Bài giảng ôn thi cao học môn Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học quy hoạch tuyến tính

Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT -Oo -PGS.TS Lê Anh Vũ BÀI GIẢNG TĨM LƢỢC ƠN THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 2015 MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT&THỐNG KÊ TỐN HỌC QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015 Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ ĐỀ CƢƠNG ƠN THI TUYỂN SINH CAO HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT NĂM 2015 PHẦN I: XÁC SUẤT - THỐNG KÊ (6 ĐIỂM) I.1 Xác suất (3 điểm) Khái niệm xác suất  Phép thử biến cố, phân loại biến cố  Quan hệ phép toán biến cố Hệ đầy đủ biến cố  Định nghĩa cổ điển xác suất tính chất  Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê hình học Các cơng thức tính xác suất  Cơng thức cộng xác suất  Xác suất có điều kiện cơng thức nhân xác suất  Công thức xác suất đầy đủ công thức xác suất giả thiết (Bayes)  Công thức Bernoulli Biến (đại lƣợng) ngẫu nhiên (một chiều) phân phối xác suất  Khái niệm biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục  Quy luật phân phối xác suất (PPXS) biến ngẫu nhiên: Bảng PPXS biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm PPXS, hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục  Vài phân phối thông dụng: Phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, phân phối Poinson, phân phối chuẩn, phân phối “khi – bình phương”, phân phối “student” Sơ lƣợc biến (đại lƣợng) ngẫu nhiên hai chiều I.2 Thống kê (3 điểm) Lý thuyết mẫu  Tổng thể mẫu, phương pháp mẫu  Mẫu định tính, mẫu định lượng đặc trưng chúng  Các quy luật phân phối xác suất mẫu, mẫu hai chiều Lý thuyết ƣớc lƣợng thống kê  Ước lượng điểm chệch khơng chệch  Hai tốn ước lượng khoảng đối xứng (hai phía) trung bình tổng thể tỷ lệ tổng thể với kích thước mẫu khơng 30, biến ngẫu nhiên giả thiết có phân phối chuẩn Xác định kích thước mẫu, xác định độ tin cậy Lý thuyết kiểm định thống kê  Khái niệm kiểm định  Hai toán kiểm định tham số hai phía, phía trung bình tỷ lệ tổng thể với kích thước mẫu không 30, biến ngẫu nhiên giả thiết có phân phối chuẩn  Kiểm định phương sai tổng thể Kiểm định p – value  Kiểm định giả thuyết phân phối xác suất Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ  Kiểm định giả thuyết so sánh hai tham số (tỷ lệ trung bình) hai tổng PHẦN II: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (4 ĐIỂM) II.1 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) Thiết lập toán QHTT từ vấn đề thực tiễn Bài toán QHTT khái niệm liên quan: hàm mục tiêu, phương án, miền ràng buộc, phương án tối ưu (nghiệm) Các dạng toán QHTT: dạng tổng quát; dạng tắc (các ràng buộc phương trình, biến khơng âm); dạng tắc chuẩn (là dạng tắc mà vế phải phương trình ràng buộc khơng âm, ma trận hệ số hệ ràng buộc có hạng số phương trình khơng q số biến Đồng thời ma trận hệ số chứa ma trận đơn vị ma trân sơ cấp với cấp số ràng buộc chính) Biến đổi toán QHTT từ dạng tổng quát thành dạng tắc từ dạng tắc thành dạng tắc chuẩn Phương án cực biên II.2 Bài toán QHTT đối ngẫu Cách thiết lập toán đối ngẫu toán QHTT cho trước Định lý cân bằng, định lý độ lệch bù áp dụng để kiểm tra tính tối ưu phương án cho tìm tập phương án tối ưu toán QHTT II.3 Giải toán QHTT phƣơng pháp đơn hình Ghí chú: Trong q trình ơn tập, nhấn mạnh nội dung chữ in thƣờng, sơ lƣợc nội dung chữ in nghiêng Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PHẦN PGS-TS Lê Anh Vũ XÁC SUẤT PHÉP ĐẾM VÀ TỔ HỢP 1.1 Tóm tắt lý thuyết 1.1.1 Quy tắc cộng Giả sử công việc V thực theo k phương án loại trừ lẫn V1 V2, …, Vk Số cách thực phương án Vi ni (i = 1, 2, … , k) Khi số cách thực việc V n1 + n2 + + nk 1.1.2 Quy tắc nhân Giả sử công việc V thực theo k cơng đoạn liên tiếp hay đồng thời V1, V2, … Vk Số cách thực Vi ni (I = 1, 2, … , k) Khi số cách thực việc V n1.n2 .nk 1.1.3 Tổ hợp Mỗi tập k phần tử khác tập hợp n phần tử (0  k  n) gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cnk Ta có cơng thức tính số tổ hợp chập k n phần tử sau: n! Cnk ; k n k !(n k )! Chú ý: Chọn k phần tử (bình đẳng) từ tập hợp n phần tử số cách chọn Cnk (0  k  n) 1.2 Ví dụ minh họa 1.2.1 Ví dụ 1: Một hộp có 10 viên phấn gồm viên trắng viên phấn màu Lấy ngẫu nhiên viên phấn Hỏi có cách lấy cho: a) Các viên phân tùy ý, không ý đến mầu sắc b) Lấy viên trắng viên mầu c) Lấy không viên phấn trắng d) Lấy viên phấn mầu b) C62 C41 60 ; Đáp số: a) C10 120 ; c) C43 C61C42 40 ; d) C10 C63 100 1.2.2 Ví dụ 2: Một lơ hàng 15 sản phẩm gồm sản phẩm loại I, sản phẩm lại II, sản phẩm loại III Chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra Hỏi có cách chọn cho: a) Các sản phẩm tùy ý, không phân biệt loại b) Chọn loại sản phẩm c) Chọn không sản phẩm loại I Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ d) Chọn sản phẩm loại I Đáp số: a) C153 ; b) C41.C51.C61 ; 3 c) C15 d) C15 C41C152 ; C15 4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 2.1 Mô tả khái niệm 2.1.1 Phép thử: Một hành động mà ta thực một nhóm điều kiện xác định nhằm nghiên cứu tượng ngẫu nhiên gọi phép thử Mỗi phép thử mơn xác suất đóng vai trị tương tự vai trị “thí nghiệm” mơn vật lý học, sinh học, y học, … 2.1.2 Biến cố: Các kết cục xẩy hay không xẩy sau phép thử gọi biến cố 2.1.3 Ví dụ Một lơ hàng 10 sản phẩm gồm phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô hàng để kiểm tra * Phép thử: hàng động lấy ngẫu nhiên sản phẩm * Các biến cố - A: Lấy phẩm phế phẩm - B: Lấy phẩm - C: Lấy phế phẩm - D: Lấy phẩm sản phẩm - E: Cả sản phẩm khơng có phế phẩm mà khơng có phẩm - F: Trong sản phẩm lấy, tổng số phế phẩm phẩm 2.2 Phân loại biến cố 2.2.1 Biến cố xảy sau phép thử gọi biến cố chắn, kí hiệu  2.2.2 Biến cố khơng xảy sau phép thử gọi biến cố khơng thể, kí hiệu  2.2.3 Biến cố xảy ra, khơng xảy sau phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên (viết tắt BCNN), kí hiệu A, B, , C1, C2, 2.2.4 Trong Ví dụ 3, ta có: A, B, C, D BCNN; E = , F =  2.3 Các phép toán quan hệ biến cố 2.3.1 Tổng hai biến cố Cho hai biến cố A B Tổng A với B, ký hiệu A + B (hay A  B), biến cố xảy A B xảy ra: (A + B xẩy ra)  (A xẩy B xẩy ra) 2.3.2 Tích hai biến cố Cho hai biến cố A B Tích A B, kí hiệu A.B (hay AB AB), biến cố xẩy A B xảy ra: Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ (AB xẩy ra)  (A xẩy B xẩy ra) 2.3.3 Quan hệ xung khắc đối lập - Hệ đầy đủ biến cố Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A, B gọi xung khắc chúng không xẩy sau phép thử Như vậy, (A, B xung khắc)  (AB = ) Quan hệ đối lập: Hai biến cố A B gọi đối lập sau phép thử, chúng phải xẩy Như vậy, (A, B đối lập)  ; AB A B Ta ký hiệu B = A (đọc “đối lập A” “phủ định A” “không A” Hệ đầy đủ biến cố: Hệ n biến cố A1, A2, , An (1 < n  N) gọi hệ đầy đủ sau phép thử, biến cố hệ xảy Như vậy, (Hệ A1, A2, , An đầy đủ)  ,1 Ai A j A1 A2 i j An n; Quan hệ độc lập – Hệ độc lập toàn phần - Hai biến cố A, B gọi độc lập xẩy biến cố không ảnh hưởng đến khả xẩy biến cố - Hệ n biến cố A1, A2, …, An (1 < n  N) gọi độc lập toàn phần chúng độc lập với tích biến cố lại Chú ý: - Hai biến cố đối lập xung khắc hai biến cố xung khắc chưa đối lập - Hai biến cố xung khắc hay đối lập chắn khơng độc lập 2.3.4 Vài ví dụ Ví dụ 4: Một sinh viên độc lập thi hai mơn Tốn, Lý Gọi T biến cố sinh viên đậu Tốn, L biến cố sinh viên đậu Lý Khi T, L hai biến cố độc lập, không xung khắc không đối lập Xét biến cố A: Sinh viên bị rớt mơn Tốn; B: Sinh viên đậu hai mơn; C: Sinh viên đậu mơn; D: Sinh viên bị rớt hai mơn; E: Sinh viên đậu mơn Lý; F: Sinh viên đậu mơn; G: Sinh viên đậu khơng q mơn Ta có: A = T : Sinh viên rớt mơn Tốn; L : Sinh viên rớt mơn Lý; B = TL; C = T + L = T L + T L + TL; D = T L ; E = T L; F = T L + T L; G = T L + T L + T L Ví dụ 5: Gieo súc sắc (hình lập phương gồm mặt cân đối đồng chất) mặt phẳng nằm ngang Gọi Ak biến cố xuất mặt k chấm, L biến cố xuất mặt có số chấm lẻ, C biến cố xuất mặt có số chấm chẵn Khi đó, ta có: - Hệ biến cố A1, A2, , A6 hệ đầy đủ - C = A2 + A4 + A6; L = A1 + A3 + A5 Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 3.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Cho T phép thử , A biến cố xảy phép thử Giả sử: - Sau phép thử T có tất n trường hợp đồng khả xảy ra; - Trong số có m trường hợp làm biến cố A xuất Khi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) xác định sau P( A) m n so truong hop lam A xay so tat cac truong hop 3.2 Ý nghĩa xác suất: Xác suất biến cố số (thường tính dạng phần trăm) dùng để “đo” khả (dễ hay khó) xẩy biến cố phép thử Xác suất lớn, khả xẩy biến cố nhiều Trong thực tế, xác suất P(A) biến cố A gọi “khả xảy A” 3.3 Các tính chất xác suất 3.3.1 Với biến cố A ta ln có P( A) 3.3.2 P( ) ; P( ) 3.3.3 P( A) P( A) 3.4 Phƣơng pháp tính xác suất định nghĩa Để tính xác suất biến cố (đơn giản) định nghĩa, ta cần thực bước sau đây: - Nhận biết hành động (phép thử), tính số n tất trƣờng hợp xảy sau hành động - Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số m trƣờng hợp làm xuất biến cố phép thử m tìm xác suất biến cố cho - Áp dụng công thức định nghĩa n 3.5 Các ví dụ 3.5.1 Ví dụ 6: Một chi đồn có 30 sinh viên nam 15 sinh viên nữ Cần chọn sinh viên tham gia chiến dịch mùa hè xanh Tìm xác suất nhóm chọn C15 C30 có sinh viên nữ Đáp số: C45 3.5.2 Ví dụ 7: Đề cương thi mơn Triết có 70 câu hỏi Một sinh viên ôn 40 câu Cho biết đề thi tự luận gồm câu thuộc đề cương sinh viên trả lời hai câu đậu Tìm xác suất sinh viên đậu mơn Triết C40 C30 C40 Đáp số: C70 3.5.3 Ví dụ 8: Tung đồng tiền, đồng có mặt sấp mặt ngửa Tìm xác suất a) mặt sấp b) mặt ngửa c) mặt sấp mặt ngửa Trong ba biến cố trên, biến cố thường xảy nhiều hơn? Đáp số: a) 25%; b) 25%; c) 50%; Biến cố câu c) thường xẩy Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ 3.5.4 Ví dụ 9: Lấy từ có 52 Tìm xác suất lấy a) màu đỏ b) màu đỏ C26 C26 ; Đáp số: a) C52 b) 26 C 52 C CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4.1 Công thức cộng xác suất Cho hai biến cố A, B Cần tính xác suất A + B theo xác suất A B 4.1.1 Trƣờng hợp biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) A, B xung khắc; P(A1 + … + Ak) = P(A1) + … + P(Ak) A1, …, Ak xung khắc đôi 4.1.2 Trƣờng hợp biến cố bất kỳ, không thiết xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB); P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC) 4.1.3 Các ví dụ Ví dụ 10 Một lớp học có 50 sinh viên, có 35 người đậu mơn Tốn, 28 người đậu môn Lý, 20 người đậu hai mơn Gọi ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất sinh viên đậu mơn 35 28 20 = 86% Đáp số: 50 Ví dụ 11 Trong hộp phấn có 50 viên gồm 10 viên màu 40 viên trắng Lấy ngẫu nhiên viên phấn Tìm xác suất lấy a) viên phấn màu b) Toàn phấn trắng c) Nhiều viên phấn màu d) Ít viên phấn màu 4 C40 C10 C40 C10 C40 Đáp số: a) ; b) ; c) 5 C50 C50 C50 5 C40 C40 ; d) – C50 C50 4.2 Xác suất có điều kiện công thức nhân xác suất 4.2.1 Xác suất có điều kiện: Cho hai biến cố A, B Giả sử B xẩy Khi xác suất A tính điều kiện B xẩy gọi xác suất có điều kiện, ký hiệu P(A/B) – đọc “xác suất A điều kiện B (đã xẩy ra)” Tương tự P(B/A) “xác suất B điều kiện A (đã xẩy ra)” 4.2.2 Nhận xét: Sự khác xác suất (vô điều kiện) P(A) với xác suất có điều kiện P(A/B) cho ta biết A, B không độc lập Tương tự P(B) P(B/A) Nói cách khác, ta có P( A) P( A / B); (A, B độc lập)  P( B) P( B / A) Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ 4.2.3 Cơng thức nhân xác suất (1) Trƣờng hợp biến cố độc lập P(AB) = P(A) P(B) A, B độc lập; P(A1A2….Ak) = P(A1)P(A2)…P(Ak) A1,A2,…, Ak độc lập toàn phần (2) Trƣờng hợp biến cố tùy ý, không thiết độc lập P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) ; P(A1A2….Ak) = P(A1)P(A2/A1)…P(Ak/A1…Ak – 1) 4.2.4 Các ví dụ Ví dụ 12 Một sinh viênđộc lập thi Tốn Lý Cho biết xác suất đậu hai môn 0,9; 0,8 Hãy tính xác suất sau đây: a) Sinh viên rớt hai mơn b) Sinh viên đậu Tốn c) Sinh viên đậu hai mơn d) Sinh viên đậu mơn e) Sinh viên đậu khơng q mơn f) Sinh viên đậu môn Đáp số: a) (1 – 0,9)(1 – 0,8); b) 0,9(1 – 0,8); c) 0,9.0,8; d) 0,9(1 – 0,8) + (1 – 0,9)0,8; e) (a) + (d) = – (c) ; f) – (a) Ví dụ 13 Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn trúng viên 0,6 ; 0,7 Tìm xác suất bắn trúng a) Cả hai viên b) Chỉ viên thứ c) Chỉ viên d) Ít viên e) Không viên Đáp số: a) 0,6.0,7; b) 0,6(1 – 0,7); c) 0,6(1 – 0,7) +(1 – 0,6)0,7; d) – (1 – 0,6)(1 – 0,7); e) (1 – 0,6)(1 – 0,7) + (c) Ví dụ 14 Một cậu bé có 10 bút chì có bút đen, bút màu Cậu bé cho anh bút, sau cho chị bút Tìm xác suất cậu bé cịn lại a) Tồn bút đen b) bút màu c) bút màu d) Ít bút màu e) Không bút màu 1 C C32 C31C71 C C3C7 b) 72 ; c) Đáp số: a) 32 ; ; C10 C102 C10 C102 C102 d) – (a); e) (a) + (c) 4.3 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 4.3.1 Nội dung công thức Cho hệ đầy đủ biến cố A1, A2, , An B biến cố tùy ý xảy biến cố hệ xảy Khi đó, ta có P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + + P(An)P(B/An); P(Ak/B) = P( Ak ) P( B / Ak ) ; k = 1, 2, … , n P( B) 4.3.2 Các ví dụ Ví dụ 15 Cho hộp đựng bút hình dáng giống Hộp thứ có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ hai có bút đỏ, bút xanh Hộp thứ ba có bút đỏ, Tóm tắt lý thuyết tập Tài liệu ôn thi TS cao học môn Toán PGS-TS Lê Anh Vũ bút xanh Lấy ngẫu nhiên hộp, từ lấy ngẫu nhiên bút Tìm xác suất lấy a) bút đỏ b) bút đỏ c) Ít bút đỏ 2 C3 C4 1 C2C8 C3C7 C41C62 Đáp số: a) (0 ); ) ; b) ( 3 3 3 C10 C10 C10 C10 C10 C83 C73 C63 c) – ( ) 3 C10 C10 C10 Ví dụ 16 Có hai lô hàng đựng thiết bị điện tử Lô thứ có phế phẩm sản phẩm tốt Lơ thứ hai có phế phẩm sản phẩm tốt Từ lô thứ lấy sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai Sau từ lơ thứ hai lấy sản phẩm a) Tìm xác suất lấy sản phẩm lấy sau tốt b) Biết sản phẩm lấy sau cùng, có phế phẩm Tính xác suất để sản phẩm bỏ từ lô thứ vào lô thứ hai phế phẩm C32 C63 (1 ) C72 C83 C32 C63 C71C31 C73 C102 C10 b) Đáp số: a) ; (a) C10 C10 C102 C10 C102 C10 Ví dụ 17 Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất loại sản phẩm Phân xưởng thứ sản xuất 25%, phân xưởng thứ hai sản xuất 35%, phân xưởng thứ ba sản suất 40% tổng số sản phẩm nhà máy Tỉ lệ phế phẩm phân xưởng 1%; 3%; 2% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm kho hàng nhà máy a) Tìm xác suất lấy phế phẩm b) Giả sử lấy phế phẩm, tìm xác suất phế phẩm phân xưởng thứ sản xuất Đáp số: a) 0,25.0,01 + 0,35.0,03 + 0,4.0,02; b) (0,25.0,01) : (a) 4.4 Công thức Bernoulli 4.4.1 Nội dung công thức - Giả sử, lần thực phép thử T, xác suất xẩy A (xác suất thành công) P(A) = p (0 < p < 1) không đổi Đặt q = – p = P( A ) xác suất không xẩy A sau lần thử - Ta thực phép thử T lặp lặp lại n lần cách độc lập - Ký hiệu Pn(k) xác suất A xẩy k lần n lần thử; Pn(k1;k2) xác suất A xẩy từ k1 lần đến k2 lần n lần thử (0 ≤ k ≤ n; k1 k2 n ) Khi ta có Pn(k) = Cnk pk qn k ; ≤ k ≤ n Pn(k1;k2) = k2 Cnk p k q n k ; k1 k2 n k k1 Tóm tắt lý thuyết tập 10 Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ VẮN TẮT ĐÁP ÁN ĐỀ TỔNG ÔN SỐ Câu I (XS – điểm) Có lơ hàng Lơ thứ có sản phẩm gồm sản phẩm tốt phế phẩm; Lô thứ hai có sản phẩm gồm sản phẩm tốt phế phẩm; Lơ thứ ba trống, khơng có sản phẩm Từ lô thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm, từ lô thứ hai lấy sản phẩm tùy ý đem trƣng bày Các sản phẩm cịn lại hai lơ thứ thứ hai đƣợc đổ dồn vào lô thứ ba Từ lô thứ ba lấy ngẫu nhiên (không trả lại) sản phẩm; sau lấy tiếp sản phẩm a Tính xác suất để sản phẩm lấy lần đầu phế phẩm b Tính xác suất để sản phẩm lấy lần sau tốt biết sản phẩm lấy lần đầu tốt Giải Gọi - Ai biến cố sản phẩm trưng bày có i sản phẩm tốt; i = 0, 1, 2, - Xk biến cố lấy lần thứ k từ lô thứ ba sản phẩm xấu; k = 1, - Tk biến cố lấy lần thứ k từ lô thứ ba sản phẩm tốt; k = 1, a) Tính xác suất để sản phẩm lấy lần đầu phế phẩm Ta cần tính P(X1) Ta thấy {A0, A1, A2, A3} hệ đầy đủ biến cố Theo công thức XSĐĐ, ta có: P(X1) = P(A0)P(X1/A0) + P(A1)P(X1)/A1) + P(A2)P(X1/A2) + P(A3)P(X1/A3) (1) Mà P(A0) = C22 ;  C 63 P(A1) = P(A2) = C52 C2 C1C1 30  25  ; C 63 Nhớ + Khi A0 xẩy Hộp có + Khi A1 xẩy Hộp có + Khi A2 xẩy Hộp có + Khi A3 xẩy Hộp có Do P(X1/A0) = C22 C21C51 12 ;   C2 C2 63 7 P(A3) = C52 20  C 63 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm ; P(X1)/A1) = ; P(X1/A2) = ; P(X1/A3) = 10 10 10 10 Thay vào (1) ta P(X1) = 1 12 30 20 13 + + + = 63 10 63 10 63 10 63 10 42 b) Tính xác suất để sản phẩm lấy lần sau tốt biết sản phẩm lấy lần đầu tốt Ta cần tính P(T2/T1) Theo cơng thức nhân, ta có P(T1T2) = P(T1)P(T2/T1)  P(T2/T1) = P(T1T2)/ P(T1) (2) Tóm tắt lý thuyết tập 62 Tài liệu ôn thi TS cao học môn Toán Mà P(T1) = – P(X1) = – PGS-TS Lê Anh Vũ 13 29 = ; Lại áp dụng cơng thức XSĐĐ ta có 42 42 P(T1T2) = P(A0)P(T1T2/A0) + P(A1)P(T1T2)/A1) + P(A2)P(T1T2/A2) + P(A3)P(T1T2/A3) 12 30 20 62 ( ) + ( )+ ( ) + ( ) = 135 63 10 63 10 63 10 63 10 868 Thay vào (2) ta P(T2/T1) = ( 66,51%) 1305 = Từ lô thứ ba lần lƣợt lấy lần, lần lấy sản phẩm kiểm tra xong lại hồn trả vào lơ hàng Gọi X số sản phẩm tốt sản phẩm lấy Tìm luật phân phối xác suất X Tính kỳ vọng phƣơng sai 3X Giải Đặt p xác suất để lần lấy sản phẩm (có hồn lại) từ lơ thứ ba sản phẩm tốt Ta có p = P(T1) = – P(X1) = – 13 29 = ; 42 42 Khi X có phân phối nhị thức kiểu B(3; 29 = 42 29 D(3X) = 32D(X) = 42 - E(3X) = 3E(X) = 3 - q = – p = P(X1) = 13 42 29 ) Suy 42 87  6,2143 14 13 1131 =  5,7704 42 196 Từ lô thứ ba lấy lúc sản phẩm tùy ý Gọi Y số phế phẩm sản phẩm lấy Tìm luật phân phối xác suất Y Giải: Rõ ràng Y = {0, 1, 2, 3} Y không tuân theo luật phân phối thông dụng Ta cần lập bảng phân phối xác suất Y Để tính xác suất P(Y = k), k = 0,1,2, 3; ta áp dụng công thức xác suất đầy đủ P(Y= k) = P(A0)P((Y= k)/A0) + P(A1)P((Y= k))/A1) + P(A2)P((Y= k)/A2) + P(A3)P((Y= k)/A3) (3.k) (k = 0, 1, 2, 3) Nhắc lại C22 P(A0) =  ; C 63 P(A2) = 2 C5 C2  Hơn + Khi A0 xẩy Hộp có + Khi A1 xẩy Hộp có + Khi A2 xẩy Hộp có + Khi A3 xẩy Hộp có Tóm tắt lý thuyết tập C22 C21C51 12 P(A1) =   ; C C 63 C21C51 C2 7 30 ;  63 C52 20 P(A3) =  ; 63 C 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 10 sản phẩm với tốt phế phẩm 63 Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ Do ta có P((Y=0)/A0) = C93 C92C11 ; P((Y=1)/A ) = ; P((Y=2)/A0) = P((Y=3)/A0) = 0; C103 C103 P((Y=0)/A1) = C83 C82C21 C81C22 ; P((Y=1)/A ) = ; P((Y=2)/A ) = ; P((Y=3)/A1) = 0; 1 C103 C103 C103 P((Y=0)/A2) = C73 C72C31 C71C32 C33 ; P((Y=1)/A ) = ; P((Y=2)/A ) = ; P((Y=3)/A ) = ; 2 C103 C103 C103 C103 P((Y=0)/A3) = C63 C62C41 C61C42 C43 ; P((Y=1)/A ) = ; P((Y=2)/A ) = ; P((Y=3)/A ) = ; 3 C103 C103 C103 C103 Lần lượt thay vào công thức (3.k) tương ứng với trường hợp, ta tính P(Y = 0) = C93 12 C83 30 C73 20 C63 1103  29,180% ; + + + = 63 C10 63 C10 63 C10 63 C10 3780 P(Y = 1) = C92C11 12 C82C21 30 C72C31 20 C62C41 1899 211 + + + =  50,238%  63 C10 63 C10 63 C10 63 C10 3780 420 ; P(Y = 2) = 12 C81C22 30 C71C32 20 C61C42 723 241  19,127% ; + + = +  63 C10 63 C10 63 C10 63 3780 1260 P(Y = 3) = 30 C33 20 C43 12 55 11  1,455% ; + = + +  63 C10 63 C10 63 63 3780 756 Vậy bảng PPXS Y sau Y P 1103 3780 1899 211  3780 420 723 241  3780 1260 55 11  3780 756 Câu II (TK – điểm) Tìm hiểu mức thu nhập X (triệu đồng/tháng) công nhân khu công nghiệp A năm 2013, điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 công nhân ta ghi đƣợc bảng số liệu sau X (xi) Số công nhân 10 20 30 20 15 (ni) 1) Ƣớc lƣợng thu nhập trung bình hàng tháng cơng nhân tồn khu công nghiệp A năm 2014 với độ tin cậy 99% ƣớc lƣợng tỉ lệ công nhân khu cơng nghiệp A năm 2014 có thu nhập hàng tháng không dƣới 5,5 triệu đồng với độ tin cậy 95% Giải * Ƣớc lƣợng thu nhập trung bình hàng tháng Tóm tắt lý thuyết tập 64 Tài liệu ôn thi TS cao học môn Toán PGS-TS Lê Anh Vũ - Các đặc trưng mẫu X = 5,95; S = n – = 1,3661 - Độ tin cậy –  = 0,99; (2,58) = 0,495 = (1 –  )/2  z/2= 2,58 - Độ xác:  = 2,58 1,3661/ 100 = 0,3525 - a1 = 5,95 – 0,3525 = 5,5975; a2 = 5,95 + 0,3525 = 6,3025 - Gọi a thu nhập trung bình hàng tháng công nhân khu công nghiệp A Ta có ước lượng: 5,5975 (triệu đồng/tháng)  a  6,3025 (triệu đồng/tháng) với độ tin cậy 99% * Ƣớc lƣợng tỉ lệ cơng nhân có thu nhập khơng dƣới 5,5 triệu đồng/tháng - Tỉ lệ mẫu f = (30 + 20 + 15)/100 = 65/100 = 0,65 - Độ tin cậy –  = 0,95; (1,96) = 0,475 = (1 –  )/2  z/2= 1,96 - Độ xác:  = 1,96 0, 65(1 0, 65)  0,0935 100 - p1 = 0,65 – 0,0935 = 0,5565; p2 = 0,65 + 0,0935 = 0,7435 - Gọi p tỉ lệ cơng nhân có thu nhập khơng triệu đồng/tháng khu cơng nghiệp A Ta có ước lượng: 55,65%  p  74,35% với độ tin cậy 95% 2) Biết năm 2013, thu nhập trung bình công nhân khu công nghiệp A 5,5 triệu đồng/tháng Với mức ý nghĩa 5%, cho thu nhập trung bình cơng nhân khu công nghiệp A năm 2014 tăng lên so với năm 2013 hay không? Giải: Gọi a thu nhập trung bình cơng nhân khu cơng nghiệp A năm 2013 Đặt giả thuyết H: a = 5,5 (triệu đồng/tháng), đối thuyết H : a > 5,5 Ta cần kiểm định với mức ý nghĩa  = 0,05 - Đã có đặc trưng mẫu (theo câu 1): X = 5,95; S = n – = 1,3661 - Mức ý nghĩa  = 0,05; (1,65) = 0,45 = (1/2) –   z= 1,65 - Giá trị tiêu chuẩn kiểm định: z0 = (5,95 – 5,5) 100 /1,3661  3,2940 - Vì z0 > z nên H bị bác bỏ - Kết luận: Có sở cho thu nhập trung bình hàng tháng cơng nhân khu công nghiệp A năm 2014 tăng so với năm 2013 với mức ý nghĩa 5% 3) Điều tra ngẫu nhiên 81 công nhân khu công nghiệp B thấy có 52 cơng nhân thu nhập khơng dƣới triệu đồng/tháng Với mức ý nghĩa 1%, cho tỉ lệ cơng nhân có thu nhập khơng dƣới triệu đồng/tháng hai khu công nghiệp A, B nhƣ đƣợc không? Giải: Gọi p1, p2 tương ứng tỉ lệ cơng nhân có thu nhập không triệu đồng/tháng khu công nghiệp A, B Đặt giả thuyết H: p1 = p2; Đối thuyết H : p1 ≠ p2 Ta cần kiểm định với mức ý nghĩa 1% = 0,01 - Mẫu A: n1 = 100, k1 = 65, f1 = 0,65 Tóm tắt lý thuyết tập 65 Tài liệu ôn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ Mẫu B: n2 = 81, k2 = 52; f2 = 52/81  0,6420 - Mức ý nghĩa  = 0,01; (2,58) = 0,495 = (1 –  )/2  z/2= 2,58 - Giá trị tiêu chuẩn kiểm định: z0  0,1119 - Vì z0 < z/2 nên ta chấp nhận H - Kết luận: Có sở tỉ lệ cơng nhân có thu nhập khơng dƣới triệu đồng/tháng hai khu công nghiệp A, B nhƣ với mức ý nghĩa 1% Câu III (QHTT – điểm) Cho toán QHTT (G) sau đây: f = 4x1 + 3x2 – 15x3 + 2x4  max x1 x2 x3 3x4 4; x1 3x2 x3 x4 3; x2 x3 x4 2; x j 0, j 1, 2, 3, a) Viết toán đối ngẫu (G*) toán QHTT nêu b) Kiểm tra xem vectơ x* = (1, 1, 0, 1) có PA, PACB tốn (G) khơng c) Kiểm tra xem vectơ x* = (1, 1, 0, 1) có PATU (G) khơng Từ suy PATU toán đối ngẫu (G*) Giải toán QHTT (G) cho f = 4x1 + 3x2 – 15x3 + 2x4  max x1 x2 x3 3x4 (1) x1 3x2 x3 x4 (2) x2 x3 x4 (3) x j 0, j 1, 2, 3, y1 (1*) y2 (2*) y3 (3*) a) Viết toán đối ngẫu (G*) toán QHTT nêu Bài toán đối ngẫu (G*) (G) sau: g = – 4y1 – 3y2 + 2y3  y1 y2 y1 y2 y3 y1 y2 y3 15 y1 y2 y3 y1 0, y2 0, y3 (4*) (5*) (6*) (7*) x1 x2 x3 x4 (4) (5) (6) (7) b) Kiểm tra xem vectơ x* = (1, 1, 0, 1) có PA, PACB tốn (G) khơng? Tóm tắt lý thuyết tập 66 Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ + Thay x* = (1, 1, 0, 1) vào tất ràng buộc (chính dấu) (G) thỏa mãn Do x* PA (G) + Hơn x* thỏa mãn ràng buộc chặt (với dấu “=”) (1), (2), (3) (6) Ma trân hệ số ràng buộc A= 1 0 0 0 0 3  (Hạng(A) = 4) Do ràng buộc chặt độc lập tuyến tính Vậy x* PACB (G) c) Kiểm tra xem vectơ x* = (1, 1, 0, 1) có PATU (G) khơng Từ suy PATU tốn đối ngẫu (G*) + Giả sử x* với y* = (y1, y2, y3) cặp PATU (G) (G*) tương ứng Vì x* thỏa mãn LỎNG (4), (5), (7) nên (4*), (5*), (7*) bắt buộc phải thỏa mãn chặt Ta hệ sau y1 y2 4; y1 y2 y3 3; Giải hệ ta y* = (– 1, – 1, 1) y1 y2 y3 Hiển nhiên y* thỏa mãn ràng buộc lại (G*) Bởi x*, y* cặp PA thỏa mãn định lý độ lệch bù Vậy x* PATU (G), y* PATU (G*) Giải toán QHTT sau phƣơng pháp đơn hình f ( x)  8x1  x3  x4  x5  max 2 x  x4  x5  4,   x5  6,  x1  x2  + x3  x4  1,  x1  x j  0, j  1, 2, 3, 4,  Giải Ta đưa tốn cho dạng tắc chuẩn (N) sau g   f ( x)  8x1  x3  x4  2x5  Mx6  (0 < M đủ lớn) 2 x  x4  x5  x6  4,   x5  6,   x1  x2   1, + x3  x4  x1  x j  0, j  1, 2, 3, 4,  + PACB xuất phát: x0 = (0, 6, 1, 0, 0, 4) + Biến sở: x2, x3, x6 Tóm tắt lý thuyết tập 67 Tài liệu ơn thi TS cao học mơn Tốn PGS-TS Lê Anh Vũ + Hệ số sở: c2 = 0, c3 = 1, c6 = M (hệ số giả dương đủ lớn) Bảng đơn sau Biến CS Hệ số CS PACB x1 –8 x2 x3 x4 x5 x6 M  x6 M –2 0 1 x2 –1 0 x3 1 1 0 0,5 g = 4M +1