QUY NẠP TOÁN HỌC “tailieumontoan com” Date Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n p≥ ta làm như sau 1) Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p 2) Giả sử mệnh đề đúng mới n = k (Giải thiết quy nạp) 3)[.]
QUY NẠP TOÁN HỌC “tailieumontoan.com” II Bài tâp Date I Lý Thuyêt Dạng 1: Chứng minh đẳng thức ❗ Cơ sở phương pháp Bài Chứng minh Để kiểm tra mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p ta làm sau: n (n + ) + + + + + + n = với số tự nhiên n ≥ 1) Kiểm tra mệnh đề với n = p Lời giài 2) Giả sử mệnh đề n = k n (n + ) (Giải thiết quy nạp) 3) Chứng minh mệnh đề với n = k + Nhận xét: Trong việc chứng minh phương pháp quy nạp bạn cần khai thác triệt để giả thiết quy nạp (là mệnh đề n = k), tức q trình giải tốn bước chứng minh n = k + bạn phải biến đổi xuất giả thiết quy nạp + + + + + + n = (1) Bước 1: Với n = ta có: VT = VP = ⇒ ( ) với n =1 Bước 2: Giả sử (1) với k, k ∈ , k ≥ tức là: k (k + 1) + + + + + + k = Ta phải chứng minh (1) với k + tức là: + + + + + + k + ( k + ) = (k + ) (k + ) + 1 (k + )(k + ) = Ta có ( ) + + + + + + k + ( k + ) = ( + + + + k ) + k + = = Hiệu ứng đô mi nô hình ảnh biểu diễn trực quan cho phương pháp quy nạp toán học k + 3k + 2 = k (k + 1) (k + )(k + 2=) 2 +k +1 ( ) ⇒ dpcm Vậy đẳng thức cho với n ≥ Bài Chứng minh với n ∈ N * + + + + ( 2n − ) = n2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ (2) Lời giải Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ , ta có bất đẳng thức: 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > 2n − 2n 24 n +1 n +2 Với n = 1: mệnh đề (2) trở thành: 1=1 = (đúng) Giả sử mệnh đề (2) n= k ≥ 1, tức là: S k = + + + + ( 2n − ) = k (giải thiết quy nạp) Cần chứng minh mệnh đề (2) với n = k + 1, tức cần chứng minh: S k + = + + + ( 2n − ) + 2 ( k + ) − = ( k + ) Thật vậy: S k + = S k + 2 ( k + ) − = k + 2k + = (k + 1) Vậy mệnh đề (2) với n ∈ N * Như n + số nguyên tố n = Bài Chứng minh với n ∈ N * n ( 3n + ) + + + + ( 3n − ) = (3 ) Lời giải Giả sử mệnh đề (3) n= k ≥ 1, tức là: k ( 3k + ) (giải thiết quy nạp) Cần chứng minh mệnh đề (3) với n = k + 1, tức cần chứng minh: S k + = + + + + ( 3k − ) + 3 ( k + ) − = (k + ) 3 (k + ) + 1 S k + = S k + 3 ( k + ) − = = Giả sử bất đẳng thức với : n= k ≥ , tức : 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > k +1 k +2 2k − 2k 24 Cần chứng minh bất đẳng thức với n= k + , tức : 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > k +2 k +3 2k + 2k + 24 1 k + + k + + ⋅ ⋅ ⋅ + k + + 2k + 1 − + + ⋅⋅⋅ + + 2k − 2k k +1 k +2 1 1 = + − = >0 2k + 2k + k + ( k + )( 2k + ) 1 1 + + ⋅⋅⋅ + + k + 2k + k +2 k +3 1 1 13 > + + ⋅⋅⋅ + + > 2k − 2k 24 k +1 k +2 ⇒ Vậy với n ≥ , ta có : Thật vậy: k ( 3k + ) (k + 1) k 3k + 7k + = 2 (k + ) 3 (k + ) + 1 n =2 Thật vậy, xét hiệu số: ới n = 1: mệnh đề (3) trở thành: = (đúng) S k = + + + + ( 3k − ) = Lời giải Với n = , ta có VT > VP nên bất đẳng thức với 4 + 3 + 3 ( k + ) − 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > 2n − 2n 24 n +1 n +2 Bài 5.Chứng minh với số tự nhiên n ≥ , ta có bất đẳng thức: 1 1 + + ⋅⋅⋅ + < − n n Vậy mệnh đề (3) với n ∈ N * Lời giải 1 + < − (đúng) nên bất 2 đẳng thức với n = Với n = , ta có Giả sử bất đẳng thức với : n= k ≥ , tức : ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 1 1 + + ⋅⋅⋅ + < − n n ( 1) Cần chứng minh bất đẳng thức với n= k + , tức 1 1 < − : + + ⋅ ⋅ ⋅ + (2) n + 1 (n + ) Thật vậy, từ (1) ta có: 1 + + ⋅⋅⋅ + 2 n 1 1 (đúng) nên bất đẳng Giả sử bất đẳng thức với : n= k ≥ , tức : 1+ + + n > n ( 1) Thật vậy, từ (1) ta có: 1 1 + ⋅⋅⋅ + > n+ 1 + + n n +1 n +1 n (n + ) + = n +1 n +1 n2 + n + > = = n +1 n +1 n +1 ) ( + 7n + 6n + 6n + ( ) ) ( ) Vậy toán chứng minh Bài Chứng minh 4n + 15n − chia hết cho với n ∈ N* Lời giải Với n = ta có: A = 18 chia hết cho 9, tốn với n = Giải sử toán đến n = k với k ≥ 1, k ∈ N tức là: 4k + 15k − 1 k k * hay + 15k − = 9x x ∈ N ⇔ = 9x − 15k + ta cần ) chứng minh toán với n = k + Thật vậy: k +1 + 15 ( k + 1) −= 4.4 k + 15k + 14 = ( 9x − 15k + 1) + 15k + 14 Cần chứng minh bất đẳng thức với n= k + , tức 1 : 1+ + + > n +1 (2) n +1 = n+ ( 2n Do n 2n + chia hết cho với n= k + ( thức với n = ) = 3x + 2n + 2n + = 3y Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ , ta có bất đẳng thức: ) = 2n + 4n + 9n + 2n + 4n + Vậy toán với số tự nhiên n ≥ ( Ta cần chứng minh toán với n= k + Thật ( k + 1) 2 ( k + 1) + = ( n + 1) 2n + 4n + 2 ) k 2k + hay k 2k + 7= 3x x ∈ N* , n2 + n + = n +1 Vậy toán với số tự nhiên n ≥ = 36x − 45k + 18 Do A = 4n + 15n − chia hết cho với n= k + Vậy toán chứng minh Bài Chứng minh 52n + chia hết cho với số nguyên dương n Lời giải 32 (đúng) • Với n = , ta có 52 + = • Giả sử mệnh đề với , tức ta có 52n + Ta cần chứng minh mệnh đề với n + Thật vậy, ta có • ( n +1 ( )= + 25.52n = + 24.52n + 52n + ) Để ý 52n + 24.52n Do ta ( ) + Vậy theo nguyên lý quy nạp ta 52n + chia hết cho với n +1 số nguyên dương n ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ BÀI TÂP VÂN DUNG Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta ln có: n ( n + 1)( n + ) a 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( 2n + 1) b 12 + 2 + 32 + + n2 = n 2n + c + + + + n = − 3 4.3n 3 Bài Cho n số nguyên dương, Chứng minh rằng: = C 7.22 n−2 + 32 n−1 5 (1) Hướng dẫn giải Xét với n = ta có: C = 105 Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k ( k ≥ 1, k ∈ N ), tức = là: Ck 7.22 k −2 + 32 k −1 5 ( 2) Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh: k +1 − 2 k +1 −1 = Ck +1 7.2 ( ) + ( ) 5 Ta có: Ck +1 = 7.22( k +1)−2 + 32( k +1)−1 = 7.22 k + 2−2 + 32.32 k −1 = 4.7.22 k −2 + 9.32 k −1 ( ) =4 7.22 k −2 + 32 k −1 + 5.32 k −1 =4.Ck + 5.32 k −1 5 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta = C 7.22 n−2 + 32 n−1 chia hết cho với số nguyên dương n Bài Chứng minh số tạo 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n ∈ N * Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có: aaa = 111.a , Vậy toán với n = Giả sử toán đến n = k ( k ≥ 1, k ∈ N ), tức là: aa a 3k 3k Ta chứng minh mệnh đề đến n = k + n +1 Thật vậy: aa = = 3 a aa a aa a aa a aa a × 100 0100 01 100 0100 01 3 3k +1 3k 3k 3k 3k 3k −1 3k −1 3k −1 3k −1 Vậy toán chứng minh Bài Chứng minh với số tự nhiên n khác 0, ta có bất đẳng thức : 1 n + + + ⋅⋅⋅ + n > −1 Hướng dẫn giải Khi n = ta có > , tức khẳng định n = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Giả sử bất đẳng thức với n= k ≥ 1, nghĩa ta có : 1 k + + + ⋅⋅⋅ + k > −1 Ta cần phải chứng minh khẳng định với n= k + , tức : k +1 1 > + + + ⋅⋅⋅ + k +1 −1 1 1 1 1 Ta có : + + + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1 = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1 + k + k 3 −1 −1 2 +1 −1 1 k Nhận thấy : k + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1 gồm phân số, tử số 1, mẫu số : +1 −1 2 k k k k +1 , + 1, + 2, , − 1; nhỏ 2k +1 , : 1 1 1 > k +1 , k > k +1 , k +1 > k +1 k 2 +1 2 −1 1 1 k ⇒ k + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1 > ⋅ k +1 = 2 +1 −1 2 1 k 1 Theo giả thiết quy nạp : + k + ⋅⋅⋅ + k > −1 2 +1 k k +1 1 + k + ⋅⋅⋅ + k > + = 2 +1 −1 2 1 n > Vậy với n ≥ , ta có : + + + ⋅⋅⋅ + n −1 Do : Bài Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 2n − ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < 2n 3n + Hướng dẫn giải + Kí hiệu bất đẳng thức cho (*) , với n = , bất đẳng thức trở thành ≤ 3.1 + ⇔ 1 ≤ (đúng) 2 Bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử (*) đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức ta 2k − ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < 2k + Ta cần chứng minh (*) với n= k + , hay 2k − 2k + ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < 2k 2k + 3k + Theo giả thiết quy nạp, ta có 2k − 2k + ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < 2k 2k + 2k + 3k + 2k + ⋅ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 3k + Bất đẳng thức (*) với n= k + 2k + < + 2k 3k + 1 ( ⇔ 2k + 1 ⋅ 3k + ( ⇔ 2k + ) ) ( 3k + ) < (2k + ) ( 3k + 1) ⇔ k > ( 3k + < 2k + 2 ) 3k + (đúng) Do (*) với n= k + , nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức với số nguyên dương n Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có 1 1 + + + + >1 n +1 n +2 n + n + 2n + Hướng dẫn giải + Với n = bất đẳng thức có dạng: 1 13 + + >1⇔ > (đúng) 1+1 1+2 1+ 12 Nên bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức 1 1 + + + + >1 k +1 k +2 k + 3k + + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n= k + , hay S= k Sk += 1 1 + + + + >1 k+2 k+3 k+4 3k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có Sk +1 = Sk + 1 1 Sk + + + − = 3k + 3k + 3k + k + k + 3k + 3k + ( )( )( ) Hay Sk +1 > Sk > Do bất đẳng thức với n= k + , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với số nguyên dương n Bài Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức: 3n > 2n + 7n Hướng dẫn giải Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, ta thấy n = bất đẳng thức Ta chứng minh giá trị cần tìm n n ≥ 4, n ∈ N Tức chứng minh bất đẳng thức sau với n ≥ 4, n ∈ N : 3n > 2n + 7n + Với n = bất đẳng thức trở thành có dạng 34 > 24 + 7.4 ⇔ 81 > 44 (đúng) Nên bất đẳng thức với n = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ) ( + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ tức là: 3k > 2k + 7k ( + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n= k + , hay 3k +1 > 2k +1 + k + ( Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có 3k +1 = 3.3k > 2k + Nhưng với k ≥ ( ) ( ) ) ( ) ) ( 2k + 7k = 2k +1 + 2k + 21k = 2k +1 + k + + 2k + 2k − > 2k +1 + k + ) Suy bất đẳng thức với n= k + , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức Vậy tốn hồn thành Thí dụ Chứng minh với n ≥ 1, n ∈ N , ta có 1 + + + < n +1 n +2 2n 10 Hướng dẫn giải Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức cho với n = 1, 2, Xét trường hợp n ≥ ta chứng minh bất đẳng thức mạnh + Với n = bất đẳng thức trở thành 1 + + + < − n +1 n +2 2n 10 4n 1 1 533 51 + + + < − ⇔ < ⇔ 1066 < 1071 (đúng) + + + + 10 4.4 840 80 Nên bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ∈ N, k ≥ , tức 1 + + + < − k +1 k +2 2k 10 4k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n= k + , hay 1 Sk= + + + < − +1 k+2 k+3 2k + 10 k + S= k ( ) Sử dụng giả thiết quy nạp ta 1 1 1 + + + = Sk − + + k+2 k+3 2k + k + 2k + 2k + 1 = Sk + < − + 10 4k k + 2k + k + 2k + Sk +1 = ( )( ( ) )( ) Do cần chứng minh 1 1 + 2k ⇔ > k + 2k + k k +1 − ( ( )( )( ) ) ( ( ) ( )( ) ) Đánh giá cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức với n= k + , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n ≥ Bài toán chứng minh xong ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... vậy, theo giả thiết quy nạp ta có Sk +1 = Sk + 1 1 Sk + + + − = 3k + 3k + 3k + k + k + 3k + 3k + ( )( )( ) Hay Sk +1 > Sk > Do bất đẳng thức với n= k + , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng... thiết quy nạp, ta có 3k +1 = 3.3k > 2k + Nhưng với k ≥ ( ) ( ) ) ( ) ) ( 2k + 7k = 2k +1 + 2k + 21k = 2k +1 + k + + 2k + 2k − > 2k +1 + k + ) Suy bất đẳng thức với n= k + , nên theo nguyên lý quy. .. +1 ( )= + 25.52n = + 24.52n + 52n + ) Để ý 52n + 24.52n Do ta ( ) + Vậy theo nguyên lý quy nạp ta 52n + chia hết cho với n +1 số nguyên dương n ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo):