Đang tải... (xem toàn văn)
( )20192019 2019 2019 0c a a a+ = − + = Do đó ( )( )( )23 23 3 3 2019 2019 0P a b b c c a= + + + = Vậy ta có P = 0 Thí dụ 2 Cho các số dương x, y thỏa mãn 2 27 13 2 0 (1)x xy y− − = Tính giá trị biểu[.]
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC “tailieumontoan.com” I BÀI TÂP c 2019 + a 2019 = ( −a ) Date ( Cho a, b, c khác thỏa mãn: (a + b + c ) a1 + b1 + c1 =1 ( )( )( P= a 23 + b 23 b + c c 2019 + a 2019 ) ⇔ (a + b + c )(ab + bc + ca ) = abc ) ( +c a ) = abc ⇔ a b + abc + ca + ab + b c + abc ) ⇔ (a + b )( b + c )(c + a ) = a =−b ⇔ b = −c c = −a Do đó: ( +b )( 7x − 13xy − y = Tính giá trị biểu thức: B = ⇔ a b + ca + b c + ab + c b + ac + 2abc = * Với a = - b thì: a Thí dụ Cho số dương x, y thỏa mãn: = ( −b ) + b 23 (1) 2x − y 7x + y Thí dụ Cho số thực x, y thỏa mãn: 2010 2010 +1= y (2) x x + 2y = 2335 23 Vậy ta có: P = Thay x = 2y vào A ta được: 2x − y 4y − 6y −2 y −1 = A = = = 7x + y 14 y + y 18 y bc + ca (a + b + c ) ab +abc = 23 ) (do x, y > 0) 1 1 Ta có: (a + b + c ) + + = a b c )( Lời giải Từ (1) ta có: (7x + y )(x − y ) = ⇔ x = y Lời giải ( + (abc + bc )( Tính giá trị biểu thức: A = Tính giá trị biểu thức: + a 2019 = Do đó: P = a 23 + b 23 b + c c 2019 + a 2019 =0 Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích Thí dụ 2019 23 )( = ) P = a 23 + b 23 b + c c 2019 + a 2019 =0 * Với b = - c thì: b + c =− ( c ) + c =0 x y Lời giải 2010 2010 , b = Đặt a = với a, b > x y Từ (2) suy ra: = = a +1 a +1 b ⇔ 1 2010 2.2010 2345 = a += a + b b ⇔ 7a − 11a − = ⇔ a = (do a Vậy: B= x b = = y a ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ b = 7⇒ + a a +1 6 > 0)suyra : b = Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Thí dụ Cho số thực x, y, z thỏa mãn: (x − y )(x + y ) = z2 (4) 2 y = + 7z Tính giá trị biểu thức D =2x + 10 y − 23z Lời giải z − x − y = Ta có: (4) ⇔ 2 y − 7z = Ta tìm số thực a, b thỏa mãn: Thí dụ Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: (1) x 3= y z 5= t t t − + = (2) x y z 10 t2 t2 t2 + + Tính giá trị biểu thức: C = xy yz zx Lời giải (4) a (z − x − y ) + b (4y − 7z ) = 2x + 10 y − 23z ⇔ ax + (4b − a )y − (7b + a )z = 2x + 10 y − 23z a= a = ⇔ 4b − a = 10 ⇔ b = 7b + a = 23 Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15 Thí dụ Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: t x + y + 2z = (5) t = z − 3x t Tính giá trị biểu thức: E = x + y + 9z Lời giải x y z + + = t t t Ta có: (5) ⇔ z −3x = t t y z x Mặt khác: = + + Giả sử a, b E t t t số thực thỏa mãn: Từ (1) ta có: = y = x , z 2x x , z 2x vào (2) ta được: = t t t − + = ⇒t = x x 2x 10 x Vì thế: Thay y = t t t x2 x2 x2 C = + + = + + xy yz zx xy yz zx x x x x 3 1 = + + = + + = y y y z 5 2 Dạng 3: Vận dụng tính chất dãy tỉ số Thí dụ Cho số a, b, c thỏa mãn: a +b −c a +c −b b +c −a = = c Tính A = b a (a + b )(b + c )(c + a ) abc Lời giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a +b −c a +c −b b +c −a = = c b a (a + b − c ) + (a + c − b ) + ( b + c − a ) x y y = z = x z x z a + + + b −3 + = + + a +b +c t t t t t t t t c c b 2c a + b −= a += y y x z x z ⇒ a + c − b = b ⇒ a + c = 2b ⇔ (a − 3b ) + 2a + (2a + b ) = + + t t t t t t b + c= b= −a a + c 2a a − 3b =1 a = + a ) 2c 2a 2b (a + b )(b + c )(c= ⇔ 2a = ⇔ ⇒ = 4.1 + 1.2 = A = ⇒ = E abc abc b = 2a + b = Vậy E = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Dạng 4: Sử dụng phương pháp hình học Từ (7) suy x > z < Thí dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 = 2 16 ( * ) y + z = y = xz Ta viết lại hệ (7) dạng: ( ) 25 − +y2 = x Ta viết lại hệ (7) dạng: y + − z = y = x − − z Xét tam giác ABC vuông B, đường cao BD với = AB = , BC 2 ( Tính giá trị biểu thức G= xy + yz Lời giải A x D ) Đặt BD =y , AD = x − 1,CD = − z z y Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ Từ ta có: = H y B C ( ) 2 2.S = = x − + −= z ABC Vậy H = Xét tam giác ABC vng B, có AB = 3, BC = đường cao BD Đặt AD = x, BD = y, DC = z, ta thấy x, y,z hoàn toàn thỏa mãn hệ thức (*) Khi đó: Câu (Chun Bình Dương 2018) G = xy + yz = y ( x + z ) Cho số thực x, y thỏa mãn = 2.S ABC= AB BC = 3.4 = 12 Thí dụ Cho số thực x, y, z với y > thỏa mãn: 29 x +y = 2 y −z = y = x − − z 2018 + x )( y + ) 2018 + y = 2018 Tính giá trị biểu thức Q = x 2019 + y 2019 + 2018 ( x + y ) + 2020 ( 7) H y Tính giá trị biểu thức= ( Câu (Chuyên Nam Định 2016) x − + −z ) Lời giải Cho a , b , c số thực thỏa mãn điều kiện a +b +c = 6; 1 47 + + = a + b b + c c + a 60 Tính giá trị biểu thức A a b +c + b c +a + c a +b Câu (Chuyên Khánh Hòa 2018) D Cho số x , y , z khác thỏa mãn : x + y + z= y B (x + C ( 1 1 1 ; + + = 4; + + > x xyz x y z y )( y 2017 + z 2017 z 2019 + x 2019 Tính Q = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ )( x 2021 + y 2021 ) Câu (Chuyên TP Hồ Chí Minh 2018) Cho a , b , c ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = a 2= (a + c + )(a + b − ) Tính giá trị biểu thức A = a + b + c Câu (Chuyên TP Hồ Chí Minh 2015) Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ Tính giá trị biểu thức: = P 1 + (a + b )3 a b 1 + + b2 (a + b ) a 1 1 + + (a + b) a b Câu (HSG huyện Thủy Nguyên 2018) Cho số thực x , y , z ≠ thỏa mãn x + y + z + x + y + = Tính giá trị biểu thức z2 P = x 2017 + y 2018 + z 2019 Câu (HSG huyện Vĩnh Bảo 2018) Cho ba số x , y , z > thỏa mãn xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: ( + y )( + z ) + y ( + z )( + x ) + z ( + x )( + y ) P =x 2 1+x2 2 1+y2 1+z2 Câu (HSG Nam Định 2015) 18 xyz = −1 Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2, x + y + z = Tính giá trị S = 1 + + ⋅ xy + z − yz + x − zx + y − Câu (HSG TP Hải Phòng 2015) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xyz = Rút gọn biểu thức: B= x (4 − y )(4 − z ) + y (4 − z )(4 − x ) + z (4 − x )(4 − y ) − xyz Bài 10 (HSG Hải Dương 2013) Cho a b số thỏa mãn a > b > Tính giá trị biểu thức B = Bài 11 (HSG huyện Yên Định 2012) a − 4b b − 4a a − a b + ab − 6b = 0 , tính giá trị biểu thức: P = Cho a + b + c = b +c −a 2 + a +c −b 2 + a + b2 −c 2 Câu 12 (Chuyên Lam Sơn năm 2019-2020) Hãy tính giá trị biểu thức: A = Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn 2ab + bc + 2ca = Câu 13 (Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019) a − 3a + 5a − 17 = Cho a, b số thực dương thỏa mãn biểu thức b − 3b + 5b + 11 = Chứng minh a + b = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ bc 8a + ca ab + b2 c HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Ta có: (x + 2018 + x )( y + ) 2018 + y =2018 ⇔ x + 2018 + x = 2018 ⇔ x + 2018 + x= ( 2018 + y − y 2018 + y − y x Biến đổi tương tự ta có: 2018 + x −= Cộng vế với vế (1) (2) ta được: )⇔x + y + 2018 + y 2 2018 + x= 2018 + y + y 2018 + x = 2018 2018 + y − y (1) (2) 2018 + y ⇔ 2018 + x = 2018 + y x = y ⇔ x2 = y2 ⇔ x = − y +)Với x = y ta có: x 2019 + y 2019 = 2 ⇔ + + = + − ⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ x x x x x x x y 2018 2018 0 () x + y = ⇒ Q= x 2019 + y 2019 + 2018(x + y ) + 2020= 2020 2019 2019 = x + y +)Với x = −y , ta có: ⇒Q = 2020 x + y = Vậy Q = 2020 − ( b + c ) − (c + a ) − (a + b ) c + = + + b +c c +a a +b b +c c +a a +b 1 6 47 47 17 + + − = − = −3 = = + + − 3= 60 10 10 b +c c +a a +b b +c c +a a +b x + y +z 1 1 1 2 = Câu Ta có: x + y + z = ⇔ ⇔ + + = ⇔ + + = xyz 2xyz xy yz xz 2xyz xy yz xz xyz Câu Do a + b + c = nên a + b 1 1 1 ⇒ + + + + + = + + + =4 ⇒ + + =4 ⇔ + + =2 xy yz xz x xyz x y z x y z y z x y z Từ đó: 1 x 1 += + y z 2 x + y +z 1 1 ⇔ ( xy + yz + xz )( x + = y + z ) xyz ⇔ ( x + y )( x + z )( y + z ) = x =−y ⇔ y = −z z = −x Hơn mũ Q lẻ nên có thừa số Vậy Q = Câu Ta có: a + b + c =0 ⇔ b =−a − c ⇒ a 2= (a + c + )(a + b − ) ⇔ a 2= (a + c + )(a − a − c − ) ⇔ a 2= (a + c + )( −c − ) ⇔ a + (a + c + )(c + )= ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ⇔ a + 2a (c + ) + (c + ) =0 ⇔ (a + c + ) + (c + ) =0 2 a + c += = a ⇔ ⇔ ⇒ b =−a − c =1 c c + = = − ⇒ A = a + b + c = + 12 + ( −1 ) = 2 Vậy A = Câu Với ab = , a + b ≠ 0, ta có: a + b3 a + b 3(a + b ) 6(a + b ) 3(a + b ) 6(a + b ) + + = + + P = (a + b )3 (ab )3 (a + b )4 (ab )2 (a + b )5 (ab ) (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 a + b − 3(a + b ) (a + b − 1)(a + b )2 + 3(a + b ) + = + + = (a + b )2 (a + b )4 (a + b )4 (a + b )4 (a + b − 1)(a + b + 2) + 3(a + b ) + (a + b )2 + 4(a + b ) + (a + b + 2)2 = = = (a + b )4 (a + b )4 (a + b )4 2 (a + b + 2ab )2 (a + b ) = = = (a + b )4 (a + b )4 Vậy P = 1, với ab = , a + b ≠ Câu x2 + y2 +z2 + ⇔ x x + y + = ⇔ x − + z x + y − + y + z − + z =0 x − = x x =−1 x =1 2 1 1 1 − + y − + z − =⇔ −1 ∨ y = 0 y − =⇔ y = x y z y z = −1 z = z − = z Do P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = x= y= z= Hoặc P = x 2017 + y 2018 + z 2019 = x = y = z = −1 Câu Ta có: + x = xy + yz + zx + x = y ( x + z ) + x ( x + z ) = ( x + y )( x + z ) Tương tự: + y = ( x + y )( y + z ) ; + z = ( x + z )(z + y ) ( + y )( + z ) + y ( + z )( + x ) + z ( + x )( + y ) Do đó: P = x 2 1+x2 1+y2 2 1+z2 =x ( y + z )( y + x )( x + z )(z + y ) + y (z + x )(z + y )( x + y )( x + z ) + z ( x + y )( x + z )( y + x )( y + z ) ( x + y )( y + z ) (z + x )(z + y ) ( x + y )( x + z ) = x (y + z ) +y (z + x ) +z (x + y ) = xy + xz + yz + xy + xz + zy = ( xy + yz + zx ) =2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ( x − )( y − ) ( y − )(z − ) zx + y − = (z − )( x − ) Câu Ta có xy + z − = xy − x − y + = Tương tự yz + x − = Suy S = + + ( x − )( y − ) ( y − )(z − ) (z − )( x − ) = x + y +z −3 ( x − )( y − ) (z − ) −1 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − xy + yz + zx x + y + z + ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = −7 Ta có ( x + y + z ) = Suy S = − Câu Ta có x + y + z + xyz = ⇔ 4(x + y + z ) + xyz = 16 Khi ta có: x (16 − 4y − 4z + yz ) = x (yz + xyz + 4x ) x (4 − y )(4 − z= ) = x ( yz + x )2 = xyz + 2x (1) y (4 − z )(4 − x )= Tương tự z (4 − x )(4 − y )= xyz + y (2) xyz + 2z (3) Từ (1), (2), (3) suy B = 2(x + y + z + xyz ) = 2.4 = Câu 10 Ta có: a − a b + ab − 6b =0 ⇔ (a − 2b )(a + ab + 3b ) =0 (*) Vì a > b > ⇒ a + ab + 3b > nên từ (*) ta có a = b Biểu = thức B −4 12b a − 4b 16b − 4b Vậy: = = B = 4 4 21 −63b b − 4a b − 64b y + z = −x ⇔ ( y + z ) = Câu 11 Ta có: x + y + z =⇒ ( −x ) −2 yz Do đó: Suy ra: y + z – x = x2 x2 = y + z − x −2 yz y2 y2 z2 z2 Tương tự = ta có: = ; z + x − y −2xz x + y − z −2xy y2 y2 x3 + y3 +z3 x2 z2 x2 z2 Do đó: P = + + = + + = −2xyz y + z − x z + x − y x + y − z −2 yz −2xz −2xy = (x + y + z ) Vậy P = − − ( x + y )( y + z )(z + x ) −2xyz = − ( −z ) ( −x ) ( −y ) −2xyz = 3xyz = − −2xyz ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Câu 12 Đặt x = a, y = b, z = c ta xy + yz + zx = ⇒ Khi A = x + y + z =0 bc 2ac 2ab yz zx xy 1 + + = + += xyz + + 2 4a b c x y z y z x 1 1 1 1 = + + + + − − − = ta có x y z xyz x y z x y z xy yz 2x 1 3 + + = ⇒ A = xyz ⋅ = Vậy A = xyz xyz x y z Mặt khác từ đẳng thức + + − Câu 13 0(1) a − 3a + 5a − 17 = (a − ) + 2a − 16 = ⇔ 0(2) ( b − ) + 2b + 12 = b − 3b + 5b + 11 = ⇒ ( ) + ( ) ⇔ (a − ) + 2a − 16 + ( b − ) + 2b + 12 = 3 2 ⇔ (a − + b − ) (a − ) − (a − )( b − ) + ( b − ) + (a + b − ) = a − ⇔ ( a + b − ) + b − + (b − 1) + = a −1 = ⇔ a + b + b − + ( b − ) + > 0∀a , b Vậy ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗