§Ò thi häc sinh giái huyÖn Trêng THCS Yªn th¸I §Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n 9 Thêi gian 120 phót Bµi 1 (2®iÓm) 1) Cho ®êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4 §êng th¼ng d/ ®èi xøng víi ®êng th¼ng[.]
Trờng THCS Yên tháI Đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Thời gian 120 phút Bài 1: (2điểm) 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là: A.y = x+2; B.y = x - ; C.y = x-2; D.y = - 2x - H·y chän c©u trả lời 2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình lại bình Tỉ số bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C ; D kết khác Bìa2: (3 điểm) 1) (1,5điểm) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + =0 2) (1,5®iĨm) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = + Bài 3: ( điểm ) 1) (1,5điểm) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thøc : (x + a)(x - 4) - Ph©n tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) (1,5điểm) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, ®iĨm M di ®éng góc xAy cho = Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: (2điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vuông góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN b) Chøng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai ®iĨm cè ®Þnh ( Trêng thcs yên thái Hớng dẫn chấm thang điểm toán Bài 1: (2điểm) 1) Chọn C Trả lời điểm) 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: (1 điểm) (1 Bài : Câu1) (1,5điểm) A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) (0,5 ®iĨm) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) (0,75 ®iĨm = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 (0,25 ®iĨm) VËy A chia hÕt cho sè phơng khác với số nguyên dơng n (0,25 điểm) Câu 2) (1,5điểm) Do A > nên A lín nhÊt A2 lín nhÊt (0,25 ®iĨm) XÐt A2 = ( + )2 = x + y + =1+2 (1) (0,25 ®iĨm) Ta cã: ®iĨm) ®iĨm) => > (Bất đẳng thức Cô si) (0,25 (2) (0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + (0,25 ®iĨm) Max A2 = x = y = = = => MD = 2MD (0,25 ®iĨm) XÐt ba ®iĨm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC điểm) Dấu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC điểm) (0,25 (0,25 * Cách dựng điểm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính - Dựng D tia Ax cho AD = AB AB (0,25 điểm) M giao điểm DC đờng tròn (A; Bài 4: (2điểm) N (0,25điểm) (0,25điểm) AB) a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung ®iĨm cđa MN (0,25®iĨm) (0,25®iĨm) A (0,25®iĨm) (0,25®iĨm) (0,25®iĨm) D (0,25điểm) b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) B Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố ®Þnh