Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 luan an i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS TS Đoàn Thế Hiếu TS Nguyễn Hà Thanh Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác trước Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Duyên luan an ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn đầy trách nhiệm PGS TS Đoàn Thế Hiếu TS Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đặt tốn, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, - Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Người thực Nguyễn Thị Mỹ Duyên luan an iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU SƠ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU Độ cong trung bình Mặt cực tiểu Một số ví dụ Một số kết quan trọng mặt cực tiểu Dịng độ cong trung bình Các nghiệm tự đồng dạng Kết luận Chương 6 11 14 17 20 MẶT f -CỰC TIỂU 2.1 Đa tạp với mật độ 2.2 Mặt f -cực tiểu Một số ví dụ 2.3 Một số kết quan trọng mặt f -cực tiểu 2.4 Mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình 2.5 Kết luận Chương 21 21 24 27 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH 3.1 Khơng gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz 3.2 Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn 3.3 Một số kết mặt f -cực đại khơng gian tích Lorentz Gn × R1 3.4 Một số kết mặt f -cực tiểu đối chiều cao Đồ thị tự co rút đối chiều cao không gian Ơclit 3.5 Kết luận Chương 30 32 34 34 43 53 59 72 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 73 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 luan an iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa n BR Hình cầu tâm O bán kính R Rn Gn Khơng gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss ~ H, H Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình ~f Hf , H Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ n, N Vectơ pháp đơn vị n−1 SR Siêu cầu tâm O bán kính R Rn CR Siêu trụ tâm O bán kính R Rn+1 L(C) Độ dài Riemann đường cong C Lf (C) Độ dài đường cong C theo mật độ e−f ds, dA Phần tử diện tích Riemann dsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−f dV Phần tử thể tích Riemann dVf Phần tử thể tích theo mật độ e−f p r(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Area(M ) Diện tích M Areaf (M ) f -diện tích M Vol(M ) Thể tích M Volf (M ) f -thể tích M Tp Σ Khơng gian tiếp xúc Σ p δij Ký hiệu Kronecker df ∆f ; ∇f Laplace hàm f ; Gradient hàm f , tức ∇f = dx i ∇X Y α(t) ∂Ω |x| p i Đạo hàm hiệp biến trường vectơ Y dọc trường vectơ X Đường cong α Biên miền Ω Chuẩn vectơ x Trang thứ i tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh luan an v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ HÌNH Hình 1.2.1 Hình 1.2.2 Hình 1.2.3 Hình 1.4.4 Hình 2.1.1 Hình 3.1.2 Hình 3.1.3 Hình 3.1.4 Hình 3.1.5 Hình Hình Hình Hình Hình 3.2.5 3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.3.9 TÊN HÌNH TRANG Mặt cực tiểu Catenoid 12 Mặt cực tiểu Helicoid 13 Mặt cực tiểu Scherk 14 Đường cong Grim Reaper 20 Mật độ không gian Gauss tập trung gốc tọa độ 22 Mặt trụ khơng gian tích cong 38 Mặt hyperbolic 1-tầng khơng gian tích cong 38 Mặt Catenoid khơng gian tích cong 38 Vectơ kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng R31 42 Một phần slice đồ thị biên 47 Slice P, đồ thị toàn phần Σ Gn R+ ×w Gn 49 n + n Đồ thị toàn phần Σ G G ×a G 51 Slice P đồ thị tồn phần Σ G+ ×a Gn 52 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ Gn × R1 57 luan an MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann (M, g) với hàm mật độ trơn, dương e−f dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Thể tích với mật độ miền E diện tích với mật độ siêu mặt Σ xác định công thức Z Z −f Volf (E) = e dV Areaf (Σ) = e−f dA, E Σ dV dA tương ứng phần tử thể tích phần tử diện tích Riemann Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng ba (M, g, e−f dV ) để đa tạp Riemann (M, g) với với mật độ e−f , đặc biệt M không gian Ơclit Rn với tích vơ hướng tắc mật độ e−f ta ký hiệu đơn giản (Rn , e−f ) Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M Gromov (xem [26]) mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ siêu mặt, ký hiệu Hf , xác định công thức Hf := H + h∇f, Ni, n−1 N trường vectơ pháp đơn vị siêu mặt Định nghĩa kiểm tra thỏa mãn biến phân thứ thứ hai phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]) Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu, với mật độ cịn gọi cách đơn giản f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu, Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý nghiên cứu mặt vùng mặt có phân bố mật độ nội khác điểm khác nhau, để xác định khối lượng cần tính tích phân theo mật độ Ngồi ra, đa tạp với mật độ liên quan đến lĩnh vực Kinh tế mặt phẳng xác suất −r2 /2 Gauss, mặt phẳng R2 với mật độ 2π e , dùng thường xuyên xác suất thống kê Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết mà ý nghĩa thực tiễn Đa tạp với mật độ xuất lâu Toán học tên gọi khác “ mm-không gian” “đa tạp với trọng” (weighted manifolds) Sau này, giáo sư Morgan gọi tên lớp đa tạp “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]) luan an Hiện nay, đa tạp với mật độ lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tốn học, phải kể đến giáo sư Morgan nhóm cộng ơng Họ chứng minh nghiệm tốn đẳng chu khơng gian với mật độ tồn biên phải có f -độ cong trung bình (xem [14]) Một siêu mặt Σ (M, g, e−f dV ) (tương ứng (M, g)) gọi f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) Σ thỏa mãn Hf (Σ) = (H(Σ) = 0) Nếu Hf (Σ) = λ số Σ gọi λ-siêu mặt Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát tính chất mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình đa tạp với mật độ nhận nhiều quan tâm nhà Toán học Các tác giả C Ivan, H Neil, H Stephanie, Ă Vojislav and Y Xu số mặt có f -độ cong trung bình khơng gian Gauss, khảo sát số chất hình học mặt có f -độ cong trung bình (xem [14]) J M Espinar H Rosenberg khảo sát tính chất hình học mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình (xem [13]) D T Hieu N M Hoang phân loại mặt kẻ trụ f -cực tiểu khơng gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]) Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích siêu mặt f -cực tiểu quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh số đa tạp f -cực tiểu diện tích (xem [29]) Mặt f -cực tiểu không gian Gauss shrinker, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu kỳ dị dòng độ cong trung bình (xem [12]) Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu nay: dòng độ cong trung bình, nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình, mối liên hệ chúng với siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]) Những năm gần đây, mặt cực tiểu khơng gian dạng tích nghiên cứu Harold Rosenberg cộng ơng (xem [13], [44]) Nó đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Chú ý không gian Gauss khơng gian với mật độ dạng tích Gn = G1 × × G1 Theo hướng mở rộng định lý cổ điển Hình học vi phân lên không gian đa tạp với mật độ, nhiều kết công bố như: định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [15]), định lý Liouville hàm điều hịa bị chặn khơng gian với mật độ (xem [36]), Tuy nhiên, số định lý cổ điển khơng cịn gia thêm mật độ Chẳng hạn, định lý bốn đỉnh khơng cịn mặt phẳng với mật độ cầu (xem [33]) Theo đó, việc mở rộng kết luan an định lý Bernstein cổ điển, định lý halfspace cổ điển để thu định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace với mở rộng lên mặt đối chiều cao, lên đa tạp tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) hay lên đa tạp với mật độ, vấn đề thời nghiên cứu nhiều tác giả (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]) Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu giải vấn đề trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích” Ở đây, luận án đề cập đến hai định lý quan trọng, liên quan đến kết luận án, định lý Bernstein định lý halfspace Định lý Bernstein cổ điển mở rộng Định lý Bernstein cổ điển khẳng định đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R2 phẳng R3 (xem [43]) Kết chứng minh Bernstein vào năm 1915-1917 Nhiều nhà Toán học cố gắng tổng quát định lý Bernstein cho trường hợp số chiều đối chiều cao Năm 1965, De Giorgi chứng minh định lý Bernstein đồ thị cực tiểu toàn phần toàn R3 R4 (xem [17]) Năm 1966, Almgren tiếp tục chứng minh định lý R5 (xem [2]) Năm 1968, Simons mở rộng định lý lên R8 Ông chứng minh đồ thị cực tiểu toàn phần n-chiều phải siêu phẳng với n ≤ (xem [46]) Năm 1969, Bombieri, De Giorgi, Giusti đưa phản ví dụ trường hợp mặt với số chiều cao (xem [5]), điều chứng tỏ kết định lý Bernstein với n ≤ Như vậy, việc chứng minh định lý Bernstein siêu mặt cực tiểu Rn xem giải xong Trong lý thuyết mặt cực tiểu, định lý Bernstein định lý Vì vậy, câu hỏi tự nhiên đặt liệu có định lý kiểu Bernstein khơng gian khác với Rn đa tạp Riemann, không gian Lorentz-Minkowski, khơng gian tích cong, đa tạp với mật độ, Hoàn toàn tương tự, định lý Bernstein phát biểu cho siêu mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 Khác với định lý Bernstein n+1 mặt cực tiểu R , mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 , định lý Bernstein với n (xem [8]) Các nhà Toán học mở rộng định lý Bernstein để thu định lý kiểu Bernstein theo nhiều cách khác Đối với đa tạp cực tiểu khơng gian Ơclit, ta có kết J Simons (xem [46]), Ecker-Huisken (xem [24]) cho trường hợp đối chiều kết Chern - Osserman (xem luan an uz Suy N= Xy ∧ Xz (w2 , −uy , −uz ) =p |Xy ∧ Xz | w4 + w2 (u2y + u2z ) Để thiết lập công thức độ cong trung bình mặt khơng gian tích cong R ×w R2 , trước hết xét biến phân thứ (xem [41], p 22-23) với kết sau: Xét hàm Z Z J[u] = L(x, y, u, ux , uy ) dxdy, Ω luan an 40 L hàm miền Ω ⊂ R2 cho trước, giả thiết trơn đến cấp cần thiết, u = u(x, y) hàm khả vi theo hai biến x y Đặt p = ux , q = uy Khi nghiệm cực tiểu u(x, y) J[u] phải thỏa mãn phương trình EulerLagrange sau: ∂L ∂ (x, y, u, ux , uy ) − ∂u ∂x ∂L (x, y, u, ux , uy ) ∂p − ∂ ∂y ∂L (x, y, u, ux , uy ) ∂q = Sử dụng biến phân thứ mặt kiểu đồ thị Σ = {(u(y, z), y, z) : (y, z) ∈ R2 } với tham số hóa X(y, z) = (u(y, z), y, z) khơng gian tích cong R ×w R2 , ta có: Z Z J[u] = L(y, z, u, uy , uz ) dydz, Ω đó: L(y, z, u, uy , uz ) =| Xy ∧Xz |= q w4 + w2 (u2y + u2z ) = w q w2 + u2y + u2z = w p w + p2 + q Tính tốn trực tiếp, ta có: p (2w0 w2 + w0 u2y + w0 u2z )(w2 + u2y + u2z ) ∂L ww0 p = = w w + p2 + q + w p ; ∂u ( w2 + u2y + u2z )3 w + p2 + q wuy ∂L fp =p =p ; ∂p w2 + u2y + u2z w + p2 + q ∂ ∂y ∂ ∂z ∂L ∂p ∂L ∂q = ∂L wq wuz =p =p ; ∂q w2 + u2y + u2z w + p2 + q (w0 u2y + wuyy )(w2 + u2y + u2z ) − (w0 w2 u2y + wu2y uyy + wuy uz uyz ) ( p w2 + u2y + u2z )3 = (w0 u2z + wuzz )(w2 + u2y + u2z ) − (w0 w2 u2z + wu2z uzz + wuy uz uyz ) ( p w2 + u2y + u2z )3 Do ta có phương trình Euler-Lagrange tương đương với wuyy (w2 + u2z ) − 2wuy uz uyz + wuzz (w2 + u2y ) − 3w0 w2 (u2y + u2z ) − 2w0 w4 p ( w2 + u2y + u2z )3 = Đặt: wuyy (w2 + u2z ) − 2wuy uz uyz + wuzz (w2 + u2y ) − 3w0 w2 (u2y + u2z ) − 2w0 w4 p H= w2 ( w2 + u2y + u2z )3 Khi đó, H gọi độ cong trung bình mặt Nó có mối quan hệ với đại lượng div √ Du w w2 + Du2 thể mệnh đề sau: luan an 41 Mệnh đề 3.1.10 ([45], p 1387) Mối quan hệ div √ Du w w2 + Du2 H xác định đẳng thức div w0 Du √ = 2H + p w w2 + Du2 w2 + |Du|2 |Du|2 2− w2 Nhận xét 3.1.11 Nếu mặt dạng slice (lát), tức u = const độ cong trung bình mặt xác định cụ thể là: H = − w0 = −(log w)0 = const w Vấn đề mặt cực tiểu liên quan trực tiếp đến độ cong trung bình mặt, xác định cơng thức tính độ cong trung bình mặt hữu ích việc giải số vấn đề mặt cực tiểu khơng gian tích cong Khơng gian tích Lorentz Vì metric tensor khơng gian khơng có tính chất xác định dương nên vectơ tiếp xúc chia thành loại định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1.12 Một vectơ tiếp xúc v đa tạp nửa Riemann M gọi kiểu không gian hv, vi > v = 0; kiểu ánh sáng hv, vi = v 6= 0; kiểu thời gian hv, vi < Tập tất vectơ kiểu ánh sáng Tp M gọi nón ánh sáng p ∈ M Vectơ kiểu thời gian nằm nửa nón ánh sáng phía gọi định hướng tương lai; ngược lại, nằm nửa nón ánh sáng phía gọi định hướng q khứ (xem Hình 3.1.4) Sự khác biệt khơng gian tích Lorentz khơng gian tích Riemann cịn thể rõ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ngược phát biểu mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1.13 ([42], Proposition 30) Cho v w vectơ kiểu thời gian Khi (1) |hv, wi| ≥ |v||w|, đẳng thức xảy v w cộng tuyến (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ngược) (2) Nếu v w nằm nón kiểu thời gian, nghĩa hv, wi < 0, tồn số ϕ ≥ 0, gọi góc hyperbolic v w, cho hv, wi = −|v||w| cosh ϕ luan an 42 Hình 3.1.4: Vectơ kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng R31 Tiếp theo, ta có định nghĩa phép tốn tích hai vectơ sau: Định nghĩa 3.1.14 Nếu u, v ∈ R31 , tích u v vectơ ký hiệu u × v thỏa mãn hu × v, wi = det (u, v, w), det (u, v, w) định thức ma trận thu vectơ cột tọa độ vectơ u, v w ứng với sở thông thường R3 Khi thay w vectơ ei sở R3 , ta có u u ... tịnh tiến dịng độ cong trung bình siêu mặt f -cực tiểu khơng gian với mật độ log-tuyến tính (Mệnh đề 2.4.2.1) luan an 34 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Trong. .. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHƠNG GIAN TÍCH 3.1 Khơng gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz 3.2 Một số kết mặt f -cực tiểu khơng gian tích cong R+ ×w Gn ... khái niệm mặt f -cực tiểu ví dụ mặt f -cực tiểu Ngoài ra, số kết quan trọng mặt f -cực tiểu giới thiệu chương Cuối cùng, mục 2.4 luận án xây dựng chứng minh mối liên hệ mặt f -cực tiểu nghiệm
Ngày đăng: 31/01/2023, 06:46
Xem thêm:
