Giáo trình vật lý thống kê và nhiệt động lực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA LÝ TS ĐỖ XUÂN HỘI TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2003 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách viết xuất phát từ giáo trình vật lý thống kê giảng cho lớp sinh viên năm thứ tư khoa Vật lý, trường ĐHSP TP.HCM từ vài năm qua Tuy soạn theo tinh thần chương trình hành khoa Vật lý, trường ĐHSP TP HCM, nội dung sách mở rộng thêm, nhằm cung cấp tư liệu cho sinh viên Sách trình bày với nỗ lực lớn mặt sư phạm: Ngoài phần tập kèm theo chương để củng cố để đào sâu thêm kiến thức phân tích phần lý thuyết, số đề tài lớn soạn dạng “vấn đề” để sinh viên tập làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học trọn vẹn sinh viên thấy lónh vực áp dụng vật lý thống kê, ví dụ vật lý thiên văn Phần dùng để gợi ý cho sinh viên làm seminar năm học, luận văn tốt nghiệp, nâng cao thêm để chuẩn bị cho luận văn Thạc só vật lý Nhận thức việc nắm vững ngoại ngữ để tự nâng cao trình đào tạo điều thiết phải có sinh viên nên phần phụ lục có kèm theo danh mục từ ngữ đối chiếu Việt-Anh-Pháp thường sử dụng môn vật lý thống kê Hy vọng phần giúp ích cho sinh viên sử dụng ngoại ngữ học tập Cũng cần nhấn mạnh theo ý kiến số nhà vật lý có uy tín giới phần nhiệt động lực học phải xem hệ môn học thống kê, trình bày môn vật lý lý thuyết thực sự, có nghóa phát xuất từ tiên đề, tương tự môn học lượng tử chẳng hạn Phần khác, ta nên nhớ môn học thống kê, với học lượng tử lý thuyết tương đối, tạo nên trụ cột vật lý đại Cuốn sách xây dựng tinh thần Một cách tóm tắt vật lý thống kê hiểu môn học khảo sát tính chất vó mô hệ vật lý xuất phát từ đặc tính vi mô hạt cấu tạo nên hệ Nhưng đặc tính vi mô mô tả xác học lượng tử Vì vậy, để hiểu sở vật lý thống kê, điều tự nhiên phải nắm vững tính chất lượng tử hạt vi mô Tuy nhiên, sách này, kiến thức học lượng tử yêu cầu mức tối thiểu Những điều cần thiết nhắc lại suốt giáo trình Cũng nên nói thêm đáng tiếc số phần quan trọng vật lý thống kê khảo sát từ tính vật chất, tượng chuyển pha, tượng vận chuyển, không đề cập đến sách Tác giả hy vọng lần tái sau có điều kiện trình bày vấn đề Do kinh nghiệm ít, thời gian lại hạn hẹp nên chắn sách nhiều thiếu sót, mong bạn đọc vui lòng lượng thứ dẫn để sách hoàn thiện lần tái sau Tác giả xin trân trọng ngỏ lời cảm tạ đến thầy Hoàng Lan, nguyên Trưởng khoa, thầy Lý Vónh Bê, Trưởng khoa Vật lý, trường ĐHSP TP HCM tạo tất điều kiện thuận lợi để nội dung sách truyền đạt đến sinh viên vài năm vừa qua Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS-TS Nguyễn Khắc Nhạp thầy Đặng Quang Phúc vui lòng để q báu đọc thảo sách góp ý cho tác giả Ngoài ra, tác giả ghi lại lời cám ơn đến GV Nguyễn Lâm Duy SV Nguyễn Trọng Khoa nỗ lực đánh máy vi tính thảo với lòng nhiệt tình tận tụy Cuối cùng, tác giả bày tỏ lòng cám ơn đến Phòng Ấn trường ĐHSP TP.HCM làm việc tích cực để sách mau chóng in đến tay bạn đọc TÁC GIẢ Chương I MÔ TẢ THỐNG KÊ HỆ VĨ MÔ IA IB IC ID Những trạng thái vi mô khả dó Phương pháp thống kê cho hệ vó mô Tập hợp thống kê Nguyên lý ergodic Entropi thống kê lý thuyết thông tin Vật lý thống kê có đối tượng nghiên cứu hệ vó mô, hệ chứa số lớn hạt (như electron, photon, nguyên tử, phân tử,…); hệ tồn trạng thái vật lý khác : khí, lỏng, rắn, plasma xạ điện từ Về phương diện đo lường, kích thước lượng hệ vó mô xác định mét (và bội số ước số mét) Joule Trong đó, hệ vi mô hệ có kích thước so sánh với kích thước nguyên tử, phân tử, … tức đo lường Å ( = 10-10 m ), lượng hệ vi mô đo đơn vị eV ( ≈ 1,6.10-19 Joule ) Một cách đơn giản để thiết lập mối quan hệ hệ vó mô hệ vi mô thông qua số Avogadro NA≈6,023.1023 hạt.mol-1 Độ lớn số NA cho thấy mức độ phức hợïp lớn hệ vó mô Chính mà để khảo sát hệ vó mô, ta cần phải dùng phương pháp thống kê, để có đại lượng vó mô phát xuất từ tính chất hệ vi mô Trong chương thứ này, ta gặp khái niệm sử dụng vật lý thống kê Điều phân biệt trạng thái vó mô trạng thái vi mô khả dó đạt (accessible microstates) hệ vó mô, ta thấy rõ khác biệt hai khái niệm qua thí dụ minh họa hệ có hai hạt Với thí dụ này, ta đưa vào khái niệm hạt phân biệt hạt không phân biệt được; hai khái niệm cần phải nắm vững việc khảo sát hệ nhiều hạt Sau đó, phương pháp thống kê giới thiệu để đưa định nghóa hàm phân bố thống kê Trong phần tiếp theo, nguyên lý ergodic trình bày khái niệm entropi thống kê đưa dựa lý thuyết thông tin trường hợp tổng quát I.A Những trạng thái vi mô khả dó I.A.1 Trạng thái vó mô hệ vật lý Trạng thái hệ vật lý mà ta mô tả đại lượng vó mô, cảm nhận trực tiếp người gọi trạng thái vó mô hệ Ví dụ ta xét khối khí đại lượng vó mô thể tích, nhiệt độ, … khối khí Như vậy, trạng thái vó mô hệ xác định điều kiện mà hệ phụ thuộc Chẳng hạn hệ không tương tác với môi trường bên (hệ cô lập), lượng số hạt tạo thành hệ có giá trị xác định I.A.2 Trạng thái vi mô lượng tử hệ vật lý Theo quan điểm học lượng tử, trạng thái vật lý hạt thời điểm t biểu diễn vectơ không gian trạng thái, vectơ trạng thái ket ψ( t ) Sự tiến hóa theo thời gian trạng thái vi mô mô tả phương trình Schrưdinger d ˆ ψ( t ) , ih ψ( t ) = H (I.1) dt ˆ toán tử Hamilton, toán tử liên kết với lượng, tổng toàn tử động H ˆ: Tˆ toán tử tương tác U ˆ = Tˆ + U ˆ (I.2) H r Nếu gọi r vectơ riêng tương ứng với vị trí r hạt, tích vô hướng r r ψ( t ) = ψ( r , t ) (I.3) cho ta hàm sóng, đặc trưng đầy đủ cho trạng thái vật lý hệ ˆ độc lập thời gian t), lïng El hệ trạng thái l Trong trường hợp hệ bảo toàn ( H xác định phương trình trị rieâng: ˆ ϕ il = E l ϕ il H với i = 1, 2, …, gl cho biết suy biến hệ Tổng quát hơn, đối tượng nghiên cứu hệ nhiều hạt hàm sóng Ψ( q1, q2, …, qf ) theo biến số tọa độ qi đặc trưng đầy đủ cho hệ hạt Ở đây, f số lượng tử hệ Chú ý ta nói đến trạng thái vi mô hệ vó mô ta ngầm hiểu trạng thái vi mô lượng tử Còn ta nhấn mạnh đến trạng thái vi mô cổ điển có nghóa tính chất hệ khảo sát thông qua học cổ điển Newton ta thấy Dó nhiên này, kết thu gần mà Thông thường hệ vó mô đặt số điều kiện (vó mô) gọi hạn chế (constraint), chẳng hạn khối khí cô lập, không tương tác với môi trường bên lượng số hạt hệ xem điều kiện môi trường bên áp đặt cho hệ, dó nhiên hai đại lượng không đổi Khi tồn số trạng thái vi mô khác hệ tương ứng với trạng thái vó mô Số trạng thái vi mô thường kí hiệu Ω, đóng vai trò trọng yếu việc nghiên cứu vật lý thống kê Ví dụ: Để dễ hiểu vấn đề, ta xét hệ nhiều hạt đơn giản gồm hai hạt phân biệt được, tức đánh dấu hạt A hạt B Hai hạt phân bố ba mức lượng cách laø ε0 = , ε1 = ε , vaø ε2 = 2ε Giả sử lượng toàn phần hệ ấn định bằng: E = 2ε Ta xét trạng thái vi mô khả dó hệ tương ứng với trạng thái vó mô ε2 = 2ε B ε ε1 = ε ε ε0 = A AB A B (1) (2) (3) H.I.1 Ta coù thể đếm số trạng thái vi mô cách dùng sơ đồ hình trên: hạt A B xếp mức lượng cho tổng lượng hai hạt 2ε Vậy, có tất trạng thái vi mô khả dó: (1), (2), (3); Ω = Vì hai hạt A B phân biệt nên hai trạng thái vi mô (1) (2) phải xem khác Nếu ta giả sử hai hạt tạo thành hệ không phân biệt ta có sơ ñoà sau: ε2 = 2ε ε1 = ε ε0 = • ε •• ε • (1’) (2’) H.I.2 Vậy ta có Ω = 2, nhỏ so với trường hợp hệ hạt phân biệt Bây ta giả sử mức lượng ε1 suy biến bậc (tức mức lượng ε1, có hai trạng thái lượng tử khác nhau) Khi hai hạt phân biệt được, ta có Ω = biểu diễn sơ đồ sau: ε2 = 2ε ε ε1 = ε ε ε0 = A B A B B A (1) (2) (3) B A AB (4) AB (5) (6) H.I.3 (Ở đây, ta giả thiết hai hạt trạng thái lượng tử) Còn hai hạt không phân biệt được, ta có Ω =4 ε2 = 2ε ε ε1 = ε ε ε0 = • • (1’) • • • • •• (2’) (3’) H.I.4 (4’) I.A.3 Trạng thái vi mô cổ điển Ở mức độ gần đó, trạng thái vi mô hệ vó mô mô tả học cổ điển Ta xét trường hợp đơn giản trường hợp hạt chuyển động chiều mở rộng cho trường hợp tổng quát a) Một hạt chuyển động chiều Với khái niệm bậc tự số tọa độ cần thiết để xác định vị trí hạt trường hợp đơn giản hệ có bậc tự Ta biết học cổ điển, trạng thái học hạt mô tả tọa độ suy rộng q động lượng suy rộng p, nghiệm hệ phương trình Hamilton: ( I.5a ) ∂H ⎧ ⎪q& = ∂p ⎪ ⎨ ⎪p& = − ∂H ⎪⎩ ∂q ( I.5b) với H hàm Hamilton hệ Như vậy, ta nói trạng thái học (cổ điển) hạt thời điểm t biểu diễn điểm có tọa độ (q, p) gọi điểm pha không gian tạo hai trục tọa độ Oq Op gọi không gian pha μ, không gian hai chiều Vì đại lượng q p biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q, p) vạch thành đường không gian pha; q đạo pha Ví dụ: Xét dao động tử điều hòa tuyến tính có động T = p2 U = mω2 q , 2m với m ω khối lượng tần số góc dao động tử Ta có hàm Hamilton: H=T+U= p2 + mω2 q , 2m ∂H p = , ∂p m ∂H p& = − = − mω2 q , ∂q p& &q& = = −ω2 q m Ta có phương trình vi phaân theo q: &q& + ω2q = ⇒ q = q sin(ωt + ϕ) , với q0, φ hai số phụ thuộc điều kiện đầu q& = ⇒ p = mq& = p cos(ωt + ϕ), p = mωq Để tìm q đạo pha, ta thiết lập hệ thức q p độc lập với t: q p2 + = q 02 p 02 Vậy q đạo pha ellip có bán trục q0 p = mωq q đạïo pha p • p σ = πh p0 • (q,p): điểm pha q0 -q0 δp q δq q H.I.5 H.I.6 Để đếm số trạng thái vi mô khả dó hạt trạng thái học hạt biểu diễn không gian pha, ta chia trục Oq Op thành lượng nhỏ δq δp Như vậy, không gian pha trường hợp mặt phẳng phân thành ô chữ nhật nhỏ, ô có diện tích σ = δqδp Một trạng thái học hạt tương ứng với điểm pha nằm ô Cách mô tả xác σ nhỏ: học cổ điển, σ chọn nhỏ tùy ý, tức ô trở thành điểm điểm pha Chú ý theo học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg cho ta hệ thức: δq.δp ≥ 2πh , với h h= (h số Planck) Tức không tồn trạng thái học với đại lượng q p 2π xác định với độ xác tùy ý Vậy trạng thái vi mô hạt phải biểu diễn ô có diện tích σ = δqδp = πh , điểm pha học cổ điển -p0 O b) Trường hợp hệ có f bậc tự Tức này, hệ mô tả f tọa độ suy rộng (q1, q2, …, qf ) f động lượng suy rộng ( p1, p2, …, pf ) Ví dụ: - Hệ gồm hạt chuyển động không gian ba chiều có vị trí xác định ba tọa độ ( q1 ≡ x , q2 ≡ y , q3 ≡ z ), hệ có ba bậc tự do: f = Không gian pha tương ứng không gian pha chiều: ( q1, q2, q3, p1, p2, p3 ) Mỗi ô đặc trưng cho trạng thái vi mô tích (δqδp )3 - Hệ có N hạt: hạt có ba bậc tự nên hệ có số bậc tự là: f = 3N Hệ tương ứng với không gian pha 6N chiều Vậy tập hợp đại lượng (q1, q2, …, qf, p1, p2, …, pf) tương ứng với điểm pha không gian pha 2f chiều, gọi không gian K, để phân biệt với không gian pha μ có hai chiều Tương tự trên, trạng thái học hệ có f bậc tự biểu diễn “ô” tích thỏa điều kiện: δq1δq δq f δp1δp δp f = σ f với σ nhỏ tùy ý theo học cổ điển Nhưng theo học lượng tử, trạng thái vi mô hệ biểu diễn “ô” tích thỏa điều kiện: δq1δq δq f δp1δp δp f ≥ ( πh) f tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg Vậy, hệ N hạt chẳng hạn, trạng thái tương ứng với ô không gian pha tích (2 πh )3N = h 3N I.A.4 Mật độ trạng thái Xét trường hợp lượng E hệ vó mô có phổ liên tục Ta chia lượng E phần nhỏ δE cho δE chứa số lớn trạng thái vi mô khả dó Gọi Ω( E) số trạng thái vi mô khả dó có lượng khoảng E E + δE Khi δE đủ nhỏ mà Ω( E) viết: Ω( E) = ρ( E).δE , (I.6) (với δE đủ nhỏ, ta giữ lại số hạng đầu) ρ( E) độc lập với độ lớn δE , ρ( E) gọi mật độ trạng thái, thực chất theo công thức trên, ρ( E ) số trạng thái vi mô có đơn vị lượng I.A.5 Sự phụ thuộc số trạng thái vi mô khả dó theo lượng Xét trường hợp khối khí gồm N phân tử giống chứa bình tích V Năng lượng toàn phần khối khí E = K + U + E int , đó, K động chuyển động tịnh tiến phân tử khí tính theo động lượng pi khối tâm phân tử; K phụ thuộc động lượng này: r r r Nr K = K ( p1 , p , , p N ) = ∑ pi 2m i =1 r r r Đại lượng U = U( r1 , r2 , , rN ) biểu thị tương tác phân tử, phụ thuộc khoảng cách tương đối phân tử, tức phụ thuộc vào vị trí khối tâm phân tử Cuối phân tử đơn nguyên tử, nguyên tử phân tử quay dao động khối tâm, chuyển động nội đặc trưng tọa độ nội Q1, Q2, …, QM động lượng nội P1, P2, …, PM Như vậy, Eint lượng chuyển động nội phụ thuộc vào Qi Pi (nếu phân tử đơn nguyên tử Eint = 0) Trường hợp đặc biệt đơn giản U ≅ : tương tác phân tử nhỏ so với số hạng khác, bỏ qua Khi đó, ta có hệ khí lý tưởng Trường hợp xảy mật độ phân tử N/V nhỏ làm cho khoảng cách trung bình phân tử trở nên lớn Giả sử ta xét khối khí lý tưởng giới hạn cổ điển Khi này, số trạng thái vi mô khả dó Ω( E) có lượng khoảng ( E , E + δE ) số điểm pha không gian pha giới hạn E E + δE : E + δE r r r r r r r d ri = dx i dy i dz i đó: Ω ( E ) ∝ ∫ ∫ d r1d r2 d rN dp1dp dp N dQ1dQ dQ M dP1dP2 dPM , E r dp i = dp ix dp iy dp iz r Vì ∫ d ri = V neân: Ω( E) ∝ V N Ω1 ( E) , (I.7a) với: Ω i ( E) ∝ E + δE r r r ∫ ∫ dp1dp dp N dQ1dQ dQ M dP1dP2 dPM độc lập V E Hơn nữa, trường hợp khí đơn nguyên tử: Eint = 0, N E= ∑ ∑ p iα , m i =1 α=1 gồm 3N = f số hạng toàn phương Vậy không gian f-chiều động lượng, phương trình E = const biểu diễn mặt cầu bán kính R ( E) = (2mE)1 / Số trạng thái số điểm pha nằm hai mặt cầu có bán kính R(E) R(E+δE) Mà số trạng thái Φ chứa khối cầu bán kính R(E) tính: Φ( E) ∝ R f = (2mE) f / , neân ∂Φ Ω( E) = Φ( E + δE) − Φ( E) = dE ∂E Vaäy: Ω( E) ∝ E f 2−1 = E 3N 2−1 ≅ E 3N Phối hợp kết với (I.7a), ta có: Ω( E ) = AV N E 3N , (I.7b) với N có độ lớn khoảng số Avogadro Tức Ω( E ) tăng nhanh theo N Tổng quát trường hợp đặc biệt trên, ta chứng minh rằng: (I.7c) Ω( E ) ∝ E f Tức số trạng thái vi mô khả dó hàm tăng nhanh theo lượng, tính chất quan trọng học thống kê hệ vó mô Chú ý công thức (I.7c) trên, điều ta cần ý độ lớn giá trị xác Ω( E) , đó, ta không quan tâm đến số mũ E f số hạng độ lớn với f I.B Phương pháp thống kê cho hệ vó mô I.B.1 Hàm phân bố thống kê Trước đưa vào định nghóa hàm phân bố thống kê, ta nhắc lại ngắn gọn vài khái niệm lý thuyết xác suất: Một biến cố gọi ngẫu nhiên ta đủ thông tin để biết trước kết Kết biến cố gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ: Kết việc ném xúc sắc, hoặc: Vận tốc phân tử khí sau lần va chạm với phân tử khác biến ngẫu nhiên ฀ Gọi tập hợp biến cố {em; m = 1, 2, …}, gọi Nm số lần biến cố em xuất sau N phép thử đồng (tức phép thử thực điều kiện giống nhau) Xác suất biến cố em định nghóa là: Nm , , N →∞ N Pm = lim Nm gọi số biến cố thuận lợi Vì Nm , N ≥ Nm ≤ N, ta có tính chất Pm: ≤ Pm ≤ Trong đó, Pm = cho ta biến cố chắn Pm = biến cố bất khả (không thể xảy ra) Trường hợp biến ngẫu nhiên có giá trị thực, liên tục khoảng (x1, x2) với x giá trị khoảng này: x ∈ (x1,x2), Δx gia số x, ta gọi ΔN(x) số lần biến cố cho ta kết khoảng (x, x+Δx), xác suất để điều xảy laø: ΔN ( x ) ΔP( x ) = lim , (I.8) N →∞ N Khi đó, tồn hàm số thực ρ(x) cho: ΔP( x ) , (I.9) ρ( x ) = lim Δx → Δx hàm ρ(x) gọi mật độ xác suất, hay hàm phân bố thống kê tính x ΔP(x) + O + x1 x + x+Δx + + Δx x2 H.I.7 Ta viết biểu thức xác suất nguyên tố là: dP( x ) = ρ( x ).dx (I.10) (Ta hiểu ta khai triển Taylor dP(x) theo dx chi giữ lại số hạng đầu) Trong trường hợp ta có ba biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập ( x, y, z ), ta có hàm phân bố thống kê hàm theo (x, y, z): ρ(x, y, z) Xác suất nguyên tố để x, y, z khoảng (x, x+dx), (y, y+dy), (z, z+dz) viết: dP( x , y, z ) = ρ( x , y, z ).dxdydz (I.11a) Ta viết ngắn gọn hơn: r r r dP( r ) = ρ( r ).d r , (I.11b) r r r r r đó, r = x i + y j + zk , d r = dxdydz vectơ tọa độ thể tích nguyên tố không gian ba chiều qui hệ trục tọa độ Descartes • Cộng xác suất: Nếu hai biến cố e1 e2 hai biến cố xung khắc (không thể xảy đồng thời), xác suất để e1 e2 xảy (I.12) P( e1 hoaëc e2 ) = P( e1 ) + P( e2 ), với P( e1 ) P( e2 ) xác suất để xảy e1 xác suất để xảy e2 Từ công thức (I.12) trên, ta suy điều kiện chuẩn hóa: (I.13) ∑ Pm = , m biến ngẫu nhiên liên tục, xác suất để x khoảng (a, b) để (x, y, z)∈D vieát: P (a ≤ x ≤ b) = r P( r ∈ D ) = b ∫ ρ ( x ) dx a r r ∫ ρ ( r ) d r (I.14a) (I.14b) D • Nhân xác suất: Khi hai biến cố e1 e2 độc lập (tức việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố khác), xác xuất để e1 e2 xảy đồng thời là: P( e1 vaø e2 ) = P( e1 ).P( e2 ) (I.15) Khi hai biến liên tục, độc lập x y có hàm phân bố thống kê ρ(x) ρ(y), xác suất nguyên tố để ta có đồng thời x∈(x, x+dx) y∈(y, y+dy) dP( x , y ) = dP1 ( x ).dP2 ( y) = ρ1 ( x )dx.ρ ( y)dy = ρ1 ( x ).ρ ( y ).dxdy, dP1(x) dP2(y) xác suất nguyên tố để x∈(x, x+dx) y∈(y, y+dy) Vậy, ta định nghóa hàm phân bố thống kê hai biến (x,y): ρ( x, y ) = ρ1 ( x ).ρ ( y ) , (I.16) để có dP( x, y) = ρ( x, y).dxdy (I.17) Một trường hợp quan trọng mà ta thường gặp phải tính ρ(x) biết ρ(x, y) Khi đó, ta sử dụng tính chất sau: (I.18a) dP1 (x) = ρ1 (x)dx = ∫ ρ(x, y).dxdy Dy ⇒ ρ( x ) = ∫ ρ( x, y).dy Dy Ví dụ 1: Hàm phân bố thống kê tọa độ cực (r, ϕ) Vì dP( x, y) = ρ( x, y).dxdy → dP( r, ϕ) = ρ( r, ϕ).dσ (I.18b) ∞ ε / dε J = − α′ ∫ − eβ( ε − μ ) (IX.26) So sánh biểu thức với (IX.23), ta thấy: J=− E (IX.27) c) Áp suất Để tìm công thức tổng quát tính áp suất hệ khí Fermi, ta xét hệ S phần hợp hai hệ nhỏ S S 2: S = S ∪S Vì lớn đại lượng cộng tính nên gọi J lớn S J1, J2 lớn S 1, S 2, ta có J = J1 + J Do đó, ta tích V’ hệ phân làm α phần nhỏ, phần tích V, ta có J (T, μ, V ′) ≡ J (T, μ, αV) = αJ (T, μ, V) Vaäy ∂J (T, μ, V ′) ∂ (IX.28) = [αJ (T, μ, V )] = J (T, μ, V ) ∂α ∂α Mặt khác, ta có ∂J (T, μ, V ′) ∂J (T, μ, V ′) ∂V ′ ∂J (T, μ, V ′) = = V′ ∂α ∂V ′ ∂α ∂V ′ Nhưng ta biết áp suất tắc lớn tính theo công thức: ∂J (T, μ, V ′) , p=− ∂V ′ neân ∂J (T, μ, V ′) (IX.29) = − pV ∂α So saùnh (IX.28) với (IX.29), ta có: p=− J V (IX.30a) Vậy, từ hệ thức tính lớn theo lượng (IX.27), ta có p= 2E 3V (IX.30b) cho phép tính áp suất hệ lượng hệ xác định d) Giới hạn cổ điển hệ khí Fermi Cần nhớ hiệu ứng lượng tử hệ hạt fermion biểu rõ nhiệt độ thấp, với điều kiện nhiệt độ cao, ta phải tìm lại kết hệ khí cổ điển Thật vậy, trường hợp e β( ε −μ ) >> với giá trị ε > 0, từ công thức (IX.21) tính số hạt hệ: +∞ N = α′ ∫ ε0 ta có được: ε1 / dε eβ ( ε − μ ) + , +∞ +∞ ε0 ε0 N = α′ ∫ eμβ ε1 / e −βε dε = α′eμβ ∫ ε1 / e −βε dε (IX.31) Ta giả sử phép tính có độ xác đủ lớn với ε0 = Khi này, cách đặt biến số phụ: y = (βε ) , tích phân biểu thức tính: I= +∞ / − βε ∫ ε e dε = ε0 +∞ β 3/ ∫ y e − y dy ε0 Sử dụng tích phân Poisson, ta có π I = 3/ β Vaäy N= α′eμβ π 2β / Công thức cho phép ta tính hóa học: 2β / , (IX.32a) eμβ = N α′ π 3/ ⎡V ⎛ m ⎞ ⎤ μ = − kT ln ⎢ ( 2s + 1)⎜ (IX.32b) ⎟ ⎥ ⎝ 2πh ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ N g = 2s+1 cách thay giá trị α’ từ công thức (IX.19a), với Tương tự trên, ta tính lượng E từ công thức (IX.23): +∞ E = α′eμβ ∫ ε / e −βε dε (IX.33) Caùc công thức tích phân Poisson cho: +∞ / − βε ∫ ε e dε = E= +∞ β 5/ πα′e ∫ βμ 4β5 / 2 y e − y dy = β 5/ π (IX.34) Sử dụng hệ thức (IX.34a) e βμ , ta coù π 2β / N E = / α′.N , = πα′ β 4β tức NkT , kết mà ta biết học thống kê cổ điển E= (IX.35) Đồng thời, từ hệ thức tổng quát (IX.30b) tính áp suất p theo E: p = trình trạng thái khí lí tưởng: pV = NkT (IX.36) 2E , ta suy lại phương 3V IX.B Khí Fermi lí tưởng nhiệt độ thấp Ta thấy trường hợp nhiệt độ cao, thống kê Fermi-Dirac trở thành thống kê Maxwell-Boltzmann, tức trở thành khí lí tưởng cổ điển, mà ta tìm lại kết trùng hợp với kết có với học thống kê cổ điển Để thấy rõ hiệu ứng lượng tử, ta cần xét hệ khí nhiệt độ thấp Đầu tiên , ta xét trường hợp giới hạn nhiệt độ tuyệt đối nhỏ, xem không, sau xét trường hợp nhiệt độ thấp IX.B.1 Khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến a) Mức lượng Fermi Ta xét trường hợp nhiệt độ đủ thấp (β đủ lớn) để xem thừa số Fermi e β( ε −μ ) → +∞ ε > μ , e β( ε −μ ) → −∞ ε < μ , tức số hạt trung bình trạng thái (λ) tính: N λ → + neáu ε > μ , Nλ →1 ε < μ Khi đường biểu diễn N λ ( ε) theo lượng ε có dạng bậc thang giá trị ε = μ Giá trị đặc biệt hóa học, hàm N λ ( ε) gián đoạn, gọi mức Fermi Vậy, mức Fermi định nghóa hóa học nhiệt độ không tuyệt đối Và này, hệ khí Fermi gọi khí Fermi hoàn toàn suy biến Ýù nghóa vật lí tượng hiểu nhiệt độ không, tất mức lượng nhỏ ε F = μ bị chiếm, tất mức lượng lớn ε F bỏ trống Và nhiệt độ tăng lên số hạt bắt đầu chiếm mức lượng lớn mức Fermi Vậy, số hạt tổng cộng hệ tính theo công thức (IX.19b): ∞ μ0 μ0 0 N = ∫ NdΩ( ε) = ∫ dΩ(ε) = α′ ∫ ε 1/ dε (IX.37a) Tích phân vế phải phương trình tính dễ dàng cho N = α′μ 30 / (IX.37b) Từ công thức tính α’ (IX.19a), ta có công thức tính mức Fermi: 2/3 h ⎛⎜ 6π N ⎞⎟ 2m ⎜ 2s + V ⎟ Ta thường dùng⎝công thức ⎠sau: μ0 = (IX.38) 1/ ⎛ 6π N ⎞ KF = ⎜ ⎟ , ⎜ 2s + V ⎟ ⎝ ⎠ đó, KF vectơ sóng Fermi định nghóa (IX.39a) μ0 = h K 2F 2m (IX.39b) Chú thích: r Ta hiểu khái niệm vectơ sóng K sau: Xét hạt chuyển động tự (không tương tác với hạt khác) thể tích V Đầu tiên, ta không xét đến tác dụng trường Giả sử hạt phi tương đối tính có khối lượng m r r động lượng p Khi này, hàm sóng Ψ ( r , t ) hạt phải có dạng sóng phẳng: rr r r Ψ ( r , t ) = Ae i( Kr − ωt ) = Ψ ( r ).e −iωt (IX.40) r truyền theo phương vectơ sóng K có biên độ A Năng lượng ε hạt liên hệ với tần số góc ω qua biểu thức: ε = hω (IX.41) r Thật vậy, hàm sóng Ψ ( r , t ) phải thỏa phương trình Schrưdinger: ∂Ψ ˆ = HΨ ih (IX.42) ∂t ˆ liên hệ đến Vì ta xem thể tích V không, toán tử Hamilton H động hạt: ˆ = pˆ = ( − ih∇ ) = − h Δ , (IX.43) H 2m 2m 2m với ∂2 ∂2 ∂2 Δ = ∇2 = + + (IX.44) ∂x ∂y ∂z Đặt r Ψ( r , t ) = Ψe −iωt = Ψe −(i h)εt (IX.45) đó, Ψ không phụ thuộc thời gian t Khi đó, phương trình Schrưdinger (IX.42) cho ta phương trình Schrưdinger không phụ thuộc thời gian: ˆ Ψ = εΨ , H (IX.46) hay mε ΔΨ + Ψ = (IX.47) h Phương trình (IX.46) chứng tỏ đại lượng ε tương ứng với giá trị riêng có ˆ H đó, lượng hạt Phương trình (IX.47) có nghiệm tổng quát: i( K x + K y + K z ) rr y z Ψ = Ae x = Ae iK r , (IX.48) r với K vectơ (có thành phần Kx, Ky Kz) gọi vectơ sóng Thay (IX.48) vào (IX.47), ta thấy (IX.47) thỏa nếu: mε − ( K 2x + K 2y + K 2z ) + = h tức là: h2K2 ε= (IX.49) 2m Bởi r pˆΨ = −ih∇Ψ = hKΨ , ta coù r (IX.50) pˆ = hK r Toùm lại, hạt tự có lượng ε động lượng p tương ứng với sóng phẳng có tần r r số góc ω vectơ sóng K liên hệ với ε p qua hệ thức Planck-Einstein sau: ε = hω r pˆ = hK , tức h2K2 p2 ε= = (IX.51) 2m 2m Chính hệ thức cho phép ta định nghóa vectơ sóng Fermi biểu thức (IX.39a) r Theo nhận xét mức Fermi μ , ta thấy không gian K , vectơ sóng có độ lớn nhỏ KF tương ứng với tất trạng thái riêng lẻ bị chiếm đóng nhiệt độ T = 0, r vectơ sóng có độ lớn lớn KF tương ứng với trạng thái trống Vậy, không gian K này, ta vẽ mặt cầu bán kính KF, mặt cầu phân chia trạng thái bị chiếm với trạng thái trống Hình cầu bán kính KF gọi hình cầu Fermi Động lượng Fermi, đương nhiên định nghóa: p F = hK F Từ định nghóa mức Fermi μ , ta định nghóa nhiệt độ Fermi TF (hay nhiệt độ suy biến) hệ thức: kTF = μ (IX.52) Ta thấy phép tính gần nhiệt độ không tuyệt đối nghiệm nhiệt độ hệ nhỏ nhiệt độ Fermi: (IX.53) T a ) IX.C.2 Các đại lượng đặc trưng Gọi ZV số electron hóa trị nguyên tử kim loại, số electron trở thành electron dẫn tạo thành hệ khí Fermi Gọi A khối lượng nguyên tử ρ khối lượng riêng kim loại, vậy, đơn vị thể tích có chứa ρ/A mol Mỗi mol lại có N A = 6,02.10 23 nguyên tử nguyên tử cung cấp ZV electron dẫn nên mật độ electron ρ (IX.69) n = ZV N A A Độ lớn n vào khoảng 1023 cm-3 (xem bảng IX.1), tức khoảng 1000 lần lớn mật độ khí cổ điển điều kiện thông thường Nguyên tố Li Na K Cu Ag Au Mg Fe Al Pb ZV n (10 cm-3) 4,7 2,6 1,4 8,5 5,8 5,9 8,6 17,0 18,1 13,2 22 1 1 1 2 rs (Å) 1,7 2,1 2,6 1,4 1,6 1,6 1,4 1,1 1,1 1,2 vF (10 cm/s) 1,3 1,1 0,9 1,6 1,4 1,4 1,6 2,0 2,0 1,8 μ0 (eV) 4,7 3,2 2,1 7,0 5,5 5,5 7,1 11,1 11,7 9,5 TF (104 K) 5,5 3,8 2,5 8,2 6,4 6,4 8,2 13,0 13,6 11,0 Baûng IX.1 (B.Diu et al) Trong bảng trên, ta thấy có nêu đại lượng rs, định nghóa bán kính khối cầu chứa trung bình electron, tức tích 1/n: 1/ ⎛ ⎞ (IX.70) rs = ⎜ ⎟ ⎝ πn ⎠ Độ lớn rs hệ khí electron kim loại vào khoảng vài Å Đại lượng vF vận tốc Fermi, tức vận tốc electron có lượng Fermi tính bởi: hK F , (IX.71) vF = me có độ lớn đáng kể, khoảng 1% vận tốc ánh sáng chân không Các giá trị mức Fermi nhiệt độ Fermi tính theo công thức: h K 2F , (IX.72) μ0 = 2m e vaø μ h K 2F TF = = k 2km e (IX.73) Ta thấy kim loại, TF có giá trị nhỏ vào khoảng 104 Tức nhiệt độ T thông thường, ta có T > ⇔ ln⎜1 + ⎟ ≅ = eβ(μ − ε x ) ⎝ A⎠ A Vậy, phương trình (IX.94) trở thành J sat = J sat 4πemkT +∞ ∫e β (μ − ε x ) dε x h −W ∞ πemkT = − e β (μ − ε x ) − W β h [ J sat = 4πemk h (IX.97) ] T e β(μ + W ) (IX.98) Nhưng − W = μ0 + Φ , (IX.99) với Φ công thoát, nên ta có J sat = 4πemk h T 2e − Φ kT (IX.100) Công thức chứng tỏ mật độ dòng điện tích bão hòa Jsat tỉ lệ với T 2e − Φ kT Đó nội dung định luật Richardson-Dushman tượng nhiệt ion BÀI TẬP BT IX.1 Chứng minh đường biểu diễn hàm Fermi theo lượng ε với tham số T μ: N ( ε, T, μ) = e β ( ε −μ ) + nhận điểm I(μ,1 / 2) làm tâm đối xứng BT IX.2 Hãy chứng minh hệ thức (IX.10): S = − k ∑ [(1 − N λ ) ln(1 − N λ ) + N λ ln N λ ] (λ ) cho entropi cuûa phân bố tắc lớn BT IX.3 Hãy chứng minh hệ thức (IX.64 67) cho hóa học lượng khí Fermi suy biến: ⎡ π ⎛ kT ⎞ ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ + O(T )⎥ 1) μ = μ ⎢1 − ⎢ 12 ⎝ μ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ ⎤ 3 5π ⎛ kT ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + O(T )⎥ , với E = Nμ 2) E = Nμ ⎢1 + 12 ⎝ μ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r BT IX.4 Biết lượng hạt tương đối tính có khối lượng tónh m0 động lượng p tính: ε = c m 02 c + p r Xét trường hợp vận tốc hạt lớn: p >> m c (chuyển động siêu tương đối tính) Hãy tính: Mức lượng Fermi μ = ε F lượng toàn phần E0 hệ khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến BT IX.5 Xét electron dẫn đồng xem hệ khí Fermi lí tưởng hoàn toàn suy biến 1) Dùng công thức tính số trạng thái dΩ( p) có độ lớn động lượng khoảng (p, p+dp) để tính trực tiếp động lượng Fermi pF Suy công thức tính mức Fermi μ = ε F 2) Các định giá trị số μ = ε F electron dẫn đồng Cho biết khối lượng riêng đồng ρ = × 10 kg / m Khối lượng nguyên tử đồng 63,6 g/mol, nguyên tử đồng cho electron dẫn Cho biết: h = 6,62 × 10 −34 J.s, k = 1,38 × 10 −23 J/K 3) Giải thích nhiệt độ 103 K, thống kê Maxwell-Boltzmann áp dụng cho electron dẫn đồng, ta giả sử mức Fermi μ = ε F không thay đổi theo nhiệt độ VẤN ĐỀ IX.A Áp dụng thống kê Fermi-Dirac vật lý thiên văn: tính áp suất lượng tử lùn trắng (Đề thi học kỳ môn Vật lý Thống kê, Lý 4, năm học 2000-2001) N ≈ 1.5 × 1030 cm − V khí gồm ion với mật độ hạt có độ lớn tương đương Nhiệt độ vào khoảng T ≈ 107 K Do mật Sao lùn trắng (LT) gồm hai khí xem tách biệt nhau: khí électron có mật độ hạt độ hạt có độ lớn đáng kể trên, áp suất lực hấp dẫn có khuynh hướng làm cho thể tích co rút lại lớn Những nghiên cứu gần cho thấy áp suất cân với áp suất lượng tử khí électron tạo nên làm cho LT bền vững (S Chandrasekhar, giải Nobel Vật lý 1983) Trong phần sau, ta xét mô hình đơn giản LT nhằm giải thích bền vững Ta để ý đến khí électron, với spin électron s = A/ Khí electron hoàn toàn suy biến LT Giả sử hệ khí électron khí lý tưởng có phổ lượng liên tục 1/ Chứng minh số trạng thái tương ứng với độ lớn động lượng électron khoảng p p+dp dΩ ( p ) = πVg h p dp (*), với g = 2s + bậc suy biến électron h số Planck 2/ Xét trường hợp électron hạt phi tương đối tính có khối lượng m a/ Từ (*), suy số trạng thái tương ứng với lượng có giá trị khoảng ε vaø ε + dε laø: dΩ( ε) = πVg h (2m )3 / ε1 / 2dε b/ Từ công thức tính số hạt toàn phần N hệ khí Fermi, tìm lại biểu thức sau cho nhiệt độ Fermi: h2 ⎛ N ⎞ TF = ⎟ ⎜ 3π mk ⎝ V⎠ 2/3 , m = 9.1 × 10 −31 kg h = 1.06 × 10 −34 J.s Hãy tính giá trị số TF 3/ Xét trường hợp électron hạt siêu tương đối tính, nghóa động lượng électron p >> mc , c vận tốc ánh sáng chân không: c = × 108 m / s , đó, lượng électron tính ε = pc Chứng minh nhiệt độ Fermi là: 1/ hc ⎛ N ⎞ ⎟ ⎜ 3π k ⎝ V⎠ Tính giá trị số TF trường hợp TF = Kết luận: từ giá trị TF tính hai trường hợp phi tương đối tính siêu tương đối tính, ta co T / TF > mc F ⎢1 − 12π h p 2F ⎥⎦ ⎢⎣ c 3/ Dùng công thức tính số électron toàn phần N để tính động lượng Fermi p F theo N/V Từ đó, chứng minh rằng: P≈ hc α4 / ⎡ m 2c R ⎤ ⎢1 − 2 / / ⎥ , R ⎢⎣ h π α ⎥⎦ 12π / 9M với α = , M khối lượng xem khối cầu bán kính R, m p khối lượng proton, liên hệ với 8m p số électron N qua hệ thức N = M 2m p Chính áp suất lượng tử P cân với áp suất hấp dẫn PG : P + PG = , để tạo nên bền vững LT Chú ý từ kết trên, ta tìm công thức tiếng giới hạn Chandrasekhar, xác định giai đoạn cuối trình tiến hóa sao; có khối lượng lại (sau cạn hết nhiên liệu cho phản ứng hạt nhân) nhỏ giới hạn Chandrasekhar trở thành LT, vượt giới hạn trở thành neutron hay lỗ đen vũ trụ ... MÔ TẢ THỐNG KÊ HỆ VĨ MÔ IA IB IC ID Những trạng thái vi mô khả dó Phương pháp thống kê cho hệ vó mô Tập hợp thống kê Nguyên lý ergodic Entropi thống kê lý thuyết thông tin Vật lý thống kê có... viết xuất phát từ giáo trình vật lý thống kê giảng cho lớp sinh viên năm thứ tư khoa Vật lý, trường ĐHSP TP.HCM từ vài năm qua Tuy soạn theo tinh thần chương trình hành khoa Vật lý, trường ĐHSP... học thống kê, với học lượng tử lý thuyết tương đối, tạo nên trụ cột vật lý đại Cuốn sách xây dựng tinh thần Một cách tóm tắt vật lý thống kê hiểu môn học khảo sát tính chất vó mô hệ vật lý xuất