SỐ NGUYÊN TỐ “tailieumontoan com” Date Tính chất (1) 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất (2) 2n p , p nguyên tố thì 2 2n p (3) Nếu abc p , p nguyên tố thì a p b p c p (4) Nếu a p b p [.]
Date SỐ NGUYÊN TỐ “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt ❗ Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Tính chất: (1) số nguyên tố chẵn (2) n2 p , p nguyên tố n2 p a p (3) Nếu abc p , p nguyên tố b p c p a p (4) Nếu , p nguyên tố ab p b p (5) A = aα b β c γ , a, b, c số nguyên tố α , β , , γ ∈ N* Khi số ước số A tính (α + )( β + ) (γ + ) Tổng ước số A tính aα + − b β + − cγ +1 − a−1 b−1 c−1 Ví dụ: A = 23.34.52 Số ước A (3 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 60 Tổng tất ước A là: = T − − − 15.242.124 = = 56265 2−1 3−1 5−1 II Bài tâp Dạng 1: Bài tốn tìm số ngun tố Bài Tìm tất số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Lời giài - Với p = p + = p + = số nguyên tố - Với p = p + = p + = số nguyên tố - Với p > mà p số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + p = 3k + +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = ( 3k + ) không số nguyên tố +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = ( 3k + ) không số nguyên tố; Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài Tìm tất số nguyên tố p cho p + 2; p + 6; p + 8; p + 14 số nguyên tố Lời giài Trường hợp 1: p = 5k mà p nguyên tố nên p = 5, đó: p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố nên p = thỏa mãn toán Trường hợp 2: p = 5k + 1, đó: p + 14 = 5k + 15 = 5(k + 3) có ước 1, (p + 14) nên p + 14 không số nguyên tố Vậy với p = 5k + khơng có tồn p nguyên tố thỏa mãn toán Trường hợp 3: p = 5k + 2, đó: p + = 5k + 10 = 5(k + 2) có ước 1, (p + 10) nên p + 10 không số nguyên tố Vậy với p = 5k + khơng có tồn p nguyên tố thỏa mãn toán ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Trường hợp 4: p = 5k + 3, đó: p + = 5k + = 5(k + 1) có ước 1, Bài Cho p p + số nguyên tố (p > 3) (p + 2) nên p + không số nguyên tố Vậy với p = 5k + khơng có tồn p ngun tố thỏa mãn toán Trường hợp 5: p = 5k + 4, đó: p + = 5k + 10 Chứng minh p + hợp số Lời giải Ta có: p số nguyên tố p > nên p có dạng p + khơng số nguyên tố p = 3k +1 p = 3k + ⇒ p + p + có số chia hết cho Vì p,p + số nguyên tố nên p,p + không chia Vậy với p = 5k + khơng có tồn p ngun tố thỏa mãn toán hết cho ⇒ p + p + > ⇒ p + hợp số Do p = số cần tìm Bài Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Bài Tìm n ∈ N để n4 + số nguyên tố Lời giải Ta có: Chứng minh 8p − hợp số Lời giải Vì p,8p + số nguyên tố lớn nên khơng = 5(k + 2) có ước 1, (p + 6) nên (n (n + − 2n )(n + + 2n ) n4 + = n4 + 4n2 + − 4n2 = = 2 +2 ) − ( 2n ) 2 2 = ( n − ) + ( n + ) + Nếu n > hai thừa số lớn Như n + số nguyên tố n = Bài Tìm tất số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Lời giải Với p = p + = p + = số nguyên tố Với p = p + = p + = số nguyên tố Với p > mà p số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + p = 3k + Nếu p = 3k + p + = 3k + 3= 3(3k +1) không số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + 6= 3(3k +2) không số nguyên tố; Vậy với p = p + p + số nguyên tố Dạng 2: Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số Bài Chứng minh với số tự nhiên n > n5 + n4 + khơng số ngun tố Lời giải Ta có: n5 + n4 + 1= (n )( + n + n3 − n + ) Mà n > nên n2 + n + > ⇒ n5 + n4 + hợp số chia hết cho Khi ta có : 8p − 1;8p ;8p + số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Mà 8p + / 3,p / = > 8p / Vậy 8p − 1 hợp số Bài Cho p p + số nguyên tố ( p > ) ( ) Chứng minh rằng: p + Lời giải p số nguyên tố p > nên p có dạng p = 3k +1 p = 3k + Trường hợp 1: p = 3k + ⇒ p + = 3k + = ( k + ) > Nên p +2 không số nguyên tố (mâu thuẫn) Trường hợp 2: p = 3k + ⇒ p + = 3k + = ( k + ) ( 1) P nguyên tố, p > nên p số lẻ suy (p +1 )là số chẵn hay ( p + ) (2) Do (2, 3) =1 nên từ (1) (2) suy ( p + ) Bài Nếu p ≥ 2p + số nguyên tố 4p + số nguyên tố hợp số? Lời giải Xét ba số tự nhiên liên tiếp: 4p, 4p + 1, 4p + Để ý ba số chắn có số chia hết cho Vì p ≥ số nguyên tố nên p có dạng 3k + 3k + ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ p 3k + 2p + = 6k + = ( 2k + ) 3, +) Nếu = mâu thuẫn với giả thiết +) Nếu = p 3k + Ta có: 4p += ( 3k + ) += 12k += ( 4k + ) hay 4p + hợp số Dạng 3: Giải phương trình nghiệm nguyên liên quan đến số nguyên tố Bài 10 Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 − 6y2 = Lời giải Ta có: x2 − 6y = ⇔ x2 − = 6y ⇔ ( x − )( x + ) = 6y x2 + y3 = z ⇔ y3 = (z + x)(z − x) Mà ( z + x) > ( z − x) ; y số nguyên tố nên z + x = y3 (1) z − x = z + x = y2 (2) z − x = y khơng có x, y, z thỏa mãn (1) (2) Vậy không tồn z4 x, y, z nguyên tố để x + y = Mà 6y ⇒ ( x − )( x + ) Lại có x – 1, x + có tính chẵn lẻ ⇒ x − 1,x + số chẵn ⇒ ( x − )( x + ) III Bài tâp vân dung ⇒ 6y2 ⇒ 3y mà (3, 4) = nên ⇒ y ⇒ y mà y nguyên tố nên y = Với y = x – 24 = ⇒ x2 = 25 ⇒ x = ( dox ∈ N ) Vậy (x, y) = (5; 2) Bài 11 Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 − 2y2 − = Lời giải Ta có: x2 − 2y2 − = ⇔ (x − 1)(x + 1) = 2y2 Do y số nguyên tố x + > x − nên xảy trường hợp sau: x= + 2y = x TH1: ⇔ = x − y = y x + = 2y TH2: vô nghiệm nguyên tố x 1 − = x =3 y2 x + = TH3: ⇔ y = x − = Vậy cặp nguyên tố thỏa mãn đề = x 3;= y Bài 12 Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn x2 + y3 = z4 Lời giải Bài Nếu p p + số nguyên tố p + số nguyên tố Bài Cho p 8p - số nguyên tố Chứng minh 8p + hợp số Bài Chứng minh với số nguyên dương n, chọn n2020 + n2019 + số nguyên dương liên tiếp mà tất hợp số Bài Chứng minh p p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Bài 5.Tìm số tự nhiên k để dãy : k + 1,k + 2,k + 3, ,k + 10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Tìm số tự nhiên n cho p = (n − 2)(n2 + n − 5) số nguyên tố Bài 7.Tìm số tự nhiên n để 3n + số nguyên tố Bài Cho p số nguyên tố lớn 3.Chứng minh p − 1 24 Bài Tìm tất cặp số nguyên tố (p;q) cho p − 2q = Bài 10 Chứng minh với số nguyên tố lẻ p không tồn số nguyên dương m,n thỏa mãn : 1 = + 2 p m n ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Xét p 3k ( k nguyên) p 8 , hợp số Xét p 3k p 8 , hợp số Vậy p 3k , mà p số nguyên tố nên p Khi p 11 , số nguyên tố Bài Vì p − số nguyên tố nên p ≠ Nếu p = p + =25 hợp số Nếu p > p ( p − 1)( p + 1) Vì p p − số nguyên tố lớn nên p + chia hết cho hay p + hợp số Bài Xét A= A= (n (n 2020 2020 + n 2019 + )!+ 2 + n 2019 + )!+ 33 An2020 + n2019 +1 = (n 2020 + n 2019 + )!+ ( n 2020 + n 2019 + ) n 2020 + n 2019 + Dãy A1 , A2 , , An2020 + n2019 +1 hợp số liên tiếp Bài Ta có : p + ( p + )= ( p + 1) • p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ, suy : p + 1 ⇒ ( p + 1) (1) • p, p + 1, p + ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p + không chia hết : p + 13 ⇒ ( p + 1)3 (2) Từ (1) (2) suy : ( p + )12 (đpcm) Bài • Với k = ta có dãy 1, 2, 3, , 10 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, • Với k = ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 • Với k = ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 • Với k ≥ dãy k + 1, k + 2, , k + 10 chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy có số ngun tố Tóm lại với k = dãy k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Vì p = (n − 2)(n + n − 5) nên n − n + n − ∈ Ư ( p ) n + n − = Vì p số nguyên tố nên n − = 1 >n= p = (3 − 2)(32 + − 5) = 1.7 = (thỏa) + Nếu n − == > n + n == > n(n + 1) == 2.3 = >n= + Nếu n + n − == ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ p = (2 − 2)(22 + − 5) = số nguyên tố, loại Vậy n = p = (n − 2)(n + n − 5) số nguyên tố Bài Với n = ta có 3n + = 30 + = số nguyên tố Với n ≠ ta có 3n 3, 6 nên 3n + 6 mà 3n + > 3n + hợp số Vậy n = 3n + số nguyên tố Bài Ta có p − 1= ( p − 1)( p + 1) Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ Do p − p + hai số chẵn liên tiếp Từ suy ( p − 1)( p + 1)8 (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p − 1; p; p + Ta có ( p − 1) p ( p + 1) Mà p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Mà số nguyên tố nên suy ( p − 1)( p + 1) (2) Từ (1) (2) kết hợp với ( 3;8 ) = 3.8 = 24 ta suy p − 1 24 (đpcm) Bài Từ p − 2q = p 2q + ta = Do ta suy p số nguyên tố lẻ Từ ta đặt = p 2k + với k ∈ N * Khi ta (2k + 1) 2= 2q + ⇔ 4k + 4k + 1= 2q + ⇔ 2k (k + 1)= q Do q số chẵn nên q số chẵn Mà q số nguyên tố nên q = Thay vào p − 2q = ta suy p = Vậy cặp sô nguyên tố ( p, q ) = (3, 2) thỏa mãn yêu cầu toán Bài 10 Giả sử tồn số nguyên tố p lẻ cho: 1 = + ⇔ p.(m + n ) = m n ⇒ m n p , p m n Mà p số nguyên tố nên m p n p Nếu m p thì= m kp (k ∈ N * ) ⇒ p.(m + n= ) ( kpn ) 2 ⇒ m + n= pk n ⇒ ( m + n ) p Mà m p nên n p Vậy m ≥ p, n ≥ p ⇒ m ≥ p , n ≥ p Suy 1 2 + ≤ ⇒ ≤ ⇒ p ≤ Vơ lí p số nguyên tố lẻ m n p p p ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗