Hình học giải tích

MAI QUANG VINH (Chủ biên) - TRẦN THANH PHONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bình Dương, tháng 10 năm 2015 Mục lục Giới thiệu VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ 1.1.1 Khái niệm vectơ 1.1.2 Các phép toán vectơ 1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 1.1.4 Chiếu vectơ 1.1.5 Tích vơ hướng hai vectơ 1.2 Mục tiêu affine mặt phẳng 1.2.1 Mục tiêu affine-Tọa độ 1.2.2 Đổi mục tiêu affine 1.2.3 Tâm tỉ cự 1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Biểu thức tọa độ tích vô hướng 1.3.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.3.4 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ 1.4 Mục tiêu affine không gian 1.4.1 Mục tiêu affine không gian Tọa độ 1.4.2 Đổi mục tiêu affine không gian 1.5 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn 1.5.3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 1.5.4 Tích có hướng hai vectơ 1.5.5 Tích hỗn hợp ba vectơ 1.6 Phương trình đường mặt 1.6.1 Phương trình đường mặt phẳng 1.6.2 Mặt không gian 1.6.3 Đường không gian 1.6.4 Hai toán thường gặp Hình học giải tích 1.7 BÀI TẬP ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG 2.1 Đường thẳng mặt phẳng 2.1.1 Phương trình đường thẳng mục 2.1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 2.1.3 Chùm đường thẳng 2.1.4 Nửa mặt phẳng tiêu affine 7 10 12 13 15 15 17 21 22 22 22 23 26 27 27 28 31 31 32 35 35 37 38 38 40 43 44 45 51 51 51 53 54 55 MỤC LỤC 2.2 2.3 2.4 2.1.5 Phương trình đường thẳng hệ tọa độ trực chuẩn Mặt phẳng không gian 2.2.1 Phương trình mặt phẳng mục tiêu affine 2.2.2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 2.2.3 Chùm mặt phẳng 2.2.4 Nửa không gian 2.2.5 Phương trình mặt phẳng hệ tọa độ trực chuẩn Đường thẳng không gian 2.3.1 Phương trình đường thẳng khơng gian 2.3.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian 2.3.3 Vị trí tương đối mặt phẳng đường thẳng 2.3.4 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.3.5 Góc hai đường thẳng khơng gian 2.3.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian 2.3.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học BÀI TẬP 56 58 59 61 62 63 65 67 67 69 70 70 71 71 72 73 77 ĐƯỜNG BẬC HAI 3.1 Ba đường conic 3.1.1 Đường tròn ellipse 3.1.2 Hyperbol parabol 3.1.3 Ba đường conic 3.1.4 Đường kính ba đường conic 3.1.5 Tiếp tuyến ba đường conic 3.1.6 Đường chuẩn ba đường conic 3.2 Đường bậc hai mặt phẳng với mục tiêu affine 3.2.1 Khái niệm 3.2.2 Phương trình tắc đường bậc hai 3.2.3 Giao đường bậc hai đường thẳng 3.2.4 Tâm đường bậc hai 3.2.5 Tiếp tuyến đường bậc hai 3.2.6 Phương tiệm cận đường tiệm cận 3.2.7 Đường kính liên hợp 3.3 Đường bậc hai mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 3.4 Các bất biến đa thức bậc hai Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.4.1 Các bất biến đa thức bậc hai 3.4.2 Nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến 3.5 BÀI TẬP 83 83 83 86 87 89 93 96 98 98 98 103 105 106 108 109 111 MẶT BẬC HAI 4.1 Mặt tròn xoay 4.2 Mặt tròn xoay bậc hai 4.2.1 Mặt cầu 4.2.2 Ellipsoid tròn xoay 4.2.3 Hyperboloid tròn xoay 4.2.4 Paraboloid tròn xoay 4.2.5 Mặt nón trịn xoay 131 131 133 134 134 135 137 138 118 118 123 128 MỤC LỤC 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.2.6 Mặt trụ tròn xoay 4.2.7 Cặp mặt phẳng song song 4.2.8 Cặp mặt phẳng trùng Mặt bậc hai 4.3.1 Ellipsoid 4.3.2 Hyperboloid 4.3.3 Paraboloid 4.3.4 Mặt nón bậc hai 4.3.5 Mặt trụ bậc hai Mặt bậc hai không gian với mục tiêu affine 4.4.1 Phương trình tắc mặt bậc hai 4.4.2 Giao mặt bậc hai đường thẳng 4.4.3 Giao mặt bậc hai mặt phẳng 4.4.4 Tâm mặt bậc hai 4.4.5 Mặt kính liên hợp mặt bậc hai Mặt bậc hai không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Đường sinh thẳng Mặt kẻ bậc hai 4.6.1 Khái niệm 4.6.2 Đường sinh thẳng hyperboloid tầng 4.6.3 Đường sinh thẳng paraboloid hyperbolic BÀI TẬP 138 139 139 140 140 141 141 142 143 145 145 152 153 154 156 160 165 165 165 170 174 Tài liệu tham khảo 178 Danh mục từ khóa 180 Giới thiệu Quyển sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích Trong sách này, chúng tơi hệ thống hóa khái qt hóa kiến thức hình học giải tích THPT bổ sung kiến thức giúp cho người đọc thấy nghiên cứu hình học nhiều phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Phần lớn tính chất chứng minh chặt chẽ, tìm thấy tài liệu tham khảo, trừ chứng minh dễ dàng nhận dành cho bạn đọc xem tập Các tính chất khái niệm đối tượng xét mục tiêu (hệ tọa độ) phù hợp (affine hay trực chuẩn) Đồng thời, nhiều ví dụ trình bày chi tiết giúp cho việc tìm hiểu lí thuyết tốt Nội dung sách chia làm bốn chương Chương Vectơ tọa độ Trong chương này, khái niệm vectơ phép tốn vectơ trình bày kĩ Bên cạnh đó, khái niệm hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính, tâm tỉ cự tích hỗn hợp bổ sung Về phương pháp tọa độ, mục tiêu affine (hệ tọa độ xiên), hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng không gian trình bày kĩ, chặt chẽ sở với mong muốn giúp người đọc có nhìn thấu đáu tảng hình học Và qua đó, tìm hiểu hình học khác tốt hơn, chẳng hạn hình học affine, hình học Euclide Ở cuối chương, tọa độ cực, tọa độ trụ tọa độ cầu giới thiệu sơ lược để giúp người đọc thấy tồn nhiều hệ tạo độ khác bước đầu làm quen với sở cho mơn học Tốn khác Chương Đường thẳng-Mặt phẳng Khái niệm tính chất đường thẳng mặt phẳng khơng gian hệ thống hóa đầy đủ, với khái niệm tính chất mặt phẳng khơng gian Bên cạnh đó, chúng tơi cịn bổ sung vào phần nửa mặt phẳng nửa không gian, số ví dụ minh họa việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học Chương Đường bậc hai Ba đường conic (ellipse, hyperbol parabol) đối tượng quen thuộc giới thiệu trước tiên nhằm giúp người đọc dễ tiếp cận với đối tượng chương đường bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, phương tiệm cận, Đồng thời, dấu hiệu để nhận biết đường bậc hai nhờ bất biến đa thức bậc hai trình bày chi tiết đầy đủ Đây xem nội dung đặc biệt thú vị chương Chương Mặt bậc hai Mặt tròn xoay, mặt tròn xoay bậc hai mặt bậc hai đối tượng xét đến trước tiếp cận với mặt bậc hai tổng quát số chủ đề liên quan tâm, giao mặt bậc hai mặt phẳng, mặt bậc hai Và tính chất hai mặt kẻ bậc hai đặc biệt, hyperboloid tầng paraboloid hyperbolic (hay mặt yên ngựa), trình bày đầy đủ chi tiết Bên cạnh đó, hình ảnh minh họa cho cơng trình xây dựng thực tế mơ theo số mặt bậc hai đặc biệt Giới thiệu trình bày nhằm giúp người đọc thấy tốn học khơng phải xa rời thực tế Việc nắm vững số kiến thức không gian vectơ sở tọa độ vectơ, dạng toàn phương Đại số tuyến tính cần thiết để tiếp cận nội dung sách cách thuận lợi Ở cuối chương có phần tập phong phú để thực hành củng cố nội dung lí thuyết trình bày trước Làm nhiều tập tốt cho việc tìm hiểu nắm vững kiến thức liên quan, việc học Tốn học Có thể nói sách kết việc tổng hợp chọn lọc phần ưu điểm tài liệu tham khảo Việc tóm tắt lí thuyết cho chương sau học cần thiết thú vị Vì vậy, việc dành cho người đọc Hy vọng sách giúp ích cho sinh viên ngành Tốn dùng làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Và xin cảm ơn bạn đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến để sách hoàn thiện Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để sách tốt Bình Dương, tháng 11 năm 2015 Tác giả Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 1.1 1.1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Khái niệm vectơ Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng không gian, cho hai điểm A B Đoạn thẳng AB thứ tự hai điểm mút gọi vectơ hay đoạn thẳng có hướng Một điểm gọi điểm đầu, điểm lại gọi −→ điểm cuối Đường thẳng (AB) gọi giá vectơ AB −→ Nếu A điểm đầu, B điểm cuối vectơ kí hiệu AB Vectơ cịn có → − − − − thể kí hiệu → a , b ; , → x ,→ y , −→ Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài hay module AB kí hiệu −→ −→ −→ −→ độ dài AB |AB| Suy hai vectơ AB BA có độ dài −→ −−→ Định nghĩa 1.1.2 Hai vectơ AB CD gọi hai vectơ phương hay cộng tính đường thẳng AB CD song song trùng −→ −−→ Hai vectơ phương AB CD gọi hướng xảy hai trường hợp sau (xem Hình 1.1): (i) Nếu hai đường thẳng AB CD song song hai điểm B D nằm phía đường thẳng AC (ii) Nếu hai đường thẳng AB CD trùng hai tia AB (gốc A) tia CD (gốc C) chứa tia D B C A B C A Hình 1.1: Hai vectơ hướng D Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Hai vectơ phương mà khơng hướng gọi hai vectơ ngược hướng → − → − − − Định nghĩa 1.1.3 Hai vectơ → a b gọi nhau, kí hiệu → a = b, chúng có hướng độ dài − − − Vectơ đối vectơ → a , kí hiệu −→ a , vectơ ngược hướng với → a có độ dài → − với độ dài a −→ −−→ Đặc biệt, vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA, M M , → − gọi vectơ-khơng, kí hiệu Độ dài vectơ-không Quy ước: vectơ-không phương hướng với vectơ Từ suy vectơ-khơng 1.1.2 Các phép toán vectơ Cộng trừ vectơ → − − Định nghĩa 1.1.4 Tổng hai vectơ → a b vectơ xác định −→ − sau: từ điểm O tùy ý không gian, dựng vectơ OA = → a , từ A dựng → − −→ −−→ → − vectơ AB = b (xem Hình 1.2) Vectơ c = OB gọi vectơ tổng hai → − → − − −c = → − vectơ → a b Kí hiệu → a + b − − − Tương tự, ta định nghĩa tổng n vectơ → a ,→ a , , → a n A → − b → − a O → − → −c = → − a + b B Hình 1.2: Cộng vectơ Từ định nghĩa suy phép cộng vectơ có tính chất sau → − → − − − Mệnh đề 1.1.5 (i) Giao hoán: → a + b = b +→ a → − → − − −c = → − −c ) (ii) Kết hợp: (→ a + b )+→ a +( b +→ → − − − (iii) Có vectơ không: → a + =→ a → − → − → − (iv) Có vectơ đối: a + (− a ) = → − −→ −→ −−→ − − Chứng minh (i) Đặt OA = → a , AB = b BC = → a xem Hình 1.3 Khi đó, OACB hình bình hành theo định nghĩa tổng hai vectơ, ta có → − −→ −→ −−→ → − a + b = OA + AB = OB, → − → −→ −−→ −→ b +− a = AB + BC = AC → − → − − − =⇒ → a + b = b +→ a Chứng minh phần (ii), (iii), (iv) hoàn toàn tương tự với chứng minh 1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán vectơ Hình 1.3: → − − Nhận xét 1.1.6 Vectơ tổng → a + b vectơ đường chéo hình bình hành nên người ta cịn nói phép cộng hai vectơ thực theo quy tắc hình bình hành Định nghĩa phép cộng hai vectơ phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui học → − → − − − − Định nghĩa 1.1.7 Hiệu hai vectơ → a b , kí hiệu → a − b , vectơ → x → − → → − − → − → − → − cho b + x = a Người ta gọi vectơ ~x vectơ hiệu viết x = a − b Nhân số với vectơ − − Định nghĩa 1.1.8 Tích số k với vectơ → a vectơ, kí hiệu k → a, − − − có độ dài |k|.|→ a |, hướng với vectơ → a k > 0, ngược hướng với → a k < (xem Hình 1.4) → − a → − a → − − b = k→ a (k > 0) → − − b = k→ a (k < 0) Hình 1.4: Nhân số với vectơ Phép nhân số với vectơ có tính chất sau Các chứng minh xem tập → − − Mệnh đề 1.1.9 Với vectơ → a , b số thực k, l tùy ý, ta có − − (i) 1.→ a =→ a → − − (ii) (−1) a = −→ a → − − (iii) k(l a ) = (kl)→ a → − → − → − − (iv) k( a + b ) = k → a +k b − − − (v) (k + l)→ a = k→ a + l→ a Khái niệm vectơ phép toán vectơ định nghĩa mục làm cho mặt phẳng không gian trở thành không gian vectơ trừu tượng theo nghĩa Đại số tuyến tính Tuy nhiên, mục tiêu muốn có tài liệu tham khảo phù hợp với người đọc học sinh phổ thông nên khái niệm phép tốn trình bày cách sơ cấp (O;− i ,j ,k) √ √ é 6 ,− , 6 Ñ√ Do đó, cơng thức đổi mục tiêu cần tìm √ √ √   ′ ′ ′    x = + + x y z +1          √ √   ′ ′ y − z +1 y=         √ √ √     ′  ′ ′  z = − x + y + z − (b) Cách Từ công thức đổi mục tiêu câu (a), ta giải x′ , y ′ , z ′ theo x, y, z thu công thức đổi mục tiêu cần tìm √ √  √  2  ′   x = x − z −    2       √ √ √ √   3 3 ′ = x + y + z − y   3 3       √ √ √ √     6 6 2  ′  z = x− y+ z+ 6 6 Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 34 Cách Theo giả thiết, ta có suy √ √ − 2→ 2→ − i − k, √2 √2 √ → −′ − 3→ 3→ 3→ − − j = i + j + k, 3√ 3√ √3 → −′ − 6→ 6→ 6→ − − k, i − j + k = 6 −−→′ − → − → − → OO = i + j − k → −′ i = √ √ √ −′ −′ −′ 2→ 3→ 6→ i + j + k, 3√ √2 −′ −′ 6→ 3→ → − j − k, j = 3√ 6√ √ −′ −′ −′ → − 2→ 3→ 6→ k = − i + j + k, √ √ √ → −−′→ −′ −′ → −′ 3→ OO = − 2i − j + k → − i = Do đó, cơng thức đổi mục tiêu cần tìm √ √  √  2  ′   x = x − z −    2       √ √ √ √   3 3 ′ y = x + y + z −   3 3       √ √ √ √     6 6 2   z ′ = x− y+ z+ 6 6 Cách Có thể viết công thức đổi hệ tọa độ trực chuẩn dạng ma trận [x] = A[x′ ] + [a] ý AT = A−1 Sau đó, từ dạng ma trận tìm cơng thức cần tìm cách nhân A−1 vào phương trình ma trận →′ − →− → = (1, 0, 0), thay x′ = 1, y ′ = z ′ = vào công (c) Theo giả thiết M (O′ ;− i , j ′ , k′ ) thức đổi hệ tọa độ câu (a), ta √ √ √ √   +    x= ·1+ ·0+ ·0+1=          √ √   y= ·0− ·0+1=1         √ √ √ √     +   z = − ·1+ ·0+ ·0−1=− Ñ √ é √ 2+ 2+ → = →− →− Vậy, M (O;− , 1, − i ,j ,k) 2 1.5 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 1.5.3 35 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng − − Mệnh đề 1.5.3 Trong không gian Oxyz, cho → u = (x1 , y1 , z1 ) → v = (x2 , y2 , z2 ) Khi đó, ta có → − − u ·→ v = x1 x2 + y y + z z Chứng minh Ta có → − → − → − → − → − → − → − − u ·→ v = (x1 i + y1 j + z1 k ) · (x2 i + y2 j + z2 k ) → − − → − → − → − → − → − → = x1 x2 i + y y j + z z k + x1 y i · j + x1 z i · k → − → → − → − − − → − → − → − → +y1 x2 j · i + y1 z2 j · k + z1 x2 k · i + z1 y2 k · j = x1 x + y1 y2 + z z Từ Mệnh đề 1.5.3, ta thu số công thức sau − − v = (x2 , y2 , z2 ) Mệnh đề 1.5.4 Trong không gian Oxyz, cho → u = (x1 , y1 , z1 ) → Khi đó, ta có » − − (i) → u = x21 + y12 + z12 , hay |→ u | = x21 + y12 + z12 → − → − − − (ii) Nếu → u 6= → v 6= → − − x1 x2 + y y + z z u ·→ v → − → − » =» cos( u , v ) = → − → − | u || v | x1 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 1.5.4 Tích có hướng hai vectơ → − − Định nghĩa 1.5.5 Cho hai vectơ → a b khơng gian Oxyz Tích → − → − − − có hướng hai vectơ → a b , kí hiệu → a ∧ b , vectơ xác định sau → − → − → − → − → − − − • Nếu → a = b = → a ∧ b = → − → − → − − • Nếu → a 6= b 6= → − → − − − a b * → a ∧ b trực giao với → → − − → − − * Bộ ba (→ a , b ,→ a ∧ b ) hướng với ba vectơ sở hệ tọa độ Oxyz → − → − → − − − − * |→ a ∧ b | = |→ a || b | sin(→ a , b ) − → − → − → Ví dụ 1.5.6 Trong mục tiêu trực chuẩn (O; i , j , k ), theo định nghĩa tích có hướng, ta có → − → − → − → − → − → − → − i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0, → − → − − → → − → − − → → − → − → − i ∧ j = k, j ∧ k = i, k ∧ i = j Dưới số tính chất tích có hướng hai vectơ → − → − − − Mệnh đề 1.5.7 (i) → a ∧ b =− b ∧→ a → − → − → − → − (ii) (k a ) ∧ b = k( a ∧ b ) với k ∈ R → − − → − − → − − (iii) Phân phối với phép cộng vectơ: → a ∧( b +→ c)=→ a ∧ b +→ a ∧ −c Chương VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 36 Chứng minh Hai tính chất (i) (ii) suy trực tiếp từ định nghĩa → − − − (iii) Trước hết, ta trình bày cách dựng vectơ → a ∧ b trường hợp |→ a | = → −′ → − Lấy mặt phẳng P vng góc với vectơ a gọi b hình chiếu vng góc → − → − vectơ b lên mặt phẳng P Quay vectơ b′ góc 900 −900 mặt phẳng → − − − → − → − → − − P vectơ → u cho ba (→ a , b ,→ u ) hướng với ba ( i , j , k ) Khi → − − − đó, → u =→ a ∧ b → − − − Thật vậy, vectơ → u trực giao với hai vectơ → a b − → − → − → − → − |→ u | = | b′ | = | b | cos( b , b′ ) → − → − → − → − − − − = | b | sin(→ a , b ) = |→ a || b | sin(→ a, b) − → − → − → − Mệnh đề 1.1.20 (→ a , b ) + ( b , b′ ) = 900 Bây ta chứng minh công thức → − − → − − → → − − a ∧( b +→ c)=→ a ∧ b +→ a ∧ −c → − − − trường hợp |→ a | = Ta lấy mặt phẳng P vng góc với vectơ → a gọi b′ → − −′ → − → − −c lên mặt phẳng P Khi đó, vectơ → c′ hình chiếu vng góc b → b + c′ → − − hình chiếu vng góc vectơ b + → c lên mặt phẳng P theo Mệnh đề 1.1.19 → −′ → −′ → −′ → − Nếu quay P vectơ b , c b + c′ góc 900 −900 , lần − − − lượt vectơ → u, → v → w mà → − → − − → − − − − −c , → − − u =→ a ∧ b, → v =→ a ∧→ w =→ a ∧( b +→ c ) − − − Và hiển nhiên → w =→ u +→ v Do đó, → − − → − − → → − − a ∧( b +→ c)=→ a ∧ b +→ a ∧ −c → − → − → − a − Nếu vectơ → a vectơ đơn vị đặt a′ = → Khi đó, ta có | a′ | = − |a| → − − − → a = |→ a | a′ nên áp dụng công thức trên, ta → − → − → − → − − → − −c → − − a | a′ ) ∧ → a ∧ b +→ a ∧ −c = (|→ a | a′ ) ∧ b + (|→ Å→ − → − −ã − → − = |→ a | a ′ ∧ b + a′ ∧ → c Å→ − → − → − − ã → − − − − = |→ a | a′ ∧ ( b + → c ) = (|→ a | a′ ) ∧ ( b + → c) → − − − = → a ∧( b +→ c ) Mệnh đề đưa biểu thức tọa độ tích có hướng hai vectơ → − − Mệnh đề 1.5.8 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ → a = (a , a , a ) b = (b1 , b2 , b3 ) Khi đó, ta có Ç a2 b2 ... sách Hình học giải tích viết cho sinh viên học hình học bậc phổ thơng đại số tuyến tính bậc đại học Hơn nữa, tài liệu tham khảo tốt cho học sinh phổ thơng muốn tìm hiểu sâu thêm hình học giải tích. .. sở với mong muốn giúp người đọc có nhìn thấu đáu tảng hình học Và qua đó, tìm hiểu hình học khác tốt hơn, chẳng hạn hình học affine, hình học Euclide Ở cuối chương, tọa độ cực, tọa độ trụ tọa... sách này, chúng tơi hệ thống hóa khái qt hóa kiến thức hình học giải tích THPT bổ sung kiến thức giúp cho người đọc thấy nghiên cứu hình học nhiều phương pháp khác phương pháp vectơ, phương pháp