De du bi 09 10 UBND HUYỆN TÂN UYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Năm học 2009 2010 Môn Toán Thời gian 150 phút ðề gồm 01 trang Bài 1 (5 ñiểm) Cho biểu thức 3 3 6[.]
UBND HUYỆN TÂN UYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðề thi chọn học sinh giỏi lớp cấp huyện Năm học 2009 -2010 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút ðề gồm 01 trang ðề thi dự bị Bài 1: (5 ñiểm) + 3 x3 3x − x + 3x x + x + 3 x − 6x + Cho biểu thức: A = − a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x ñể biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: (5 ñiểm) a) Chứng minh: Với x > 1, ta cú: x ≥ Dấu ñẳng thức xảy nào? x −1 a2 b2 + b) Cho a > 1, b > Tỡm GTNN P = b −1 a −1 Bài 3: (4 điểm) Tìm số tự nhiên cú chữ số mà tổng số tất chữ số 2001 Bài 4: (3 ñiểm) Cho tam giỏc ABC vuông A, gọi I giao ñiểm ba ñường phân giác ðộ dài hình chiếu IB IC lờn BC a(cm),b(cm) Tính diện tích tam giác ABC Bài 5: (3 điểm) Trong bìa trình bày đây, có mặt ghi chữ mặt ghi số: B A + Chứng tỏ để kiểm tra câu sau có khơng: "Nếu bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số chẵn", cần lật mặt sau tối ña bìa, bìa ? _Hết _ UBND HUYỆN TÂN UYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ñề thi học sinh giỏi lớp cấp huyện Mơn: Tốn Năm học: 2009 -2010 ðề thi dự bị Bài (5 ñiểm) 6x + + 3 x3 3x A = − − x 3 x − x + x + + x Ta có: 3x + 3x + = ( 3x + 1) + > 0;1 + 3x > 0, ∀x ≥ , nên ñiều kiện để A có nghĩa là: ( 3x ) ( −8 = )( ) x − x + x + ≠ 0, x ≥ ⇔ x ≠ ⇔ ≤ x ≠ ( ) + 3x x x + A= − − 3x 3x − 3x + x + + 3x x + − 3x − 3x 3x − 3x + − 3x A= 3x − 3x + 3x + 3x + + 3x 3x − 3x + A= 3x − 3x + 3x + ( A= A= ( ) ( ( )( ( )( ) 3x − ) ( ) 0,5 ) 0,5 (0 ≤ x ≠ ) ) =( 3x − ( ) 0,5 0,5 3x − ( ) 0,5 ) 3x − + 3x − ( ) 3x − + 3x − 0,5 = 3x + 3x − 0,5 Với x số ngun khơng âm, để A số nguyên 3x = 3 x = x − = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ x = (vì x ∈ Z x ≥ ) 3x = x = Khi đó: A = 0,5 Bài (5 ñiểm) a) Với x > 1, ta cú: x ≥ ⇔ x ≥ x −1 ⇔ x − x −1 ≥ ; x −1 ⇔ ( x − − 1) ≥ ( ðúng ) x Vậy bất ñẳng thức ≥ ln với x > x −1 Dấu “=”xảy x=2 b) Áp dụng bất ñẳng thức Cos-si cho số khụng õm , ta cú: P = a2 b2 b −1 a −1 a2 b2 a 2b a b + ≥2 = b −1 a −1 (a − 1)(b − 1) a −1 b −1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Áp dụng kết câu a): Với a > 1, b > thỡ a ≥ 2, a −1 b a2 b2 ≥ => + ≥ 2.2.2 = => P ≥ b −1 a −1 b −1 a2 b2 => Min P = = ; a = 2; b = ⇔ a = b = b −1 a −1 0,5 0,5 0,5 Bài (4 ñiểm) Số phải tỡm cú dạng: abcd với a , b, c ,d ∈N ≤ a, b, c, d ≤ , a ≠ Theo ñề , ta cú : abcd + a + b + c + d = 2001 ⇔ 1001a +101b + 11c +2d = 2001 (1) Từ (1) => 1001a ≤ 2001 , a ∈N , a ≠ => a ≤ , a ∈ N ,a ≠ => a =1 Ta suy : 101b + 11c + 2d = 1000 (2) Từ (2) => 101 b ≤ 1000 => b ≤ (a) Mặt khác , ta cú : 11c +2d ≤ 117 => b >8 (b) Từ (a) (b) , ta cú b = ⇔ 11c + 2d = 91 (3) Suy : 73≤ 11c ≤ 91 , c ∈ N => c = c = Từ (3) => c lẻ => c = => d = Vậy : Số cú chữ số phải tìm 1977 A Bài (3 điểm) E F I B a cm 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 D 0,5 b cm C Ta cú (BD + BF) + (FA + AE) + (EC + CD) = AB + BC + CA ⇒ 2BD + 2AE + 2EC=AB+BC+CA ⇒ 2BD+2AC= AB+ BC+CA ⇒ BD = (AB + BC - CA)/2 Tương tự : CD = (AC + BC - AB)/2 Suy ra: BD.CD = [(AB + BC - CA)/2].[ (AC + BC - AB)/2] = [BC2 - AB2 -AC2 + 2AB.AC]/4 = AB.AC/2 (Pytago) = S(ABC) Vậy S(ABC) = BD.CD = a.b (cm2) Bài (3 ñiểm) + Câu: "Nếu bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số chẵn" kiểm tra bìa mặt chữ ngun âm mặt sau phải số chẵn, cịn bìa có mặt chữ phụ âm mặt số số chẵn lẻ khơng ảnh hưởng Núi cỏch khỏc, mặt trước số lẻ thỡ mặt sau phải phụ õm 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 + Do lật bìa chữ A mà mặt sau số lẻ, khẳng định câu khơng đúng, ngược lại mặt sau số chẵn phải lật tiếp mặt sau bìa có chữ số 3, mặt phụ âm câu hồn tồn đúng, ngược lại sai + Cịn mặt sau bìa chữ M số chẵn lẻ ñều ñược, mặt sau bìa số nguyên âm phụ âm ñều ñược, câu ñều ñúng + Vậy cần lật tối ña bìa chữ A số kiểm chứng ñược câu ñúng Lưu ý: Mọi cách giải khác ñúng, cho ñiểm tối ña ––––––––––––––– Hết ––––––––––––– 0,5 0,5