Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I Tóm tắt lí thuyết 1 Khái niệm cung và góc lượng giác Định nghĩa 1 Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã[.]
Chương CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC I Tóm tắt lí thuyết Khái niệm cung góc lượng giác Định nghĩa Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Quy ước: chiều dương chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ + A − Định nghĩa Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm A B Một điểm M di chuyển đường tròn theo chiều (dương âm) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B ! Với hai điểm A, B cho đường tròn định hướng, ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu A, điểm y cuối B Mỗi cung kí hiệu AB ! Trên đường trịn định hướng, lấy hai điểm A B ı cung hình học (cung lớn cung bé) hồn tồn xác định • Kí hiệu AB y • Kí hiệu AB cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Định nghĩa y Trên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác CD Một điểm M chuyển D y động đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác CD nói Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD Ta nói ta OM tạo góc lượng giác có tia đầu OC, tia cuối OD Kí hiệu: (OC, OD) M O C 395 396 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Trong mặt phẳn tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = Đường trịn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1; 0), A0 (−1; 0), B(0; 1), B0 (0; −1) Ta lấy A làm điểm gốc đường trịn Đường trịn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A) y B x A0 O A B0 Số đo cung góc lượng giác Định nghĩa Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung co số đo rad Å ã 180 ◦ π ◦ rad rad = Liên hệ độ rad: = 180 π ! Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số π π đo Chẳng hạn cung hiểu cung rad 2 Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ Rađian π π π π 2π 3π 5π π y Định nghĩa Số đo cung lượng giác AM (A 6= M) số thực, âm hay dương y y Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ: y sđ AM = α + k2π, k ∈ Z y sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z y Định nghĩa Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Số đo cung lượng giác y y Số đo cung lượng giác AM (A 6= M) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM y sđ AM Ghi nhớ y sđ AM = α + k2π, k ∈ Z y sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z Số đo góc lượng giác y Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 397 y Điểm M đường trịn lượng giác cho góc lượng giác (OA, OM)) = α điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo α B M A0 α x O B0 II Các dạng toán Dạng Liên hệ độ rađian Sử dụng cộng thức chuyển đổi số đo độ số đo rađian: 1◦ Å ã π 180 ◦ = rad rad = 180 π Ví dụ Đổi số đo góc sau rađian: 72◦ ; 600◦ ; −37◦ 450 3000 π rad nên Lời giải Vì 1◦ = 180 π 2π 72◦ = 72 · = ; 180 10π π = ; 600◦ = 600 · 180 Å ã◦ Å ã◦ Å ã 45 30 4531 ◦ 4531 π ◦ 00 ◦ −37 45 30 = −37 − − = = · ≈ 0, 6587 60 60 · 60 120 120 180 Ví dụ Đổi số đo góc sau độ: 5π 3π ; ; −4 18 ã 180 ◦ nên Lời giải Vì rad = π Å ã◦ 5π 5π 180 = · = 50◦ ; 18 Å 18 π ã 3π 3π 180 ◦ = · = 108◦ ; 5 π Å ã 180 ◦ −4 = − · ≈ −2260◦ 480 π Å BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Đổi số đo góc sau rađian: 54◦ ; 30◦ 450 ; −60◦ ; −210◦ π 3π Lời giải 54◦ = 54 · = ; 180 10 Å ã Å ã 45 ◦ 123 ◦ 123 π 41π ◦ ◦ 30 45 = 30 + = = · = ≈ 0, 5367; 60 4 180 240 π π −60◦ = −60 · =− ; 180 π 7π −210◦ = −210 · =− 180 A 398 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC π 5π 4π Bài Đổi số đo góc sau độ: ; − ; ; 3, 56π Å ã π π 180 ◦ Lời giải = · = 36◦ ; 5Å ãπ 5π 5π 180 ◦ − =− · = 150◦ ; Å ãπ 4π 180 ◦ 4π = · = 240◦ ; 3Å π ã 180 ◦ 3, 56π = 3, 56π · ≈ 640◦ 480 π Dạng Độ dài cung lượng giác Cung trịn bán kính R có số đo α (0 ≤ α ≤ 2π), có số đo a◦ (0 ≤ a ≤ 360) có độ dài l thì: l = Rα = Å 180 Đặc biệt: rad = π ã◦ , 1◦ = πa α a R = 180 π 180 π rad 180 Ví dụ Một đường trịn có bán kính 36 m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3π a) b) 51◦ c) πa Lời giải Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = Rα = R nên 180 3π a) Ta có l = Rα = 36 = 27π ≈ 84, 8m πa π51 51π b) Ta có l = R = 36 = ≈ 32, 04 m 180 180 c) Ta có l = Rα = 36 = 12 m Å ã◦ Ví dụ Một hải lí độ dài cung trịn xích đạo có số đo = 10 Biết độ dài xích đạo 40.000 60 km, hỏi hải lí dài km? Lời giải Một hải lí dài 40000 ≈ 1, 852 km 360 60 Ví dụ Cho hình vng A0 , A1 , A2 , A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh xếp theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Tính y A1 y số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai A j (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, i 6= j) A2 O A3 y ÷ Lời giải Ta có A OA0 = nên sđA0 A0 = k2π, k ∈ Z y π π ÷ A nên sđA0 A1 = + k2π, k ∈ Z OA1 = 2 A0 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC 399 y ÷ A OA2 = π nên sđA0 A1 = π + k2π, k ∈ Z y π π 3π ÷ A nên sđA0 A3 = 2π − + k2π = + k2π, k ∈ Z OA3 = 2 y iπ Như sđA0 Ai = + k2π, i = 0, 1, 2, 3, k ∈ Z y y y π Theo hệ thức salơ ta có sđ Ai A j =sđA0 A j − sđA0 Ai +k2π = ( j − i) + k2π, k ∈ Z BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính độ dài cung tròn trường hợp sau: a) Bán kính R = 5, có số đo 72◦ b) Bán kính R = 18, có số đo 150◦ π.72 = 2π Lời giải a) l = 180 π.150 b) l = 18 = 15π 180 Bài Cho đường trịn có đường kính R = 20 cm Hãy tính độ dài cung trịn có số đo: π ; 1, 5; 37◦ 15 Lời giải • l= π 20 ≈ 4, 19 cm 15 • l = 1, 5.20 ≈ 30 cm • l= 37.π 20 ≈ 12, 91 cm 180 Bài Bánh xe người xe đạp quay 11 vòng giây a) Tính góc (theo độ rađian) mà bánh xe quay giây b) Tính quãng đường mà người xe phút, biết đường kính bánh xe đạp 680 mm 11 22π Lời giải a) Trong giây, bánh xe quay vịng, tức quay góc (rad) hay 792◦ 5 22π 60 ≈ 281, 990 (mm) ≈ 282 m b) Trong phút, bánh xe lăn l = 340 Bài Cho lục giác A0 A1 A2 A4 A5 A6 nội tiếp đường tròn tâm O(các đỉnh xếp theo chiều ngược y y chiều quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai A j (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, 5, i 6= j) y iπ Lời giải sđ A0 Ai = + k2π, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, k ∈ Z y y y π sđ Ai A j =sđA0 A j − sđA0 Ai +k2π = ( j − i) + k2π, i, j = 0, 1, 2, 3, 4, 5, i 6= j, k ∈ Z y y π π Bài Trên đường tròn lượng giác gốc A Cho điểm M, N cho sđAM = , sđAN = − Các điểm 5 y y y 0 M , N điểm đối xứng M, N qua tâm đường trịn Tìm số đo cung AM , AN M N Lời giải y π 6π sđAM = + π + k2π = + k2π, k ∈ Z 5 y M π 4π N0 sđAN = − + π + k2π = + k2π, k ∈ Z 5 Theo hệ thức Saclơ ta có A y y y 2π O sđM N =sđAN − sđAM + k2π = − + k2π, k ∈ Z N M0 400 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng kết sau: • Cung có số đo α (a◦ ) cung có số đo α + k2π (a◦ + k360◦ ) có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác k2π • Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo dạng α + (hay m k360◦ a◦ + ) (với k số nguyên m số nguyên dương) m điểm Từ để biểu diễn m cung lượng giác đó, ta cho k chạy từ đến m − biểu diễn cung Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo 9π Lời giải π 9π 9π = + · 2π Do điểm biểu diễn cung lượng giác trùng với Ta có 4 π điểm biểu diễn cung lượng giác _ 9π Vậy điểm cuối cung điểm M cung nhỏ AB A0 y B M A x O B0 Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo −765◦ Lời giải Ta có −765◦ = −45◦ − · 360◦ Do điểm biểu diễn cung lượng giác −765◦ 45 trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −45◦ Lại có = Ta chia 360 đường tròn thành phần Khi điểm M biểu diễn góc có số đo −765◦ A0 y B A x O M B0 Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý Lời giải CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Ta có x = kπ = 401 k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo kπ y B • Với k = 0, x = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x = π, biểu diễn điểm A0 A0 A x O B0 Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = thỏa mãn x ∈ [2π; 5π]? π + kπ với k số nguyên tùy ý Có giá trị k π + kπ > 2π k > Lời giải Giải hệ bất phương trình π4 ⇔ + kπ < 5π k < 19 4 19 Từ đó, để x ∈ [2π; 5π] < k < Vì k số nguyên nên có giá trị k, 2, 3, 4, thỏa mãn ycbt 4 π kπ với k số nguyên tùy ý Có giá trị Ví dụ 10 Cho cung lượng giác có số đo x = − + Å ò 3π k thỏa mãn x ∈ − ; 4π ? π kπ 3π 16 − + k > − >− ⇔ 15 Lời giải Giải hệ bất phương trình − π + kπ ≤ 4π k ≤ 52 3 Å ị 3π 16 52 Từ đó, để x ∈ − ; 4π − < k ≤ Vì k số ngun nên có 19 giá trị k (−1, 0, 16, 17) 15 thỏa ycbt π kπ Ví dụ 11 Cho cung lượng giác có số đo x = − + với số k tùy ý Có giá trị k thỏa −π i mãn x ∈ ; 2π ? π kπ −π − + k > − >− ⇔ Lời giải Giải hệ bất phương trình 27 π kπ − + k ≤ ≤ 2π −π i 27 Từ đó, để x ∈ ; 2π − < k ≤ Vì k số nguyên nên có 14 giá trị k (0, 1, 12, 13) thỏa 2 ycbt Ví dụ 12 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = Lời giải kπ với k số nguyên tùy ý 402 Ta có x = CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC kπ k2π π = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo k y B • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x2 = π , biểu diễn điểm B • Với k = 2, x3 = π, biểu diễn điểm • Với k = 3, x4 = A0 A x O A0 3π , biểu diễn điểm B0 B0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = Lời giải Ta có x = kπ với k số nguyên tùy ý kπ k2π kπ = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y M3 • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm M1 • Với k = 1, x2 = • Với k = 2, x3 = π , biểu diễn điểm M2 M2 M4 2π , biểu diễn điểm M3 M1 x O M5 M6 • Với k = 3, x4 = π, biểu diễn điểm M4 • Với k = 4, x5 = 4π , biểu diễn điểm M5 • Với k = 5, x6 = 5π , biểu diễn điểm M6 Bài Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = −750◦ Lời giải Ta có x = −750◦ = −30 − · 360◦ Vậy điểm diễn góc −750◦ trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác −30◦ 30 = Ta chia đường tròn thành 12 phần Lại có 360 12 Chú ý góc −30◦ nằm trục Ox A0 ◦ Khi điểm M biểu diễn cung lượng giác −750 y B A x O M B0 Bài 10 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − Lời giải 2π CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 403 2π Ta có: = Ta chia đường tròn thành phần 2π 2π Khi điểm M biểu diễn cung lượng giác x = − y B M A0 A x O B0 Bài 11 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = π + kπ với k số nguyên tùy ý Lời giải π π k2π Ta có x = + kπ = + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số 3 π đo x = + kπ π • Với k = 0, x1 = , biểu diễn điểm M1 A0 • Với k = 1, x2 = 4π , biểu diễn điểm M2 y B M1 A x O M2 B0 π kπ với k số nguyên tùy ý Bài 12 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − + Lời giải π kπ π k2π Ta có x = − + =− + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác 4 có số đo x M3 π • Với k = 0, x1 = − , biểu diễn điểm M1 A0 π • Với k = 1, x2 = , biểu diễn điểm M2 M4 3π , biểu diễn điểm M3 • Với k = 2, x3 = • Với k = 3, x4 = 5π , biểu diễn điểm M4 π kπ Bài 13 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = − + với k số nguyên tùy ý Lời giải y B M2 A x O M1 B0 404 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC π kπ π k2π Ta có x = − + =− + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác 6 có số đo x π M3 • Với k = 0, x1 = − , biểu diễn điểm M1 A0 π • Với k = 1, x2 = , biểu diễn điểm M2 M4 π • Với k = 2, x3 = , biểu diễn điểm B • Với k = 3, x4 = 5π , biểu diễn điểm M3 • Với k = 4, x5 = 7π , biểu diễn điểm M4 • Với k = 5, x6 = 3π , biểu diễn điểm B0 y B M2 A x O M1 B0 Bài 14 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ y = k2π lên đường tròn lượng giác, số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải k2π y Ta có x = kπ = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x B • Với k = 0, x1 = 0, biểu diễn điểm A • Với k = 1, x2 = π biểu diễn điểm A0 A0 Ta có y = k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y Với k = 0, y = 0, biểu diễn điểm A Vậy số điểm chung nhận điểm chung Bài 15 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = A0 3π • Với k = 1, x2 = biểu diễn điểm B π Ta có y = + k2π Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo y Với π k = 0, y = , biểu diễn điểm B Vậy số điểm chung nhận điểm chung số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải x O B0 π π + kπ y = + k2π lên đường tròn lượng giác, 2 số điểm chung nhận bao nhiêu? Lời giải π k2π Ta có x = kπ = + Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo x 2 π • Với k = 0, x1 = , biểu diễn điểm B Bài 16 Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo x = A y B A x O B0 π kπ 5π + y = + kπ lên đường tròn lượng giác, ... Z Số đo góc lượng giác y Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC 397 y Điểm M đường tròn lượng giác.. . Theo hệ thức Saclơ ta có A y y y 2π O sđM N =sđAN − sđAM + k2π = − + k2π, k ∈ Z N M0 400 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác.. . 12 Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = Lời giải kπ với k số nguyên tùy ý 402 Ta có x = CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC kπ k2π π = Vậy có điểm biểu diễn cung lượng giác có