Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: an = ; (am)n = am.n ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, m n) ( a.b)n = an bn ; Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an Ta có : aS – S = an+1 – S=n Nếu a = aS = a + a2 +… + an + an+1 ( a – 1) S = an+1 – Nếu a khác , suy S = b) Áp dụng với b – a = k Ta có : A = = = Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài 3: Thực phép tính: a) A = b) HD : A = Bài 4: ;B= 1, Tính: P = 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 5: a) TÝnh b) Cho Chøng minh r»ng Bài 6: a) Tính : b) TÝnh HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … = c) Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức: Giáo án Bồi dưỡng HSG toán b) Chứng tỏ rằng: Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức: b) Chứng minh tổng: Chuyên đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : -Nếu với gt tỉ số dều có nghĩa = k Thì a = bk, c = d k, e = fk - Có Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho Chứng minh rằng: HD: Từ suy = Bài 2: Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: = HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy : = Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu HD : Đặt th× a = kb, c = kd Suy : Vậy Bài 4: với a,b,c, d BiÕt Chứng minh : HD : Ta có = (1) = (2) Từ (1) (2) suy : Xét TH đến đpcm Bài : Cho tØ lƯ thøc Chøng minh r»ng: vµ HD : Xuất phát từ biến đổi theo hướng làm xuất Bài : Cho dãy tỉ số nhau: Tính HD : Từ Suy : Nếu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) = -4 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Nếu a + b + c + d a=b=c=d =4 Bài : a) Chứng minh rằng: Nếu Thì b) Cho: Chứng minh: HD : a) Từ (1) (2) (3) Từ (1) ;(2) (3) suy : Bài 8: Cho chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên HD Từ Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t x = y = z = t P=4 Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức : B = Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: Giáo án Bồi dưỡng HSG toán b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* ; ; c) Cho số a, b, c thỏa mãn : Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : ( n số tự nhiên) x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: với y = thay vào không thỏa mãn => Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = Vậy x = 2, y = thoả mãn đề a + b + c ≠ 0; a = 2012 Bài : Cho Tính b, c HD : từ a = b = c = 2012 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài : Tìm số x,y,z biết : HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: (vì x+y+z 0) Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z Bài : Tìm x, biết rằng: HD : Từ Suy : Bài 6: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z ) HD : Từ Từ x + y + z = x+y= - z , y +z = -x,z+x= - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x Bài : Tìm x, y, z biết Bi : Tìm x , y biết : Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế - Tính chất giá trị tuyệt đối : với A ; - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : dấu ‘=’ xẩy AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 ; với m > - Tính chất lũy thừa số thực : A2n với A ; - A2n với A Am = An 0< A < B m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) A = B ( n chẵn) An < Bn ; Bài tập vận dụng Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Dạng 1: Các toán Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ Bài Tìm x nguyên biết a) b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối  Dạng : Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ không, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) HD : a) nên VP = x – 2012 b) (1) VT = (*) Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Từ (1) Kết hợp (*) x = 4023:2 b) (1) Nếu x 2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt b) T×m x biÕt: c) T×m x biÕt: Bài : a)Tìm giá trị x để: b) Tỡm x biết: Bài : tìm x biết : a) b) Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : b) Tìm x biết : HD : a) ta có Mà suy ( 1) xẩy dấu “=” (1) x nguyên nên x {3;4;5} Hay (*) b) ta có Mà nên (*) xẩy dấu “=” Suy ra: Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : Bài : Tìm x biết Bài : Tìm x, y thoả mÃn: = Bi : Tỡm x, y biết : HD : ta có với x,y với x Suy : với x,y m Bi : Tìm số nguyên x tho¶ m·n Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – = 27 x=4 Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: b) 10x : 5y = 20y a) 2x + 3y = 12x HD : a) 2x + 3y = 12x Nhận thấy : ( 2, 3) = x – = y-x = x=y=1 x y y x 2y b) 10 : = 20 10 = 10 x = 2y Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 2m + n – 2m – 2n = 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = HD: a) 2m + 2n = 2m +n (2m -1)(2n – 1) = b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n = n=8,m=9 + Nếu m – n 2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết : HD : Bài : Tìm x, y biết : HD : ta có Suy : với x,y (y – 1)2012 với x,y Mà Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết : a) với y b) 10 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài : Chứng tỏ rằng: 2004 A = 75 (4 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100 Bài : Cho m, n N* p số nguyên tố thoả mãn: = Chứng minh : p2 = n + HD : + Nếu m + n chia hết cho p p số nguyên tố m, n m = m = p +1 từ (1) ta có p = n + (m + n)(m – 1) = p2 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) Do p số nguyên tố m, n N* m – = p2 m + n =1 m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + (1) N* Bài 4: a) Sè cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: 1998 1998 HD: a) Ta có 10 = ( + 1) = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , Suy : khơng chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q N*) Suy : = 7k + + 7q – = 7( k + q) Bài : chia hết cho 30 với n nguyên dương a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c  Z) Bài : a) Chứng minh rằng: (a, b  Z ) b) Cho đa thức (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho HD a) ta có 17a – 34 b 3a + 2b (2, 7) = b) Ta có f(0) = c f(0) f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho ( 2, 3) = b c chia hết cho f(1) Vậy a, b, c chia hết cho Bài : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 16 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán số nguyên tố (n > 2) Chứng minh hợp b) Cho số HD : b) ta cú (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho sè nguyªn tè (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số Chuyên đề : Bất lµ đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chứng tỏ rằng: không số nguyên HD : Ta có Mặt khác = – N Do N >1 nên M < Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : (1) , (2) với a, b, c HD : (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a) (1) b) (2) 17 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán HD : a) Cách : Từ (*) Do (*) suy (1) Cách 2: Ta có Dấu “ =” xẩy a = b b) Ta có : Lại có Suy Bài : Dấu “ = ” xẩy a = b = c a) Cho z, y, z số dương Chứng minh rằng: b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 - a + b – c + d = 50 P(-1) = 50 P( 0) = d=1 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) với a, b, c số hữu tỉ Bài : Cho Biết Chứng tỏ rằng: HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 Bài Cho đa thức với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c 4a + 2b + c nguên a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên Bài Chứng minh rằng: f(x) có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên 18 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: HD : Đặt A = x = 2012 A = 2011 Các tốn thực tế Chuyên đề Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y = k.x ( k hệ số tỉ lệ ) - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bài : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bài : Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: 19 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn Tính qng đường người tới lúc gặp ? Bài : Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, , Tính vận tốc tơ ? PHẦN HÌNH HỌC I Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vuông góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vuông góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng 20 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài : Cho tam giác ABC có Â < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Chứng minh: DC = BE DC BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) Cần CM : Có : * Gọi I giao điểm AB CD Để CM : DC BE cần CM ( Hai góc đối đỉnh) Có Cần CM ( ∆ABE = ∆ ADC) D E A K I B C Lời giải a) Ta có , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD ( Hai góc đối đỉnh) , ( ∆ ADI vng A) ( Ta có ∆ABE = ∆ ADC) DC BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Từ B kẻ BK CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC BE mà BK CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA BC từ ta có tốn 1.2 Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc b»ng AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA BC ta cần CM ∆AHC vuông H Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác 21 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn vng ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ AM Q Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) N E CM: ND = AC , D M , Q A CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) + Để CM ND = AE CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM B H C CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) : ( hai góc đối đỉnh) AM = MN ; MD = ME (gt) DN = AE ( = AC) AE // DN ( cặp góc so le ) ( cặp góc phía) mà ( chứng minh Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ) Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông H hay MA BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA BC , ngược lại AH BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: 22 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Kẻ DQ AM Q, ER AM R ( Cùng phụ ) Ta có : + AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) DQ = AH (1) + ( phụ ) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền AC = AE (gt) – góc nhọn) ER = AH ( 1) Từ (1) (2) ER = DQ ( hai góc đối đỉnh ) Lại có ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M trung điểm DE R E D M Q A B H C + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) D A’B = AC ( = AE) M E AC // A’B ( cặp góc phía) A Mà Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) mà B Suy HA vng góc với DE C H Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, A' N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC 23 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán a) Để cm * Phân tích tìm lời giải DM = EN A Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) Có BD = CE (gt) , ( MD, NE BC) ( ∆ABC cân A) b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN Cần cm IM = IN M E D Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định Cần cm OC C I B H N O AC Cần cm Cần cm : Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại toán sau: Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chøng minh r»ng: a) I trung điểm ca MN b) Đờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi A lời giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD D BC ( D BC) NE BC ( E BC) B H Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI BC K C I E 24 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI Để cm AI BC Cần cm Để cm Có cần cm Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC) So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI AK Lời giải : cần cm a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K mà AI BC b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: A a) b) c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE E B M C H D F Suy ra: Tõ XÐt Suy cã lµ gãc ngoµi suy cã lµ gãc ngoµi suy vËy 25 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn hay (®pcm) Từ Suy AE = AF Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => Lại có: (cặp góc đồng vị) Do Từ (1) (2) suy BE = CF cân CF = CD ( 2) Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn D E *Phân tích tìm lời giải a) Để cm BE = CD Cần cm b) ABE = ADC (c.g.c) M N A k Để cm M, A, N thẳng hàng K Cần cm Có Cần cm I B C H Để cm Cần cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax Để cm BH + CK BC x Cần cm Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH 26 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán b) Chứng minh: EN // FM N *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH a) E F M A Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) cần cm ∆AFN + Để cm HC = AN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM B H ( cặp góc so le C trong) Gọi I giao điểm AN EF để cm Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vuông A , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB E Cần cm AF = AC (2); (1); (3) + Để cm (1) : F Cm CI // AE có FI // AC Để Cm CI // AE A Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : phụ ) ( B I M H C D 27 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán *Khai thác toán : Từ ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) BC H trùng M tam giác ABC vng cân Vậy HE lớn = 3AM = Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF A ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A F ( Có AH vừa tia phân giác , vừa B đương cao) b) Để cm C M BE = CF N I cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI E = ∆CMF( c g c) Để cm góc đồng vị ) mà BE = CF ∆ BEI cân B Có ( cặp ∆AEF cân A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF AE = AB + AC hay Bài Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? 28 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 A a) Để cm ∆ ADE cân A cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI IB , BK K I E D KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do B C H nên HC tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt IC , Chứng minh tượng tự C nên IC tia phân giác góc HIK , IB ta có BK KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M D A cạnh BC cho vẽ điểm D, E E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ B H C M HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC E Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng góc B khác 135o Gọi M trung điểm BC Về A D P phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vng góc với AB đường Q thẳng qua C song song với MD cắt E B C M H 29 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) BQ = CH (1) BQ//CH hay PQ // CH ( cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH b) c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK B I HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc K nhọn) H b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I Ta có : A , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh D C E huyền – cạnh góc vng) mà c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm * Từ ta thấy = ta cm chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK 30 ... giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bài... 1)2012 với x,y Mà Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết : a) với y b) 10 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Chuyên đề 4: Giá trị nguyên biến , giá trị biểu thức Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia... Bài 3: Tìm x nguyên để 12 Giáo án Bồi dưỡng HSG toán HD : = để x số CP Với x >1 x số CP suy 2009 không chia hết cho Với x = thay vào khơng thỏa mãn Với x = Chun đề : Giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu