Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn toán 11 (quyển 1)

MSE EDUCATION SÁCH CÓ BÁN TẠI VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC LƯU HÀNH NỘI BỘ PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủđề HÀ M SỐL ƯNG GIÁ C PHƯƠNG T RÌNH L ƯNG GIÁ C PH Ầ N TỰ LUẬ N BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC T ÓM T ẮT LÝ T HUY ẾT I TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ: Hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: với x  D  x  D f x  f  x  Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: với x  D  x  D f x   f  x  Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f  x  xác định tập  a; b     Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (hay hàm số tăng)  a; b  x1 , x2   a; b  có x1  x2  f  x1   f  x2   Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (hay hàm số giảm)  a; b  x1 , x2   a; b  có x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số tuần hoàn: Hàm số y  f  x  xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có ( x  T )  D ( x  T )  D f  x  T   f  x  Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hoàn f II HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Hàm số sin: y  sin x  Tập xác định   Tập giá trị:  1;1 ,có nghĩa 1  sin x  1, x    Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa sin  x  k 2   sin x với k        Hàm số đồng biến khoảng    k 2 ;  k 2  nghịch biến khoảng   Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 3    k 2  , k     k 2 ; 2   Đồ thị: y  sin x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O tâm đối xứng y -3π -2π - -π 3π - π f(x) = sin(x) 3π 2 π π O 2π 3π x -1  Một số giá trị đặc biệt:  sin x   x  k , (k  )   k 2 , (k  )   sin x  1  x    k 2 , (k  )  sin x   x  Hàm số cơsin: y  cos x :  Tính chất:  Tập xác định   Tập giá trị:  1;1 , có nghĩa 1  cos x  1, x    Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa cos  x  k 2   cos x với k    Hàm số đồng biến khoảng    k 2 ; k 2  nghịch biến khoảng  k 2 ;   k 2  , k    Đồ thị: y  cos x hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng y -3π -π -2π 3π - - π O f(x) = cos (x) π -1 π 3π 3π 2π x  Một số giá trị đặc biệt:   cos x   x   k , (k  )  cos x   x  k 2 , (k  )  cos x  1  x    k 2 , (k  ) Hàm số tang: y  tan x  sin x : cos x    Tập xác định:  \   k k    2   Tâp giá trị   Hàm số tuần hồn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x, (k  )      Hàm số đồng biến khoảng    k ;  k  ,  k       Đồ thị: y  tan x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng nhận Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 đường thẳng x    k , k   làm đường tiệm cận y -2π - 3π -π - π O fx = tanx π π 3π 2π x  Một số giá trị đặc biệt :  tan x   x  k , k     k , k     tan x  1  x    k , k    tan x   x  Hàm số cotang: y  cot x  cos x : sin x  Tập xác định:  \ k k    Tập giá trị:   Hàm số tuần hồn với chu kì  , có nghĩa cot  x  k   cot x, (k  )  Hàm số nghịch biến khoảng  k ;   k  , k    Đồ thị: y  cot x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng nhận đường thẳng x  k , k   làm đường tiệm cận y f(x)=cotan(x) -2π - 3π -π - π O π π 3π 2π x  Một số giá trị đặc biệt :   cot x   x   k , k     cot x   x   k , k     cot x  1  x    k , k   Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 M ỘT SỐ DẠNG TỐN VẤN ĐỀ 01 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để tìm tập xác định hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Tập xác định hàm số y  f  x  D   x   f  x     Tập xác định hàm số bản:  y  sin  f  x   xác định  f  x  xác định  y  cos  f  x   xác định  f  x  xác định   y  tan  f  x   xác định  f  x  xác định f  x    k ,  k     y  cot  f  x   xác định  f  x  xác định f  x   k ,  k     Chú ý: A  có nghĩa B  A có nghĩa B  A có nghĩa A  A có nghĩa B- CÁC VÍ DỤ Bài Tìm tập xác định hàm số sau  2x  a) y  sin    x 1   b) y  tan  x   6  Lời giải a) Hàm số xác định x    x  Vậy tập xác định hàm số D   \ 1   2   k  x   k ,  k     2  Vậy tập xác định hàm số D   \   k k      b) Hàm số xác định x  Bài Tìm tập xác định hàm số sau   a) y  tan  cos x  2  b) y  sin x    cos x Lời giải a) Hàm số xác định cos x    cos x   k  cos x   2k    x  l ,  l    2 cos x  1 Vậy tập xác định hàm số D   \ l l   b) Hàm số xác định sin x    sin x   sin x   x    k 2 ,  k      Vậy tập xác định hàm số D   \   k 2 k    2  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 Bài Tìm tập xác định hàm số sau b) y  a) y  cos x  sin x tan x  cot x cos x Lời giải     a) Hàm số xác định cos x  sin x   sin  x     sin  x    4 4     3  k 2  x     k 2    k 2  x   k 2 ,  k    4  3   Vậy tập xác định hàm số D   x     k 2  x   k 2 , k    4   cos x  sin x   b) Hàm số xác định sin x    cos x  cos x    sin x   x  k  x  k  , k     Vậy tập xác định hàm số D   \ k k      Bài Tìm tập xác định hàm số sau b) y  a) y  sin x   cos x   cos x  sin x Lời giải sin x   sin x  sin x  a) Hàm số xác định  : vô lý   cos x   cos x  cos x  Vậy tập xác định hàm số D   b) Hàm số xác định  sin x   sin x   x   Vậy tập xác định hàm số D   Bài Tìm tập xác định hàm số sau a) y  tan x cos x  2cos x  b) y   sin  x  x  1 Lời giải   tan x   k  x   k a) Hàm số xác định   cos cos    x x   x     k  x   k ,  k       Vậy tập xác định hàm số D   x   k  x   k , k      b) Hàm số xác định  sin  x  x  1   sin  x  x  1   x  x     x   Vậy tập xác định hàm số D   Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 VẤN ĐỀ 02 XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để xét tính chẵn, lẻ hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Hàm số y  f  x  goi hàm số chẵn  Tập xác định hàm số có tính đối xứng, nghĩa x  D suy  x  D  f   x   f  x  , x  D  Hàm số y  f  x  goi hàm số lẻ  Tập xác định hàm số có tính đối xứng, nghĩa x  D suy  x  D  f   x    f  x  , x  D  Chú ý: Nếu hàm số f  x  vi phạm hai điều kiện ta kết luận hàm số f  x  không chẵn, không lẻ B- CÁC VÍ DỤ Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau a) y  3x  cos x b) y  x sin x  tan x Lời giải a) Tập xác định D   suy x  D  x  D Ta có f   x     x   cos  2 x   x  cos x  f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn   b) Tập xác định D   \   k k    Ta thấy x  D  x  D 2  Ta có f   x     x  sin   x   tan   x    x sin x  tan x    x sin x  tan x    f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau   a) y  5cos  x   3  b) y  cos x x 1 Lời giải a) Tập xác định D   suy x  D  x  D                  f     5cos      5cos       f   12   f  12  12         3  3 Ta có     f     5cos       5cos      f      f              12   12  6 3 2   12  Do hàm số cho không chẵn, không lẻ b) Tập xác định D   \ 1 Ta có x  1 D  x  1 D nên D khơng có tính đối xứng Do hàm số cho không chẵn, không lẻ Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau sin x  tan x a) y  sin x  cot x Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC cos3 x  sin x b) y  cos x Trang PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải cos x  cos x  cos x     a) Hàm số xác định sin x   sin x   xk , sin x   sin x  cos x  sin x  cot x   k     Tập xác định D   \ k k    suy x  D  x  D   sin   x   tan   x   sin x  tan x sin x  tan x Ta có f   x      f  x sin   x   cot   x   sin x  cot x sin x  cot x Do hàm số cho hàm số chẵn b) Hàm số xác định cos x   x      k  x   k ,  k       Tập xác định D   \   k k    suy x  D  x  D 4  Ta có f   x   cos3   x   sin   x  cos x  sin x   f  x cos  2 x  cos x Do hàm số cho hàm số chẵn VẤN ĐỀ 03 XÉT TÍNH TUẦN HỒN VÀ TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để xét tính tuần hồn hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Hàm số y  f  x  xác định tập D gọi hàm số tuần hoàn x  D  x  T  D T  cho   f  x  T   f  x  , x  D  Nếu tồn số T  nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn y  f  x   Chú ý: ● y  sin  ax  b  có chu kỳ T0  2 a ● y  cos  ax  b  có chu kỳ T0  2 a ● y  tan  ax  b  có chu kỳ T0   a ● y  cot  ax  b  có chu kỳ T0   a ● y  f1  x  có chu kỳ T1 y  f  x  có chu kỳ T2 hàm số y  f1  x   f  x  có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 Bài CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B- CÁC VÍ DỤ Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau a) y   sin 2 x b) y  sin x Lời giải  cos x a) Ta có y  f  x    sin 2 x     cos x 2 Tập xác định D   Giả sử f  x  T   f  x  , x  D 3  cos  x  T    cos x , x  D 2 2  cos  x  4T   cos x , x  D  *  Khi cho x   * phải đúng, tức cos 4T  cos  cos 4T   4T  k 2  T  k  , k  Ngược lại, dễ thấy  3   cos  x  k    cos  x  k 2    cos x , x  D 2 2 2 2  Vậy T  k  x  D  x  T  D ,  k    ta có   f  x  T   f  x  , x  D Tức y  f  x    sin 2 x làm hàm số tuần hoàn   số dương nhỏ T  2  Do hàm số cho hàm số tuần hồn có chu kỳ T   b) Hàm số xác định sin x   x  k  x  k ,  k       Tập xác định D   \ k k      Giả sử f  x  T   f  x  , x   Mặt khác số T  k  1  , x  D sin  x  T  sin x  sin  x  2T   sin x , x  D  *   * phải đúng, tức        sin   2T   sin  sin   2T     2T   k 2  T  k ,  k    2 2  2  1 Ngược lại, dễ thấy   , x  D sin  x  k  sin  x  2k  sin x Khi cho x  x  D  x  T  D Vậy T  k ,  k    ta có   f  x  T   f  x  , x  D Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC làm hàm số tuần hoàn sin x Mặt khác số T  k số dương nhỏ T   Do hàm số cho hàm số tuần hồn có chu kỳ T   Tức y  f  x   Bài 10 Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau a) y  x  sin x b) y  sin 2 x  cos 2 x a) Tập xác định D   Giả sử f  x  T   f  x  , x  D Lời giải   x  T   sin  x  T   x  sin x , x  D  T  sin  x  T   sin x , x  D  * Cho x  x   , ta T  sin x  sin  suy 2T  sin T  sin   T    T   T  sin    T   sin   Điều trái với định nghĩa T  Vậy hàm số y  x  sin x hàm số tuần hoàn b) Tập xác định D   Ta có sin 2  x  T   cos 2  x  T    sin 2 x  cos 2 x , x  D hay f  x  T   f  x  , x  D Vậy hàm số cho hàm số tuần hoàn Nhưng số thực T dương khơng có số nhỏ nên hàm số cho tuần hồn khơng có chu kỳ VẤN ĐỀ 04 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Nếu phải tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số khoảng, đoạn (nhỏ chu kỳ hàm số đó) ta lập bảng biến thiên hàm số khoảng, đoạn dựa vào bảng biến thiên suy kết  Nếu phải tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số tồn tập xác định ta biến đổi hàm số dạng đơn giản dựa vào miền giá trị hàm số cho để suy kết  Chú ý:  Số M gọi giá trị lớn hàm số f  x  X x  X : f  x   M Kí hiệu: M  max f  x   X x0  X : f  x0   M  Số m gọi giá trị nhỏ hàm số f  x  X x  X : f  x   m Kí hiệu: m  f  x   X x0  X : f  x0   m Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11   Câu 316 Chọn D Ta có: d  t   3sin   t  80   12   12  15 182      Dấu xảy sin   t  80     t  80    k 2  k     t    k 182 182  171 194 k Mặt khác t   0;365 nên     k  365   364 364 Mà k  nên k  Vậy t  171     Câu 317 Chọn A Ta có 1   sin  x    1  a  sin x  cos x 6    a2  a2     sin  x      sin  x    cos x  1 6 6   Phương trình 1 có nghiệm  a2    2  a  , Do a  nên a  0; a  1; a  2 Vậy n  Câu 318 Chọn D Tập xác định: D   sin x  cos x    y  1 sin x   y   cos x   y (*) Ta có y  sin x  cos x  Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ (*) có nghiệm  1  y    y  1   y    y  y    2  y  2 Do m  2 , M   1  Câu 319 Chọn D Đặt t  sin x   t  1 , phương trình trở thành  t  t   m   Nhận xét phương trình ban đầu có nghiệm x phương trình  * có nghiệm     t    ; Xét hàm f  t    t  t  , với t    ;1     1  2t 1 2  Ta có: f  t       1 t 1 1 1 t 1 t t   t t   1 t  t   2 2 2 1 t  t  Ta có bảng biến thiên: f  t    t  Dựa vào bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC m Trang 173 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   Câu 320 Chọn A Xét hàm y  x  cos x đoạn  0;   2 y    sin x PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11    x   k 2  y   sin x   x  3  k 2     Do x  0;   x   2       Ta có y    ; y     ; y    4 2    Vậy M  max y  y     ; m  y  y        4  0;   0;   2  2  Nên M  m    sin x  1  Câu 321 Chọn A Ta có: sin 2 x  3sin x      sin x  1  x    k , sin x  2 (loaïi) k   41  k  1, 2, ,10 Theo đề bài:    k  10   k  4 3  3   3  105         9   Vậy tổng nghiệm S      Câu 322 Chọn A Ta có sin x  cos x  3sin x cos x   3sin x cos x  3sin x cos x  m 20  m 20 Đặt t  sin x , 1  t  PT trở thành 3t  6t  12  m Xét hàm số f  t   3t  6t  12 , 1  t  Ta có bảng biến thiên: Phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m m   có nghiệm thực  m  15 2  2  1  xB  xA   xB  x A  Câu 323 Chọn C Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; y B  Ta có:  3    y B  y A sin xB  sin x A   Thay 1 vào   , ta được: 2  sin  x A   2      x A  k 2  x A   k   sin x A  x A     Do x   0;   nên x A   BC  AD  sin  6 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC k  Trang 174 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos   41 Câu 324 Chọn D Ta có h  d  5sin 6t  cos 6t  41 sin  6t     41 , với  sin   41  PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 Do vật xa vị trí cân hmax  41 sin  6t      cos  6t          k  t     k 12      Trong giây đầu tiên,  t       k     k     k  0;1 12    Vậy có lần vật xa vị trí cân   Câu 325 Chọn A Với x   0;  cos x  , chia hai vế cho cos x , ta được:  2  6t    tan x   sin x  2cos x   m  sin x  3cos x   tan x   tan x    m  tan x  3  tan x   tan x    m 1 tan x    Đặt t  tan x  , x   0;   t   0;     2 Xét hàm g  t   3t  t  1 t2   0;    g   t   Khi đó: 1  g  t   3t  15t  t  2 3t  t  1 t2   m  2  0, t  m   Suy để thỏa yêu cầu toán  m  g    Mà  m   2018; 2018 Suy m  1; 2;3; ;2018 Câu 326 Chọn B TXĐ: D   Đặt P   sin x   cos x , P  Suy P   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x   Đặt t  sin x  cos x  sin  x    t    ;    4  t 1 Khi t   sin x cos x  sin x cos x  t2 1   t  t 1 Do P   t   t    TH1:   t  1 P   t   Khi  P   2   TH2: 1  t  P   t   Khi  P   2 Do  P   2 mà P  nên  P   2 Phương trình có nghiệm  m   2 Câu 327 Chọn B π 2π   x   14  k sin x  1  cos x.sin x    sin x  sin 3x  2    h, k    π 2π sin x  x    h  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 175 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11  π  Do x    ; 2π   h  0;1;2;3   π 2π π 2π 28h  Ta có   k   h k , k  nên có h  thỏa mãn 14 12 Vậy phương trình cho có nghiệm thỏa yêu cầu toán Câu 328 Chọn B      k1 2 x   sin x  1  2  cos x  sin x    2sin x  sin x       x   k 2 sin x     x  5  k3 2   k1 , k2 , k3     41 1    k1  0    k1 2  20 k1  1; 2;3; ;10     119   Do x   0; 20  nên: 0   k 2  20    k2   k2  0;1; 2; ;9 12 12    k3  0;1; 2; ;9 115 5   k     20     k 3  12  12   Vâ ̣ y tổ ng cá c nghiê ̣ m củ a phương trình đoa̣ 0;20 n   là : 10    S      k1 2    k1 1     5   k3 2   295  k2     k 2     k2  Câu 329 Chọn C x x  Ta có  sin  cos   cos x    sin x  cos x   sin x  cos x  2 2     sin x  cos x   sin  x     x   k 2 , k   3 2   599 Theo đề cho ta có  x  100    k 2  100    k  12 12  Mà k    k  0;1;2;3;4, ;48;49     50   2    2    49  2   2 1      49  6 6 49  49  1 7375 50   2  Vậy S  1  cos x   sin x  cos x   Câu 330 Chọn B Ta có    sin x  sin x  2sin x cos x  cos x  sin x  4sin x    sin x    sin x  cos x     sin x     sin x  cos x    sin x  cos x   π    sin x  cos x    sin  x     x   k 2 , k  6  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 176 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  1009 Vì x   0;2018  nên   k 2  2018    k    k  0;1; 2; ;321 π      Suy S   ;  2 ;  2.2 ; ;  321.2  3 3   310408 Vậy tổng tất phần tử S T  322  2 1     321  3 PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 Câu 331 Chọn B Đặt t  cos x , t   1;0  phương trình cho trở thành  m  t    4m  1 t   2t  t  m  4t    t  2t  1  2m  2t  1  t  2m (do t  )  1  Phương trình có nghiệm 2m   1;0   m   ;  2  Câu 332 Chọn A Do cos x   0, x   nên hàm số xác định  m sin x   m sin x  y cos x  y  cos x  Do phương trình có nghiệm nên Ta có y  m2  y   y  1  y  y   m   Vậy GTNN y  3m   3m   y 3  3m  Do yêu cầu toán  m  2  3m   1  3m   25  m     m  2 Do m thuộc đoạn  5;5 nên m  5; 4; 3;3;4;5 Câu 333   : 2sin x   m  1 cos x  m  Để phương trình cho có nhiều nghiệm khoảng  0;2π  Vậy có hai giá trị nguyên dương m  , m  thỏa mãn điều kiện toán 2sin x   m  1 cos x  m  có nghiệm  22   m  1  m  m  Câu 334 Chọn C 2sin x  m sin x  2m   4cos2 x  2sin x  4sin 2 x  m sin x  2m   3   Đặt sin 2x  t , với x   0;   t   0;   6   Khi đó, tốn trở thành:  3 Tìm m để 2t  4t  mt  2m  có nghiệm khoảng t   0;     3 2t  4t  mt  2m   m  2t , t   0;     3 Lập bảng biến thiên hàm số y  t   2t khoảng t   0;    Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 177 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m    ;    Vậy có giá trị nguyên Câu 335 2 : sin x  2cos x  vơ nghiệm 12  2  32  3  Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng   ;     Câu 336 Chọn A TH1: sin x  m ta có  2m    m  Khi phương trình có nghiệm x  k , k  TH2: sin x  m phương trình cho tương đương  sin x  m  sin x  m 2     sin x  m  sin x  m   3 Giải ta   3  sin x  m 1 sin x  m  sin x  m  sin x  m  m    sin x  m 9 sin x  7m  sin x  m  8  2  sin x  m sin x  m  7m m    m  Do để phương trình có nghiệm thực   9   m    m   7 KL: Hợp hai trường hợp suy tập hợp tất giá trị thực tham số m cần tìm  7   9    162 S   ;   P  a2  b2        49  9   7 Câu 337 Chọn C Ta có m  3 m  3cos x  cos x  3 m  3cos x  cos3 x  m 1 Đặt cos x  u Điều kiện 1  u  1 trở thành u  m  3v  3 Từ  3   suy u  3v  v  3u m  3cos x  v  v  m  3u    (u  v)(u  uv  v  3)   u  v  3v  Do u  uv  v    u  v     , u, v     Suy ra: m  3u  u  m  u  3u với u   1;1 Xét hàm số f  u   u  3u với u   1;1 Ta có f   u   3u  ; f   u    u  1 u   1;1 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 178 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 Suy max f  u   ; f  u   2  1;1  -1;1 Do phương trình có nghiệm 2  m  , mà m   nên m  0; 1; 2 Câu 338 Chọn C Xét sin x   x  m : Thay vào phương trình thấy khơng thỏa mãn Xét sin x   x  m 2cos 3x  cos x  1    cos x  cos x   2cos x   2sin x cos x  2sin x cos x  2sin x cos x  sin x   sin x  sin x    sin x  sin x   sin x  sin x k 2   x    sin x  sin x     l 2 x     7   x  m k,l   Trước tiên ta cần hai họ nghiệm x  k 2  l 2 x   khơng có giá trị trùng 7  l 2 k 2    k,l   7  14k   10l : Vô lí 14k số ngun chẵn  10l số nguyên lẻ Thật vậy: Giả sử k 2  x  k  10; 9; 8; 14;15   Với  x  m k  10; 5;0;5,10,15  x  4 ; 6      giá trị x cần loại bỏ 4 , 2 , 0, 2 , 4 , 6 Tổng giá trị 6  l 2  x    7 l  14; 13; 12; 19;20   Với  x  m l  4; 11;3;10;17  x  4 ; 6      giá trị x cần loại bỏ  , 3 ,  , 3 , 5 Tổng giá trị 5  15  k 2    20   l 2   Vậy tổng nghiệm S        6          5   50   k 10     l 14   Câu 339 Chọn B Ta có: cos x  cos y  2sin  x  y    sin x  sin y  sin  x  y   a b2  a  b    Suy ra: x  y  Áp dụng bđt: m n mn Suy ra: P   sin x  sin y  x y Do đó: P    2  Đẳng thức xảy  x  y   Câu 340 Chọn C Điều kiện sinx  0; sin x.cos x  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 179 PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x   cos x  cos x   cos x   cos x  4sin x cos x sin x   1  cos x 1  cos x   16sin x cos x   sin x  8sin x 1  sin x  1 TH1: sin x   sin x  1   sin x   sin  x   1  1  sin x  8sin x  8sin x  1   sin x  1   sin x    sin x      x   k 2   * sin x    sin x.cos x  nên x   k 2  x  5  k 2   1   x  arcsin    k 2 1    sin x.cos x  nên  * sin x     x    arcsin   k 2        1  x  arcsin   k 2     TH2: sin x   sin x  1   sin x   sin x     1  1  sin x   8sin x  8sin x  1   sin x   1    sin x    sin x  1     x    k 2  7 * sin x     sin x.cos x  nên x   k 2  x  7  k 2    1    x  arcsin    k 2  1     * sin x   x    arcsin  1    k 2        1   sin x.cos x  nên x    arcsin    k 2    Xét nghiệm thuộc đoạn  0; 2017  : *Với x     k 2    k 2  2017   k  320 có 321 nghiệm 6 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 180 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11  1  3 3  k 2    k 2  2017   k  320 có 321 *Với x  arcsin    k 2  10 10   nghiệm 7 7  k 2    k 2  2017   k  320 có 321 nghiệm *Với x  6  1   13 13  k 2    k 2  2017   k  320 có *Với x    arcsin    k 2     321 nghiệm *Vậy có tổng cộng 321.4  1284 nghiệm thỏa yêu cầu toán Câu 341 Chọn D Ta có: y  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  1009  1  sin x  1009 Đặt t  sin x ,  t  hàm số cho trở thành y  t1009  1  t  1009 đoạn  0;1 Xét hàm số f  t   t1009  1  t  1009 Ta có: f   t   1009.t1008  1009 1  t  1008 f   t    1009t 1008  1009 1  t  1008 1008 1 t     t  1  0 1 t 1  t  t 1 Mà f 1  f    , f    1008  2 1 Suy max f  t   f    f 1  , f  t   f    1008 0;1 0;1 2 Vậy M  , m  1008 Câu 342 Chọn D Đặt t  sin x , t   1;0  , phương trình trở thành: 2t  (2m  1)t  2m   Theo yêu cầu toán ta tìm m để phương trình 2t  (2m  1)t  2m   có nghiệm t   1;0  2t  (2m  1)t  2m    2t  t   m  2t     m  Đặt f  t   2t  t  2t   2t  2 2t  1 , t   1;0  , f  t  hàm đồng biến nên f  1  m  f      m  2 1 Câu 343 Chọn D Từ giả thiết x  y  xyz  z  x  y  xy  z z A B C Đặt x  tan , y  tan  tan thay vào hệ thức ta 2 z A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan  , suy A , B , C ba góc tam giác 2 2 2 x2 A 2x A A  sin Từ ta có  sin cos 2  x  1 x2    Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 181 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 1  yz   y  z  sin  C B  tan  tan  2  B C tan tan  2 cos  B C B C B C cos  tan  tan  tan tan  2 2 2 B C B C  cos cos  tan tan  1 2 2  A BC  cos  B  C   cos  B  C    sin B sin C cos  2  BC B C cos cos 2 A BC A A A  cos   cos2 cos    cos 2  cos A 2   BC cos A A A A A A  A  Vậy P  sin cos  sin cos  sin A  sin  cos   sin A.sin     2 2 2  4  cos   B  C  x    A    Dấu đạt sin A    y   B  C     A   z  1 sin         Câu 344 Chọn A Ta có: cos2 x  cos x  m  m suy m  cos2 x  t  m Đặt cos x  m  t , t  Phương trình trở thành:  t  cos x  m cos x  t  cos x  t   t  cos x     cos x  t  cos x  t  1    cos x  t     cos x  ฀฀Trường hợp : cos x  t  cos x  m   cos x   cos x  cos x  m Đặt u  cos x  1  u   Do với 1  u  suy f   u   với u   1;0 Xét f  u   u  u , ta có f   u   2u  ; f   u    u  Suy f  1  f  u   f     f  u   Để phương trình có nghiệm m   0;2 Vì m   nên m  0;1;2 ฀฀Trường hợp : cos x  t    cos x  m   cos x  cos x  cos x   m Đặt v  cos x , 1  v  Ta có m  v  v   g  v  , g   v   2v    v   Vẽ bảng biến thiên ta được: Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 182 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 3  Để phương trình có nghiệm m   ;3 Vì m   nên m  1; 2;3 4  Vậy có tất số nguyên m thỏa mãn tốn Câu 345 Chọn D Ta có: sin 2015 x  cos 2016 x   sin 2017 x  cos 2018 x   cos x  sin 2015 x 1  sin x   cos 2016 x  cos x  1  cos x  cos x   sin 2015 x.cos x  cos 2016 x.cos x  cos x   2015 2016 sin x  cos x    Với cos x   x   k , k     20 60 Vì x   10;30  10   k  30     k    6  k  18   Với sin 2015 x  cos 2016 x  Ta có sin 2015 x  sin x; cos 2016 x  cos x sin x  0, cos x  1 Do  sin 2015 x  cos 2016 x  sin x  cos x  suy  sin x  1, cos x  Nếu sin x   x  k , k   Vì x   10;30  10  k  30  10 30    3  k      k 2 , k    15 Vì x   10;30  10   k 2  30     k    1  k    Vậy số nghiệm phương trình cho 13   25  44 Nếu sin x   x  Câu 346 Chọn A Ta có sin x   m  sin x  u  sin x  u  sin x  Đặt    u  Khi   u  v  m  (*) v  m  sin x v  m  sin x Ta lại có u  v   v   u     (*) trở thành u   u  2  m  21  m  u  5u  12u  10  f  u  ,   u  Trên  , ta có f   u   3u  14u  12 , f   u    u   13   1;  Để phương trình cho có nghiệm 1 có nghiệm  u  hay   13  f  m  f  m  0;1 ) Vì m nguyên )     Vậy có giá trị nguyên m thỏa đề   Câu 347 Chọn B      3    Ta có x   0;    x      sin  x      sin  x    4 4 4       Mặt khác sin  x    sin x  cos x 4  Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 183 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11  Đặt sin x  cos x  t với t  0;   sin x  cos x  2sin x.cos x  t  sin x  t   Phương trình cho trở thành t   t   m  t  t   m  *  Xét f  t   t  t  với t  0;   (loại) Ta có f   t   2t  Do f   t    t   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình  * có nhiều nghiệm t Do để phương t   3  trình cho có nghiệm thực x thuộc khoảng  0;     0  t  Với t  thay vào phương trình  * :    m  m    Với  t  ta có bảng biến thiên Vậy 3  m  1  có giá trị nguyên m 2 1 Câu 348 Chọn A Đặt t  2sin x , với  x   t  0;   Phương trình cho trở thành  t  m   81t  27m Đặt u  t  m  t  u  m u  27  3t  m  3  u   3t   27  3t  u   u  27u   3t   27.3t  * Khi ta   3t   27  u  m  Xét hàm số f  v   v3  27v liên tục  có nên hàm số đồng biến Do  *  u  3t  t  3t  m 1   Xét hàm số f  t   t  3t khoảng 0; có f   t   3t  ; f   t    t  (vì t  ) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 có nghiệm Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa u cầu tốn Câu 349 Chọn D Ta có: 1  cos x  cos x  m cos x   m sin x  1  cos x  cos x  m cos x   m 1  cos x    cos x  1  1  cos x  cos x  m cos x  m 1  cos x       cos x  m  Xét phương trình cos x  1  x    k 2 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC k  Trang 184 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2  Phương trình cos x  1 khơng có nghiệm đoạn  0;    PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11  2   8   Xét cos 4x  m Ta có x   0;   x   0;      Với x   0; 2  \   m   1;1 phương trình cos 4x  m có nghiệm 8     Với x   2 ;  m    ;1 phương trình cos 4x  m có nghiệm      2    Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc  0;  m    ;1     Câu 350 Chọn C 80  x    Phương trình cho tương đương với sin    sin      x 6  x  32 x  332     Ta biết hàm số y  sin x đồng biến khoảng   ;  Ta hàm số  2 x 80 f  x  g  x   nhận giá trị khoảng x 6 x  32 x  332 x x   x  6x 80 80 80      x  32 x  332  x  16   76 76 Thật vậy, ta có Từ đánh giá trên,   xảy x  x 80    x3  48 x  332 x  480    x  x  x  32 x  332  x  40 Tổng nghiệm phương trình cho   40  48 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 185 PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỤC LUÏC PHẦN TỰ LUẬN BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 01 Tìm tập xác định hàm số VẤN ĐỀ 02 Xét tính chẵn, lẻ hàm số VẤN ĐỀ 03 Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số VẤN ĐỀ 04 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số VẤN ĐỀ 05: Vẽ đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số biết 16 BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 21 VẤN ĐỀ 01 Phương trình lượng giác 21 VẤN ĐỀ 02 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác 35 VẤN ĐỀ 03 Bài tập tổng hợp 45 BÀI BÀI TẬP TRONG ĐỀ ĐH – CĐ CÁC NĂM TRƯỚC 68 Dạng Công thức lượng giác 68 Dạng Đưa phương trình tích 69 Dạng Biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng 73 Dạng Phương trình bậc - bậc 75 Dạng Phương trình bậc theo sinx, cosx 80 Dạng Phương trình đẳng cấp 83 Dạng Phương trình đối xứng 84 Dạng Phương pháp hạ bậc 84 Dạng Công thức nhân ba 89 Dạng 10 Phương trình có chứa giá trị tuyện đối Phương trình có chứa thức 87 Dạng 11 Phương trình có chứa tham số 89 PHẦN II TRẮC NGHIỆM 90 A – ĐỀ BÀI 90 B - BẢNG ÐÁP ÁN 124 C – HƯỚNG DẪN GIẢI 125 MỤC LỤC 191 Tài liệu có VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 186 Gv: TRẦN QUỐC NGHĨA – 098 373 4349 Chuyên: TOÁN  LỚP 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12  LUYỆN THI LỚP 10  LUYỆN THI THPT QUỐC GIA Bộ Tài liệu học tập Tài liệu tham khảo TOÁN 11\ SÁCH CĨ BÁN TẠI VPP – PHOTOCOPY TÂM PHÚC Năm học 2021 - 2022 Lưu hành nội MS:CĐLG11-40 ...   11  121  11   49 11  3 5   cos x        cos x        y  4 11  11 11  11  11 11 3  cos x   x   arccos  k 2  x   arccos  k ,  k    11 11 11 11 x... VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 M ỘT SỐ DẠNG TOÁN VẤN ĐỀ 01 TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để tìm tập xác định... VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 20 PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 01 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN D ạng Phương trình bậc