Tham khảo “Đề cương Hình học lớp 12 học kì 2 - Nguyễn Văn Hoàng” để bổ sung kiến thức, nâng cao tư duy và rèn luyện kỹ năng giải đề chuẩn bị thật tốt cho kì thi học kì sắp tới các em nhé! Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
ĐỀ CƯƠNG TẬP Năm học: 2021 - 2022 HỌ VÀ TÊN:…………………………………………………………………… LỚP:…………………………………………………………………………… “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ LƯỜI BIẾNG” MỤC LỤC Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1 - HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A Định nghĩa hệ trục tọa độ B Tọa độ véc-tơ C Tọa độ điểm D Tích có hướng hai véc-tơ E Phương trình mặt cầu Dạng 1.1: Nhóm tốn liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ Dạng 1.2: Bài toán liên quan đến véc-tơ độ dài đoạn thẳng Dạng 1.3: Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm trọng tâm 16 Dạng 1.4: Nhóm tốn liên quan đến tích vơ hướng hai véc-tơ 21 Dạng 1.5: Nhóm tốn liên quan đến tích có hướng hai véc-tơ 27 32 42 48 Dạng 1.6: Xác định yếu tố mặt cầu Dạng 1.7: Viết phương trình mặt cầu loại F BÀI TẬP TỰ LUYỆN - MẶT CẦU §2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 52 A Kiến thức cần nhớ 54 61 Dạng 2.8: Xác định yếu tố mặt phẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 62 79 Dạng 2.9: Viết phương trình mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 2.10: Điểm thuộc mặt phẳng 85 88 91 93 Dạng 2.11: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 2.12: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 52 §3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 107 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 109 114 Dạng 3.13: Xác định yếu tố đường thẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 107 MỤC LỤC Dạng 3.14: Góc 121 123 Dạng 3.15: Khoảng cách C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 3.16: Viết phương trình đường thẳng 125 150 160 Dạng 3.17: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng D BÀI TẬP VẬN DỤNG 117 Dạng 3.18: Xác định phương trình đường thẳng 160 §4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 193 193 193 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 4.19: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GĨC Dạng 4.20: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH 193 195 Dạng 4.21: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 197 Chun đề 2: GÓC - KHOẢNG CÁCH 200 §1 - GĨC TRONG KHƠNG GIAN 200 A CÁC DẠNG BÀI TẬP 200 205 Dạng 1.22: Góc hai đường thẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 208 215 Dạng 1.23: Góc đường thẳng với mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 220 226 Dạng 1.24: Góc hai mặt phẳng D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 200 §2 - KHOẢNG CÁCH 230 A CÁC DẠNG BÀI TẬP 231 235 Dạng 2.25: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 242 247 Dạng 2.26: Khoảng cách hai đường thẳng chéo C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 230 Dạng 2.27: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách hai mặt phẳng Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 252 https://fb.com/toanthayhoangblue CHUN ĐỀ ĐỀ CHUN LỚP TỐN THẦY HỒNG - 0931.568.590 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN § HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A ĐỊNH NGHĨA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ z Hệ gồm trục Ox, Oy, Oz vng góc với #» đơi một, chung điểm gốc O Gọi i = #» #» (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) véc-tơ #» k #» i đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian hay hệ trục Oxyz #» #»2 #» #» #» #» #» i = j = k = i · j = j · k = #» #» k · i = O #» j x ! B TỌA ĐỘ VÉC-TƠ #» #» #» Ą Định nghĩa 1.1 Cho #» a = (x; y; z) ⇔ #» a = x i +yj +zk #» Cho #» a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ R #» • #» a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) • k #» a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 = b #» • Hai véc-tơ #» a = b ⇔ a2 = b a3 = b • #» a a2 a3 a1 #» #» = = b ⇔ #» a =kb ⇔ b1 b2 b3 • Mô-đun (độ dài) véc-tơ: #» a = a21 + a22 + a23 ⇒ | #» a| = a21 + a22 + a23 y HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ä #»ä #» #» • Tích vô hướng: #» a · b = | #» a | · b · cos #» a, b #» #» • #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = a1 · b + a2 · b + a3 · b = #» #» Ä #»ä Suy ra: a· b a1 · b + a2 · b + a3 · b #» • cos a , b = = #» a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 | #» a| · b C TỌA ĐỘ ĐIỂM #» # » #» #» Ą Định nghĩa 1.2 M (a; b; c) ⇔ OM = a i + b j + c k = (a; b; c) GHI NHỚ M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0, M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0, M ∈ (Oxz) ⇔ y = M ∈ Ox ⇔ y = z = 0, M ∈ Oy ⇔ x = z = 0, M ∈ Oz ⇔ x = y = Cho hai điểm A = (xA ; yA ; zA ), A = (xB ; yB ; zB ) # » • AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) ⇒ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 xA + xB yA + yB zA + zB ; ; 2 • Gọi M trung điểm AB ⇒ M • Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒ G xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC ; ; 3 • Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, tọa độ điểm G xA + xB + xC + xD yA + yB + yC + yD zA + zB + zC + zD G ; ; 4 D TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Ą Định nghĩa 1.3 Trong hệ trục tọa đô Oxyz, cho hai véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ; a3 ) Tích #» b = (b1 ; b2 ; b3 ) ỵ #»ó #» #» có hướng hai véc-tơ #» a b véc-tơ, ký hiệu #» a , b (hoặc #» a ∧ b ) xác định công thức ỵ #»ó #» a, b = Đ a2 a3 ; b2 b3 ! a3 a1 ; a1 a2 b3 b1 é = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) b1 b2 ỵ #»ó #» Nếu #» c = #» a , b ta ln có #» c ⊥ #» a #» c ⊥ b î #» #»ó #» î #» #»ó #» î #» #»ó #» i , j = k, j , k = i , k, i = j ỵ #» #» a, b ó Ä #»ä #» = | #» a | · b · sin #» a; b ỵ î #»ó #» #»ó #» a , b ⊥ #» a , #» a, b ⊥ b #» a î #»ó #» #» b ⇔ #» a, b = Ứng dụng tích có hướng https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN ỵ #»ó #» a) Để #» a , b , #» c đồng phẳng ⇔ #» a , b · #» c = ỵ #»ó #» Ngược lại, để #» a , b , #» c khơng đồng phẳng #» a , b · #» c = (thường gọi tích hỗn tạp) Do đó, để chứng minh điểm A, B, C, D bốn điểm tứ diện, ta cần chứng minh ỵ # » # »ó # » # » # » # » AB, AC, AD không đồng phẳng, nghĩa AB, AC · AD = # » # » # » Ngược lại, để chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng, ta cần chứng minh AB, AC, AD ỵ # » # »ó # » thuộc mặt phẳng ⇔ AB, AC · AD = b) Diện tích hình bình hành ABCD ỵ # » # »ó SABCD = AB, AD c) Diện tích tam giác ABC ỵ # » # »ó SABC = · AB, AC D A C A B d) Thể tích khối hộp ABCD.A B C D î # » # »ó # » V = AB, AD · AA B e) Thể tích khối tứ diện ABCD V = E C ỵ # » # »ó # » · AB, AC · AD PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU a) Phương trình mặt cầu (S) dạng Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a; b; c) bán kính R Khi đó: (S) : • Tâm I(a; b; c) ⇒ (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 • Bán kính R b) Phương trình mặt cầu (S) dạng Khai triển dạng 1, ta x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a2 + b2 + c2 − R2 = đặt d = a2 + b2 + c2 − R2 phương trình mặt cầu dạng (S) : x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 +b2 +c2 −d > phương trình mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R = Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 √ a2 + b2 + c2 − d https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Dạng 1.1 Nhóm tốn liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ a) Hình chiếu: “Thiếu nào, cho 0” Nghĩa hình chiếu M (a; b; c) lên: • Ox M1 (a; 0; 0) • Oy M2 (0; b; 0) • Oz M3 (0; 0; c) • (Oxy) M4 (a; b; 0) • (Oxz) M5 (a; 0; c) • (Oyz) M6 (0; b; c) b) Đối xứng: “Thiếu nào, đổi dấu đó” Nghĩa điểm đối xứng N (a; b; c) qua: • Ox N1 (a; −b; −c) • Oy N2 (−a; b; −c) • Oz N3 (−a; −b; c) • (Oxy) N4 (a; b; −c) • (Oxz) N5 (a; −b; c) • (Oyz) N6 (−a; b; c) c) Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ điểm M đến trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), ta tìm hình chiếu H điểm M lên trục (hoặc mặt phẳng tọa độ), từ suy khoảng cách cần tìm d = M H Ví dụ (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ A (0; 2; −3) B (1; 0; −3) C (1; 2; 0) D (1; 0; 0) Ví dụ (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (2; −2; 1) mặt phẳng (Oxy) có tọa độ A (2; 0; 1) B (2; −2; 0) C (0; −2; 1) D (0; 0; 1) https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (2; 1; −1) mặt phẳng (Ozx) có tọa độ A (0; 1; 0) B (2; 1; 0) C (0; 1; −1) D (2; 0; −1) Ví dụ (Mã 102-2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(1; 2; 5) trục Ox có tọa độ A (0; 2; 0) B (0; 0; 5) C (1; 0; 0) D (0; 2; 5) Ví dụ (Mã 101-2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A (3; 2; 1) trục Ox có tọa độ là: A (0; 2; 1) B (3; 0; 0) C (0; 0; 1) D (0; 2; 0) Ví dụ (Mã 103-2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A (3; 5; 2) trục Ox có tọa độ A (0; 5; 2) B (0; 5; 0) C (3; 0; 0) D (0; 0; 2) Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ (Mã 104-2020 Lần 1) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(8; 1; 2) trục Ox có tọa độ A (0; 1; 0) B (8; 0; 0) C (0; 1; 2) D (0; 0; 2) Ví dụ (Mã 101-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz Điểm sau hình chiếu vng góc điểm A(1; 4; 2) mặt phẳng Oxy? A (0; 4; 2) B (1; 4; 0) C (1; 0; 2) D (0; 0; 2) Ví dụ (Mã 103-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz điểm hình chiếu vng góc điểm A (3; 5; 2) mặt phẳng (Oxy)? A M (3; 0; 2) B (0; 0; 2) C Q (0; 5; 2) D N (3; 5; 0) Ví dụ 10 (Mã 102-2020 Lần 2) Trong khơng gian Oxyz, điểm hình chiếu vng góc điểm A (1; 2; 3) mặt phẳng Oxy A Q (1; 0; 3) B P (1; 2; 0) C M (0; 0; 3) D N (0; 2; 3) https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ 11 (Mã 104-2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, điểm hình chiếu vng góc điểm A (3; 4; 1) mặt phẳng (Oxy)? A Q (0; 4; 1) B P (3; 0; 1) C M (0; 0; 1) D N (3; 4; 0) Ví dụ 12 (Mã 104-2019) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (3; 1; −1) trục Oy có tọa độ A (3; 0; −1) B (0; 1; 0) C (3; 0; 0) D (0; 0; −1) Ví dụ 13 (Mã 103-2019) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (2; 1; −1) trục Oy có tọa độ A (0; 0; −1) B (2; 0; −1) C (0; 1; 0) D (2; 0; 0) Ví dụ 14 (Mã 102-2019) Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M (3; −1; 1) trục Oz có tọa độ A (3; −1; 0) B (0; 0; 1) C (0; −1; 0) D (3; 0; 0) Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue 239 Chuyên đề GÓC - KHOẢNG CÁCH √ 2a 21 A √ a B √ a 21 C 14 √ a 21 D Câu 36 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam giác ABClà tam giác đều, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD)trùng với trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) 30◦ Tính khoảng √ cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) theo a √ a 21 A B a C a √ 2a 21 D Câu 37 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng,AB = a,SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a(minh họa hình vẽ bên ) Gọi M trung điểm CD, khoảng cách điểm M mặt phẳng(SBD) 2a a A B √ C a D a Câu 38 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) ’ = 600 Đường thẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a có góc BAD 3a SO vng góc với mặt đáy (ABCD) SO = Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) √ 3a a a 3a A B C D 4 Câu 39 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) √ Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ (ABCD), SA = a 6,ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường √ kính AD = 2a Khoảng √ cách từ điểm B đến√mặt phẳng (SCD) √ a a a a A B C D 2 Câu 40 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác ’ = SCA ’ = 900 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 450 Tính cạnh 2a SBA khoảng√cách từ điểm B đến mặt√phẳng (SAC) 15 15 A a B a 5 √ 15 C a √ 51 D a Câu 41 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC); góc đường thẳng SB mặt phẳngABC 60◦ Gọi M trung điểm cạnh AB Khoảng cách từ √ B đến (SM C) √ a 39 A B a 13 C a D a Câu 42 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, √ cạnh AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue 240 KHOẢNG CÁCH đoạn OA Góc SC mặt phẳng (ABCD) 30◦ Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) √ 22a A 44 √ 22a B 11 √ 22a C 11 √ 22a D 44 Câu 43 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S.ABCcó SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng √ (SAC)bằng a 42 A √ a 42 B 14 √ a 42 C 12 √ a 42 D Câu 44 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AD = 2AB = 2BC = 2a, SA vng góc với đáy, góc SB mặt phẳng đáy 60◦ Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Khoảng cách từ H√đến mặt phẳng (SCD)√bằng √ 3a 30 3a 30 A a B C 20 10 √ 3a 30 D 40 Câu 45 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân A Tính khoảng cách√h từ điểm D đến mặt phẳng (ABB A ) √ √ a a a A h= B h= C h= 6 √ a D h= Câu 46 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a Cạnh bên SA = 2a vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm SB SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (AM N ) A d = 2a 3a B d= √ a C d= √ D d = a Câu 47 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, biết SA⊥ (ABC) AB = 2a, AC = 3a,SA = 4a Khoảng cách từ điểm √ A đến mặt phẳng (SBC) √ 2a 6a 29 12a 61 A d= √ B d= C d= 29 61 11 √ a 43 D 12 Câu 48 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB = 2AD = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) √ a A √ a B C a D 2a Câu 49 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 241 Chun đề GĨC - KHOẢNG CÁCH √ Cho hình chóp SABC, có đáy tam giác vuông A, AB = 4a, AC = 3a Biết SA = 2a 3, ’ = 30◦ (SAB) ⊥ (ABC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) SAB √ √ √ √ 7a 7a 7a 7a A B C D 14 Câu 50 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) ’ = 120◦ Gọi M trung điểm Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB = a, AC = 2a, BAC ÷ cạnh CC BM A = 900 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BM A ) √ √ √ √ a a a a A B C D 7 Dạng 2.26 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Ta có trường hợp sau đây: ➊ Giả sử a b hai đường thẳng chéo a ⊥ b ✓ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a vng góc với b B ✓ Trong (α) dựng BA ⊥ a A, ta độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ➋ Giả sử s b hai đường thẳng chéo khơng vng góc với Cách 1: ☛ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa đường thẳng s song song với b ☛ Lấy điểm M tùy ý b dựng M M ⊥ (α) M ☛ Từ M dựng b // b cắt a A ☛ Từ A dựng AB // M M cắt b B, độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách 2: Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue 242 KHOẢNG CÁCH ☛ Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a O, (α) cắt b I ☛ Dựng hình chiếu vng góc b b (α) ☛ Trong mặt phẳng (α), vẽ OH ⊥ b , H ∈ b ☛ Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B ☛ Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A ☛ Độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Ví dụ (Mã 101-2022) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, BC = 2a AA = 3a (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD A C √ A a B 2a C 2a D A B C D 3a A B D C Ví dụ (Mã 102 - 2022) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, BC = 2a AA = 3a (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai đường thẳng BD A C √ A 2a B 2a C 3a D A B C D a A B D C https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 243 Chuyên đề GÓC - KHOẢNG CÁCH Ví dụ (Đề Tham Khảo 2018) Cho lập phương ABCD.A B C D có cạnh a ( tham khảo hình vẽ bên ).Khoảng cách hai đường thẳng BD A C √ 3a A B √ 2a C √ 3a D A B C D a D A B C Ví dụ (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O S cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a Khoảng cách √ SC √ AB bằng: √ 2a 2a a A B C 15 5 √ a D 15 D A O B C Ví dụ (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue 244 KHOẢNG CÁCH Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, O S tâm mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SO CD a A √ B a C 2a D √ 2a D A O B C Ví dụ (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh S 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BD √ A a B 2a C a √ D a D A B C Ví dụ (Chuyên Long An - 2021) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD √ √ hình chữ nhật với AC = a AD = a Tính khoảng cách SD BC √ 3a A a B √ a C D S 2a D A B C https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 245 Chuyên đề GÓC - KHOẢNG CÁCH Ví dụ (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = 2a, S AC = 4a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a (hình minh họa) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC √ 2a 6a A B 3 √ C 3a D a A C B Ví dụ (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, AB = 2a, AD = DC = CB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 3a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng √ SB DM √ 3a 3a 13a 13a A B C D 13 13 Ví dụ 10 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân √ A AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi S M trung điểm BC (tham khảo hình bên) Khoảng cách hai√đường thẳng AC √ SM a a 39 a A B C 13 √ a 21 D A C B Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue 246 KHOẢNG CÁCH C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu (Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB √ 6a A B 2a C a D a Câu (Mã 103 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = OB = a, OC = 2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC √ 5a A √ B 2a 2a C √ D 2a Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) √ Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a Biết BC √ o hợp với mặt phẳng (AA C C) góc 30 hợp với mặt phẳng đáy góc α cho sin α = Gọi M, √ N trung điểm√cạnh BB vàA C Khoảng √ cách M N AC là: a a a a A B C D Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = SC, đáy tam giác cạnh a Biết thể tích khối chóp √ a Khoảng cách hai đường thẳng SA BC bằng: S.ABC √ √ 4a 13a 6a a A B C D 13 Câu (Mã 102 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vng góc √ với mặt phẳng đáy và√SA = a Khoảng cách √ hai đường thẳng BD, √ SC 21a 21a a 30 a 30 A B C D 21 21 12 Câu (Mã 104 2018) Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau,OA = a OB = OC = 2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng OM AB √ 6a A B a √ 5a C √ D 2a Câu (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) √ Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật với AC = a √ BC = a√ Tính khoảng cách SD BC √ a 2a 3a A B a C D Câu (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 247 Chun đề GĨC - KHOẢNG CÁCH Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân Svà nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ◦ SC, √ biết góc đường thẳng √ SD mặt đáy bằng√60 a 906 a 609 a 609 A B C 29 29 19 √ a 600 D 29 Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh bẳng 4, góc SC mặt phẳng (ABC) 45◦ Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Tính khoảng√cách hai đường thẳng SA BC √ √ 210 210 210 A d= B d= C d= 45 15 √ 210 D d= 15 Câu 10 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, C = 60◦ , AC = 2, SA⊥ (ABC), SA = Gọi M trung điểm AB Khoảng cách d SM BC √ 21 A d= √ 21 B d= √ C d= 21 √ 21 D d= Câu 11 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) a2 b với AB = a Gọi Glà trọng tâm tam giác SCD, cạnh AB, SD lấy điểm E, F cho EF song song BG Khoảng Cho khối chóp tứ giác S.ABCD tích cách hai đường thẳng DG EF 2ab ab √ A √ B 2b + a2 2b2 + a2 C a2 b √ 2b2 + a2 ab D √ 2b + a2 Câu 12 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng n 2019) √ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a 3, mặt bên SAB tam giác cân ’ = 120◦ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N với ASB trung√điểm M C Tính khoảng cách hai đường √ √ thẳng AM , BN √ 327a 237a 237a 237a A B C D 79 79 79 316 Câu 13 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện đềuABCD có cạnh 3cm Gọi M trung điểm √ CD Khoảng cách √ AC BM là: 11 22 A B cm cm 11 11 √ C cm 11 √ D cm 11 Câu 14 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD vng góc với đôi AD = 2AC = 3AB = a Gọi ∆ đường thẳng chứa mặt (BCD) cho khoảng cách từ điểm A đến ∆ nhỏ khoảng cách lớn hai đường thẳng ∆ AD d Khẳng định sau đúng? √ 14 A d=a 14 B 3a < d < 4a Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 C 3a 4a < d < 14 D d > 4a https://fb.com/toanthayhoangblue 248 KHOẢNG CÁCH Câu 15 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a, M trung điểm BC Khoảng cách AC SM √ √ a a 2a 17 2a A B C D 2 17 Câu 16 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách √ hai đường thẳng ACvà √ SM √ 3a 2a a 5a A B C D 2 Câu 17 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân √ A, AB = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình √ vẽ) Khoảng cách hai đường thẳng AC √và SM √ 10a a 2a 2a A B C D Câu 18 (Chun KHTN - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách √ hai đường thẳng BM √và SD √ a a 2a A B C Câu 19 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) √ a D Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên (SBC) tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA √ √ √ √ BC a a a a A B C D 4 Câu 20 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách BC SD √ A 3a √ √ √ 5 B a C a D a 5 Câu 21 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt đáy M trung điểm SD Tính khoảng cách SB CM √ √ √ √ a a a a A B C D 3 Câu 22 (Chun Bến Tre - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = 2a vng góc với (ABCD) Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d hai đường thẳng SB CM √ a a A d= B d= https://fb.com/toanthayhoangblue C d= 2a a D d= Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 249 Chun đề GĨC - KHOẢNG CÁCH Câu 23 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy tam giác vng cân B, AB = AA = 2a,M trung điểm BC(minh họa hình dưới) Khoảng cách hai đường thẳng AM B C a A 2a B √ a C √ Da Câu 24 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho tứ diện ABCDcó cạnh a Gọi M trung điểm cạnh AD Tính khoảng cách hai√đường thẳng AB CM a 33 a A B √ 11 33 a C √ 22 √ a 22 D 11 Câu 25 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cạnh có độ dài (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách hai đường thẳng √ AC’ A’B A √ B C √ √ D √ Câu 26 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vuông √ AB = BC = a, AA = a 2, M trung điểm BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng AM √ B C a A d= √ a B d= √ a C d= √ a D d= Câu 27 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho lăng trụ đứng ABCABC có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA Tính√khoảng cách hai đường thẳng BM BC √ √ √ 3 3 A √ a B √ a C √ a D √ a 10 2 Câu 28 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB, góc mặt phẳng (SAC) đáy 45◦ Gọi M trung điểm cạnh SD Khoảng cách hai đường AM SC A a √ a B √ a C 10 √ a D Câu 29 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AD = 2, AB = AC = Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC, khoảng cách hai đường thẳng AI BD A 2 B √ √ C D Câu 30 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông cân B, biết , , trung √ điểm Tính khoảng √ cách hai đường√thẳng a 2a a A B C Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 √ a 15 D https://fb.com/toanthayhoangblue 250 KHOẢNG CÁCH Câu 31 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy góc 30o √Khoảng cách hai đường thẳng SA CD √ √ 15a 14a 10a A B C 5 √ 5a D Câu 32 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng đáy 60◦ (minh họa hình đây) Gọi M, N trung điểm AB, AC Khoảng cách hai đường thẳng SB M N 3a A √ a B C 3a √ D a Câu 33 (Liên trường Nghệ An - 2020) ’ = ADC ’ = ACD ’ = 900 , BC = 2a, CD = a, góc đường thẳng Cho tứ diện ABCD có ABC AB mặt √ phẳng (BCD) 60 √ Tính khoảng cách √ hai đường thẳng AC √ BD a 2a 2a a A √ B √ C √ D √ 31 31 31 31 Câu 34 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = a, OC = 2a Gọi M√là trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC √ √ 2a 5a 2a 2a A B C D Câu 35 (Nguyễn Huệ - Phú n - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi G trọng tâm ∆ABC Khoảng cách hai đường thẳng SG BC 2a A √ a B √ 2a C D 4a Câu 36 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA = SB = SC = 11, góc ∠SAB = 30◦ , góc ∠SBC = 60◦ , góc ∠SCA = 45◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng AB SD √ A 22 B √ 22 √ 22 C √ D 11 Câu 37 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) √ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có cạnh bên a 2, đáy ABC tam giác vuông √ B, BC = a 3, AB = a Biết hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt đáy điểm M thoả mãn # » # » 3AM =√AC Khoảng cách √ hai đường thẳng AA và√BC √ a 210 a 210 a 714 a 714 A B C D 15 45 17 51 https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 251 Chuyên đề GÓC - KHOẢNG CÁCH Câu 38 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) √ Cho hình chóp S.ABCD có √ đáy ABCD hình vng cạnh a Biết bán kính mặt 9a cầu ngoại tiếp hình chóp , độ dài cạnh bên lớn độ dài cạnh đáy Khoảng cách hai đường √thẳng AB SD bằng√ √ √ 2a 17 4a 17 4a 34 2a 34 A B C D 17 17 17 17 Câu 39 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình chữ nhật với AB = 2a,AD = 3a (tham khảo hình vẽ) Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy; góc mặt phẳng (SCD) mặt đáy 45◦ Gọi H trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách hai đoạn √thẳng SD CH √ 11a 14a A B 11 √ 10a C √ 109 √ 85a D 17 Dạng 2.27 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách hai mặt phẳng Ở dạng toán quy dạng toán ➊ Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) song song với Khi khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng (α) gọi khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) • d (∆, (α)) = d (M, (α)) , M ∈ ∆ ➋ Cho hai mặt phẳng (α) (β) song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng (α) (β) • d ((α) , (β)) = d (M, (β)) = d (N, (α)) , M ∈ (α) , N ∈ (β) Ví dụ (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = 3a, AD = DC = a Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phảng (SBI) (SCI) vng góc với đáy mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính theo a khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến√mặt phẳng (SBC) √ a 17 a A B 19 Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 √ a C 15 √ a 15 D 20 https://fb.com/toanthayhoangblue 252 KHOẢNG CÁCH Ví dụ (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình √ thang vng A D, SD vng góc với mặt đáy (ABCD),AD = 2a,SD = a Tính khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng (SAB) √ a 2a A √ B a C √ √ a D Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng (ACM ) 3a A d= B d = a C d= 2a D d= a Ví dụ (THPT Lương Đắc Bằng - Thanh Hóa - 2018) Cho hình chóp O.ABC có 2a đường cao OH = √ Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng M N (ABC) bằng: √ √ a a a a A B C D 3 https://fb.com/toanthayhoangblue Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 253 Chuyên đề GĨC - KHOẢNG CÁCH Ví dụ (Chun Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi I, J trung điểm BC AD Tính khoảng cách d hai √ … mặt phẳng (AIA ) (CJC ) √ a A d = 2a B d = 2a C d= √ 3a D d= Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 https://fb.com/toanthayhoangblue ... (y + 3 )2 + (z − 2) 2 = 24 B (x + 1 )2 + (y − 3 )2 + (z + 2) 2 = 24 C (x + 1 )2 + (y − 3 )2 + (z + 2) 2 = 24 D (x − 1 )2 + (y + 3 )2 + (z − 2) 2 = 24 Câu Cho tam giác ABC có A (2; 2; 0), B(1; 0; 2) , C(0;... (x + 1 )2 + (y + 1 )2 + (z − 2) 2 = B (x − 1 )2 + (y − 1 )2 + (z + 2) 2 = 24 C (x + 1 )2 + (y + 1 )2 + (z − 2) 2 = 24 D (x − 1 )2 + (y − 1 )2 + (z + 2) 2 = Ví dụ 12 (Chuyên... (x − 2) 2 + (y − 2) 2 + z = √ C (x − 2) 2 + (y − 2) 2 + z = B (x + 2) 2 + (y + 2) 2 + z = D (x − 2) 2 + (y − 2) 2 + z = Câu Phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A (2; 1; 1), B(0; 3; −1) A x2 +