QUY nạp TOÁN học PHƯƠNG PHÁP và các bài TOÁN

1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG NGUY N TH THÙY DƯƠNG QUY N P TOÁN H C: PHƯƠNG PHÁP VÀ CÁC BÀI TOÁN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng - Năm 2011 Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: TS NGUY N DUY THÁI SƠN Ph n bi n 1: PGS.TSKH.TR N QU C CHI N Ph n bi n 2: GS.TSKH NGUY N VĂN M U Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng b o v ch m Lu n văn t t nghi p Th c sĩ Khoa h c Xã h i nhân văn, h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u - Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Đà N ng M Đ U Lý ch!n ñ" tài Phương pháp quy n p toán h c m t nh ng hình th c suy lu n, n a, m t phương pháp ch ng minh c n tốn h c (m t s s gia cho r ng phương pháp ñã ñư c s d ng t trư c công ngun b i Plato, Aristotle) Có th nói m t nh ng phương pháp ch ng minh b n hi u qu , vi c đưa vào chương trình Tốn trung h c ph thông t t y!u Bên c nh ñó, vi c th"c hi n bư c ch ng minh quy n p giúp h c sinh phát tri n l"c trí tu (t ng h p, khái quát hóa) H c sinh gi#i có th bi!t phương pháp quy n p toán h c t h c l p trung h c s , nói chung ph i ñ i ñ!n năm h c l p 11 em m i ñư c làm quen l$n ñ$u v i phương pháp (qua sách giáo khoa Đ i s Gi i tích) Và ch% v i m t th i lư ng khiêm t n chương trình tốn l p 11 (lư ng t p h!t s c #i), nói chung ki!n th c k' ch ng minh quy n p c(a h c sinh thư ng h n ch! T nh ng lý đó, chúng tơi ch n đ) tài “Quy n p tốn h c: phương pháp toán” v i mong mu n nghiên c u, tích lũy nh ng ki!n th c c$n thi!t cho vi c gi ng d y, ñ*c bi t vi c gi ng d y h c sinh khá, gi#i M#c đích nhi$m v# nghiên c%u Phương pháp quy n p mà em h c trung h c ph thông thư ng ch% phương pháp có d ng c n sau Đ ch ng minh m t “m nh ñ) ch a bi!n” P(n) ñúng v i m i n ∈ * ta ti!n hành hai bư c: Bư c Ch% r ng m nh ñ) P(1) ñúng Bư c V i m i k ∈ * , ta ch ng minh r ng n!u m nh đ) P(k) m nh đ) P(k + 1) ñúng Trong trư ng h p ph i ch ng minh r ng P(n) ñúng v i m i s nguyên dương n ≥ m (m m t s ngun dương cho) bư c ta c$n ki m tra m nh ñ) P(m) ñúng gi nguyên bư c (nhưng v i k ≥ m) Th t ra, phương pháp quy n p tốn h c có nhi)u bi!n th r t hay M t bi!n th ngày ñư c bi!t ñ!n dư i tên g i Quy n p (lùi) ki u Cauchy, Cauchy s d ng l$n ñ$u ch ng minh b t đ+ng th c trung bình c ng – trung bình nhân: a1 + a2 + n + an ≥ n a1a2 an (*) v i m i s nguyên dương n ≥ v i m i b n s th"c không âm a1, a2, …, an V i n = 2, (*) ñư c ch ng minh tr"c ti!p (ch% dùng ki!n th c trung h c s ) V i n t ng quát, Cauchy ch ng minh r ng n!u (*) ñã ñúng v i n = k (trong ñó, ≤ k ∈ * ) (*) n = 2k B ng cách v y, ta th y (*) v i m t dãy tăng vơ h n s nguyên dương n = 2m ( m ∈ * ) Cu i cùng, bư c m u ch t (thư ng ñư c g i bư c lùi), Cauchy nh n xét r ng: n!u (*) ñúng v i n = N ( N ∈ * , N > 2) n = N − Cách ch ng minh ñơn gi n: v i a1, a2, …, aN-1 ≥ 0, xét aN = a1 + a2 + + aN −1 (ho*c aN = N −1 a1a2 N −1 áp d ng (*) cho N s a1, a2, …, aN ≥ aN −1 ) 0, ta có b t ñ+ng th c a1 + a2 + + aN −1 N −1 ≥ a1a2 N −1 an T suy (*) v i m i s nguyên dương n ≥ Đ th y m t bi!n th khác, trư c tiên xét m t tốn khó (đ i v i h c sinh gi#i Tốn trung h c ph thơng): Bài toán (Pn) Ch ng minh r ng t 2n − s nguyên b t kỳ ( n ∈ * ) ta ln có th trích n s có t ng chia h!t cho n (Ph#ng theo m t đ) thi ch n h c sinh gi#i Tốn Trung Qu c) Sơ lư c l i gi i c(a toán (Pn): - Ch ng minh r ng n!u k!t lu n c(a (Pn) (Pm) ñúng ( n, m ∈ * ) k!t lu n c(a (Pnm) ñúng - Ki m tra r ng k!t lu n c(a (Pn) ñúng n s ngun t (ho*c n = 1) Khi đó, m i s nguyên dương l n ñ)u có th phân tích thành tích c(a s ngun t (đ-nh lí b n c(a s h c) ta th y k!t lu n c(a toán (Pn) ñúng cho m i s nguyên dương n Chúng g i phương pháp ñã dùng ñây gi i toán (Pn) quy n p phân rã Trong lu n văn này, chúng tơi trình bày bi!n th khác c(a phương pháp quy n p tốn h c đ$u tư khơng th i gian đ n ch n tốn (đã t ng g*p t i kỳ thi) gi i ñư c b ng phương pháp quy n p Sau m.i l i gi i chúng tơi thư ng có nh n xét nh m nêu hư ng gi i khác, t ng quát hóa ho*c phân tích sai sót mà h c sinh có th v p ph i Chúng tơi hy v ng xây d"ng nên m t tư li u h u ích, có th s d ng đư c vi c gi ng d y h c sinh gi#i c p ñ khác Đ&i tư ng ph m vi nghiên c%u 3.1 Đ i tư ng nghiên c u: Quy n p toán h c toán liên quan 3.2 Ph m vi nghiên c u: Các d ng toán s d ng phương pháp quy n p toán h c Phương pháp nghiên c%u Cơ b n s d ng phương pháp nghiên c u tài li u (sách, báo tài li u internet có liên quan ñ!n ñ) tài c(a lu n văn) ñ thu th p thơng tin trình bày l i theo m t th khép kín; t p h p d ng toán ph c v cho yêu c$u c(a ñ) tài, tìm hi u cách gi i phân lo i Ý nghĩa khoa h!c th)c ti*n c+a đ" tài Xây d"ng m t giáo trình có tính h th ng, khép kín có th gi ng d y ñư c cho h c sinh chun tốn b c trung h c ph thơng Xây d"ng ñư c m t h th ng toán (cũ m i) v i m c ñ khó d/ khác C,u trúc lu-n văn Lu n văn ñư c chia làm ba chương Chương Quy n p toán h!c, nguyên lý s.p th% t) t&t Trong chương này, chúng tơi trình bày h tiên ñ) Peano, m t s d ng c(a nguyên lý quy n p toán h c nguyên lý s0p th t" t t t p s nguyên dương Cu i chương m t n ch n toán áp d ng Chương M/t s& bi0n th1 c+a phép quy n p Trong chương này, g*p bi!n th khác c(a phép quy n p, ñ*c bi t quy n p lùi (quy n p ki u Cauchy), quy n p phân rã ví d áp d ng Chương Quy n p siêu h n Chương cu i gi i thi u t ng quan v) t p ñư c s0p th t" tuy!n tính, ki u th t"; t p đư c s0p th t" t t, s th t"; ñ-nh lý v) phép quy n p siêu h n, dãy siêu h n CHƯƠNG QUY N P TOÁN H C, NGUYÊN LÝ S P TH2 T3 T T 1.1 CÁCH TI P C N TIÊN Đ4 Đ I V5I CÁC S T3 NHIÊN, NGUYÊN LÝ QUY N P Các s ngun dương có th đư c trình bày b ng phương pháp tiên ñ) sau Các khái ni m ñư c ch p nh n (là nguyên th y) g m có b n thân t p *, s khái ni m “s ti!p sau” c(a m t s ngun dương Nói nơm na, ý nghĩa quy n p c(a khái ni m n m ch.: m s ti!p sau c(a n n!u m s nguyên dương tr c ti p theo sau s nguyên dương n Như v y, s ti!p sau c(a , s ti!p sau c(a , v v Các tiên ñ) sau ñây h p thành h tiên ñ) cho s nguyên dương Tiên ñ I: m t s nguyên dương, t c ∈ * Tiên ñ II: không ph i s ti!p sau c(a b t kỳ m t s nguyên dương Tiên ñ III: Đ i v i m i s ngun dương n có m t s ngun dương m cho m s ti!p sau c(a n Tiên ñ IV: N!u m t s nguyên dương m s ti!p sau c(a m t s nguyên dương n n!u m s ti!p sau c(a m t s nguyên dương k n = k Tiên ñ V (Nguyên lý quy n p): N!u A m t t p h p c(a t p h p * s nguyên dương cho: ∈ A, (1.1) ñ i v i m i s nguyên dương n : n!u n ∈ A m s ti!p sau c(a n m ∈ A, (1.2) m i s nguyên dương ñ)u thu c A, t c A = * H tiên ñ) Peano ñưa vào năm 1891 H tiên đ) đ( đ xây d"ng t t c ñ-nh lý c(a s h c s nguyên dương M i khái ni m khác dùng s h c s nguyên dương phép tính c ng phép tính nhân, quan h “nh# hơn” v.v đ)u có th đư c đ-nh nghĩa thơng qua nh ng đi)u đư c ch p nh n h tiên đ) Bây gi xét xem phép c ng phép nhân s ngun dương có th đ-nh nghĩa ñư c th! thông qua h tiên ñ) Peano Theo tiên ñ) III, ñ i v i m i s ngun dương n có m t s nguyên dương m cho m s ti!p sau c(a n Ký hi u s ti!p sau c(a n n ' Phép c ng s nguyên dương ñư c ñ-nh nghĩa b i: n + = n ' v i m i n ∈ *, (1.3) n + m ' = (n + m) ' v i m i n ∈ * m ∈ * (1.4) Hai công th c t o thành ñ-nh nghĩa quy n p c(a phép c ng s nguyên dương Ta s1 ch ng minh r ng ñ i v i m.i m t c*p s nguyên dương n, m t ng n + m c(a chúng ñư c xác ñ-nh b ng cách G i n m t s nguyên dương b t kỳ A t p h p s nguyên dương m mà t ng n + m ñư c xác ñ-nh Do (1.3) t ng n + đư c xác đ-nh ∈ A Bây gi gi s m ∈ A , t c t ng n + m ñư c xác ñ-nh Do (1.4) t ng n + m ' ñư c xác ñ-nh nên m ' ∈ A Như v y gi thi!t (1.1) (1.2) c(a nguyên lý quy n p ñư c th#a mãn ñ i v i t p h p A Theo nguyên lý m i s nguyên dương thu c A t ng n + m ñư c xác ñ-nh ñ i v i m i s nguyên dương m Vì ch ng minh trên, n ∈ * b t kỳ nên t ng n + m ñư c xác ñ-nh ñ i v i m i c*p n, m s nguyên dương H sau ñây cho ta m t ñ-nh nghĩa quy n p c(a phép nhân s nguyên dương: n ⋅1 = n v i m i n ∈ * (1.5) n ⋅ m ' = ( n ⋅ m ) + n v i m i n, m ∈ * (1.6) Ta s1 ch ng minh r ng tích n ⋅ m đư c xác ñ-nh ñ i v i m i c*p s nguyên dương n, m G i n m t s nguyên dương b t kỳ A t p h p t t c s nguyên dương m mà tích n ⋅ m đư c xác ñ-nh Do (1.5), tích n ⋅1 ñư c xác ñ-nh v y ∈ A N!u m ∈ A , t c n ⋅ m ñư c xác đ-nh theo (1.6) tích n ⋅ m ' ñư c xác ñ-nh, t c m ' ∈ A Như v y gi thi!t c(a nguyên lý quy n p ñư c th#a mãn b i t p h p A V y ta k!t lu n r ng m i s nguyên dương thu c A , t c tích n ⋅ m ñư c xác ñ-nh ñ i v i m i c*p n, m s nguyên dương Qu n h “nh# hơn” ñ i v i s ngun dương có th đư c xác đ-nh nh phép c ng sau: n < m ch% có m t s nguyên dương k cho m + k = n (1.7) Quan h “nh# ho*c b ng” đư c đ-nh nghĩa sau m t cách hi n nhiên Khi có phép c ng t p h p s nguyên dương, ta có th phát bi u l i tiên ñ) V dư i d ng (thư ng hay ñư c s d ng nh t): Đ6nh lý 1.1.1 (Nguyên lý quy n p toán h!c) Gi s P m t tính ch t đư c xác đ-nh t p h p t t c s nguyên dương cho P (1) ( có tính ch t P) (1.8) ñ i v i m i s nguyên dương n , n!u P (n) P (n + 1) (n!u n có tính ch t P n + có tính ch t P) (1.9) Khi đó, m i s ngun dương đ)u có tính ch t P Dùng ngun lý quy n p ta ch ng minh ñư c: Đ6nh lý 1.1.2 (Nguyên lý s.p th% t) t&t) Trong m i t p h p không r.ng s nguyên dương có m t s nh# nh t, t c m t s nh# m i s khác t p h p Đ6nh lý 1.1.3 Gi s A m t t p h p c(a t p h p t t c s nguyên dương cho 1∈ A (1.10) v i m i s nguyên dương n , n!u k ∈ A ñ i v i t t c s nguyên dương k ≤ n n + ∈ A (1.11) Khi đó, m i s ngun dương đ)u thu c A , t c A = * Nh-n xét 1.1.1 Nguyên lý quy n p toán h c d ng tiên ñ) V m t h qu logic c(a ñ-nh lý 1.1.3 Đ ch ng minh ñi)u này, ta gi s r ng ñ-nh lý 1.1.3 ñúng A m t t p h p b t kỳ c(a * th#a mãn ñi)u ki n (1.1) (1.2) tiên ñ) V Đi)u ki n (1.1) trùng v i ñi)u ki n (1.10) N!u đi)u ki n (1.2) đư c th#a mãn ñi)u ki n (1.11) t t nhiên ñư c th#a mãn Vì v y, áp d ng đ-nh lý 1.1.3 ta k!t lu n r ng m i s ngun dương đ)u thu c A Do đó, đ-nh lý 1.1.3 kéo theo tiên ñ) V Đ-nh lý sau ñây thư ng ñư c áp d ng ch ng minh quy n p Đ6nh lý 1.1.4 Gi s A m t t p h p c(a t p h p * t t c s nguyên dương cho ∈ A ∈ A (1.12) v i m i s nguyên dương n > 1, n!u n − ∈ A n ∈ A n + ∈ A (1.13) Khi đó, m i s ngun dương đ)u thu c A Đ6nh lý 1.1.5 Gi s P (n) m t hàm m nh ñ) c(a bi!n n bi!n thiên t p h p * t t c s nguyên dương cho P (1) ñúng (1.14) v i m i s nguyên dương n , n!u P (k ) ñúng ñ i v i m i s nguyên dương k ≤ n (1.15) P (n + 1) Khi ñó, P (n) ñúng ñ i v i m i s nguyên dương n Tiên ñ) V ñ-nh lý 1.1.4 có th đư c phát bi u l i m t cách tương t" C$n ý r ng: làm vi c v i s t" nhiên (thay s nguyên dương), (1.8) (1.14) ta xét P(0) thay cho P(1) Đ ch ng minh m t “m nh ñ) ch a bi!n” P(n) ñúng v i m i s t" nhiên n ≥ m (m m t s t" nhiên ñã cho), ta ti!n hành hai bư c: Bư c (thư ng ñư c g i bư c s ) Ch% r ng m nh ñ) P(m) ñúng Bư c (bư c quy n p) V i m i s t" nhiên k ≥ m, ta ch ng minh r ng n!u m nh ñ) P(k) ñúng m nh đ) P(k + 1) 1.2 CÁC VÍ D7 ÁP D7NG Cách ch ng minh m t đ-nh lý tốn h c có dùng đ!n ngun lý quy n p tốn h c thư ng đư c g i phép quy n p Các ví d v) nh ng cách ch ng minh áp d ng cho toán t h p s1 đư c trình bày dư i đây: Ví d# 1.2.1 V i m i s t" nhiên n , s t p h p c(a m.i t p h p g m n ph$n t 2n Ví d# 1.2.2 Đ i v i m.i c*p s t" nhiên n, k mà k ≤ n, s t h p ch p k l y t n ph$n n t (c(a m t t p h p An cho trư c) b ng   k  Ví d# 1.2.3 Cho a b hai s th"c phân bi t có t ng m t s dương Ch ng minh r ng 2n −1 (a n + b n ) > (a + b)n (1.22) v i m i s t" nhiên n > Ví d# 1.2.4 Cho a ≥ b > Ch ng minh r ng (n − 1)a n + b n ≥ na n −1b (1.26) v i m i s nguyên dương n; n a, d u ñ+ng th c x y (1.26) ch% a = b ho*c n = Ví d# 1.2.5 V i m.i s nguyên dương n, ký hi u Rn = + + + + Ch ng minh r ng n cos n ≥ π n = π Rn −1 , sin n = − Rn − 2 2 (1.28) 10 Nh-n xét 1.2.1 Th t ra, n!u ta quy c R0 := (đ cơng th c truy h i Rn = + Rn −1 cịn có hi u l"c n = 1), v n có: sin π 2n = π − Rn − n = 2, cos n = Rn −1 n ∈ {1;2} 2 Ví d# 1.2.6 V i m i s t" nhiên n ≥ 2, ta có b t ñ+ng th c: 4n (2n)! < ⋅ n + (n !) (1.29) Ví d# 1.2.7 (IMO 1957) Cho hàm s f : * → * th#a ñi)u ki n: f ( n + 1) > f ( f ( n ) ) v i m i n ∈ * Ch ng minh r ng f ( n ) = n v i m i n∈ * (1.31) Nh-n xét 1.2.2 Sau ñã ch ng minh ñư c d1 = A1 = f (1) , d = A2 = f ( ) , ta có th ti!p t c l i gi i theo m t hư ng khác sau: N!u f (1) ≥ f ( f (1) ) ∈ A2 ⇒ f ( f (1) ) ≥ d = f ( ) , mâu thu n v i (1.7) V y g : *→ * cho b i công f (1) = D/ th y hàm g ( n ) = f ( n + 1) − th c th#a mãn g ( g ( n ) ) < g ( n + 1) Theo ch ng minh trên, ta có g (1) = ⇒ f ( ) = B ng cách v y, ta có f ( n ) = n v i m i n ∈ * Ví d# 1.2.8 Tìm t t c hàm s f: → th#a mãn ñi)u ki n: mf (n) + nf (m) = (m + n) f (m + n ) (1.32) v i m i m, n ∈ Nh-n xét 1.2.3 Ta có th gi i tốn theo cách khác (không dùng nguyên lý s0p th t" t t): Sau ñã ch ng minh ñư c (1.33), ñ*t g (n) := f (n) − f (0) (∀n ∈ ), ta th y hàm s g : → th#a mãn ñi)u ki n: mg (n) + ng (m) = ( m + n) g (m + n ) (1.32’) g (m ) = (1.33’) v i m i m, n ∈ Trong (1.32’), ch n m = n, ta ñư c 12 CHƯƠNG M8T S BI N TH9 C:A PHÉP QUY N P 2.1 QUY N P LÙI Phép quy n p có nhi)u bi!n th r t hay M t bi!n th ngày đư c bi!t đ!n dư i tên g i “quy n p lùi” (cịn đư c g i “quy n p ki u Cauchy”), Cauchy s d ng l$n đ$u ch ng minh b t đ+ng th c trung bình c ng – trung bình nhân: a1 + a2 + n + an ≥ n a1a2 (2.1) an v i m i s nguyên dương n ≥ v i m i b n s th"c không âm a1, a2, …, an V i n = 2, (2.1) ñư c ch ng minh tr"c ti!p (ch% dùng ki!n th c trung h c s ) V i n t ng quát, Cauchy ch ng minh r ng n!u (2.1) ñã ñúng v i n = k (trong ñó, ≤ k ∈ * ) (2.1) n = 2k B ng cách v y, ta th y (2.1) ñúng v i m t dãy tăng vô h n s nguyên dương n = 2m ( m ∈ * ) Cu i cùng, bư c m u ch t (thư ng ñư c g i bư c lùi), Cauchy nh n xét r ng: n!u (2.1) ñúng v i n = N ( N ∈ * , N > 2) n = N − Cách ch ng minh ñơn gi n (nhưng tinh t!): v i a1, a2, …, aN-1 ≥ 0, xét aN = a1 + a2 + + aN −1 (ho*c aN = N −1 a1a2 N −1 áp d ng (2.1) cho N s a1, a2, …, aN ≥ aN −1 ) 0, ta có b t đ+ng th c a1 + a2 + + aN −1 N −1 ≥ a1a2 N −1 an T suy (2.1) v i m i s nguyên dương n ≥ Ta có th t ng quát hóa ý tư ng c(a Cauchy thành: Đ6nh lý 2.1.1 (Nguyên lý quy n p lùi) Cho (mk )∞k =1 m t dãy vô h n s nguyên dương mà lim mk = ∞ Gi s k →∞ P (n) m t hàm m nh ñ) c(a bi!n n bi!n thiên t p h p * t t c s nguyên dương cho P (mk ) ñúng (2.2) v i m i k ∈ *; n a, v i m i s nguyên dương n > 1, n!u P (n) P (n − 1) ñúng (2.3) Khi ñó, P (n) ñúng ñ i v i m i s nguyên dương n 13 Ví d# 2.1.1 Dùng phương pháp quy n p lùi, ch ng minh r ng n ∑1+ x i =1 n i ≤ n n + ∏ xi (2.4) i =1 v i m i dãy s h u h n ( xi )i =1 ⊂ [ 0, 1] (2 ≤ n ∈ ) n Nh-n xét 2.1.2 Có th dùng b t ñ+ng th c Jensen: n 1 n  f t ≤ f ( ) ∑ i  ∑ ti  n i =1  n i =1  ñ i v i hàm s y = f (t ) := liên t c “lõm” n a kho ng −∞ < t ≤ 0, r i + e nt ñ i bi!n ti := ln xi (∀i ) đ có m t cách ch ng minh khác cho (2.4) trư ng n h p ( xi )in=1 ⊂ ( 0,1] Trư ng h p ∏ xi = 0, (2.4) ñúng m t cách hi n nhiên! i =1 Ví d# 2.1.2 Dùng phương pháp quy n p lùi, ch ng minh r ng n k =1 + xk ∑ n ≤ n n (2.6) + ∏ xk k =1 v i m i dãy s h u h n ( xi )i =1 ⊂ [ 0, 1] (2 ≤ n ∈ ) n 2.2 QUY N P PHÂN RÃ Đ th y m t bi!n th khác, trư c tiên chúng tơi xét m t tốn khó (đ i v i h c sinh gi#i Tốn trung h c ph thơng): Bài tốn (Pn) Ch ng minh r ng t 2n − s nguyên b t kỳ ( n ∈ * ) ta ln có th trích n s có t ng chia h!t cho n (Ph#ng theo m t ñ) thi ch n h c sinh gi#i Toán Trung Qu c) L i gi i c(a tốn (Pn) s1 đư c trình bày qua bư c sau (xem b ñ) 2.2.1-2.2.2): - Ch ng minh r ng n!u k!t lu n c(a (Pn) (Pm) ñúng ( n, m ∈ * ) k!t lu n c(a (Pnm) ñúng - Ki m tra r ng k!t lu n c(a (Pn) ñúng n s nguyên t (ho*c n = 1) T ta s1 th y k!t lu n c(a tốn (Pn) cho m i s nguyên dương n Chúng m o mu i g i phương pháp làm phép quy n p phân rã Và th"c s", ta có: 14 Đ6nh lý 2.2.1 (Nguyên lý quy n p phân rã) Gi s P(n) m t hàm m nh ñ) c(a bi!n n bi!n thiên t p h p * t t c s nguyên dương cho P (1) P ( p ) ñúng (2.9) v i s nguyên t p; n a, v i m i c*p s nguyên dương m n, n!u P(m) P(n) đ)u P(mn) (2.10) Khi đó, P(n) đ i v i m i s nguyên dương n B; ñ" 2.2.1 N!u k!t lu n c(a (Pn) (Pm) ñúng ( n, m ∈ * ) k!t lu n c(a (Pnm) ñúng B; ñ" 2.2.1 K!t lu n c(a (Pn) ñúng n s nguyên t ho*c n = Ví d# 2.2.1 V i m i c*p s nguyên dương a, m mà m > 1, ta ñ)u có: a m ≡ a m−ϕ ( m ) (mod m); (2.15) đó, ϕ(m) s s ngun dương nguyên t v i m không vư t m (phi-hàm Euler) 2.3 M8T S VÍ D7 V4 CÁC BI N TH9 KHÁC C:A PHÉP QUY N P Trong m c ta xét thêm m t s bi!n th khác c(a phép quy n p thơng qua ví d c th Ví d# 2.3.1 Tìm t t c hàm f : * → * th#a mãn ñ ng th i ñi)u ki n: (a) f (2) = ; (b) f (mn) = f (m) f (n) v i m i m, n ∈ * ; (c) f (m) < f (n) v i m i m < n Ví d# 2.3.2 Tìm t t c hàm f : * → * th#a mãn ñ ng th i ñi)u ki n: (a) f (2) = ; (b) f (mn) = f (m) f (n) v i m i s nguyên dương m, n nguyên t nhau; (c) f (m) < f (n) v i m i m < n 15 Nh-n xét 2.3.1 Trong l i gi i trên, ñ bư c quy n p th"c s" “ti!n lên”, b t ñ+ng th c n − n > n ⇔ n ( n − ) > ⇔ n ≥ r t c$n thi!t Chính v y, bư c s c$n ki m tra nh t v i ≤ n ≤ 3; n!u không, phép quy n p chưa thành công! CHƯƠNG QUY N P SIÊU H N 3.1 T P ĐƯ