SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC MỘT ẨN

Sử dụng định lý Sturm, định lý Fourier, quy tắc dấu Descartes để xác định số nghiệm, vị trí nghiệm của phương trình đa thức trong khoảng xác định và số bội tương ứng của chúng. Sử dụng các phương pháp giải số như phương pháp Newton, phương pháp dây cung, phương pháp Muller,... để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến nói chung và phương trình đa thức nói riêng.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM QUANG THUẬN SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 Đà Nẵng, năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM QUANG THUẬN SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CHỬ VĂN TIỆP Đà Nẵng, năm 2022 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.2 Định lý giá trị trung bình 10 Đa thức, nghiệm đa thức 11 1.2.1 Một số định nghĩa 11 1.2.2 Khoảng chặn nghiệm đa thức 12 1.3 Ước chung lớn hai đa thức 14 1.4 Một số bổ đề định lý 15 Sự phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn 20 2.1 Định lý Fourier 20 2.2 Quy tắc dấu Descartes 28 2.3 Dãy Sturm 30 2.4 Định lý Sturm 32 Phương pháp số giải gần phương trình phi tuyến 45 3.1 Phương pháp chia đôi 45 3.2 Phương pháp đồ thị 48 3.3 Phương pháp lặp đơn 49 3.4 Phương pháp Newton 52 3.4.1 Mô tả phương pháp 52 3.4.2 Cách chọn điểm x0 để đảm bảo thuật toán hội tụ 59 3.4.3 Thuật toán Newton cải tiến cho trường hợp nghiệm bội 59 3.5 Phương pháp dây cung 61 3.6 Phương pháp Muller 66 Tài liệu tham khảo 71 Lời nói đầu Lời nói tơi xin bày tỏ lịng biết ơn, tri ân sâu sắc đến thầy TS Chử Văn Tiệp, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu, động viên để nghiên cứu thực đề tài luận văn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy khoa Toán trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng, người tận tâm giảng dạy bảo tơi suốt q trình học tập tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2022 Tác giả Lâm Quang Thuận Mở đầu Lý chọn đề tài Việc giải phương trình đại số dạng toán toán học phổ thơng Đây tốn hay khó Trong khoảng ba thiên niên kỷ, đầu kỷ XIX, thuật ngữ "đại số" có nghĩa giải phương trình đa thức, chủ yếu bậc bốn trở xuống Hầu hết văn minh cổ đại lớn, Babylon, Ai Cập, Trung Quốc Hindu phải giải tốn tìm nghiệm phương trình đa thức, chủ yếu phương trình tuyến tính bậc hai Việc giải phương trình bậc hai thời Babylon cách gần 4000 năm Các nhà tốn học thời sử dụng cơng thức tương đương với cơng thức nghiệm phương trình bậc hai sách giáo khoa phổ thông Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu với phương trình bậc ba, ta có cơng thức nghiệm tương tự phương trình bậc hai khơng? Nghiệm phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = đến kỷ XVI tìm Khoảng năm 1515, S del Ferro tìm nghiệm phương trình bậc ba ơng khơng công bố Nghiệm Tartaglia phát vào năm 1535 ông tiết lộ cho G Cardano cơng thức với u cầu phải giữ bí mật Sau này, Cardano công bố công thức nghiệm phương trình bậc ba cơng trình tiếng ông "Ars Magna" (xem [5]) Bước cách giải đưa phương trình bậc ba tổng quát dạng y + py + q = a phép đổi biến y = x + Từ ơng xây dựng cơng thức nghiệm phương trình bậc ba thu gọn dạng: s s r  r    q p q q p  q 2 3 y= − + + + − − + 2 Rất nhanh chóng sau đó, học trị Cardano L Ferrari tìm cơng thức nghiệm phương trình bậc bốn Cơng thức biểu thức chứa thức phép toán đại số Từ nảy sinh câu hỏi liệu có tồn công thức nghiệm tương tự cho phương trình đa thức bậc lớn hay khơng Đến đầu kỷ thứ XIX, Abel tìm thấy cơng thức tổng qt Ngay sau đó, Galois, thiên tài tốn học người Pháp xây dựng hệ thống lý thuyết sau gọi “lý thuyết Galois” nhằm đưa tiêu chuẩn để phương trình đa thức có nghiệm biểu diễn biểu thức chứa thức Ý tưởng thiên tài Galois mở thời kỳ phát triển rực rỡ đạt tới đỉnh điểm khơng riêng ngành Tốn học đại mà ngành khoa học khác liên quan như: Cơ học lượng tử, khoa học vũ trụ, Cơng trình Abel Galois đánh chấm hết cho hy vọng giải xác nghiệm phương trình đa thức bậc bậc lớn nhân loại suốt ngàn năm Tuy nhiên cần lưu ý phương pháp xấp xỉ để giải gần phương trình bậc ba, bốn sử dụng rộng rãi trước cơng thức nghiệm xác tìm (xem [8, 9]) Hơn nữa, cơng thức nghiệm thức xác lý thuyết cồng kềnh nên có giá trị thực tiễn sống Mặt khác, định lý đại số (xem [6]) cho ta biết phương trình đa thức bậc n có tối đa n nghiệm thực kể bội, toán đặt định nghiệm thực phương trình đa thức bậc n Nói cách cụ thể hơn, cho trước phương trình đa thức bậc n Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (1) với ∈ R số cho trước, với an ̸= 0, muốn trả lời câu hỏi sau: Phương trình (1) có nghiệm thực đơn, nghiệm thực bội với số bội tương ứng Xác định vị trí tất nghiệm thực phương trình (1) trục số Xác định gần tất nghiệm thực phương trình (1) y y = Pn (x) x Việc tìm nghiệm phương trình đa thức đóng vai trị quan trọng số ngành tốn học đại lý thuyết số đại số, lý thuyết Galois, lý thuyết trường, lý thuyết số siêu việt, hình học đại số Chính vậy, gợi ý thầy hướng dẫn TS Chử Văn Tiệp, chọn đề tài: "Sự phân bố nghiệm nghiệm số phương trình đa thức ẩn" để làm luận văn thạc sĩ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn bậc n nghiệm số phương trình phi tuyến ẩn Mục tiêu nội dung nghiên cứu ˆ Tìm hiểu khái niệm nghiệm phương trình đa thức ẩn ˆ Tìm hiểu phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn (các phương trình đại số ẩn đưa phương trình đa thức ẩn, luận văn tơi nghiên cứu phương trình đa thức ẩn) ˆ Giải gần tất nghiệm phương trình phi tuyến Phương pháp nghiên cứu ˆ Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo ˆ Tổng hợp thể tường minh kết nghiên cứu ˆ Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn để cải tiến, thiết lập kết tốt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Đề tài góp phần bổ sung thêm hướng tiếp cận khác việc giải phương trình đa thức Luận văn sau hoàn thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giảo viên học sinh phổ thông độc giả quan tâm đến việc giải gần phương trình nói chung phương trình đa thức nói riêng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm ba chương Phần mở đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn Phần nội dung: Luận văn bao gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Nêu số kiến thức hỗ trợ cho chương chương Chương Sự phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn Trình bày số định lý quan trọng (Định lý Fourier, Quy tắc dấu Descartes, Dịnh lý Sturm) ví dụ áp dụng minh họa cho định lý nêu Chương Phương pháp tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến Trình bày số phương pháp tìm nghiệm số phương trình phi tuyến, ví dụ chạy chương trình MATLAB để minh họa Phần kết luận: Tổng kết kết đạt được, số vấn đề chưa giải luận văn nêu hướng phát triển đề tài Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức cần thiết cho chương sau Chi tiết độc giả xem thêm tài liệu tham khảo [2, 6, 7] 1.1 1.1.1 Hàm liên tục, hàm khả vi Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 (Hàm liên tục) Cho X ⊆ R, hàm số f : X −→ R điểm x0 ∈ X Nếu với ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ X : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục x0 Nếu f liên tục điểm x ∈ X ta nói f liên tục X Định nghĩa 1.1.2 (Liên tục bên) Cho A ⊆ R, hàm số f : A −→ R gọi liên tục phải điểm x0 ∈ A với ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Tương tự f liên tục trái điểm x0 ∈ A với ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A : x0 − δ < x ≤ x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Như vậy, hàm số f : A −→ R liên tục điểm x0 ∈ A f liên tục phải liên tục trái x0 Định nghĩa 1.1.3 (Liên tục đoạn) Cho hàm số f : [a, b] −→ R Nếu f liên tục (a, b), liên tục phải điểm a liên tục trái điểm b ta nói f liên tục đoạn [a, b] ... tuyến ẩn Mục tiêu nội dung nghiên cứu ˆ Tìm hiểu khái niệm nghiệm phương trình đa thức ẩn ˆ Tìm hiểu phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn (các phương trình đại số ẩn đưa phương trình đa thức ẩn, ... tài: "Sự phân bố nghiệm nghiệm số phương trình đa thức ẩn" để làm luận văn thạc sĩ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài phân bố nghiệm phương trình đa thức ẩn bậc n nghiệm số phương trình. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÂM QUANG THUẬN SỰ PHÂN BỐ NGHIỆM VÀ NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC