Luận án nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể

1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết, ý nghĩa lý luận thực tiễn đề tài: Việc tính tốn, thiết kế dao động điều khiển dao động có vai trị quan trọng nhằm trì hiệu năng, hiệu quả, kéo dài tuổi thọ cơng trình, máy móc Hạn chế hay loại bỏ dao động không mong muốn, tạo mức độ dao động mong muốn mục tiêu chung kỹ thuật dao động Để nghiên cứu tượng dao động, cần phải mô tả chúng phương trình tốn học, theo đó, hệ dao động gọi tuyến tính hay phi tuyến tùy theo phương trình vi phân mơ tả dao động tuyến tính hay phi tuyến Hầu hết tốn dao động liên quan đến việc xác định chuyển động hệ gây tải trọng kích động Nếu tải trọng thay đổi điều hòa hay chu kỳ, theo cách mà mơ tả đầy đủ hàm thời gian (và vị trí) vị trí hay chuyển động ban đầu hệ biết đáp ứng hệ thời điểm tùy ý hoàn toàn xác định Loại dao động gọi dao động tiền định Trong dao động ngẫu nhiên, kích động thay đổi có tính chất ngẫu nhiên (bất thường) gây đáp ứng thay đổi bất thường làm cho cơng trình, thiết bị máy móc làm việc khơng hiệu quả, chóng hư hỏng, bị phá hủy đột ngột Chẳng hạn như: nhiễu động gió lên máy bay, tên lửa; tải trọng gió lên cơng trình cao tầng, tháp, cầu; tác động sóng biển lên tầu biển, cơng trình biển; lực nhấp nhô mặt đường tác động lên ô tô; tác động động đất đến cơng trình, v.v dạng kích động ngẫu nhiên Về chất, giá trị đại lượng ngẫu nhiên thời điểm dự báo được, chí có mối liên hệ cường độ đại lượng ngẫu nhiên thời gian mà đo khoảng thời gian định khơng lặp lại cách xác khoảng thời gian khác Do đó, cơng cụ quen thuộc phân tích dao động tiền định áp dụng cho dao động ngẫu nhiên Bởi vậy, việc nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phương pháp học ngẫu nhiên có ý nghĩa khoa học ứng dụng quan trọng kỹ thuật Trong nửa kỷ qua, có phát triển quan trọng học ngẫu nhiên dao động ngẫu nhiên, đặc biệt với phát triển đóng góp quan trọng kỹ thuật máy tính Việc xây dựng mơ hình cho toán nêu thường dẫn tới việc thiết lập giải phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Đối với dao động ngẫu nhiên mà tính chất động lực cấu trúc mơ hình hóa phương trình tuyến tính thống kê đáp ứng phân tích cách thỏa đáng Tuy nhiên, thực tế, trường hợp thiểu số, phổ biến cấu trúc phi tuyến Việc phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến khó khăn, phức tạp số trường hợp đặc biệt cho phép nhận lời giải xác Bởi vậy, cần xây dựng phương pháp phân tích xấp xỉ dễ ứng dụng cho phép nhận kết có độ xác hợp lý Về bản, phân loại bốn nhóm phương pháp xấp xỉ sau: i) Nhóm phương pháp giải tích (tuyến tính hóa tương đương, phi tuyến hóa tương đương, trung bình ngẫu nhiên, đóng Gauss đóng khơng Gauss, hàm mật độ xác suất xấp xỉ, phương pháp nhiễu, khai triển chuỗi); ii) Nhóm phương pháp số (Runge Kutta, phần tử hữu hạn, ); iii) Mô Monte Carlo; iv) Các phương pháp thực nghiệm Trong số phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương phương pháp sử dụng phổ biến tính đơn giản, áp dụng cho hệ nhiều bậc tự Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên Caughey đề xuất (1959) [9] , [10] để phân tích hệ dao động ngẫu nhiên Nội dung phương pháp dựa thay phương trình phi tuyến hệ phương trình tuyến tính tương đương chịu kích động ngẫu nhiên Các hệ số tuyến tính hóa tương đương nhận theo tiêu chuẩn cực tiểu hóa sai số bình phương trung bình phương trình phi tuyến gốc phương trình tuyến tính tương đương Đây phương pháp hữu hiệu hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu Với hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ xác phương pháp giảm đáng kể cần thiết phải phát triển tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương khác để cải thiện sai số Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đề xuất để nâng cao độ xác phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24] Năm 1995, N Đ Anh Di Paola đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion - LOMSEC) [15] dựa ý tưởng thay tích phân miền vơ hạn (-∞, +∞) tích phân miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi mức độ tập trung đáp ứng hệ xuất nhiều (r số dương, x độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên x) Tiêu chuẩn Tiến sĩ Lưu Xuân Hùng phát triển luận án tiến sĩ [7] Độ xác phương pháp cải thiện đáng kể so với phương pháp truyền thống Caughey Có thể thấy ưu điểm LOMSEC là: Trước hết, cách thay đổi miền lấy tích phân tiêu chuẩn LOMSEC tạo hàng loạt lời giải xấp xỉ; đó, lời giải theo tiêu chuẩn kinh điển trường hợp đặc biệt miền tích phân vơ cùng; thứ hai LOMSEC chứa đựng tồn miền tích phân mà nguyên tắc cho phép nhận lời giải xác, điều tiêu chuẩn kinh điển Tuy nhiên, nhược điểm LOMSEC là: hệ phi tuyến bất kỳ, miền tích phân khu vực phù hợp (giá trị r) lại ẩn số, vấn đề đặt làm để tìm ẩn số Gần đây, quan điểm đối ngẫu đề xuất để nghiên cứu đáp ứng hệ phi tuyến [20] phát triển [21-24] Một ưu điểm quan trọng quan điểm đối ngẫu xem xét hai khía cạnh khác vấn đề, điều cho phép nghiên cứu trở nên phù hợp Năm 2012, dựa quan điểm đối ngẫu, N Đ Anh, L.X Hùng L Đ Việt [24] phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến bậc tự (SDOF) cách kết hợp hai phạm vi địa phương tổng thể Những giá trị thu hệ số tuyến tính hóa giá trị trung bình tổng thể tất hệ số tuyến tính hóa địa phương Trước đây, hệ SDOF sử dụng làm mơ hình tốn học khảo sát số hệ, nay, hệ nhiều bậc tự (MDOF) phải sử dụng hầu hết hệ thống kỹ thuật Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên Đây sở hình thành ý tưởng luận án, là: áp dụng quan niệm đối ngẫu để khắc phục nhược điểm nêu LOMSEC, phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự (MDOF) Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu hệ dao động phi tuyến thường gặp lĩnh vực kỹ thuật với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, bậc tự nhiều bậc tự chịu kích động ồn trắng ồn màu Đại lượng quan tâm chủ yếu mô men bậc hai đáp ứng Phương pháp nghiên cứu: sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mơ Monte - Carlo Phương pháp giải tích sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể Cụ thể là: dựa nhược điểm cịn tồn tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (chưa khép kín mặt giải tích xác định giá trị hệ số tuyến tính hóa khu vực), kết hợp với quan điểm đối ngẫu phân tích đáp ứng hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác vấn đề) cho phép khép kín mặt giải tích để xác định giá trị trung bình hệ số tuyến tính hóa, làm sở để xây dựng tiêu chuẩn Phương pháp số sử dụng để lập trình phần mềm Matlab để tính tốn, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự Mơ Monte – Carlo để tìm nghiệm mô dao động phi tuyến làm sở để đánh giá độ xác lời giải tuyến tính hóa Bố cục luận án Luận án có bố cục gồm phần Mở đầu chương, phần Kết luận; Danh mục công bố luận án; Tài liệu tham khảo; Phụ lục Chương Trong chương vấn đề lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên giới thiệu Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến trình bày phân tích chi tiết Chương Chương hai trình bày phương pháp tuyến tính hóa tương đương sử dụng phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Các phát triển phương pháp bao gồm tiêu chuẩn tương đương giới thiệu Đặc biệt, luận án tập trung vào việc xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự Chương Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC phương pháp GEL cho hệ bậc tự Đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn so sánh với nghiệm xác nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển phân tích mơ men bậc hai số dao động ngẫu nhiên phi tuyến bậc tự Chương Áp dụng tiêu chuẩn GLOMSEC phương pháp GEL cho hệ nhiều bậc tự Đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn so sánh với nghiệm xác, nghiệm mô nghiệm theo tiêu chuẩn kinh điển phân tích mơ men bậc hai số dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự Kết luận chung: Trình bày kết thu luận án vấn đề cần nghiên cứu tiếp Danh sách cơng trình công bố thuộc luận án bao gồm báo, có Tạp chí quốc tế, Tạp chí ISI, Tạp chí Vietnam Journal of Mechanics, hội nghị khoa học quốc tế quốc gia CHƯƠNG GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN Trong chương vấn đề lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên liên quan tới dao động ngẫu nhiên giới thiệu Một số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến trình bày phân tích chi tiết Một số kết nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án trình bày 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng xác suất Lý thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật chung tượng ngẫu nhiên Một biến cố xảy ra, không xảy gọi biến cố ngẫu nhiên Một biến cố chắn xảy không xảy thực phép thử gọi biến cố tiền định Nếu điều kiện thử nghiệm giữ nguyên mà kết thu lại khác nhau, biến cố gọi biến cố ngẫu nhiên Định nghĩa Xác suất biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực n phép thử, biến cố M xuất m lần, xác suất xuất biến cố M, ký hiệu P(M) giới hạn tần suất f(M) = m/n số phép thử n tăng vô hạn lim f (M)  P(M) n  (1.1) Đại lượng ngẫu nhiên X đại lượng mà kết cục r phép thử, ta liên kết với số thực X(r) cho a) tập hợp X  x thể biến cố M số thực x, b) xác suất biến cố X =   không PX =  = (1.2) Với x số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) đại lượng ngẫu nhiên X xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ x, F(x) = P[X  x] (1.3) Hàm phân phối xác suất F(x) có tính chất sau [29,69]:  F  x  1 x1  x2 F  x1   F  x2  (1.4) F ()  lim F ( x)  x  F ()  lim F ( x)  x P[ x1  X  x2 ]  F ( x2 )  F ( x1 ) Đại lượng ngẫu nhiên gọi liên tục hàm phân phối xác suất F(x) liên tục Đạo hàm bậc hàm phân phối xác suất gọi hàm mật độ xác suất, ký hiệu p(x) xác định theo công thức [29,69]: P[ x  X  x   x ]  F '( x ) x  x p ( x )  lim (1.5) Ta có x F ( x)  P[ X  x]   p( x)dx  b P[a  X  b]   p( x)dx (1.6) a   p( x)dx  F ()   Khi xét đồng thời hai đại lượng ngẫu nhiên X Y, ta có đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hàm phân phối xác suất kết hợp định nghĩa sau: F ( x , y )  P[ X  x , Y  y ] (1.7) hàm mật độ xác suất kết hợp P[ x  X  x  x, y  Y  y  y ]  F ( x, y )  x 0  x  y xy y 0 p( x, y )  lim (1.8) Hai hàm có mối quan hệ sau: x F ( x, y)  y   p( x, y)dxdy   (1.9) chúng có tính chất sau:  F ( x, y )  x2  x1 , y F ( x2 , y )  F ( x1 , y ), y2  y1 , x F ( x, y2 )  F ( x, y1 ) F ( , y )  y , F ( x,  )  x F ( ,  )  0, F ( x,  )  F1 ( x ), F ( , y )  F2 ( y ), F ( ,  )  P[ X  x, y1  Y  y2 ]  F ( x, y2 )  F ( x, y1 ) P[ x1  X  x2 , Y  y ]  F ( x2 , y )  F ( x1 , y ) P[( x, y )  D ]   p ( x, y ) dxdy D     p( x, y )dxdy  (1.10)   Hàm mật độ xác suất thành phần (đại lượng ngẫu nhiên) X Y tương ứng ký hiệu p1(x) p2(y) thu phép tích phân:  p1 ( x)    p( x, y)dy, p2 ( y )    p( x, y)dx (1.11)  Nếu hai thành phần X Y độc lập nhau, p(x,y) = p1(x)p2(y) F(x,y) = F1(x)F2(y) (1.12) Tương tự ta mở rộng khái niệm cho đại lượng ngẫu nhiên n chiều 1.2 Quá trình ngẫu nhiên Khi đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian ta có khái niệm trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên hàm số mà giá trị hàm giá trị cho trước đối số (thời gian t) đại lượng ngẫu nhiên Để mô tả trình ngẫu nhiên ta dùng thể Mọi thể đơn lẻ x(j)(t) thuộc tổng thể gọi hàm mẫu (xem Hình 1.1) Các đặc trưng xác suất trình ngẫu nhiên năm hàm không ngẫu nhiên sau đây: hàm mật độ xác suất, kỳ vọng toán, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ t1 t2 Hình 1.1 Các hàm mẫu theo thời gian trình ngẫu nhiên Hàm mật độ xác suất Tại giá trị t=t1 cố định trình ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên x(t1) Ký hiệu mật độ xác suất hay phân phối xác suất bậc p[x(t1)] đơn giản p(x), xác suất để mẫu nằm a b theo (1.13) b  p( x)dx (1.13) a Tương tự, hai giá trị t1 t2, cặp giá trị x(t1) x(t2) coi biến ngẫu nhiên hai chiều Nếu gọi p(x1,x2) hàm mật độ xác suất kết hợp ta có  p ( x1 )    p( x , x )dx , 2 p ( x2 )    p ( x , x )dx (1.14)  Nhiều thơng tin quan trọng q trình ngẫu nhiên biết thông qua đại lượng mô men bậc bậc Mô men bậc hay kỳ vọng tốn học q trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng chiều p(x) định nghĩa sau [3,29,30] Mô men bậc (hay Kỳ vọng toán)  mx  E[ x]   x    xp( x)dx (1.15)  Mơ men bậc (hay đại lượng trung bình bình phương) trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) định nghĩa sau [3,29,30] 10 Mô men bậc  E[ x ]   x   x (1.16) p ( x) dx  Mô men bậc quy tâm hay gọi phương sai trình ngẫu nhiên (dừng) X(t) định nghĩa sau [3,29,30] Mô men bậc quy tâm (hay Phương sai)  x D( x)    E[( x  x ) ]   ( x  x ) p( x)dx   x2    x 2 (1.17)  Đại lượng  x  D( x) phản ánh mức độ phân tán trình ngẫu nhiên X(t) so với giá trị trung bình nó, gọi độ lệch chuẩn Một cách tổng quát mô men bậc n trình ngẫu nhiên véc tơ m chiều (dừng) X(t) với hàm mật độ xác suất dừng m chiều p(x1, x2, … xm) định nghĩa sau [3,29,30]  m1 m2 mm m m1 m2 mm m E[ x x x ]   x x x   x xmmm p( x1 , x2 , xm )dx1dx2 dxm , m1 m2   x   m1  m2   mm  n, mi  0, i  1, , m (1.18) Hàm tự tương quan hiệp phương sai Gọi t1 t2 hai giá trị t với t2 = t1 +  ký hiệu x1 x2 tổng thể mẫu x(t1) x(t2) mà chúng có mật độ xác suất bậc hai p(x1, x2) Khi kỳ vọng tốn tích x1x2 [29,69]:   R( x1 , x2 )   x1 x2     x x p( x , x )dx dx 2   gọi hàm tự tương quan (hay hàm tương quan) Ta có R(x1,x2) = R(t1,) với  = t2 - t1 độ trễ (1.19) 100 PHỤ LỤC Các cơng thức tính mơ men theo tiêu chuẩn LOMSEC Đối với trình chuẩn vơ hướng y có trung bình khơng, tất mơ men bậc cao y n biểu diễn theo mô men bậc hai: n y n  1.3.5 2 n  1 y   Tương tự, tất mô men bậc cao y2n LOMSEC thể dạng mô men bậc hai y theo cơng thức dễ dàng chứng minh sau thay biến 2n y  y  y 0 y y   2Tn , y y y  t n y , n=1,2, y0  2n y  y n ; Tn, y   t nt dt ; nt   2n 2 e  t2 Gán giá trị cụ thể cho n, y0 , ta thu Tn, y giá trị dương Ngồi ra, tất mơ men bậc lẻ Giả sử x x q trình chuẩn có trung bình khơng, ký hiệu [.] giá trị trung bình địa phương biến ngẫu nhiên lấy sau  x0  x     .Px, x dxdx (a.1)  x0  x x0 , x0 giá trị dương cho; P x , x  hàm mật độ xác suất chung chúng, phân thành hai hàm mật độ xác suất đơn độc lập: P( x, x)  P( x) P( x), P( x)  e x 2  x 2 x2 , P( x)  e x 2  x 2 x2 (a.2)  x  x độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên x x Các tích phân (a.1) chuyển qua biến không thứ nguyên cách x0  r x , x0  r x với r giá trị dương xác định: 101  r x  r x     .Px, x dxdx (a.3)  r x  r x Như biết, với biến ngẫu nhiên chuẩn có trung bình zero, tất mô men bậc lẻ không, tất mơ-men bậc chẵn có bậc cao bậc hai biểu diễn theo mơ men bậc hai Bằng cách thay biến x  t x , x  t x sử dụng cơng thức (a.2), (a.3), sử dụng LOMSEC biểu diễn x , x  theo mô men bậc hai 2n 2n x , x Đối với biến x:  r x x    x 2n  r x 2n  P( x)dx  P( x)dx  r x  r x r    t n x2 n  r r    2 x2 n  t n  2 et  x 2  x 2 x2  r  x dt     r 2 et  x 2  x 2 x2   x dt   (a.4)  r t 2  t 2  e dt  2 e dt  2    n Ký hiệu  x2 n  x r t 2  (t )  e , Tn, r   t n (t )dt 2 (a.5) Cơng thức (a.4) viết dạng  r x  x n    r  r x x n P( x)dx  r x  r x  r x n P( x)dx  2Tn ,r x P( x )dx 2Tn,r x n 2T0,r , x n  r x ,  r x (a.6) r P( x )dx 2T0,r , T0,r   (t )dt x Tương tự với biến x :  r x  x   2n   r x  r x x P( x )dx 2n  r x n P( x )dx  2Tn,r x x n 2T0,r ,  r x  r x  P( x)dx 2Tn ,r x 2 n  r x ,   r x r (a.7) P( x)dx 2T0,r , T0,r   (t )dt Cho r   , công thức (a.6) (a.7) trở thành công thức quen thuộc: 102 x 2n    x 2n      n   x P( x)dx  P( x )dx 2Tn,  x 2n   2n  1!! x n (a.8)  đó:   x 2n P( x)dx  2 2n x  t  2n   x n  x n           P( x)dx  2   2n  1!! x n (a.9)  x 2n P( x )dx  2 x2 n  t 2n  n   x n P( x )dx  P( x)dx 2Tn,  x   n t 2 t 2 e dt  2Tn,  x ,  P( x )dx  2 e dt  2 2  t 2 e dt  2Tn, x 2 n , t2 e dt  2 Các chương trình MATLAB tính tốn mơ hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến 2.1 Chương trình Matlab mơ Monte Carlo cho hệ Duffing có cản chịu kích động ồn trắng % CHUONG TRINH TINH KICH DONG ON TRANG CHO HE DUFFING + can bac = MP MONTE CARLO % XDOTDOT+beta*XDOT+ga*XDOT^3+omega^2*X+epxilon*X^3=W(T) % Clear memory clear all; format long; % Pho tan so S S=1; % Buoc chia time=0.1; % POWER=Cuong on trang mu 2=2*PI*S power=S*2*pi; 103 % c = BETA he so bo can tuyen tinh c=0.1; ga=1; % ga = [0.1 10 100] he so can phi tuyen ep=100; % epxilon = [0.1 10 100] he so cung phi tuyen om=0; Numtri=10000; z2=zeros(Numtri,1); % MOPHONG MONTE CARLO % So lan lap bang 10000 lan for i=1:Numtri % gieo mau ngau nhien (0,1) noise=round(100000*rand(1)); %goi so simulink co ten ontrang.mdl thu muc C:\MATLAB7\work [T X Y1]=sim('ontrang', [0 300]); %tinh gia tri vecto dap ung chuyen dich Y1 L=length(Y1); y1=Y1(L); %z1(i)=mean(y1); %plot(T,Y1) % Tinh gia tri binh phuong cua y1 y2=y1*y1; z2(i)=y2; % hien thi thoi gian tinh 104 if mod(i,100)epxilon; k11(j)=w1*k11(j-1)+w2*k11(j-2); k12(j)=w1*k12(j-1)+w2*k12(j-2); k21(j)=w1*k21(j-1)+w2*k21(j-2); 108 k22(j)=w1*k22(j-1)+w2*k22(j-2); c11(j)=w1*c11(j-1)+w2*c11(j-2); c12(j)=w1*c12(j-1)+w2*c12(j-2); c21(j)=w1*c21(j-1)+w2*c21(j-2); c22(j)=w1*c22(j-1)+w2*c22(j-2); Kej=[k11(j) k12(j);k21(j) k22(j)]; Cej=[c11(j) c12(j);c21(j) c22(j)]; % Tinh tich phan y1 y2 y12 y21 y1dot y2dot (Kej,Cej=Ke3,4,5, ;Ce3,4,5 ) s=1; Sxj11=zeros(N1,1); Sxj12=zeros(N1,1); Sxj21=zeros(N1,1); Sxj22=zeros(N1,1); Sxdotj11=zeros(N1,1); Sxdotj12=zeros(N1,1); Sxdotj21=zeros(N1,1); Sxdotj22=zeros(N1,1); y1=0; y1dot=0; y2=0; y2dot=0; y21=0; y12=0; y12dot=0; y21dot=0; 109 while s