S GD & T THANH HO
TRNG THPT HU LC 4
KIM TRA CHT LNG ễN THI I HC
LN 1, NM HC: 2012 - 2013
MễN TON, KHI A V KHI A
1
(Thi gian lm bi 180 phỳt)
PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s:
3 4
4 3
x
y
x
.
a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A ca (C), bit tip tuyn ct trc honh ti B sao cho tam
giỏc OAB cõn ti A.
Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh
(2cos 1)(sin cos ) 1x x x
.
Cõu 3 (1,0 im). Gii h phng trỡnh
2
4 2 2 2
4 2 0
( , )
8 3 4 0
x xy x y
x y
x x y x y
.
Cõu 4 (1,0 im). Gii bt phng trỡnh
1
3
9
2log 9 9 log 28 2.3
x x
x .
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l na lc giỏc u ni tip trong ng
trũn ng kớnh AD = 2a, SA
(ABCD),
SA 6a
, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB.
Tỡm th tớch khi chúp H.SCD v tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v SC.
Cõu 6 (1,0 im). Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c tha món
3ab bc ca
v
.a c
Tỡm giỏ tr
nh nht ca biu thc
2 2 2
1 2 3
.
( 1) ( 1) ( 1)
P
a b c
Phần riêng (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 im). Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng
1
d :3 5 0x y ,
2
d :3 1 0x y v im I(1; 2) . Vit phng trỡnh ng thng i qua I v ct d
1
, d
2
ln lt ti A
v B sao cho
AB 2 2
.
Cõu 8.a (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn
2 2
(T): 4 2 0x y x y
tõm I v ng phõn giỏc trong ca gúc A cú phng trỡnh
0x y
. Bit
din tớch tam giỏc ABC bng ba ln din tớch tam giỏc IBC v im A cú tung dng. Vit
phng trỡnh ng thng BC.
Câu 9.a (1,0 im). Cho n l s nguyờn dng tha món
3 3
3 1
6 294.
n n
A C
Tỡm s hng m tớch s
m ca
x
v
y
bng 18 trong khai trin nh thc Niu-tn
n
x
y
y
nx
2
24
3
,
0xy
.
B. Theo chơng trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D,
CD 2AB
,B(8;4) . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn AC,
82 6
M( ; )
13 13
l trung im ca HC.
Phng trỡnh cnh AD l
2 0.x y
Tỡm ta cỏc nh A, C, D ca hỡnh thang.
Câu 8.b (1,0 im). Trong mt phng to Oxy, cho
A(3;0)
v elớp
2 2
( ): 1.
9 1
x y
E Tỡm im B
v C thuc Elớp sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, bit im C cú tung õm.
Cõu 9.b (1,0 im). Trờn cỏc cnh AB, BC, CD, DA ca hỡnh vuụng ABCD ln lt ly 1, 2, 3 v n
im phõn bit khỏc A, B, C, D. Tỡm n bit s tam giỏc ly t n + 6 im ó cho l 439.
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Cm
n
t
hyT
n
H
u
(
h
a
u79@g
m
ai
l.
com
)
óg
i
t
i
www
.
l
ais
ac.
page.
t
l
S GD & T THANH HO
TRNG THPT HU LC 4
***
đáp án thang điểm
đề kiểm tra chất lợng ôn thi đại học Lần 1
năm học: 2012 2013- môn toán, khối A và A
1
(ỏp ỏn Thang im gm 05 trang)
P N THANG IM
Cõu ỏp ỏn im
a. (1,0 im)
* Tp xỏc nh
3
\
4
D R
* S bin thiờn:
+ Chiu bin thiờn:
'
2
25
0,
(4 3)
y x D
x
Hm s ng bin trờn cỏc khong
3
;
4
v
3
;
4
.
0.25
+ Cc tr: Hm s khụng cú cc tr.
+ Gii hn v tim cn:
3
lim lim
4
x x
y y
tim cn ngang: y =
3
4
4 4
( ) ( )
3 3
lim , lim
x x
y y
tim cn ng: x = -
4
3
0.25
+ Bng bin thiờn:
x
- -
3
4
'
y
+ +
y
+
3
4
3
4
-
0.25
1
(2,0
im)
* th:
th hm s i xng qua giao im 2 ng tim cn.
0.25
b.(1,0 điểm)
Gọi M là trung điểm của OB có tọa độ
0
( ;0)M x
. Suy ra
0
(2 ;0)B x
,
0
0
0
3 4
( ; )
4 3
x
A x
x
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có dạng:
0
0
2
0
0
25
3 4
( )
4 3
(4 3)
x
y x x
x
x
0.25
Ta có
0
0
0
4 3
( ; )
4 3
x
AB x
x
. Do đó tiếp tuyến có hệ số góc là
0
0 0
4 3
(4 3)
x
k
x x
Mà ta lại có
0
2
0
25
'( )
(4 3)
k y x
x
0.25
Suy ra
0
0
2
0 0 0
0
2
4 3 25
1
(4 3) (4 3)
2
x
x
x x x
x
0.25
Từ đó ta viết được phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là:
4y x và 1y x .
0.25
(1,0 điểm)
PT đã cho tương đương với:
2
sin 2 2 cos (sinx cos ) 1x x x
0.25
s in 2 1 o s 2 (s in x c o s ) 1x c x x
0.25
sin 2 os2 s inx cos
x c x x
sin(2 ) s in(x )
4 4
x
0.25
2
(1,0
điểm)
2
x k
hoặc
2
,
6 3
x k k Z
0.25
(1,0 điểm)
+ Trường hợp 1:
0 0x y
. Suy ra
0
0
x
y
là nghiệm của hệ
0.25
+ Trường hợp 2:
0x
Chia hai vế của phương trình đầu tiên cho
x
, phương trình hai cho
2
x
:
2 2
2 2
2 2
2 2
4 1 0 4 1
4 4
8 3 0 8 3
y y
x y x y
x x
y y
x y x y
x x
2
2
2
3
8
2
4 1
2
12 3
y
y
x y
x
y
x y
x
0. 5
3
(1,0
điểm)
Suy ra
2
4 1 12 3 1y y y hoặc
1
4
y
(loại)
Với
1y
ta có
2
3 1
x x
x
hoặc
2x
Kết luận: Hệ có 3 nghiệm
( ; )
x y
là
0;0 ; 1;1 ; 2;1
0.25
(1,0 điểm) 4
(1,0
điểm)
Điều kiện:
3 14.
x
Bất phương trình đã cho tương đương với:
3 3
3 .log 9 9 log 28 2.3
x x x
0.25
1
0
3
9
3
3.9 28.3 9
3
x
x x
x
0.25
Kết hợp với điều kiện, ta được
1
3
3
x
hoặc
9 3 14
x
0.25
Từ đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
3
; 1 2;log 14S
.
0.25
(1,0 điểm)
Trong tam giác vuông SAB có
2
2 2
2 2 2
2
2
.
6 6
7
7
SA SH SB
SH SA SA
SB
SB SA AB
SH a
SB
a
.
0.25
Do đó:
. .
6 6 6 1 2
= . . 6.
7 7 7 3 7
HSDC B SCD S BCD BCD B CD
V V V SA S a S
0.25
K là hình chiếu của B trên AD ta có: BK.AD = AB.BD suy ra
2
. 3 1 3
.
2 2 4
BCD
AB BD a a
BK S BK BC
AD
, suy ra:
3
3 2
V
14
HSDC
a
Do AD//(SBC) nên
( , )
( , ) ( , )
AD SC
AD SBC A SBC
d d d
0.25
5
(1,0
điểm)
Dựng hình bình hành ADBE. Do AB
BD nên AB
AE
Đặt
( , )d A SBC
= h. Trong tứ diện vuông ASEB, ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
6 3 6h SA AB AE SA AB BD a a a a
Suy ra
( , )d AD SC
= h =
6
3
a
0.25
(1,0 điểm)
Ta chứng minh: Với các số thực không âm x, y thì
2 2
1 1 1
(*)
( 1) ( 1) 1
x y xy
Thật vậy
2 2
(*) ( ) ( 1) 0xy x y xy
(luôn đúng). Tức (*) đúng.
0.25
Áp dụng (*) ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1
P
a c b c ac bc
0.25
6
(1,0
điểm)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có
3
3
1 1 1 1 1 1
( ). 3 .3 . . 9x y z xyz
x y z x y z
hay
1 1 1 9
x y z x y z
.
Suy ra
1 1 1 9
1 1 1 1 1 1
P
ac bc bc ac bc bc
Vì
a c
nên
9 3
.
3 2
P
ab bc ca
0.25
A
D
B
C
S
E
H
K
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P bằng
3
2
(khi và chỉ khi
1a b c
).
0.25
(1,0 điểm)
Vì
1 2
,A d B d
nên gọi tọa độ
( ; 3 5); ( ; 3 1)A a a B b b
( ;4 3( ))AB b a b a
0.25
Từ giả thiết
2 2AB
suy ra:
2
2
( ) 4 3( ) 2 2b a b a . Đặt
t b a
, ta có
2 2
2
( 3 4) 8
2
5
t
t t
t
0.25
Với
2 2 (2; 2)t b a AB
là véctơ chỉ phương của cần tìm.
Suy ra phương trình đường thẳng là
1 2
1 0
2 2
x y
x y
0.25
7.a
(1,0
điểm)
Với
2 2
5 5
t b a
.
Tương tự ta có phương trình của đường thẳng
là
7 9 0x y
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là 1 0x y và 7 9 0x y .
0.25
(1,0 điểm)
Đường tròn
T có tâm
I 2;1 , bán kính
R 5
Gọi
d
là đường phân giác trong của góc A
Khi đó đường thẳng
d
cắt đường tròn
T tại A và
A'có tọa độ là nghiệm của hệ
2 2
x y 4x 2y 0
x y 0
x 0
y 0
hoặc
x 3
y 3
.
0.25
Điểm
A
có tung độ dương suy ra
A 3;3 và
A' 0;0
Vì
d
là phân giác trong của góc A nên
BA' CA'
IA' BC
0.25
Phương trình đường thẳng
BC
có dạng:
BC: 2x y m 0
Mặt khác ta có:
A B C IB C
S 3S d A , B C 3 .d I, B C
0.25
8.a
(1,0
điểm)
m 3
m 9 m 5
3. m 9 3. m 5
m 6
5 5
Do đó phương trình đường thẳng
BC
là :
2x y 3 0
và
2x y 6 0
.
0.25
(1,0 điểm)
Từ
3 3
3 1
6 294 ( 3)( 2)( 1) ( 1) ( 1) 294
n n
A C n n n n n n
0.25
Giải ra ta được
6n
0.25
Với
6n
ta có
6
4 2
6
6 12 12 3
6
2
0
2
2 . (0 6, )
k k k k
k
x y
C x y k k
y x
0.25
9.a
(1,0
điểm)
Để tích sô mũ của x và y bằng 18, ta có
(6 12)(12 3 ) 18 3.k k k
Vậy số hạng cần tìm là
6 3
160 .
x y
0.25
I
A
B
C
A'
(1,0 điểm)
Gọi N là trung điểm của DC, suy ra DN = AB. Do M, N
lần lượt là trung điểm của HC và DC nên
/ /HD MN
.
Đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với AD nên có
phương trình là:
12 0.x y
Vậy tọa độ A thỏa mãn
12 0
2 0
x y
x y
.
Suy ra
(5;7)A
0.25
Phương trình đường thẳng AC(đi qua A và M) là 5 32 0x y
Theo trên
MN AC
nên phương trình MN là 5 4 0.x y
Ta có phương trình BN là
4 0x y
(do
/ /BN DA
và qua B). Suy ra N(4;0)
0.25
8 4 2
( ; ) 3 2, 4 2
2
d B AD BN
. Gọi
( ; 2)D d d
Mà AD
2
= BN
2
2 2
( 5) ( 5) 32d d
. Suy ra D(9 ; 11) hoặc D(1 ; 3).
0.25
7.b
(1,0
điểm)
Nhưng vì D và N nằm cùng phía so với đường thẳng AB nên chỉ có D(1 ; 3) thỏa mãn.
Từ N là trung điểm DC, ta tìm được C(7 ; -3).
Vậy
(5;7)A
, C(7 ; -3), D(1 ; 3).
0.25
(1,0 điểm)
Nhận thấy ( )A E và là đỉnh thứ nhất trên trục thực. Do tam giác ABC cân tại A và (E)
đối xứng qua trục Ox nên BC vuông góc với Ox.
Do đó gọi
( ; )B m n
thì tọa độ
( ; ) ( 0)C m n n
.
0. 5
Từ giả thiết B, C thuộc (E) và tam giác ABC vuông nên:
2
2
1
9
. 0
m
n
AB AC
0.25
8.b
(1,0
điểm)
Ta có hệ
2 2
2
9 9
( 3)( 3) 0
m n
m m n
12 3
,
5 5
m n
Vậy
12 3 12 3
( ; ), ( ; )
5 5 5 5
B C
0.25
(1,0 điểm)
Số tam giác tạo thành từ n + 6 đỉnh là
3
6n
C
0.25
Số tam giác tạo thành từ 3 điểm trên cùng cạnh CD là 1
Số tam giác tạo thành từ n điểm trên cùng cạnh DA là
3
n
C
0.25
Do đó trên thực tế số tam giác tạo thành phải là:
3 3
6
1 439.
n n
C C
0.25
9.b
(1,0
điểm)
Giải ra ta được n = 10.
0.25
Hết
N
M
H
B
D
C
A
Cảm
ơ
n
t
hầyT
ấ
n
Hậ
u
(
h
a
u79@g
m
ai
l.
com
)
đãgử
i
t
ới
www
.
l
ais
ac.
page.
t
l
. T THANH HO TRNG THPT HU LC 4 *** đáp án thang điểm đề kiểm tra chất lợng ôn thi đại học Lần 1 năm học: 2012 2013- môn toán, khối A và A 1 (ỏp ỏn Thang im gm 05 trang) P N THANG. S GD & T THANH HO TRNG THPT HU LC 4 KIM TRA CHT LNG ễN THI I HC LN 1, NM HC: 2012 - 2013 MễN TON, KHI A V KHI A 1 (Thi gian lm bi 180 phỳt) PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im). P N THANG IM Cõu ỏp ỏn im a. (1,0 im) * Tp xỏc nh 3 4 D R * S bin thi n: + Chiu bin thi n: ' 2 25 0, (4 3) y x D x Hm s ng bin trờn cỏc khong 3 ; 4