, x ∈ X (R.) L, x, x ∈ X L danh sách phần tử X Ví dụ: X = {cubs, bears, bulls} Ta xây dựng danh sách sau L1 = cubs L2 = L1, bears = cubs, bears L3 = L2, cubs = cubs, bears, cubs L4 = L3, bulls = cubs, bears, cubs, bulls CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 37 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách LƯU Ý: Các phần tử X lặp lại nhiều lần danh sách Do danh sách định nghĩa dạng truy hồi nên công cụ để xử lý danh sách viết dạng truy hồi Chẳng hạn, hàm tổng danh sách (là hàm tính tổng số danh sách số thực) viết dạng truy hồi sau: Hàm tổng danh sách Giả sử L danh sách phần tử X = R Hàm tổng , ký hiệu Sum(L) định nghĩa sau: (B.) Nếu L = x, x ∈ R, Sum(L) = x (R.) Nếu L = L0 , x, x ∈ R L0 danh sách, Sum(L) = Sum(L0 ) + x CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 38 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Ví dụ: Áp dụng hàm tổng cho danh sách L = 3, 1, 4, 2, ta thu được: Định lý Giả sử L danh sách phần tử x1 , x2 , , xn , xi ∈ R Khi đó, Sum(L) = x1 + x2 + · · · + xn , với n ≥ CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 39 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Định nghĩa SList Một SList định nghĩa sau: (B.) x, x ∈ R (R.) (X , Y ), X Y SList có số phần tử phần tử cuối X nhỏ phần tử đầu Y Ví dụ: X = ((1, 3), (8, 9)) SList Y = ((12, 16), (25, 30)) SList (X , Y ) = (((1, 3), (8, 9)), ((12, 16), (25, 30))) SList LƯU Ý: Một SList ln có số phần tử 2p , số p gọi độ sâu SList CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 40 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Hàm tìm kiếm Search(t, L) Hàm tìm kiếm Search(t, L) trả kết T t nằm danh sách L F ngược lại (B.) Nếu L = x (SList có độ sâu 0)  Search(t, L) = true false t = x t = x (R.) Nếu L SList có độ sâu lớn 0, tức L = (X , Y ), Search(t, L) = Search(t, X ) ∨ Search(t, Y ) CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 41 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Ví dụ: Giả sử L = (((1, 3), (8, 9)), ((12, 16), (25, 30))), ta cần xác định có thuộc L hay khơng hàm tìm kiếm Search(t, L) Như vậy, phần tử nằm SList L CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 42 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Hàm tìm kiếm nhị phân BSearch(t, L) Hàm tìm kiếm nhị phân BSearch(t, L) có chức tương tự hàm Search(t, L), tức trả kết T t nằm danh sách L F ngược lại Tuy nhiên, cách thức tìm kiếm lại khác với hàm Search(t, L) (B.) Nếu L = x (SList có độ sâu 0)  BSearch(t, L) = true false t = x t = x (R.) Nếu L SList có độ sâu lớn 0, tức L = (X , Y ) Gọi r phần tử cuối X  BSearch(t, X ) t > r BSearch(t, L) = BSearch(t, Y ) t 6> r CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 43 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.1 Danh sách Ví dụ: Giả sử L = (((1, 3), (8, 9)), ((12, 16), (25, 30))), ta cần xác định có thuộc L hay khơng hàm tìm kiếm nhị phân BSearch(t, L) Như vậy, phần tử nằm SList L LƯU Ý: Hàm Search(t, L) BSearch(t, L) thực công việc hàm BSearch(t, L) lại hiệu (nghĩa tìm nhanh hơn, sử dụng phép so sánh hơn) Ta tìm hiểu kỹ việc so sánh Chương CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 44 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.2 Hàm nhị phân 4.2 Hàm tìm kiếm nhị phân Cây tìm kiếm nhị phân Cho S tập hợp với quan hệ thứ tự tồn phần ≤ Cây tìm kiếm nhị phân (binary search tree) S là: (B1.) Cây rỗng (B2.) Cây có đỉnh r ∈ S (R.) Nếu T1 T2 hai nhị phân với hai gốc r1 r2 tương ứng, a ≤ r với a ∈ T1 r ≤ b với b ∈ T2 , có dạng sau: tìm kiếm nhị phân với đỉnh r CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 45 / 49 ỨNG DỤNG: Cấu trúc liệu quy nạp 4.2 Hàm nhị phân Ví dụ: Cho S tập hợp từ với quan hệ thứ tự ≤ theo bảng chữ abc Một tìm kiếm nhị phân S là: CÂU HỎI: Làm để chuyển nhị phân thành danh sách xếp theo bảng chữ abc? CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 46 / 49 ... hình xoắn ốc chiều kim đồng hồ CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ truy hồi 1.2 Dãy Fibonacci Những số Fibonacci: Vỏ ốc, âm nhạc, chứng khoán, CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI / 49 Quan hệ... CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI Định nghĩa truy hồi 2.2 Hình học fractal 2.2 Hình học fractal Thế hình học fractal Hình học fractal đối tượng hình học xây dựng dựa định nghĩa truy hồi Ví dụ: CHƯƠNG 2B. .. nhọn nằm phía ngồi Hãy vẽ K (1), K (2), K (3)? CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 20 / 49 Định nghĩa truy hồi 2.2 Hình học fractal Giải: CHƯƠNG 2B - SUY LUẬN TRUY HỒI 21 / 49 Định nghĩa truy hồi 2.2