VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC “tailieumontoan com” Date Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứ[.]
VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC “tailieumontoan.com” I Lý ThutDate Trong kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn,….Bài viết giới thiệu bạn đọc cách vận dụng hệ thức đoạn cát tuyến đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải toán trở nên đơn giải, ngắn II Bài tâp ACB nhọn Các Bài Cho tam giác ABC có hai góc ABC đường cao BD, CE tam giác cắt H Chứng minh rằng: BH BD + CH CE = BC Trước hết, ta nhắc lại hệ thức sau Mẹnh đề Nếu hai cát tuyến AB CD đường tròn cắt điểm M (M nằm ngồi đường trịn) ta có MA.MB = MC MD Hướng dẫn A D Mệnh đề (Mệnh đề đảo mệnh đề 1) Nếu hai đường thẳng AB CD cắt M có MA.MB = MC.MD Khi bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Mệnh đề Cho đường trịn (O) điểm M nằm bên ngồi đường trịn Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT (T tiếp điểm) cát tuyến MAB ( A , B ∈ (O ) ) Khi ta có MT = MA MB Mệnh đề (Mệnh đề đảo mệnh đề 3) khác góc bẹt Trên tia Mx lấy hai Cho góc xMy điểm A, B Trên tia My lấy điểm T Khi MT = MA MB MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT Việc chứng minh mệnh đề đơn giản, xin dành cho bạn đọc Sau ta xét số toán áp dụng mệnh đề E B H C K Kẻ HK ⊥ BC (K ∈ BC ) Dễ thấy tứ giác CDHK nội tiếp nên theo mệnh đề ta có BH BD = BK BC ( 1) Tương tự, tứ giác BEHK nội tiếp nên theo mệnh đề ta có CH CE = CK CB ( ) Cộng vế đẳng thức (1) (2) ta có: BH BD + CH CE= BK BC + CK CB= BC ( BK + CK )= BC Bài Từ điểm A nằm đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC EF dây cung qua H Chứng minh a) AEOF tứ giác nội tiếp b) AO tia phân giác góc EAF Hướng dẫn ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 15 Suy CH = CE = a ⇒ BH = BC − HC = a 4 B Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BHF E CHF, ta có: A BF − BH = FH = FC − CE O H 15 2 92 ⇒ BF − a = ( 3a ) − a ⇒ BF = 18a ( ) 4 Từ (1) (2) suy BF = BE.BC Theo mệnh đề suy BF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF F C a) Ta có OB ⊥ AB , OC ⊥ AC nên tứ giác ABOC nội tiếp, theo mệnh đề ta có AH.OH = BH.HC Mặt khác, theo mệnh đề ta có: HB.HC = EH.HF Suy tứ giác AEOF nội tiếp b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF = FAO (góc chắn cung Ta có: OE = OF, suy EAO nhau) Do AO tia phân giác góc EAF Bài Cho tam giác ABC cân A có AB = BC Lại có b) Theo câu a) ta có OFB = OCF = OCB = OMF nên OCB = OMF Từ suy tứ giác BMOC OFB nội tiếp Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) C D Kẻ dây cung BN đường tròn (O) cắt đường tròn (A) điểm E Chứng minh NE2 = NC.ND Hướng dẫn F đường cao AE Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F a) Chứng minh tứ giác OECF nội tiếp BF tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) Gọi M giao điểm thứ hai BF với đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BMOC nội tiếp Hướng dẫn M C N E A B O D A F M B Gọi F giao điểm thứ hai BN đường tròn (A) Do O E H C a) Đặt BC = 6a Ta có BE = CE = CF = 3a, AB = AC = 4a Suy AF = AC – CF = a Vì OE ⊥ CE OF ⊥ CF nên tứ giác OECF nội tiếp Kẻ OF ⊥ BC (H ∈ BC ) FH//AE Sử dụng định lí CH CE Thales ta có: = AN ⊥ EF nên N trung điểm FE Gọi M giao điểm thứ hai ND với đường tròn (A) = BD , suy CNB Dễ thấy BC = BND = MNF , suy C M đối xứng qua = ANM Do ANC đường AN nên NC = NM Từ ta có NC.ND = NM.ND = NE.NF (theo mệnh đề 1) Vậy NC.ND = NE2 (đpcm) CF = CA ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường thẳng vng góc với AB C cắt nửa đường tròn D Đường tròn tâm I tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với nửa đường tròn (I) Chứng minh BD = BE Cho điểm C thuộc đường trịn có đường kính AB, E thuộc Chứng nửa đường tròn cho HC ta phân giác góc DHE Hướng dẫn minh HC2 = HD.HE D Từ điểm A ngồi đường trịn tâm O, vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Kẻ dây cung EF qua H Chứng minh AO tia phân giác góc EAF K I A H B E C O Vì AB đường kính nên ∆ADB vng D Suy BD = BC BA ( 1) Cho hình vng ABCD có cạnh dài 2cm Tính bán kính đường trịn qua A B, biết tiếp tuyến từ D đến đường tròn 4cm Cho hai đường tròn (O;R) (O’;r) tiếp xúc D Từ điểm A đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AA’ với Gọi K, H tiếp điểm đường tròn (I) với đường tròn (O) CD Các tam giác cân IKH OKB có = KOH (đồng vị) nên IKH = OKB Suy K, H, B KOB thẳng hàng Theo mệnh đề 3, ta có BE = BH BK (2) đường trịn (O’) Tính độ dài AA’ theo AD, R, r Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự E F Chứng minh BE = CF Tứ giác AKHC nội tiếp Theo mệnh đề ta có: BH.BK = BC.BA (3) Từ (1), (2) (3) suy BD = BE ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... nửa đường tròn (I) Chứng minh BD = BE Cho điểm C thuộc đường trịn có đường kính AB, E thuộc Chứng nửa đường tròn cho HC ta phân giác góc DHE Hướng dẫn minh HC2 = HD .HE D Từ điểm A đường tròn... BF = BE.BC Theo mệnh đề suy BF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF F C a) Ta có OB ⊥ AB , OC ⊥ AC nên tứ giác ABOC nội tiếp, theo mệnh đề ta có AH.OH = BH.HC Mặt khác, theo mệnh đề... hàng Theo mệnh đề 3, ta có BE = BH BK (2) đường trịn (O’) Tính độ dài AA’ theo AD, R, r Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ