CHỦ ĐỀ 2 CÔNG THỨC LOGARIT 1 Định nghĩa Cho 2 số dương ,a b với 1a ≠ Số α thõa mãn đẳng thức a bα = được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là loga b Như vậy logaa b bα α= ⇔ = Chú ý Không tồn tại Lo.
CHỦ ĐỀ 2: CÔNG THỨC LOGARIT Định nghĩa: Cho số dương a, b với a ≠ Số α thõa mãn đẳng thức aα = b gọi logarit số a b kí hiệu log a b Như aα =b ⇔ α =log a b Chú ý: - Không tồn Logarit số âm số - Cho số dương a, b với a ≠ , ta có tính chất sau:= = log a 0;log a a Các cơng thức Logarit • Cơng thức 1: log a a x = x với ∀x ∈ ;1 ≠ a > • Cơng thức 2: log a x + log a y = log a ( xy ) với x, y, a > a ≠ x log a x − log a y = log a với x, y, a > a ≠ y Chú ý: Với x; y < < a ≠ ta có: log a ( xy= ) log a ( − x ) + log a ( − y ) • Cơng thức 3: log a b n = n.log a b và= log an b Như vậy: log am b n = log a b ( a, b > 0; a ≠ 1) n n log a b m • Công thức 4: (đổi số) log b c = log a c log a b Cách viết khác công thức đổi số: log a b.log b c = log a c với a; b; c > a; b ≠ 1 Hệ quả: Khi cho a = c ta có: log c b.log b c = log c c = ⇔ log c b = (gọi nghịch đảo) log b c Tổng quát với nhiều số: log x1 x log x2 x3 log= log (với ≠ x1 ; xn > ) = xn−1 xn x1 xn • Cơng thức 5: a logb c = c logb a với a; b; c > ; b ≠ Logarit thập phân, logarit tự nhiên • Logarit thập phân: Logarit số a = 10 gọi logarit thập phân ký hiệu: log x( x > 0) ( log x hiểu log10 x ) Đọc Lốc x • Logarit tự nhiên: Logarit số a= e ≈ 2, 712818 gọi logarit tự nhiên ký hiệu: ln x( x > 0) Đọc len x lốc nepe x ( ln x hiểu ln e x ) DẠNG SỬ DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT a2 a2 a4 Ví dụ 1: Cho số thực a thõa mãn < a ≠ Tính giá trị biểu thức T = log a 15 a A T = B T = 12 C T = D T = Lời giải 2 + + a2 a2 a4 2+ + − a 3 15 Ta = có: T log a log log Chọn A a = = = log a = a a a 15 a 15 a Ví dụ 2: Cho số thực a, b, c thõa mãn ≠ a, b, c > khằng định sau a3 (1) log a = − log a b b (2) log a5 b = log a b log a b.log a c (3) log a ( b + c ) = (4) log = log b a + log c a bc a Số khẳng định là: A B C D Lời giải a3 Ta có: log a = log a a − log a b = − log a b → (1) b log = b log = b2 a5 a5 1 = log a b log a b → (2) sai 10 log a ( b + c ) ≠ log a b.log a c → (3) sai log = bc a 1 = = log a bc log a b + log a c 1 + log b a log c a → (4) sai Vậy có khẳng định Chọn A Ví dụ 3: Cho số thực a, b, c thõa mãn ≠ a, b, c > khằng định sau (1) log a3 ( ab )= + 3log a b (2) log a b + log a4 b = log a b a (3) ln = ln a − ln b b (4) log a ( b + c= ) log a b + log a c Số khẳng định là: A B C Lời giải 1 1 Ta có: log a3 ( ab ) = log a ( ab ) = + log a b → (1) sai ( log a a + log a b ) = 3 3 log a b + log a4 b =log a b + log a b = log a b + log a b =2 log a b → (2) 2 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Với a số thực dương bất kỳ, mệnh đề đúng? P = A log ( 3a ) = 3log a B log a = log a D log ( 3a ) = log a C loga = 3log a Câu 2: Với a số thực dương tùy ý, ln ( 8a ) − ln ( 5a ) A ln ( 5a ) ln ( 3a ) B ln ( 2a ) C ln D ln ln Câu 3: Với a, b số thực dương a ≠ Mệnh đề đúng? A log a C log a b = −2 log a b B log a b = log a b D log a b = − log a b b = log a b Câu 4: Cho hai số thực dương a, b a ≠ Khẳng định ? A log a ab= + log a b B 2018log a ab = + log a b 2018 D log a = a 2018b 2018 (1 + log a b ) C log a a 2018 = b 2018 + log a b Câu 5: Cho ≠ a > 0, x > 0, y > , khẳng định sau sai? A log a x a = α log a x B log a= ( xy ) log a x + log x y C log a x = log a x D log a x = log a x Câu 6: Cho số thực < a ≠ Tính giá trị biểu thức P = log a A P = − B P = C P = a3 a2 D P = − Câu 7: Cho a, b > 0, a ≠ 1, a = b đặt P = log a b3 Mệnh đề đúng? A P = B P = C 18 Câu 8: Cho a số thực dương a ≠ Tính giá trị biểu thức P = a A P = B P = 514 C P = Câu 9: Cho số dương a, b, c, d Gía trị S = ln A B ln ( abcd ) D P = 4log a2 D P = 57 a b c d + ln + ln + ln b c d a C D ln ( ab + cd ) Câu 10: Cho log a x = −1 log a y = Tính P = log a ( x y ) A P = B P = 10 C P = -14 D P = 65 Câu 11: Cho log ( a + 1) = Tính 3log4 ( a−3) A B C D Câu 12: Cho a, b > a ≠ thõa mãn log a b = Tính giá trị= T log a2 b + log a b A T = B T = C T = D T = Câu 13: Cho số thực dương a, b với a ≠ Khẳng định đúng? A log a4 ( ab ) = 4a log a b B log a4 ( ab )= + log a b C log a4 ( ab ) = log a b D log a4 ( ab )= 1 + log a b 4 Câu 14: Với số thực dương a,b Mệnh đề đúng? a3 A log = 3log a − log b − 4b a3 B log = 3log a − log b + 4b a3 C log = 3log a + log b + 4b a3 D log = 3log a + log b − 4b Câu 15: Tính P = log a2 ( a10b ) + log A P = a a −2 + log b b với < a ≠ < b ≠ b B P = C P = D P = Câu 16: Cho a, b hai số dương Mệnh đề đúng? A ln ( ab= ) ln a + ( ln b ) B ln ( ab ) = ln a.ln b 2 C ln ( ab= ) ln a + ln b ln a.ln b D ln ( a + b ) = Câu 17: Với a, b > a ≠ , = đặt P log a b3 + log a2 b Mệnh đề đúng? A P = log a b B P = 27 log a b C P = 15log a b D P = log a b Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log a b = Tính giá trị T = log A T = − 10 B T = C T = − (a b ) a b D T = 15 Câu 19: Cho= log a x 2,= log b x với a, b số thực dương lớn Tính P = log a x b2 A B -6 C D -3 Câu 20: Với số thực x, y dương Mệnh đề đúng? A log ( x + y= ) log x − log y B log ( xy ) = log x.log y x2 C log 2= log x − log y y x log x D log = y log y Câu 21: Cho số thực dương a, b, c với c ≠ Mệnh đề sau sai? a B log log c a − log c b = c2 b2 a A log log c a − log c b = c b a C log= ( log c a − log c b ) b D log c c a ln a − ln b = ln c b Câu 22: Với ba số thực dương a, b, c Mệnh đề đúng? 8a b B log = + b log a − log c c 8a b D log = + b log a + log c c 8a b A log = + 2b log a − log c c 8a b C log + log a − log c = c b 2 Câu 23: Cho a, b số thực dương thõa mãn a + b = 14ab Khẳng định sau sai? A ln a + b ln a + ln b = a+b B log = log a + log b C log ( a + b ) =4 + log a + log b D log ( a + b ) =4 + log a + log b Câu 24: Cho log a c= x > log b c= y > Khi giá trị log ab c A 1 + x y B xy C xy x+ y D x + y C a+2 D Câu 25: Cho log = a Tính log 32 40 theo a A 2+a B 3a + 3+ a Câu 26: Cho log m = a A = log m ( 8m ) với < m ≠ Tìm mối liên hệ A a A A= (3 + a ) a B A= Câu 27: Cho a, b > thõa mãn A a = b log (3 − a ) a C A = B a = b log B x+ D A = C a = 36b Tính P = x + y − xy + A B 3− a a log 5.log a Tìm khẳng định đúng? − log b = + log Câu 28: Cho Cho a, b > thỏa log = log = log 25 16 a 20 b A < T < 3+ a a C Câu 30: Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề đúng? D A log a = log a B log a = log a C log a = log a D log a = − log a Câu 31: Cho số lượng a, b, c a ≠ Khẳng định sau đúng? A log a b + log a c = log a ( b + c ) B log a b + log a c = log a b − c log a ( bc ) C log a b + log a c = D log a b + log a c = log a ( b − c ) a3 Câu 32: Cho a số thực dương khác Tính I = log a 64 A I = B I = C I = −3 D I = − ) ( Câu 33: Cho < a ≠ Gía trị biểu thức P = log a a a A B C ( D Câu 34: Cho b số thực dương khác Tính P = log b b b A P = B P = C P = ( ) D P = ) Câu 35: Cho log a b = 3, log a c = −2 Gía trị log a a 3b c A -8 B C D Câu 36: Cho a, b số thực dương khác thỏa mãn log a b = Giá trị log A − B − 3 C −2 D b a Câu 37: Với số thực dương a, b Mệnh đề đúng? A log 2a = + 3log a − log b b B log 2a = + log a − log b b C log 2a = + 3log a + log b b D log 2a = + log a + log b b Câu 38: Cho a số thực dương Tìm mệnh đề đúng? a2 A log = log a − 3 a2 B log = log a + 3 a2 C log log a − = 3 a2 D log log a + = 3 Câu 39: Cho hai số thực dương a, b với a ≠ Khẳng định sau đúng? b a + log a b A log a ( a 3b )= B log a ( a 3b )= C log a ( a 3b )= + log a b 1 + log a b D log a ( a 3b )= + log a b Câu 40: Cho a số thực dương a ≠ Tính giá trị biểu thức M = a A M = 10082017 B M = 2017 2016 2016log C M = 20162017 a2 2017 D M = 20171008 Câu 41: Cho a = log m với < m ≠ Đẳng thức đúng? A log m 8m = 3+ a a B log m 8m = 3− a a C log m 8m= (3 − a ) a D log m 8m= (3 + a ) a Câu 42: Cho a, b, c > thỏa= log a b m= , log a c n Tính A = log abc ( ab c3 ) theo m n A + 2m + 3n 1+ m + n B C + 3m + 2n 1+ m + n Câu 43: Biết= log a b 2,= log a c với a, b, c > a ≠ Tính T = log a A T = − B T = D 1+ m + n + 3m + 2n a2 b c C T = D T = Câu 44: Cho < a, b ≠ x, y hai số thực dương Tìm mệnh đề đúng? A log a x log a x = y log a y B log a C log a ( x + y= ) log a x + log a y 1 = x log a x D log b x = log b a.log a x Câu 45: Cho số thực dương a, b với a ≠ Khẳng định sau sai? A log a ( ab ) = + log a b C log a2 ( ab )= + log a b B log a a = − log a b b D log a a = b log a b Câu 46: Cho hàm số a, b, c ba số thực dương khác Mệnh đề đúng? A log aα b = α log a b B log a b = log b c.log c a C a loga b = b b D log a = log a b + 3 a Câu 47: Biết log a = với a > a ≠ Tính giá trị log a A log a = B log a = 12 Câu 48: Tính giá trị biểu thức A = log a C log a = ; với a > a ≠ a2 D log a = A A = -2 B A = − C A = Câu 49: Cho a > a ≠ Tính giá trị biểu thức P = a A P = B P = D A = log a C P = D P = Câu 50: Giả sử ta có hệ thức a + b = ab với a, b số dương Hệ thức đúng? A log ( a + b= ) log a + log b a+b B log = log a + log b a+b C log= 2(log a + log b) a+b D log = log a + log b Câu 51: Cho < a ≠ biểu thức P = ( ln a + log a e ) + ln a − log a2 e Tìm mệnh đề đúng? A P ln a + = B P ln a + = C P = ln a D.= P ln a + Câu 52: Cho < a ≠ b >0 thỏa mãn log a b = Tính giá trị biểu thức A = log ab2 A A = − 13 11 B A = 13 − 11 C A = 12 D A = Câu 53: Cho < a ≠ b > thỏa log a b = Tính giá trị biểu thức T = log −1 3+2 A T = B = T −1 C = T +1 A T = B T = C T = B T = C T = −1 b a b a −1 3−2 a b D T = Câu 55: Cho ≠ a, b > thỏa mãn log a b = Tính giá trị biểu thức T = log A T = 1 12 D T = Câu 54: Cho a, b > ab ≠ thỏa log ab a = Tính giá trị biểu thức T = log ab b a a b2 b a D T = −4 Câu 56: Cho= log a= , log b Biểu diễn log 2016 theo a b A log 2016 =5 + 2a + b B log 2016 =5 + 3a + 2b C log 2016 =2 + 2a + 3b D log 2016 =2 + 3a + 2b Câu 57: Biết log 42 = + m log 42 + n log 42 với m, n số nguyên Mệnh đề đúng? A m.n = B m.n = −1 C m.n = −2 D m.n = Câu 58: Cho a > 0, b > thỏa mãn a + b = ab Chọn mệnh đề đúng? A log ( a += b ) ( log a + log b ) B ( log a + log b ) = log ( ab ) ... a a a 15 a 15 a Ví dụ 2: Cho số thực a, b, c thõa mãn ≠ a, b, c > khằng định sau a3 (1) log a = − log a b b (2) log a5 b = log a b log a b.log a c (3) log a ( b + c ) = (4) log... a Số khẳng định là: A B C D Lời giải a3 Ta có: log a = log a a − log a b = − log a b → (1) b log = b log = b2 a5 a5 1 = log a b log a b → (2) sai 10 log a ( b + c ) ≠ log a b.log... (4) sai Vậy có khẳng định Chọn A Ví dụ 3: Cho số thực a, b, c thõa mãn ≠ a, b, c > khằng định sau (1) log a3 ( ab )= + 3log a b (2) log a b + log a4 b = log a b a (3) ln = ln a − ln b b (4) log