1 B£ng kþ hi»u R tªp sè thüc Lp[a, b] khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n �o¤n [a, b] Co ph¦n trong cõa tªp C A trung b¼nh cëng G trung b¼nh nh¥n H trung b¼nh �i u háa L trung b¼nh lægarit Lp trung[.]
1 BÊng kỵ hiằu R têp số thỹc Lp [a, b] khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] Co phƯn cừa têp C A trung bẳnh cởng G trung bẳnh nhƠn H trung bẳnh i·u háa L trung b¼nh lỉgarit Lp trung b¼nh p-lỉgarit M Ưu Hm lỗi v têp lỗi  ữủc nghiản cựu tứ lƠu bi Holder, Jensen, Minkowski c biằt vợi nhỳng cổng trẳnh cừa Fenchel, Moreau, Rockafellar vo cĂc thêp niản 1960 v 1970  ữa giÊi tẵch lỗi tr thnh mởt nhỳng lắnh vỹc phĂt trin nhĐt cừa toĂn hồc Bản cÔnh õ, mởt số hm khổng lỗi theo nghắa Ưy ừ cụng chia s mởt vi tẵnh chĐt no õ cừa hm lỗi Chúng ữủc gồi l cĂc hm lỗi suy rởng (generalized convex function) Mửc tiảu cừa à ti luên vôn l trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi mởt bián, hm lỗi nhiÃu bián, hm J -lỗi, hm s-lỗi, bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi, hm s-lỗi v ựng dửng chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc to¡n phê thổng, Ănh giĂ cĂc giĂ tr trung bẳnh Luên vôn cụng trẳnh by mởt số bĐt ng thực suy rởng cừa bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm khÊ vi n-lƯn, hm J -lỗi, hm s-lỗi, hm s-lóm cĂc cổng trẳnh [7], [8] cổng bố nôm 2012 v 2017 Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh by v chựng minh cĂc bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi mởt bián, hm lỗi khÊ vi bêc nhĐt, bêc hai, bêc n v ựng dửng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chữỡng trẳnh by khĂi niằm và hm J -lỗi v mởt số tẵnh chĐt cừa lợp hm J -lỗi, khĂi niằm hm s-lỗi, tẵnh chĐt cừa hm s-lỗi, vẵ dử và hm s-lỗi Trẳnh by cĂc bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm s-lỗi, trẳnh by chi tiát cĂc chựng minh cĂc bĐt ng thực n y, cịng mët sè ùng dưng cho gi¡ trà trung bẳnh c biằt Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc thƯy, cổ Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn sƠu sưc tợi PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo i·u ki»n tèt nh§t cho tỉi º tỉi câ thº hồc têp, nghiản cựu v hon thnh nhỳng cổng viằc cõa m¼nh Tỉi cơng xin gûi nhúng líi c£m ìn c biằt nhĐt tợi tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔn thƠn yảu, nhỳng ngữới  yảu mán, chia s vợi tổi nhỳng khõ khôn tổi thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2018 TĂc giÊ luên vôn Nguyạn Th Hỗng Hoa Chữỡng Hm lỗi v bĐt ng thực HermiteHadamard Chữỡng ny giợi thiằu khĂi niằm và hm lỗi; trẳnh by mởt số bĐt ng thực dÔng HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi v ùng dưng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh c biằt v chựng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Nởi dung cõa ch÷ìng ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v [10] 1.1 1.1.1 Hm lỗi mởt bián v bĐt ng thực HermiteHadamard BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi nh nghắa 1.1.1 Hm f : [a, b] ⊂ R → R ÷đc gåi l h m lỗi náu vợi mồi x, y [a, b] v λ ∈ [0, 1] th¼ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) H m f ữủc gồi l hm lóm náu hm (f ) l lỗi Hằ quÊ 1.1.2 ([11, Hằ quÊ 2.1]) Hm f (x) khÊ vi hai lƯn trản khoÊng m l hm lỗi náu v ch náu Ôo hm cĐp hai cừa nõ khổng Ơm trản ton khoÊng (a, b) (a, b) ⊆ R R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trång ữủc thiát lêp tứ lợp cĂc hm lỗi Mởt nhỳng bĐt ng thực nời tiáng nhĐt l bĐt ng thùc Hermite Hadamard (cán gåi l b§t ¯ng thùc Hadamard) BĐt ng thực kp ny ữủc phĂt biu nh lỵ sau nh lỵ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f mởt hm lỗi trản [a, b] R, a 6= b Khi â f a + b ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) l (1.1) B§t ng thực (1.1) cõ th viát lÔi dữợi dÔng: (b − a)f a+b Zb ≤ f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (1.2) a Chựng minh Vẳ hm f lỗi trản oÔn [a, b], nản vợi mồi [0, 1] ta câ f λa + (1 − λ)b ≤ f (a) + (1 )f (b) LĐy tẵch phƠn hai vá theo trản oÔn [0, 1], ta nhên ÷đc Z1 Z1 f λa + (1 − λ)b dλ ≤ f (a) Z1 V¼ Z1 0 Z1 (1 − λ)dλ = λdλ = (1 − λ)dλ λdλ + f (b) v b¬ng ph²p êi bi¸n x = λa + (1 − λ)b, suy Z1 f λa + (1 − λ)b dλ = b−a Zb f (x)dx a K¸t hủp vợi (1.3) ta nhên ữủc bĐt ng thực thự hai cừa (1.1) Cụng tẵnh lỗi cừa hm f , 1 f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb) λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb ≥f a+b =f (1.3) Tẵch phƠn hai và bĐt ng thực ny theo trản oÔn [0, 1] ta nhên ữủc Z1 Z a+b ≤ f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ f 2 0 = b−a Zb f (x)dx a B§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.1) ữủc chựng minh Náu g : [a, b] R l hm khÊ vi hai lƯn trản [a, b] ⊆ R v m ≤ g 00 (t) ≤ M vợi mồi x [a, b], m, M l hơng sè x¡c ành, th¼ H» qu£ 1.1.4 (xem [3]) m (b − a)2 ≤ 24 b−a Zb g(x)dx − g a+b ≤ M (b − a)2 24 (1.4) a m x vỵi måi x ∈ [a, b] Khi â, f 00 (x) = g 00 (x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Chùng minh °t f (x) = g(x) − chùng tọ hm f l lỗi trản khoÊng m (a, b) p dưng b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m f ta nhên ữủc 2 a+b m a+b a+b − =f g 2 2 Zb h m 2i = g(x) − x dx b−a a = b−a Zb g(x)dx − m b3 − a3 3(b − a) g(x)dx − m a2 + ab + b2 a = b−a Zb a Do â, m a2 + ab + b2 m − a+b 2 ≤ b−a Zb g(x)dx − g a a+b Hay m a2 + ab + b2 a2 + 2ab + b2 − ≤ b−a Zb g(x)dx − g a+b a BĐt ng thực ny tữỡng ữỡng vợi Zb a + b m (b − a)2 ≤ g(x)dx − g 24 b−a a Nhữ vêy, bĐt ng thực thự nhĐt cừa (1.4) ữủc chựng minh chựng minh bĐt ng thực thù hai cõa (1.4), ta ¡p döng c¡ch chùng minh tữỡng tỹ nhữ vợi bĐt ng thực thự nhĐt cho h m M h(x) = x − g(x), x ∈ [a, b] B§t ¯ng thùc thù nh§t bĐt ng thực kp (1.1) cõ th m rởng nhữ sau Gi£ sû f : R → R l h m lỗi trản oÔn b Khi õ vợi mồi x [a, b] v måi λ ∈ [f − (t), f + (t)], nh lỵ 1.1.5 ([4, nh lỵ 18]) [a, b] vỵi t ∈ [a, b] a < ta câ a+b −t f (t) − λ ≤ b−a Zb f (x)dx (1.5) a 1.1.2 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi khÊ vi Kỵ hi»u Lp [a, b] l khæng gian c¡c h m kh£ tẵch bêc p (1 p < ) trản oÔn [a, b], nghắa l náu f (x) Lp [a, b] th¼ Z b |f (x)|p dx < ∞ a Nhªn x²t 1.1.6 (xem [4]) Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l h m kh£ vi tr¶n [a, b] vợi a < b Náu f L1 [a, b] th¼ f (a) + f (b) − b−a Zb a f (t)dt = b−a Zb a a+b t− f (t)dt (1.6) nh lỵ 1.1.7 ([4, nh lỵ 24]) hm Náu f l hm khÊ vi trản [a, b] R v (x) := lỗi trản [a, b], thẳ a+b f (x) x− f (a) + f (b) b−a f (a) − f (b) ≥ − b−a Zb f (x)dx ≥ (1.7) a Chùng minh p dưng b§t ¯ng thùc cho h m ϕ (xem [10]): Z b a+b ϕ(a) + ϕ(b) a+b ϕ + ≥ ϕ(x)dx ≥ ϕ 2 b−a a Sû dưng ành ngh¾a cõa h m ϕ ta thu ÷đc: " # Z b b−a 0 (f (b) − f (a)) f (a) + f (b) − f (x)dx ≥ ≥ 2 b−a a Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l h m kh£ vi trản [a, b] v p > Náu |f 0| l q-khÊ tẵch trản [a, b], õ p1 + 1q = 1, thẳ nh lỵ 1.1.8 ([4, nh lỵ 26]) 1q b p p1 1q Z b Z b 1 x − a + b dx × ≤ | f (x) |q dx , b−a a b−a a â, Z b a p Z b a+b a+b x− f (x)dx = x− dx a+b 2 (b − a)p+1 = (a + 1)2p Suy ra, p p1 1q Z b Z b a + b x − dx × | f (x) |q dx ... gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chữỡng trẳnh by khĂi niằm và hm J -lỗi v mởt số tẵnh chĐt cừa lợp hm J -lỗi, khĂi niằm hm s-lỗi,... niằm và hm lỗi; trẳnh by mởt số bĐt ng thực dÔng HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi v ùng dưng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh c biằt v chựng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng... 1970  ữa giÊi tẵch lỗi tr thnh mởt nhỳng lắnh vỹc phĂt trin nhĐt cừa toĂn hồc Bản cÔnh õ, mởt số hm khổng lỗi theo nghắa Ưy ừ cụng chia s mởt vi tẵnh chĐt no õ cừa hm lỗi Chúng ữủc gồi l