Luyện thi vào lớp 10 môn toán phần đại số

Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 MỤC LỤC PHẦN I - ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa bậc hai: Các công thức vận dụng Định nghĩa bậc ba 4 Tính chất bậc ba II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Dạng 2: Căn bậc hai số học Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 5: Tìm x Dạng 6: So sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn 10 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 20 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 30 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 30 Hµm sè bËc nhÊt 30 1.1- Khái niệm hàm sè bËc nhÊt 30 1.2 - TÝnh chÊt 30 1.3 - Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) 30 1.4 - Cách vẽ đồ thị hµm sè y = ax + b (a  0) 30 1.5 - VÞ trí t- ơng đối hai đ- ờng thẳng 30 1.6- HÖ sè góc đ- ờng thẳng y = ax + b (a  0) 30 II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 30 Dạng 1: Xác định hàm số cho hàm đồng biến – nghịch biến 31 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc toán liên quan 32 Dạng 3: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng 34 Dạng toán 4: Xác định hàm số bậc nhât 35 Dạng 5: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn nhất, nhỏ 37 Dạng 6: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y=f(x,m)thỏa mãn điều kiện cho trước 38 Dạng 7:Chứng minh điểm thẳng hàng 39 Dạng 8: Tìm m để đường thẳng đồng quy (cùng qua điểm) 40 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 42 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 CHUYÊN ĐỀ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 47 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 47 Giải hệ phương trình phương pháp 47 Giải hệ phương trình phương pháp công đại số 47 II –Các dạng tập 47 Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp 47 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 48 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 48 Dạng 4: Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình vơ nghiệm 49 Dạng 5:Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm nhất, tìm nghiệm 49 Dạng 6:Tìm nghiệm x, y có chứa tham số m sau tìm GTLN GTNN biểu thức cho trước 50 Dạng 7: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 51 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 57 CHUYÊN ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax ,(a  0) 64 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 64 I)Hàm số y = ax ,(a  0) 64 II)Phương trình bậc hai ẩn 64 1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng 64 2.Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 64 3.C«ng thøc nghiÖm thu gän : 64 HƯ thøc Vi-et vµ øng dông: 64 III) Các dạng tập 65 III - BÀI CÓ LỜI GIẢI 74 IV Bài tập áp dụng 89 CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN 93 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG - TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 93 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 93 Phương pháp chung: 93 Một số dạng toán thường gặp 93 II - BÀI TẬP MINH HỌA 93 Dạng 1: Bài toán Hình học 93 Dạng 2: Bài tốn Tìm số 95 Dạng 3: Bài toán dân số, phần trăm 96 Dạng 4: Bài toán Năng suất 97 Dạng 5: Bài toán Chung - Riêng 99 Dạng 6: Bài toán Chuyển động 102 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dạng 7: Bài toán thực tế vận dụng 109 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 112 CHUYÊN ĐỀ 121 BẤT ĐẲNG THỨC - TÌM GIÁ TRỊ MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC 121 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 121 Phương pháp chung 121 Phương pháp riêng: 121 2.1 Sử dụng số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: 121 2.2 Bất đẳng thức Cauchy (Cosi): 121 2.3 Bất đẳng thøc Bunhiacopski: 121 2.4 Bất đẳng thức Trê- B- -Sép: 121 II - BÀI TẬP MINH HỌA 121 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 PHẦN I - ĐẠI SỐ ***** CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ x  Định nghĩa bậc hai: Với a  , x = a   x = a * Tính chất: + Số âm khơng có bậc hai + Số có bậc hai số 0, ta viết = + Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương ký hiệu a , số âm ký hiệu − a Các công thức vận dụng * Hằng đẳng thức: A2 = A * Khai phương tích: A.B = A B với A  0, B  A = B * Khai phương thương: A B với A  0, B  * Đưa thừa số từ vào từ dấu A B với A  A B= ( A2 B = A B với A  ) A B = − A2 B với A< ( A2 B = − A B với A< 0) * Khử mẫu biểu thức lấy căn: A = B AB với A.B  0, B  B * Trục thức mẫu: A = B A B với B> B C AB = C A B C ( = C AB A − B2 ( ) A B A− B ) Định nghĩa bậc ba x = a  x3 = a Tính chất bậc ba * A.B = A.3 B *3 A = B A B với B  LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải: +) A để biểu thức có nghĩa A để biểu thức có nghĩa A A +) +) để biểu thức có nghĩa A A +) Định lí dấu nhị thức bậc : Nhị thức ax+b ( a  ) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Bài 1: Tìm x để thức sau có nghĩa a) 2x b) x2 c) x d) x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) b) c) Để thức có nghĩa thì: 2x 2 Để thức có nghĩa thì: x x2 x x x 2x nên x2 x2 x x Để thức có nghĩa thì: d) 2x nên x Để thức có nghĩa x x lý) Vậy khơng tồn x để thức có nghĩa Bài 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức a) A = b) B = x − 2x −1 nên x2 (vô x − 2x + HƯỚNG DẪN GIẢI a) Để biểu thức A có nghĩa x − x −  Cách 1: x − x −   x − x +   ( x − 1)   x −  2 x −1  x  +1    x −  −  x  − + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 x  +1 Vậy để biểu thức có nghĩa   x  − + Cách2: x − x −   x − x + −  ( )( )  ( x − 1) −   x − − x − +  Bảng xét dấu: 1− x x −1− - x −1+ - + + - ( x − − )( x − + ) - 1+ + + + x  +1 Vậy để biểu thức có nghĩa   x  − + Dạng 2: Căn bậc hai số học Phương pháp giải Với a  0, a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học Bài 1: Tìm bậc hai số học số sau: a) 49 b) 36 c) 64 d) 1,21 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có 49 = Vì  72 = 49 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Phép tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương Bài 2: Tìm bậc hai số sau: a) 64 b) 81 c) 1,44 d) 121 HƯỚNG DẪN GIẢI a) Vì bậc hai số học 64 nên 64 có bậc hai 8 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Từ bậc hai số học ta suy bậc hai Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: + Trục + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1:Tính 5+ 5- a) B = + 5- 5+ 1 b) C = 5 + 20 + HƯỚNG DẪN GIẢI 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 a) B = + = 5- 5+ (5 - )(5 + ) 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 = 20 = 25 - 5 1 b) C = 5 + 20 + = + 4.5 + 5 =5 +2 + =3 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu + Dùng đẳng thức Bài 1: a)x b)x = c)x2 d)x 2 3x 5x HƯỚNG DẪN GIẢI a)x ta dùng đẳng thức phân tích đa thức thành 3 ta có nhân tử: x x b)x2 x2 c)x2 3x x 32 x x2 x x 3x 3 (x 3)2 d)x 2 5x x 5x x Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( với a, b, x, y số không âm) a )ab + b a + a + b) x − y + x y − xy HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a )ab + b a + a + = b a2 + b a + a + =b a = ( ( ) ( a +1 + )( ) a +1 ) a +1 b a +1 x3 − y + x y − xy = ( ( =( =( = ) ( x3 − y + )( x + y )( x + y )( x x y − xy ) ) x− y xy + y + xy x− xy + y + xy x− + y2 ) ( ) x− y ) Dạng 5: Tìm x Phương pháp giải: +)Phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình tích +) Với a  , ta có : Nếu x = a x  x = a Nếu x  x = a x = a  g ( x)  +) f ( x) = g ( x )    f ( x) = ( g ( x ) ) Bài 1:Tìm x khơng âm biết a) x 15 b)2 x 14 c) x d) 2x HƯỚNG DẪN GIẢI a) x 15 b)2 x c) x d) 2x 152 x 14 x x x x 225 49 2x 16 x Bài 2: Tìm x a) 9x2 2x b) x2 6x 3x c) 4x 4x2 HƯỚNG DẪN GIẢI a) 9x2 Cách 1:Vì 2x x = 3x nên x2 = x +  3x = x + (1) TH1: 3x   x  , (1)  3x = x +  x = (TM) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 TH2: x   x  (1)  −3x = x +  x = − (TM) Vậy x = 1, x = − nghiệm phương trình Cách 2: −1  2x +    x   9x 2x   2   = + x x ( ) 2   9 x = x + x + −1  x =1 x    −1 5 x − x − =  x =  Kết hợp với điều kiện giá trị x cần tìm x = ; x = b) x + x + = 3x − x2 + x + = ( x + 3) −1 = x+3 Nên x + = 3x − (2) TH1: x +   x  −3 , (2)  x + = x −  x = (TM) TH2: x +   x  −3 ,(2)  − x − = 3x −  x = − (loại) Vậy x = nghiệm phương trình c) − x + x = − x + x2 = − x Nên − x = (3) TH1: − x   x  ; (3)  − x =  x = −2 (TM) TH2: − x   x  ; (3)  − x = −5  x = (TM) Vậy x = −2; x = nghiệm phương trình Chú ý: Ở Bài ta biến đổi làm thức, đưa giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối học lớp Tùy vào mà áp dụng cách cách cách hợp lý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phương án lựa chọn em thay đáp án vào biểu thức thỏa mãn biểu thức nghiệm phương trình Dạng 6: So sánh Phương pháp giải: Với hai số a b khơng âm ta có : a  b  a  b Bài 1: So sánh a) 15 b) 11 c) 25 + 25 + HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 d) − -2 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Ta có : 42 = 16, 152 = 15 16  15 nên  15 b) Tương tự ví dụ 25 + =6, c) Ta có 25 + =8 nên Ta có − = −2 Vì  nên bất đẳng thức đổi chiều) 25 +  25 +   −  − ( suất dấu âm nên Vậy −  −2 Chú ý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phần so sánh em bấn máy tính so sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn Phương pháp giải : Quy đồng, dùng đẳng thức, trục thức… Đối với toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau rút gọn ta áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ‘với hai số a,b không âm ta có a + b  ab dấu ‘=’ xẩy a=b” Bài 1: (Đề tuyển sinh vào 10 Hà Nội 2018-2019) x +4 x +1 − B = với x  0; x  x+2 x −3 x +3 x −1 a) Tính giá trị A x=9 b) Chứng minh B = x −1 A x c) Tìm tất giá trị x để  + B HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hai biểu thức A = a) Vì x=9 thỏa mãn điều kiện nên A = 9+4 = −1 b) Với x  0; x  Ta có: B= = = = x +1 − x+2 x −3 x +3 x +1 x +1 − = − x + x − −1 x + ( x − 1) + (2 x − 2) x +3 ( x − 1) ( x +3 ( x − 1) ( ( ) x +1− x −1 − = x +3 x +3 ( x − 1) x + 3 x +1 x +3 ) ) ( = ) ( x − 1) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 10 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972    (x − y ) 2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bi 16:Cho xy 1.Chøng minh r»ng: 1 +  2 1+ x 1+ y + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã: 1 +  2 1+ x 1+ y + xy  1   1    + − −   2   1 1 + + + x + y y xy     xy − x xy − y +  (1 + x ).(1 + xy) (1 + y ).(1 + xy)    x( y − x) y( x − y) + 0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy − 1)  (1 + x )( + y ).(1 + xy) BĐT cuối xy > 1.Vậy ta có điều phải chứng minh Bi 17:a) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a + b + c  b) Cho a,b,c số d- ơng 1 Chøng minh r»ng (a + b + c ). + +   a b c HƯỚNG DẪN GIẢI: a) áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta cã: (1.a + 1.b + 1.c )  (1 + + 1).(a + b2 + c ) ( 2  (a + b + c )  a + b + c ) (vì a+b+c =1 ) (đpcm)  1 1 b) (a + b + c ). + +   a b c 2  a +b +c  a a b b c c + + +1+ + + +1  b c a c a a a b a c  b c  3+ +  + +  + +   b a c a c b 1+ áp dụng BĐT phụ x y + 2 y x Víi x,y > Ta cã BĐT cuối LUYN THI VO LP 10 Trang 127 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972  1 1 VËy (a + b + c ). + + a b (đpcm) c Bi 18: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = Vµ x − + x − = x − + − x  x − + − x = (1) (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y  x  (2)  DÊu b»ng x¶y  x  VËy T có giá trị nhỏ x Bi 19: Tìm giá trị lớn cđa S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), víi x,y,z > vµ x+y+z =1 HNG DN GII: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có:x+ y + z 3 xyz 1  xyz   xyz  27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cã ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )  3 ( x + y ) ( y + z ).( x + z )   3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) DÊu b»ng x¶y x=y=z= VËy S  8 = 27 27 729 VËy S cã giá trị lớn x=y=z= 729 Bi 20: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhá nhÊt cña x + y + z HƯỚNG DẪN GIẢI: Áp dơng B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) ( xy + yz + zx ) Ta cã (   x2 + y + z ) 2 (  x2 + y + z ) (1) Áp dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x + y + z )  (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) → ( x + y + z )  3( x + y + z ) Tõ (1) vµ (2)   3( x4 + y + z )  x4 + y + z  LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 128 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 VËy x + y + z có giá trị nhỏ lµ x=y=z=  3 Bµi 21: Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2 + y + z  xy + y + z HNG DN GII: Vì x,y,z số nguyên nên: x + y + z  xy + y + z −  x + y + z − xy − y − z +    y2   y2   x − xy +  +  − 3y + 3 + z − 2z +      ( ) y  y    x −  +  − 1 + ( z − 1)  2  2  (*) y  y  Mµ  x −  +  − 1 + ( z − 1)  x, y  R 2  2  2 y  y    x −  +  − 1 + ( z − 1) = 2  2  y  x − =  x =1  y    −1 =   y = 2   z =1  z −1 =    x =1  C¸c số x,y,z phải tìm y = z =1  Bài 22: Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x  2y , tìm giá trị nhỏ x + y2 biểu thức: M = xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1(không sử dụng BĐT Cơ Si) Ta có M = x + y ( x − xy + y ) + xy − y ( x − y ) + xy − y = = = xy xy xy ( x − y)2 3y +4− xy x Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy  x = 2y y x x ≥ 2y    −3 y −3  , dấu “=” xảy  x = 2y x LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 129 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ ta có M ≥ + - = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 2: x2 + y x2 y x y x y 3x = + = + = ( + )+ Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương x y x y x y + 2 =1 , ; ta có 4y x 4y x 4y x dấu “=” xảy  x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y     = , dấu “=” xảy  x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 3: Ta có M = x2 + y x2 y x y x y 3y = + = + = ( + )− xy xy xy y x y x x Vì x, y > , áp dụng BĐT Cô si cho số dương x 4y x 4y x 4y ; ta có +  = y x y x y x dấu “=” xảy  x = 2y −3 y −3  , dấu “=” xảy  x = 2y x Từ ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy  x = 2y 2 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Vì y x x ≥ 2y    Cách 4: x2 3x x x2 x2 + y2 + y2 + + y2 + y2 x +y x 3x = Ta có M = = = + = + xy xy xy xy xy xy 4y 2 Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương x2 x2 x2 y = xy , + y2  ; y ta có 4 dấu “=” xảy  x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y     = , dấu “=” xảy  x = 2y Từ ta có M ≥ 3 xy + = 1+ = , dấu “=” xảy  x = 2y 2 xy LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 130 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Bài 23:Cho a,b,c số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh : a + b3 + c  2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: = 4a + 4b3 + 4c ( a + b + c ) a + ( a + b + c ) b3 + ( a + b + c ) c  a + b4 + c4 = a+b+c =4 Do đó, a3 + b3 + c3  4 = =2 4 Cách 2: Đặt x = a; y = b;z = c => x, y , z > x4 + y4 + z4 = BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3> 2 hay (x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4  x3( -x) + y3( -y)+ z3( -z) > (*) Ta xét trường hợp: - Nếu sô x, y, z tồn it nhât sô  , giả sử x  x3  2 Khi đo: x3 + y3 + z3> 2 ( y, z > 0) - Nếu sô x, y, z nhỏ  BĐT(*) ln đung Vậy x3 + y3 + z3> 2 CM Bài 24: Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + 3 x y HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có x + 2y =  x = – 2y , x dương nên – 2y > Xét hiệu 2 y + − 4y − 3y(3 − 2y) 6(y − 1)2 + −3 = + −3 = = ≥0 x y − 2y y y(3 − 2y) y(3 − 2y) ( y > – 2y >0) x  0,y  x  0,y  x = 1    dấu “ =” xãy  x = − 2y  x =   + x 2y y = y − = y =   LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 131 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 25: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d  ac 2 b+d Chứng minh phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x là ẩn) ln có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét phương trình:x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) 1 +  = (a − 4b) + (c − 4d ) = a − 2ac + c + 2ac − 2(b + d ) = (a − c) + 2ac − 2(b + d ) + Với b+d 0  >0  pt cho có nghiệm ac   ac > 2(b + d) => 1 +   b+d => Ít hai biểu giá trị 1 ,   => Ít hai pt (1) + Với b + d  Từ (2) có nghiệm Vậy với a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d  ac 2, b+d phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x ẩn) ln có nghiệm Bài 26: Khơng dùng máy tính cầm tay , tìm số ngun lớn khơng vượt q ( S, đóS = + ) HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét hai số a = + b = - Ta có : a + b = ab = 1, 0< b < (a+b)3 = 43 = 64 => a3 + b3 = 64 - 3ab(a + b) = 64 - 3.1.4 = 52 (a3+b3)(a3 + b3) = 52.52 => a6 + b6 = 2704 - 2(ab)3 = 2704 - = 2702 => a6 = S = 2702 - b6 (*) Do 0 MN hay 1 AM > AB 1 CP > BC (*) (4) (5) Từ (4), (5), (6) suy ra: 1 1 1 1 BN + AM + BN + CP + CP + AM > AB + BC+ AC 3 3 3 2 2  (AM + BN + CP) > (AB + AC + BC) 3  (AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**) Từ (*), (**) suy ra: (AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA 2  x − y − y = Bài 29: Giải Hệ PT   (2 x + y − 1) x − y − = (4 x − y − 3) x + y HƯỚNG DẪN GIẢI: 2   x − y − y = 3(1)   (2  x + y  −1) x − y − = (2  x − y −  −1) x + y (2) Từ (2) đặt x +2y = a ; 2x–y –1 = b (a:b  0) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 134 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta dc (2a-1) b =(2b –1) a  ( a − b )(2 ab + 1) =  a = b  x = 3y + thay vào (1) ta dc 2y2 – y – 1= => y1 = ; y2 = –1/2 => x1 = ; x2 = –1/2 Thấy x2 + 2y2 = –1 < (loại) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4 ; 1) Bài 30: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 1 + 1 xy xz HƯỚNG DẪN GIẢI: Vì x + y + z = nên suy x = – (y + z) Mặt khác: Thay 1 11 1 1 +    +    +  x x dương (*) xy xz x y z y z x = – (y + z) vào (*) ta có : 2    1 1  +  − ( y + z)  − + y + − + z    − y  + − z 0  y   z y z y z    Luôn với x, y, z dương, dấu xảy chỉ : y = z = 1, x = Bài 31: Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN : P = x y+ HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ x + y =  −1  x, y   −  y +  + Vì P = x y+  x = P( y + ) thay vào x + y = Đưa pt: ( P + 1) y + 2P y + 2P − = Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai  P   PMax  x =  =1  y = −  Bài 32:Giảiphươngtrình: + x − x = (2 + x ) − x HNG DN GII: Đặt x = t ; x = v §K v, t ≥  t + 2v = (2 + v).t   (t − v)(t − 2) =  t = v t=2 Nếu t= x =  x = (TM) NÕu t = v th× − x = x  x = 3,5 Bài 33: Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 135 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a (b a b (c c) 2017 b 2017 c c (a a) 2017 b) 2abc Hãy tính giá trị biểu thức Q a 1 2017 2017 2017 b c HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có: a (b b (c c) 2 a b a c b c ( a 2b b a) ab( a b) c (a a) b a (c a c (a (a b)(ab c2 (a b).(a c).(b b) c a c 2b) b) ac 2abc cb b 2c b) bc ) c) 2abc (2abc c (a 0 a 2c) 0 0 *TH1: a+ b=0 Ta có a b a 2017 a b 2017 c 2017 c b ta có Q 1 1 a 2017 b2017 c 2017 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy Q a 1 2017 2017 2017 b c Bài 34: Cho x  0, y  thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= −2 xy + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: Ta có A = −2 xy xy 1 + xy 1  −A =  = = + −A + xy + xy xy xy Vì x  0, y   A   − A   1  Amin  − Amax  −A −A Mặt khác ( x − y )   x + y  xy  xy   Do  (vì xy  ) xy 1  + = Dấu “ = ” xảy x = y −A 2  x  0, y   x=y= Từ  x = y  2 x + y = 1 = − Vậy A = − x = y = Lúc A = 3 1+ −2  LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 136 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Cách 2: Với x  0, y  ta có 2 x2 + y  xy  xy   + xy      2 + xy + xy Do A = −2 xy = −2 +  −2 + = − + xy + xy 3 Dấu “=” xảy x = y  x  0, y   x=y= Từ  x = y  2 x y + =  Vậy A = − 2 x = y = Cách 3:Với x  0, y  x2 + y = Ta ( có ) 2 2 −2 xy + xy − xy x + y − xy ( x − y ) A+ = + = = = 0 A− 3 + xy (1 + xy ) (1 + xy ) (1 + xy ) Dấu “=” xảy x = y = A+ 2 Vậy A = − x = y = 2 a a −2 xy  0; ( b  )  +   a + axy − 2bxy   a x + y − ( 2b − a ) xy  b b + xy ( ) a  a 2b − a    2  a x + y −  = xy     2b − a a b    a = Bài 35:Cho số x,y thỏa mãn x  0; y  x + y = Tìm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2 HƯỚNG DẪN GIẢI: * Tìm Min A Cách 1: ( x + y ) = x + xy + y = Ta có: ( x − y ) = x − xy + y  Cộng vế với vế ta có: ( x + y )   ( x + y )   A  Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 Cách Từ x + y =  x = − y Thay vào A ta có : 1 A = (1 − y ) + y = y − y + = 2( y − )2 +  y 2 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 137 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dấu « = » xảy : x = y = Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 * Tìm Max A  x2  x 0  x     x2 + y  x + y = Từ giả thiết suy  y  y 0  y   Vậy : Max A = x = 0, y  x − x + 3x − 4y − =  Bài 36 : Giải hệ phương trình:  x + 4y x + 2xy + 4y + = + x 2y   HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ (2) suy x + 2y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2(x + 4y2 ) = (12 + 12 )[x + (2y) ]  (x + 2y)  x + 4y  (x + 2y) x + 2y = (3) Dấu xảy  x = 2y Mặt khác, dễ dàng chứng minh được: Thật vậy, x + 2xy + 4y x + 2y  (4) x + 2xy + 4y x + 2y x + 2xy + 4y (x + 2y)    (do hai vế 3 ≥ 0)  4(x2 + 2xy + 4y2) ≥ 3(x2 + 4xy + 4y2)  (x – 2y)2 ≥ (luôn x, y) Dấu xảy  x = 2y Từ (3) (4) suy ra: x + 4y + x + 2xy + 4y  x + 2y Dấu xảy  x = 2y Do (2)  x = 2y ≥ (vì x + 2y ≥ 0) Khi đó, (1) trở thành: x4 – x3 + 3x2 – 2x – =  (x – 1)(x3 + 3x + 1) =  x = (vì x3 + 3x + ≥ > x ≥ 0)  y = Vậy nghiệm hệ cho (x = 1; y = ) Bài 37: Chứng minh Q = x − 3x3 + x − 3x +  với giá trị x HƯỚNG DẪN GIẢI: Q = x − 3x + x − 3x + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 138 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 = ( x4 − x3 + x2 ) + (1 − 3x + 3x2 − x3 ) = x2 ( x − 1)2 + (1 − x)3 3  = (1 − x)2 ( x − x + 1) = (1 − x)2 ( x − x + + ) = (1 − x)2 ( x − )2 +   0x 4  4 Bài 38: Trên cạnh hình chữ nhật đặt điểm tùy ý Bốn điểm tạo thành tứ giác có độ dài cạnh x, y, z , t Chứng minh rằng: 25  x2 + y2 + z2 + t2  50 Biết hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng HƯỚNG DẪN GIẢI: Giả sử hình chữ nhật có độ dài cạnh đặt hình vẽ Với:  a, b, e, f  a+b = e+f = 4;  c, d, g, h  c+d = g+h = Ta có: x = h2 + a ; y = b2 + c ; z = d + e2 ; t = f + g  x + y + z + t = (a + b ) + (c + d ) + (e + f ) + ( g + h ) (*) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t  50 a, b  Vì nên a + b  (a + b) = 16 Tương tự: c + d  9; e2 + f  16; g + h  2 2 Từ (*)  x + y + z + t  16 + + 16 + = 50 (1) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t  25 Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a- cốp – xki , ta có: (a + b)2 16 2 2 2 = (1 + )(a + b )  (1.a + 1.b)  a + b  2 16 2 2 Tương tự: c + d  ; e + f  ; g + h  2 16 16 2 2 Từ (*)  x + y + z + t  + + + = 25 (2) 2 2 2 2 Từ (1) (2)  25  x + y + z + t  50 (đpcm) Bài 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 + y  x + y Chứng minh rằng: x+ y 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 139 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (x + y) ; x, y  Nhận xét: xy  (x + y)  (x + y)  4xy  (x − y)  0; x, y  Thật vậy: xy  (đúng) Do từ giả thiết: x + y  x + y  ( x + y)2  x + y + xy  ( x + y)2  x + y + ( x + y)2  ( x + y)2  2( x + y)  ( x + y )( x + y − 2)  (*) Vì x + y  x + y  0; x, y  , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y =  x = y =  x + y =  • Nếu x2 + y   x + y  , từ (*) suy ra: x + y −   x + y  Từ suy ra: x + y  Dấu xảy x = y = Cách 2: Áp dụng BĐT Bu nhi a cốp xki: x, y  , ta có: (1.x + 1.y)2  (12 + 12 )(x + y2 )  (x + y)2  2(x + y2 )  (x + y)2  2(x + y)  (x + y)(x + y − 2)  (*) Vì x + y  x + y  0; x, y  , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y =  x = y =  x + y =  • Nếu x2 + y   x + y  , từ (*) suy ra: x + y −   x + y  Từ suy ra: x + y  Dấu xảy x = y = Bài 40:Cho a,b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2 + a − 2b +  Chứng minh: + a + 2b HƯỚNG DẪN GIẢI: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: 1 1 + 2 + = (1) (bđt Côsi) a + 2b + a + b + 1 (a + 1)(b + ) 2 (a + 1)(b + )   +  + a + 2b a +1+ b + (a + 1)(b + ) 2   (bđt Cô si) (2) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 140 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ (1) (2) suy ra: +  + a + 2b Dấu “=” xảy chỉ : a + = b + a + b =  a = b = 4 Bài 41: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + a b HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có (a + b) – 4ab = (a - b)   (a + b)2  4ab  (a + b)  ab 4 1 P  +  , mà a + b  2 (a + b) (a + b) b a (a + b) ( a - b )2 = 4 a=b=    P  Dấu “ = ” xảy   (a + b) 2 a + b = 2  Vậy: P = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 141 ... qua A có hệ số góc m a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N b) Xác định m để MN ngắn LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 45 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 46... pháp cộng đại số phương pháp dựa vào điều kiện tìm giá trị m để kết luận hệ phương trình có nghiệm LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 49 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ... Đặt B = x+6−A LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 29 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Hàm số bậc 1.1 Khái niệm hàm số bậc Hàm số bậc hàm số cho công