Luận văn bất đẳng thức sắp xếp lại và một số ứng dụng

1 Lời nói đầu Bất đẳng thức sắp xếp lại (hay còn gọi là bất đẳng thức hoán vị) là một bất đẳng thức sơ cấp rất mạnh Sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại sẽ cho ta những lời giải bất đẳng thức thú vị Trên[.]

1 Lời nói đầu Bất đẳng thức xếp lại (hay cịn gọi bất đẳng thức hốn vị) bất đẳng thức sơ cấp mạnh Sử dụng bất đẳng thức xếp lại cho ta lời giải bất đẳng thức thú vị Trên tạp chí toán quốc tế Mathematical Excalibur (Vol 4, No 3, tháng 3/1999), Kin Yin Li (cơng tác Khoa Tốn Đại học Khoa học Công nghệ Hồng Kông) viết báo với tiêu đề “Rearrangement Inequality” nhằm giới thiệu bất đẳng thức này, từ có nhiều tác giả nước quan tâm, trao đổi bất đẳng thức xếp lại Với mong muốn làm rõ sở toán học, ý tưởng việc sử dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh bất đẳng thức, chọn hướng nghiên cứu sử dụng bất đẳng thức xếp lại việc đưa lời giải cho số bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế làm hướng nghiên cứu luận văn thạc sĩ với tên đề tài “Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất bất đẳng thức liệt kê vài hướng giải toán bất đẳng thức thường gặp chương trình tốn phổ thơng đề thi chọn học sinh giỏi Chương Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng Nội dung Chương trình bày bất đẳng thức xếp lại ý tưởng việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc giải số tốn liên quan đến bất đẳng thức, trình bày cụ thể số ví dụ minh họa cho việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại vào việc chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc chương trình phổ thơng Cuối chương tơi sưu tầm, chọn lọc đưa số toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức xếp lại Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Luận văn tác giả đầu tư nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Trịnh Thanh Hải nhiều lí do, luận văn cịn thiếu sót định Em hy vọng nhận nhiều đóng góp quý Thầy cô, anh chị em đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Trần Huyền Thương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức số kết lý thuyết bất đẳng thức, kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1] [2] 1.1 Định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Trong toán học, bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng Ký hiệu a < b có nghĩa a nhỏ b ký hiệu a > b có nghĩa a lớn b Những quan hệ nói gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngồi ta cịn có bất đẳng thức khơng ngặt: a ≤ b có nghĩa a nhỏ b và; a ≥ b có nghĩa a lớn b Sau số tính chất quen thuộc bất đẳng thức thường dùng Tính chất 1.1.1 (Tính chất bắc cầu) Nếu a > b b > c a > c Tính chất 1.1.2 a > b ⇔ a + c > b + c Hệ 1.1.3 a > b ⇔ a − c > b − c Hệ 1.1.4 a + c > b ⇔ a > b − c Tính chất 1.1.5 a > b c > d ⇒ a + c > b + d  c > : a > b ⇔ ac > bc, Tính chất 1.1.6 c < : a > b ⇔ ac < bc Tính chất 1.1.7 a > b ⇔ −a < −b  a b   c > : a > b ⇔ > ; c c Tính chất 1.1.8  a b  c < : a > b ⇔ < c c  a > b > Tính chất 1.1.9 ⇒ ac > bd c > d > Tính chất 1.1.10 a > b > ⇔ < 1 < a b Tính chất 1.1.11 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ an > bn √ √ Tính chất 1.1.12 a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ n a > n b Hệ 1.1.13 (i) Nếu a b hai số dương a > b ⇔ a2 > b2 (ii) Nếu a b hai số khơng âm a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2 Tính chất 1.1.14 Với a, b ∈ R ta có: (i) |a + b| ≤ |a| + |b| (ii) |a − b| ≤ |a| + |b| (iii) |a + b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≥ (iv) |a − b| = |a| + |b| ⇔ a.b ≤ 1.2 Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức thường gặp phổ thơng Trong chương trình phổ thơng, học sinh tiếp cận với số hướng để giải toán bất đẳng thức như: - Định nghĩa; - Phép biến đổi tương đương; - Một số bất đẳng thức kinh điển, chẳng hạn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, Chebyshev, Bernouli; - Tính chất bắc cầu; - Tính chất tỉ số; - Làm trội; - Bất đẳng thức tam giác; - Tam thức bậc hai; - Quy nạp toán học; - Chứng minh phản chứng; - Biến đổi lượng giác; - Khai triển nhị thức Newton; - Tích phân Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 1.2.1 Chứng minh với m, n, p, q ta có: m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau m2 + n2 + p2 + q + ≥ m(n + p + q + 1)     m m ⇔ − mn + n2 + − mp + p2 4     m m + − mq + q + −m+1 ≥0 4 2  m 2  m 2  m 2 m ⇔ −n + −p + −q + − ≥ 2 2 Ta thấy bất đẳng thức cuối hiển nhiên Dấu xảy  m   −n=0          m   −p=0   2 ⇔   m   −q =0           m   −1=0  m  n =          m    p=     m    q=           m=2  m = ⇔ n = p = q = Ví dụ 1.2.2 Cho xy ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: 1 + ≥ 2 1+x 1+y + xy     1 1 ⇔ − + − ≥0 + x2 + xy + y + xy xy − y xy − x2 + ≥0 ⇔ (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) x(y − x) y(x − y) ⇔ + ≥0 (1 + x2 ) (1 + xy) (1 + y ) (1 + xy) (y − x)2 (xy − 1) ⇔ ≥ (1 + x2 ) (1 + y ) (1 + xy) Bất đẳng thức cuối xy ≥ Ví dụ 1.2.3 Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sau: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) ≥ (a8 + b8 )(a4 + b4 ) ⇔ a12 + a10 b2 + a2 b10 + b12 ≥ a12 + a8 b4 + a4 b8 + b12 ⇔ a8 b2 (a2 − b2 ) + a2 b8 (b2 − a2 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )(a6 − b6 ) ≥ ⇔ a2 b2 (a2 − b2 )2 (a4 + a2 b2 + b4 ) ≥ Bất đẳng thức cuối Ví dụ 1.2.4 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥ (1.1) b+c−a c+a−b a+b−c Chứng minh: Theo bất đẳng thức Cauchy: s a b c abc + + ≥33 b+c−a c+a−b a+b−c (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.2) Cũng theo bất đẳng thức Cauchy: p (b + c − a)(c + a − b) ≤ (b + c − a + c + a − b) = c (1.3) Viết tiếp hai bất đẳng thức tương tự (1.3) nhân với (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc Suy abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) (1.4) Từ (1.2), (1.4) suy (1.1) Dấu “=” xảy a = b = c hay tam giác tam giác Ví dụ 1.2.5 Cho ≤ n ∈ Z Chứng minh nn+1 > (n + 1)n Chứng minh: Theo bất đẳng thức Bernoulli:  n+1  n−1  2 n n = 1− n+1 n+1 n+1    2 n−1 n > 1− n+1 n+1   2n 1 ≥ − + (n + 1) n+1 n+1 (n + 1)2 − 1 ≥ + > , ∀n ≥ (n + 1)2 n+1 n+1 Nên  n n+1 n+1 > ⇔ nn+1 > (n + 1)n n+1  a2 + a2 + · · · + a2 = 3, n Ví dụ 1.2.6 Cho Chứng minh rằng: n ∈ Z, n ≥ p  p p √  2 2 a − b + b − a + ab − (1 − b )(1 − a ) ≤ 2, ∀a, b ∈ [−1, 1] Chứng minh: Đối với ví dụ ta sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác sau:  a = cos α Ta có |a| ≤ 1, |b| ≤ Đặt: , (α, β ∈ [0, π]) Khi đó: b = cos β  p p p √  2 2 a − b + b − a + ab − (1 − b )(1 − a ) √ = cos α sin β + cos β sin α + 3(cos α cos β − sin α sin β) √ = sin(α + β) + cos(α + β)  π = cos α + β − ∈ [−2, 2] Ví dụ 1.2.23 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 1 + + = a b c Chứng minh rằng: √ a+b+ √ b+c+ √ √ c+a≥3 Chứng minh: Đối với ví dụ ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng sau: √ √ √ Đặt x = a + b, y = b + c, z = c + a Khi ta có: 2a = x2 + z − y ; 2b = x2 + y − z ; 2c = z + y − x2 19 Giải thiết viết lại thành 1 + + = 2 2 2 x +z −y x +y −z y +z −x √ Bất đẳng thức cần chứng minh x + y + z ≥ √ Giả sử bất đẳng thức chứng minh sai, tức ta có x + y + z < Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 = + + 2 2 2 x +z −y x +y −z y + z − x2 ≥p (x2 + z − y )(x2 + y − z )(y + z − x2 ) Mặt khác ta lại có 2 2 2 2 2 2 (x + z − y )(x + y − z )(y + z − x ) ≤ x y z ≤  x+y+z 6 √ (x2 + z − y )(x2 + y − z )(y + z − x2 ) 3 Hay ta > , bất đẳng thức thu bất đẳng thức sai 2 p Ví dụ 1.2.24 (IMO 1964) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a2 (b + c − a) + b2 (a + c − b) + c2 (a + b − c) ≤ 3abc Chứng minh: Ta có: a2 (b + c − a) + b2 (a + c − b) + c2 (a + b − c) ≤ 3abc ⇔ a(b2 + c2 − a2 ) + b(c2 + a2 − b2 ) + c(a2 + b2 − c2 ) ≤ 3abc (1.20) Theo định lý Cosin tam giác ABC ta có: (1.20) ⇔ 2abccosA + 2abccosB + 2abccosC ≤ 3abc ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ Mà cosA + cosB + cosC ≤ 2 20 Chương Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng Chương trình bày bất đẳng thức xếp lại việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh số bất đẳng thức khác Cuối chương sưu tầm, chọn lọc để đưa số toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức xếp lại Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [4]-[10] 2.1 Bất đẳng thức xếp lại 2.1.1 Khái niệm bất đẳng thức xếp lại Cho hai dãy số thực (a) := (a1 , a2 , a3 , , an ), (b) := (b1 , b2 , b3 , , bn ) Định nghĩa 2.1.1 Hai dãy (a) (b) gọi (i) thứ tự hai dãy tăng giảm, tức a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ≤ an b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ≤ bn , a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ≥ an b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ≥ bn (ii) ngược thứ tự dãy tăng dãy giảm, tức a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ≤ an b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ ≥ bn , a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ≥ an b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤ ≤ bn ... Chương Bất đẳng thức xếp lại số ứng dụng Chương trình bày bất đẳng thức xếp lại việc vận dụng bất đẳng thức xếp lại để chứng minh số bất đẳng thức khác Cuối chương sưu tầm, chọn lọc để đưa số toán... sinh giỏi có liên quan đến bất đẳng thức xếp lại Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [4]-[10] 2.1 Bất đẳng thức xếp lại 2.1.1 Khái niệm bất đẳng thức xếp lại Cho hai dãy số thực (a) := (a1 , a2... đương; - Một số bất đẳng thức kinh điển, chẳng hạn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, Chebyshev, Bernouli; - Tính chất bắc cầu; - Tính chất tỉ số; - Làm trội; - Bất đẳng thức tam giác; - Tam thức