Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 DOI:10.22144/ctu.jvn.2022.070 THUẬT TOÁN DI TRUYỀN TRONG PHÂN TÍCH CHÙM CHO DỮ LIỆU RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CHO NHẬN DẠNG ẢNH Võ Văn Tài1*, Nguyễn Hữu Thoại1, Lê Thị Kim Cương1, Phan Nguyễn Nhật Trang1, Tăng Xuân Khánh2 Trần Đại Từ3 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Nguyễn Thông, Vĩnh Long Trường Bổ túc văn hóa Pali Trung cấp Nam *Người chịu trách nhiệm viết: Võ Văn Tài (email: vvtai@ctu.edu.vn) Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 06/03/2022 Ngày nhận sửa: 08/04/2022 Ngày duyệt đăng: 15/04/2022 This study proposed a genetic algorithm in building cluster for discrete elements, in which the similarity coefficient of cluster was used to evaluate the similarity of the elements, and the improved Davis-Boudin index was used as the objective Combined with the steps of a traditional cluster analysis algorithm and the operators such as crossover, mutation, and selection of the genetic algorithm, a new cluster analysis algorithm was proposed The proposed algorithm is detailed with the implementation steps, and illustrated by numerical examples It is also applied in image recognition, a problem that is still challenging today The application also shows the potential of this research to many real-world problems related to image recognition Title: Genetic algorithm in building cluster for discrete data and applying for image Từ khóa: Dữ liệu rời rạc, khoảng cách, phân tích chùm, thuật toán di truyền Keywords: Cluster analysis, distance, discrete data, genetic algorithm TÓM TẮT Thuật toán di truyền xây dựng chùm cho phần tử rời rạc đề xuất nghiên cứu, hệ số tương tự chùm sử dụng để đánh giá tương tự phần tử số Davis-Boudin cải tiến sử dụng làm mục tiêu Kết hợp với bước thuật toán phân tích chùm truyền thống toán tử lai ghép, đột biến, chọn lọc thuật toán di truyền, thuật toán phân tích chùm đề xuất Thuật tốn đề nghị trình bày chi tiết bước thực minh hoạ ví dụ số Nó áp dụng nhận dạng ảnh, vấn đề nhiều thách thức Áp dụng cho thấy tiềm nghiên cứu cho nhiều vấn đề thực tế liên quan đến nhận dạng ảnh này, phân tích chùm trở thành tảng việc lưu trữ trích xuất liệu lớn ngày Trước thực áp dụng sâu khoa học liệu, tốn phân tích chùm thường áp dụng Phân tích chùm thực cho phần tử rời rạc (CDE) hàm mật độ xác suất (CDF) để từ áp dụng cho vấn đề thực tế Khi xem GIỚI THIỆU Phân tích chùm việc chia liệu thành nhóm cho phần tử nhóm có tương tự nhiều so với phần tử bên ngồi nhóm đó, dựa biến quan sát (Ester et al., 1986; Hung, 2016; Tai, 2017) Với ý nghĩa 107 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 đối tượng phân phối, CDF áp dụng CDF quan tâm lý thuyết áp dụng với đóng góp tiêu biểu Agusti et al (2012), Chen & Hung (2015), Thao & Tai (2017) giải đơn giản ban đầu, qua nhiều bước tiến hóa ta nhiều lời giải tốt, sau thơng qua q trình chọn lọc tìm kiếm, hình thành nên lời giải tối ưu cho tốn Trong GA, để đơn giản hóa tốn, ta mã hóa đối tượng sang cấu trúc hay chuỗi phù hợp, tương tự nhiễm sắc thể Mỗi cấu trúc hay chuỗi xem lời giải tốn Qua điều kiện chọn lọc, ta toán tử sinh quần thể cấu trúc hay chuỗi Sau đó, ta tiến hành mã hóa tham số hệ, định hướng, tìm kiếm cấu trúc hợp lý, thích nghi điều kiện chọn lọc để cấu trúc tối ưu Đối với tốn phân tích chùm, GA quan tâm (Agusti et al., 2012; Dinh et al., 2021) Tuy nhiên, khoảng cách Euclide sử dụng nghiên cứu để xây dựng nên không nhận kết mong đợi Sự kết hợp tốn phân tích chùm truyền thống GA hướng hấp dẫn, cải thiện tốt kết thực CDE ứng dụng phổ biến nhiều so với CDF nhà thống kê (Bouguila & Elguebaly, 2009; Thao & Tai, 2018) Lý quan trọng cho vấn đề liệu thực tế phần tử rời rạc, hàm mật độ xác suất Một thuật tốn hồn chỉnh cho CDE bao gồm bước gồm (i) Xây dựng độ đo đánh giá tương tự hai phần tử hai chùm chứa nhiều hai phần tử; (ii) xác định số chùm thích hợp cần chia cho tập liệu phần tử cụ thể chùm; (iii) tìm xác suất thuộc vào chùm phần tử Một thuật toán với bước (i) (ii) gọi phân tích chùm không mờ với bước đầy đủ (i), (ii), (iii) gọi phân tích chùm mờ Đối với (i), khoảng cách hai phần tử thông thường sử dụng Euclide, city-block, Minskovky, khoảng cách min, max, trung bình quan tâm cho hai chùm Nhiều nghiên cứu khẳng định chưa có khoảng cách xem tối ưu toán xây dựng chùm (Sheng & Liu, 2006; Thao & Tai, 2018) Với nỗ lực khắc phục hạn chế khoảng cách xây dựng chùm, Thao & Tai (2018) đề xuất độ đo gọi hệ số tương tự chùm Hệ số có ưu điểm chùm có số lượng phần tử khác sử dụng để đo chất lượng chùm chúng thiết lập Hệ số tương tự chùm sử dụng để xây dựng chùm mà chúng có ưu điểm phương pháp tiếng k-trung bình nhiều trường hợp Tuy nhiên, với liệu có nhiều chồng lấp, độ đo có nhiều hạn chế Đối với (ii) số nghiên cứu tiêu biểu đề xuất (Bouguila & Elguebaly, 2005; Thao & Tai, 2018; Dinh et al., 2020) Các nghiên cứu sử dụng độ đo khoảng cách hệ số tương tự chùm để tìm số chùm thích hợp, sau áp dụng phương pháp k-trung bình để xác định phần tử chùm Chúng thể hợp lý xây dựng chùm cho nhiều trường hợp cụ thể Tuy nhiên, kết phụ thuộc lớn vào mức độ chồng lấp phần tử nhóm Trong nghiên cứu này, độ đo gọi số tương tự chùm đề xuất để làm tiêu chuẩn xây dựng chùm cho phần tử rời rạc Kết hợp phương pháp xây dựng chùm truyền thống di truyền, thuật tốn phân tích chùm cho phần tử rời rạc đề xuất Thuật tốn xác định số chùm thích hợp, phần tử chùm xác suất phụ thuộc vào chùm phần tử lúc Thuật tốn đề nghị trình bày chi tiết bước minh hoạ ví dụ số Nó áp dụng nhận dạng ảnh thể ưu điểm so với phương pháp quan trọng khác CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 2.1 Độ đo đánh giá tương tự chùm Cho phần tử rời rạc X Y không gian n chiều: X = ( x1 , x2 , , xn ) , Y = ( y1 , y2 , , yn ) Khi đó, khoảng cách Euclide X Y định nghĩa sau: dE ( X , Y ) = n (x i =1 i − yi ) Giả sử ta có tập N phần tử rời rạc Z = z1 , z2 , , z N Chuẩn hóa liệu Z khoảng [0,1] theo nguyên tắc: Thuật tốn di truyền (GA) giải thuật nhằm tìm kiếm, chọn lựa tính tốn tối ưu cho vấn đề dựa nguyên tắc tiến hóa chọn lọc tự nhiên di truyền học Các ngun tắc tiến hóa sử dụng GA thơng thường di truyền, đột biến, chọn lọc tự nhiên trao đổi chéo (Agusti et al., 2012; Dinh et al., 2021) GA thuật toán giải toán bằng cách mơ hình hóa chúng Từ lời d * = max ( zi ) , i = 1, 2, , N ; zi* = 108 ( zi * * * * , i = 1, 2, , N ; Z = z1 , z2 , , zN * d ) Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 Khi đó, hệ số tương tự chùm (SCI) Z* định nghĩa sau: nCN2 cs = − i j ( d z j , z j d ( zi* , z *j ), PC = (1) PE = ) khoảng cách Euclide Chỉ số DB định nghĩa Davies Boudin (1979) Chỉ số thiết lập dựa vào khoảng cách nhỏ phần tử với chùm trung tâm khoảng cách lớn chùm khác Cụ thể số DB định nghĩa sau: ( ) ( ( ) ) x y giá trị phần từ, Chỉ số DB thường sử dụng làm hàm mục tiêu xây dựng chùm, cho kết khơng tốt có chênh lệch lớn số phần tử chùm Khắc phục điều này, DB điều chỉnh gọi FB Chỉ số FB sử dụng làm mục tiêu xây dựng thuật toán đề nghị cho cơng thức sau: μi = ( ( ) d (x , x ) |Ci | c =1 j yC j d E2 xi , x j d E2 xi , xi E i c ) , i N j E j (6) Bảng Bốn đặc trưng kết cấu quan trọng ảnh μ d ( x, x ) + C μ d ( y , x ) E k N μij log (μij ), N i =1 j =1 Haralick (1979) đưa 14 đặc trưng kết cấu tính từ GLCM kết cấu ảnh Tuy nhiên, phần lớn nghiên cứu sau sử dụng đến đặc trưng quan trọng đại diện cho kết cấu (Panjwani & Healey, 1995; Zhang et al., 2018) Trong nghiên cứu này, đặc trưng ảnh sử dụng gồm: Entropy, tính đồng nhất, độ tương phản hệ số tương quan để đặt trưng cho ảnh Các đặc trưng ảnh trình bày Bảng dE(x,y) khoảng cách Euclide x y i (5) ( x, y ) , ( x ', y ') M N d = ( x, y ) , ( x ', y ' ) , pd θ ( i, j ) = , (7) θ = ( ( x, y ) , ( x ', y ') , f ( x, y ) = i, f ( x ', y ' ) = j ) xi x j trung bình phần tử chùm Ci chùm Cj, xCi , Ma trận đồng mức xám (GLCM) ảnh f(x, y) có kích thước M N có G mức độ xám ma trận hai chiều P có kích thước G G Mỗi phần tử p(i, j) ma trận thể tần suất xảy giá trị cường độ sáng i j khoảng cách d góc θ xác định Cơng thức tính giá trị cụ thể cho phần tử p(i, j) thể C i FB = max N i =1 i j i =1 j =1 ij Đối với thuật tốn xây dựng, PE lớn thuật tốn tốt PC ngược lại 2.4 Phần tử đại diện cho ảnh d E2 x, xi + d E2 y , x j xC yC j max i , (2) i j i =1 d x , x E i j k N chùm thứ i k N số chùm số phần tử 2.2 Hàm mục tiêu k k μ Trong μ ij xác suất để phần tử thứ j xếp vào zi z j DB = N N , ( 3) Đặc trưng (4) i Biến Công thức Entropy X1 p ( i, j ) Độ tương phản X2 i− j Tính đồng X3 1+ i − j i, j k p l ( i, j ) i, j p ( i, j ) i, j Cũng số DB, số FB tính đơi khoảng cách chùm Do đó, số FB nhỏ chùm xây dựng tốt 2.3 Tham số đánh giá chùm mờ xây dựng Hệ số tương quan X i, j ( i − μ i )( j − μ i ) p ( i, j ) δi δ j μi , μ j trung bình độ lệch chuẩn Hệ số phân hoạch entropy sử dụng để đánh giá chất lượng thuật tốn phân tích chùm mờ Chúng đưa sau: tổng hàng cột ma trận GLCM tương ứng 109 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 − Toán tử lai ghép: Cho L1 L2 hai NST bố mẹ ban đầu Khi đó, NST tạo theo cơng thức sau: THUẬT TOÁN ĐỀ NGHỊ Cho Z = z1 , z2 , , z N dãy gồm N liệu ban đầu với p chiều V (t ) = v1(t ) , v2(t ) , , vN(t ) Child = L1 + rand * ( L2 − L1 ) tập gồm N chùm trọng tâm vịng lặp t Để phân tích chùm cho Z, ta thực bước sau: vector rand vector ngẫu nhiên có độ dài với NST bố mẹ có giá trị nằm khoảng [0, 1] Bước 2: Cập nhật chùm trọng tâm theo cơng thức − Tốn tử đột biến: Cho x giá trị vị trí lựa chọn cho trình đột biến Sau trình đột biến, giá trị x trở thành x ' theo công thức sau: Bước 1: ( 0) Khi ( 0) ( 0) V = v1 , v2 , , vN f ( v( N vi(t ) = t −1) i j =1 j =1 = Z ) khởi tạo x ' = x + N ( 0, σ2 ) , v(jt −1) v(jt −1) ( N t = 0, f vi(t −1) , v(jt −1) ) , i = 1, 2, , N , − Tốn tử chọn lọc: Mục đích tốn tử lựa chọn NST bố mẹ cho trình tạo quần thể cho vòng lặp Trong nghiên cứu này, phương pháp vòng quay Roulette sử dụng Xác suất lựa chọn NST phụ thuộc vào chùm C i , xác định cơng thức: ( ) f vi( ) , v(j t −1) t −1 1− c ( vi(t −1) , v(jt −1) ) − λ t −1 t −1 e c vi( ) , v(j ) cs , = t −1 t −1 c vi( ) , v (j ) cs , 0 ( ( ) ) pi = ) c vi(t −1) , v(jt −1) khoảng cách Euclide phần tử vi ( t −1) v j , FBi giá trị hàm mục tiêu NST thứ i quần thể xem xét N số NST có quần thể σ công thức (1), λ = giá trị tham số ( FB j j =1 với cs hệ số tương tự chùm tính theo ( t −1) FBi N Bước 7: Tính giá trị FB NST thu từ Bước Bước 8: Lặp lại Bước 5, Bước Bước số vòng lặp đạt cực đại Bước 3: Lặp lại Bước max vi(t −1) − v(jt −1) ε FB ( t ) − FB i Sau Bước kết thúc, V(t) có phần tử ta nhiêu chùm Giả sử kết thúc bước ta có k chùm (t ) ε, FB(t ) giá trị hàm mục tiêu (t ) vòng lặp thứ t FB giá trị hàm mục tiêu trung bình tất NST quần thể Bước 4: Bắt đầu với k chùm Mã hố nhiễm sắc thể (NST) theo kích thước kp phần tử đại diện cho phân vùng có p chiều Giá trị NST nằm khoảng nhỏ lớn liệu Trong thuật toán đề nghị, ε số dương nhỏ Nếu ε nhỏ vịng lặp thuật tốn nhiều ngược lại Trong nghiên cứu này, ε = 0,001 chọn Bước 5: Khởi tạo p chuỗi NST với độ dài kp tính tốn giá trị hàm mục tiêu FB sử dụng công thức (3) VÍ DỤ MINH HỌA VÀ ÁP DỤNG 4.1 Ví dụ minh họa Bước 6: Sử dụng toán tử: chọn lọc, lai ghép đột biến Trong ví dụ này, 200 phần tử trích xuất từ bốn phân phối chuẩn hai chiều với trung bình ma trận hiệp phương sai cho sau: 110 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 0,1 Nhóm 1: μ1 = , 0,1 0,1 0 2 Nhóm 2: μ = , 0 0 Nhóm 3: μ = , 2 −0, 05 Nhóm 4: μ = , 2 trọng tâm Sau vòng lặp Bước Bước 3, nhận phần tử minh hoạ Hình 0,1 0,1 0, 05 0, 05 0,1 0,1 Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 −0, 05 0,1 0,1 −0, 01 −0, 01 0,1 Trích xuất 50 phần tử hai chiều từ nhóm, có 200 phần tử rời rạc nhóm ký hiệu sau: C1 = z1 , z2 , , z50 ; C2 = z51 , z52 , , z100 ; Hình Sự hội tụ 200 phần tử ban đầu phần tử sau vòng lặp C3 = z101 , z102 , , z150 ; C4 = z151 , z152 , , z200 Vì 200 phần hội tụ chùm trọng tâm nên chúng chia thành chùm Kết phù hợp với thực tế liệu Các phần tử cho Hình Bước 4: Mã hóa NST đầu vào với giá trị nằm khoảng Vmin ; Vmax , Vmin = [-0,898; -0,771; -0,989; -0,771; -0,989; -0,771; -0,989; -0,771] Vmax = [2,872; 2,799; 2,872; 2,799; 2,872; 2,799; 2,872; 2,799] NST1 = [-0,275; 2,188; -0,287; - 0,186; 1,703; 1,996; 2,406; 0,289] Hình Đồ thị phân tán 200 phần tử rời rạc Bước 5: Thực toán tử thuật toán Bước 1: Khởi tạo vector V ( 0) , Thực tốn tử lai ghép với 80% NST 100 NST từ quần thể thực trình v1( 0) = ( 0,52; 0,12 ) , ( 0) v2( 0) = ( −0.19; 0, 47 ) , , v200 = (1,80; 2,38 ) Kết NST từ trình lai ghép, thực tiếp tục q trình đột biến có xác suất xảy đột biến 1% Bước 2: Cập nhật giá trị phần tử tập liệu, thu Bước 6: Tính tốn giá trị hàm mục tiêu FB cho chùm trọng tâm sau Bước Với 100 NST, thuật toán xác định NST (chùm trọng tâm) thứ 22 có giá trị FB = 0,44 thấp v1(1) = ( 0,54; 0,16 ) , ( 0) v2( 0) = ( −0, 03; 0, 49 ) , , v200 = (1, 73; 2, 05 ) Bước 3: Kiểm tra điều kiện dừng, ta có (1) ( 0) max vi − vi i NST22 = [-0,39; 2,10; -0,16; - 0,06; 2,11; -0,01; = 0,8216 ε ( i = 1, , 200) 2,31; 2,11] Bước 7: Toán tử lựa chọn: chùm trọng tâm thứ 22 81 lựa chọn cho vòng lặp Ta thấy điều kiện thuật toán chưa thoả mãn nên lặp lại Bước liệu hội tụ chùm 111 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 Theo Bảng 2, khẳng định rằng thuật tốn đề xuất có kết phân tích chùm mờ hiệu hơn, với số PC = 0,973 lớn thấp PE = 0,068 4.2 Ứng dụng liệu ảnh NST81 = [ 2,01; -0,36; 2,78; 2,51; 0,37; 1,55; 0,33; 0,01] Bước 8: Lặp lại Bước 5, sau 100 vòng lặp thuật tốn dừng Q trình thực minh hoạ Hình Thuật tốn đề nghị ứng dụng cho liệu ảnh Các hình ảnh sử dụng để nhận dạng liệu Brodatz Tập liệu chia thành hai nhóm với 21 hình ảnh nhóm Tập liệu lấy từ nguồn mở http://imagem.sel.eesc.usp.br/base/Brodatzrotated/i ndex.html Một số ảnh mẫu hai nhóm cho Hình Hình Sự hội tụ thuật tốn sau 100 vịng lặp Khi ta có mối quan hệ phần tử với chùm cho Hình Hình Hai mẫu ảnh nhóm Đối với ảnh, việc trích xuất thành ma trận đồng mức xám với biến cụ thể tóm tắt Bảng Bảng Kết trích xuất đặc trưng 42 hình ảnh Ảnh Hình Xác suất thuộc vào chùm 200 phần tử I1 I2 … I 42 Từ Hình 4, thấy rằng thuật toán đề xuất cho kết xác suất mờ cao gần với kết phương pháp phân tích chùm thơng thường Ngồi ra, để thể ưu điểm thuật toán đề xuất, tác giả so sánh với thuật toán dạng cơng bố gồm Thuật tốn c − Trung bình mờ (Fuzzy c-mean) thuật tốn nhóm tác giả Tài Thảo (2018) thông qua số PE PC Kết so sánh cho Bảng Độ tương phản 0,808 1,036 … 0,331 Hệ số tương quan 0,908 0,887 … 0,965 Entropy 0,133 0,129 … 0,151 Tính đồng 0,807 0,761 … 0,881 Sau trích xuất đặc trưng ảnh, chúng tơi xác định số lượng chùm thích hợp cho tập liệu Kết giai đoạn thể Hình Bảng Chỉ số PE PC thuật toán Thuật toán Fuzzy C-mean Tài Thảo (2018) Dinh et al (2021) Đề xuất PE 0,306 0,128 0,098 0,068 PC 0,867 0,898 0,965 0,973 Hình Giá trị đặc trưng hình ảnh lần lặp cuối Từ Hình 6, thấy rằng đặc trưng hội tụ đến hai giá trị cách rõ ràng Do kết thúc giai đoạn này, có hai chùm 112 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 Tiếp tục thực giai đoạn với 80 lần lặp, ta có kết Hình So sánh với thuật tốn đề xuất thuật tốn khác, có Bảng Bảng Chỉ số PE PC thuật toán Thuật toán Fuzzy c-mean Tài Thảo (2008) Dinh et al (2021) Đề xuất PE 0,306 0,265 0,109 0,068 PC 0,867 0,907 0,945 0,973 Trong Bảng 4, thuật toán đề xuất thu kết vượt trội so sánh với thuật tốn có cho số PE PC (PE nhỏ PC lớn nhất) Hình Sự hội tụ Giai đoạn qua giai đoạn KẾT LUẬN Khi đó, xác suất để gán cho chùm cho Hình Thuật tốn phân tích chùm cho phần tử rời rạc đề xuất dựa vào kỹ thuật di truyền Sự tối ưu chọn hàm mục tiêu cải tiến kỹ thuật di truyền làm cho thuật tốn đề nghị có ưu điểm số thuật tốn phổ biến Bên cạnh ví dụ ứng dụng trình bày, nhiều tập liệu khác thực cho kết tốt so sánh với phương pháp phổ biến Ứng dụng nhận dạng ảnh tảng cho nhiều ứng dụng thực tế khác khoa học liệu trí tuệ nhân tạo Đây hướng nghiên cứu thời gian tới Hình Xác suất thuộc vào hai chùm 42 phần tử TÀI LIỆU THAM KHẢO Agusti, L., Salcedo, S S., Jiménez, F S., Carro, C L., Del, S J., & Portilla, F (2012) A new grouping genetic algorithm for clustering problems Expert Systems with Applications, 39(10), 9695–9703 https://doi.org/10.1016/j.eswa.2012.02.149 Bouguila, N., & Elguebaly, W (2009) Discrete data clustering using finite mixture models Pattern Recognition, 42(1), 33–42 https://doi.org/10.1016/j.patcog.2008.06.022 Chen, J H., & Hung, W L (2015) An automatic clustering algorithm for probability density functions Journal of Statistical Computation and Simulation, 85(15), 3047–3063 https://doi.org/10.1080/00949655.2014.949715 Davies, D L., & Bouldin, D W (1979) A cluster separation measure IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2, 224–227 https://doi.org/10.1109/TPAMI.1979.4766909 Ester, M., Kriegel, H P., Sander, J., & Xu, X (1986) Adensity-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise In: KDD Proceeding, pp 226–231 Haralick, R M (1979) Statistical and structur al approaches to texture In Proceedings of the IEEE, 67(5), 786 – 804 https://doi.org/10.1109/PROC.1979.11328 Hung, W L., & Yang, J H (2016) Automatic clustering algorithm for fuzzy data Journal of Applied Statistics, 42, 1503–1518 https://doi.org/10.1080/02664763.2014.1001326 Panjwani, D K., & Healey, G (1995) Markov random field models for unsupervised segmentation of textured color images IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 17(10), 939–954 https://doi.org/10.1109/34.464559 Sheng, W., & Liu, X (2006) A genetic k-medoids clustering algorithm Journal of Heuristics, 12(6), 447–466 https://doi.org/10.1007/s10732006-7284-z Tai, V.V., & Thao, N T (2018) Similar coefficient of cluster for discrete elements Sankhya B, 80(1), 19–36 https://doi.org/10.1007/s13571018-0159-0 Tai, V V., Trung, N T., Trung V D., Vinh, H H., & Thao, N T (2017) Modified genetic algorithm based clustering for probability density 113 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 3A (2022): 107-114 functions Journal of Statistical Computation and Simulation, 87(10), 1964–1979 https://doi.org/10.1080/00949655.2017.1300663 Tai V.V., Dinh, P.T., & Dung T.T (2021) Automatic genetic algorithm in clustering for discrete elements Communications in Statistics Simulation and Computation https://doi.org/10.1080/03610918.2019.1588305 Thao, N T., & Tai, N T (2017) Fuzzy clustering of probability density functions Journal of Applied Statistics, 44(4), 583–601 https://doi.org/10.1080/02664763.2016.1177502 Zhang, N., Ruan, S., Lebonvallet, S., Liao, Q., & Zhu, Y (2018) Kernel feature selection to fuse multi-spectral MRI images for brain tumor segmentation Computer Vision and Image Understanding, 155, 256–269 https://doi.org/10.1016/j.cviu.2010.09.007 114