1 Chương 1 Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng giác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các ch[.]
1 Chương Một số tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược Trong chương trình bày tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược sở cho toán chương 1.1 1.1.1 Đồng thức lượng giác Một số đồng thức liên quan đến hàm sin cosin Ta có cơng thức Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R Khi iα −iα cos α = e + e iα − e−iα e sin α = 2i eα + e−α Từ đó, ta suy cos(iα) = Như hàm số cost với t = iα biểu thức 1 có dạng a+ , a = eα , cho nên, mặt hình thức ta có nhiều a biến đổi thu từ công thức liên quan đến biến x ∈ / [−1; 1] giống hàm số cost Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = cos2 t − 1, cơng thức 1 a + =2 a+ − a a hay 1 2x − = a + , với x = a+ , a 6= a a Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = cos3 t − cost, cơng thức 1 1 a + =4 a+ −3 a+ a a a 1 4x3 − 3x = a3 + , a với 1 a+ , a 6= x= a Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cost, công thức 1 1 1 a + = 16 a+ − 20 a+ +5 a+ a a a a hay 16x − 20x + 5x = a + , a với 1 x= a+ , a 6= a Ví dụ 1.4 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t + cost = cos 3t cos 2t, công thức 1 1 1 a + + a+ =2 a + a + a a a a Từ đó, sử dụng kết khai triển hàm lượng giác cos 3t cos 2t ta thu đồng thức đại số sau a + = −x + 4x3 − 3x (2x2 − 1), a 1 x= a+ , a 6= a Ví dụ 1.5 Cho số thực m với |m| > Tính giá trị biểu thức M = 8x3 − 6x, x= q q p p 3 m + m2 − + m − m2 − Lời giải Vì |m| > nên tồn số thực q để có hệ thức m= q + q Đặt t = q3 ta phương trình t − 2mt + = 0, √ √ từ suy t = m ± m2 − hay q3 = m ± m2 − Chọn q p q = m + m2 − 1, ta q q p p 1 q+ = m + m2 − + m − m2 − = x q Theo ví dụ 1.2 4x3 − 3x = m nên M = 2m Tiếp theo, mục trình bày số đồng thức quen biết liên quan đến hàm số sin Từ công thức Euler ta thu hệ thức i sint = eit − e−it Suy biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số sin sang đồng thức đại số Ví dụ 1.6 Xét cơng thức khai triển sin 3t = sint − sin3 t, Từ ta thu công thức i sin (3it) = (i sin it) + (i sin it)3 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức 1 1 a − =3 a− +4 a− , a a a hay 1 a3 − 4x3 + 3x = a với 1 x= a− , a 6= a Ví dụ 1.7 Xét cơng thức biến đổi sin 5t + sint = sin 3t − sin2 t , Ta viết lại công thức dạng h i i sin i (5t) + i sin(it) = 2i sin i(3t) + (i sin it) Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức " 2 # 1 1 1 a − + a− =2 a − 1+2 a− a a a a Từ ví dụ trên, sử dụng kết khai triển hàm lượng giác sin 3t ta thu đồng thức đại số sau a − = −x + 4x3 + 3x 2x2 + , a 1 x= a− , a 6= a Ví dụ 1.8 Cho số thực m Tính giá trị biểu thức M = x3 + x, x= q q p p 3 m + m2 + − m − m2 + Lời giải Với ∀m ∈ R tồn số thực q để có hệ thức m= q − q Đặt t = q3 ta phương trình t − 2mt − = 0, √ √ từ suy t = m ± m2 + hay q3 = m ± m2 + Chọn q q= m+ p m2 + ta q q p p 1 m + m2 + − m − m2 + = x q− = q m Theo ví dụ 1.6 4x3 + 3x = m nên M = 1.1.2 Một số đồng thức liên quan đến hàm số tang cotang Theo cơng thức lượng giác ta có sint π ,t 6= + kπ, k ∈ Z cost Từ công thức Euler, ta thu hệ thức tant = eiα − e−iα i tant = iα , e + e−iα Từ suy e−α − eα i tan (it) = −α , e + eα hay a2 − i tan (it) = a +1 Ta thấy biểu thức i tan(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số tant sang đồng thức đại số Ví dụ 1.9 Xét công thức khai triển tant π tan 2t = , t, 2t 6= + kπ, k ∈ Z − tan2 t Từ ta thu cơng thức (hình thức) i tan i(2t) = 2i tan(it) + (i tan it)2 Hệ thức đại số ứng với cơng thức đồng thức a2 − 2 a4 − a +1 = 2 , a +1 a2 − 1+ a +1 hay a4 − 2x = , a4 + 1 + x với a2 − x= a +1 Ví dụ 1.10 Xét công thức khai triển tan 3t = tant − tan3 t π , t, 3t = + kπ, k ∈ Z − tan2 t Từ ta thu công thức (hình thức) 3i tan(it) + (i tan it)3 i tan i(3t) = + 3(i tan it)2 Hệ thức đại số ứng với cơng thức đồng thức 3 a2 − a −1 + a6 − a +1 a +1 = 2 , a6 + a −1 1+3 a +1 hay a2 − a6 − 3x + x3 = với x = a6 + 1 + 3x2 a2 + Ví dụ 1.11 Xét cơng thức khai triển tan 2t π tan 4t = , 2t, 4t 6= + kπ, k ∈ Z − tan2 2t Từ ta thu cơng thức (hình thức) i tan i(4t) = 2i tan i(2t) + (i tan i (2t))2 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức a4 − a8 − a +1 = 2 , a +1 a4 − 1+ a +1 Từ ví dụ trên, sử dụng kết khai triển hàm lượng giác tan 2t, ta thu đồng thức đại số sau: 4x + x2 = 2 , a8 + 2x 1+ + x2 a8 − với a2 − x= a +1 Ví dụ 1.12 Hệ thức đại số ứng với công thức π , 2t 6= k , k ∈ Z cot 2t = tan 2t đồng thức a4 + 1 + x = , a4 − 2x với a2 − x= a +1 Ví dụ 1.13 Hệ thức đại số ứng với công thức π , 3t 6= k , k ∈ Z cot 3t = tan 3t đồng thức a6 + 1 + 3x2 = , a6 − 3x + x3 với a2 − x= a +1 Ví dụ 1.14 Hệ thức đại số ứng với công thức π , 4t 6= k , k ∈ Z cot 4t = tan 4t đồng thức 2x + a8 + 1 + x2 = 4x a8 − 1 + x2 với 2 , a2 − x= a +1 Ví dụ 1.15 Xét đồng thức (tant + cott)2 − (tant − cott)2 = Ta viết lại đồng thức cho dạng [i tan(it) + i cot(it)]2 − [i tan(it) − i cot(it)]2 = −4, Hệ thức đại số ứng với cơng thức đồng thức với 2 2 a − a2 + a − a2 + − − + = −4 a2 + a2 − a + a2 − hay 2 x− − x+ = −4 x x với x= a2 − a2 + 1.2 Tính chất hàm lượng giác ngược Định nghĩa 1.1 Cho hàm số song ánh: f :X →Y X,Y tập hợp số nói chung Khi phần tử y = f (x) với y nằm Y ảnh phần tử X Như vậy, đặt tương ứng phần tử y Y với phần tử x X Phép đặt tương ứng xác định hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược hàm số f kí hiệu là: f −1 : y 7→ x = f −1 (y) Nếu f −1 tồn ta nói hàm số f (x) khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f (x) khả nghịch, tức f (x) song ánh tồn hàm ngược f −1 ngược lại Sau điều kiện đủ để hàm số cho có hàm số ngược Định lí 1.1 (xem [1]-[3]) Giả sử hàm y = f (x) xác định, đồng biến (đơn điệu tăng thực sự) nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) liên tục khoảng X Khi khoảng tập giá trị Y tương ứng hàm đó, tồn hàm ngược (đơn trị) x = g(y) hàm đồng biến nghịch biến liên tục khoảng Nhận xét 1.1 Từ hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có hàm lượng giác ngược tương ứng khoảng đồng nghịch biến củachúng h πbiến πi π π ) hàm số y = sin x (hay y = tan x) hàm Trong − ; , (hay − ; 2 2 đồng biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x) sau: y = arcsin x x) ≡ x x = sin y sin(arcsin π π − ≤ arcsin x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ π π −1 ≤ x ≤ − ≤y≤ 2 10 y = arctan x x) ≡ x tan(arctan x = tan y π π ≤ arctan x ≤ − ⇔ −∞ < x < +∞ π π −∞ < x < +∞ − ≤y≤ 2 • Trong [0; π] (hay (0; π)) hàm số y = cos x (hay y = cot x) hàm nghịch biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arccos x (hay y = arccot x) sau: cos(arccos x) ≡ x y = arccos x ⇔ ≤ arccos x ≤ π x = cos y −1 ≤ x ≤ −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ π y = arccot x cos(arccot x) ≡ x ⇔ < arccot x < π x = cot y −∞ < x < +∞, < y < π −∞ < x < +∞ 1) arcsin (−x) = −arcsin x, ∀x ∈ [−1; 1] 2) arccos (−x) = π − arccos x, ∀x ∈ [−1; 1] 3) arctan (−x) = −arctan x 4) arccot (−x) = −arccot x Để khảo sát hàm lượng giác ngược, ta cần phải biết tính đạo hàm cấp chúng Định lí 1.2 (xem [1]-[3]) Giả sử hàm y = f (x) thoả mãn điều kiện Định lí 1.1 tồn hàm ngược điểm x = x0 hàm số có đạo hàm f (x0 ) hữu hạn khác Khi hàm ngược x = g(y) điểm tương ứng y0 = f (x0 ) tồn đạo hàm có giá trị f (x0 ) Vậy ta có cơng thức đơn giản x0y = y0x Bây ta chuyển qua tính đạo hàm hàm lượng giác ngược Để thuận lợi tính tốn, ta đổi vai trị biến x y viết công thức dạng y0x = xy ... thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược Nội dung chương trình bày bất đẳng thức sinh hàm lượng giác, lượng giác ngược số tập áp dụng chương sau 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh hàm lượng giác 2.1.1... 1) Dấu đẳng thức xảy − sin 2.2 2.2.1 C C C = n sin ⇔ sin = 2 n+1 Bất đẳng thức đại số sinh hàm lượng giác ngược Một số dạng bất đẳng thức lớp hàm arcsin arccosin Bài toán 2.10 Cho tam giác ABC... khảo sát hàm lượng giác ngược, ta cần phải biết tính đạo hàm cấp chúng Định lí 1.2 (xem [1]-[3]) Giả sử hàm y = f (x) thoả mãn điều kiện Định lí 1.1 tồn hàm ngược điểm x = x0 hàm số có đạo hàm f