SỞ GD & ĐT NGHỆAN
KỲ THI CHỌN HỌCSINHGIỎITỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - BT THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (5,0 điểm).
1. Cho hàm số
4 2
y x mx m
, với
m
là tham số.
Tìm các giá trị của
m
để hàm số có ba điểm cực trị.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f x x 1 x
trên đoạn
0;1
.
Câu II (5,0 điểm).
1. Giải bất phương trình
2
2x 5x 3 x 1 x
.
2. Giải hệ phương trình
2 2
x y 4xy 3
x,y
x y xy 1
.
Câu III (5,0 điểm).
1. Tìm hệ số của
15
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
5
2
1
x , x 0
x
.
Biết
0 1 n 1 n
n n n n
C C C C 1024
(với
*
n
,
k
n
C
là số các tổ hợp chập
k
của
n
)
2. Giải phương trình :
2sin x 1 sin x 2cosx sin2x cosx
.
Câu IV (5,0 điểm).
Cho hình chóp
S.ABC
có đường cao
SA
, đáy là tam giác vuông tại
B
. Gọi
B'
là hình
chiếu vuông góc của điểm
A
lên đường thẳng
SB
. Qua điểm
B'
kẻ đường thẳng song song
với đường thẳng
BC
cắt
SC
tại
C'
.
1. Chứng minh rằng:
SB
vuông góc với mặt phẳng
AB'C'
.
2. Tính theo
a
thể tích khối chóp
S.AB'C'
, biết
SA AB a
và
BC 2a
.
- - Hết - -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đ
ề thi chính thức
1
SỞ GD& ĐT NGHỆAN
KỲ THI CHỌN HỌCSINHGIỎITỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - BT THPT
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu Nội dung Điểm
I.
1,
(2,5đ)
TXĐ:
D
Ta có
3
y' 4x 2mx
0,5
3 2
y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0
0,5
2
x 0
2x m 0 1
0,5
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
1
có hai nghiệm
phân biệt khác
0
0,5
m 0
m 0
m 0
. Vậy giá trị cần tìm là:
m 0
0,5
I.
2,
(2,5đ)
Hàm số
2
f x x 1 x
liên tục trên đoạn
0;1
Ta có
2 2
2
2 2
x 1 2x
f ' x 1 x
1 x 1 x
0,5
2
2
2
1 2x
f ' x 0 0 1 2x 0
1 x
0,5
2
x 0;1
2
2
x 0;1
2
0,5
Ta có
2 1
f 0 0, f 1 0, f
2 2
0,5
Vậy
0;1
Minf x f 0 f 1 0
,
0;1
2 1
Maxf x f
2 2
0,5
II.
1,
(2,5đ)
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
x 1 0
1
2x 5x 3 0
x 1 0
2
2x 5x 3 x 1
0,5
2
Hệ BPT
x 1
x 1
1 x 1
3
x
2
0,5
Hệ BPT
2
x 1
2
x 3x 2 0
0,5
x 1
x 2
x 1
x 2
0,5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S ;1 2;
0,5
II.
2,
(2,5đ)
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
x y 6xy 3
x y xy 1
0,5
2
x y 6xy 3 0
xy x y 1
0,5
2
x y 3
x y 6 x y 9 0
xy 2
xy x y 1
0,5
x 1
y 2
x 2
y 1
0,5
Vậy nghiệm
x; y
của hệ phương trình đã cho là:
1; 2 , 2;1
0,5
III.
1,
(2,5đ)
Ta có
n
0 1 n 1 n
n n n n
1 1 C C C C
0 1 n 1 n n
n n n n
C C C C 2
0,5
Từ giả thiết ta suy ra
n n 10
2 1024 2 2 n 10
0,5
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của
10
5
2
1
x
x
là
2 10 k
k 5k k 7k 20
10 10
C .x .x C .x
0,5
Suy ra
15
x
ứng với
7k 20 15 k 5
0,5
Vậy hệ số của
15
x
là
5
10
C 252
0,5
III.
2,
(2,5đ)
PT
2sin x 1 sinx+2cosx 2sinxcosx cosx
0,5
2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0
0,5
2sinx 1 0 (1)
2sin x 1 sinx+cosx 0
sinx+cosx=0 (2)
0,5
3
x k2
1
6
PT 1 sinx= k
52
x k2
6
0,5
PT 2 2sin x+ 0 x+ k x= k k
4 4 4
Vậy nghiệm của phương trình là
5
x k2 , x k2 , x k k
6 6 4
0,5
IV.
1,
(2,5đ)
Ta có
SA ABC SA BC (1)
Mặt khác
BC AB (2)
0,5
Từ
1
và
2
suy ra
BC SAB
0,5
Do đó
BC SB B'C' SB 3
(vì
B'C'//BC
)
0,5
Theo giả thiết ta có
SB AB' (4)
0,5
Từ
3
và
4
suy ra
SB AB'C'
0,5
IV.
2,
(2,5đ)
Ta thấy tam giác
SAB
cân tại
A
suy ra
B'
là trung điểm của
SB
, do đó
1
SB' SB
2
0,5
2 2
a 2
SB SA AB a 2 SB'
2
Vì
SAB
vuông tại
A
nên ta có
a 2
AB' SB'
2
0,5
Do
BC SAB B'C' SAB B'C' AB'
0,5
Ta có
B'C'
là đường trung bình của tam giác
SBC
suy ra
1
B'C' BC a
2
0,5
Thể tích của khối chóp
S.AB'C'
là
3
1 a
V SB'.AB'.B'C'
6 12
.
0,5
Hết
Chú ý: - Họcsinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
B’
B
A
C
C’
S
. GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đ ề thi chính thức 1 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT. khối chóp S.AB'C' là 3 1 a V SB'.AB'.B'C' 6 12 . 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không