THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO TỐI ƯU CHO ROBOT SỬ DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN PLANNING THE OPTIMAL TRAJECTORY FOR A ROBOTIC MANIPULATOR USING GENETIC ALGORITHM

Lưu Thị Huế, Nguyễn Phạm Thục Anh 74 THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO TỐI ƯU CHO ROBOT SỬ DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN PLANNING THE OPTIMAL TRAJECTORY FOR A ROBOTIC MANIPULATOR USING GENETIC ALGORITHM Lưu Thị Huế1, Nguyễn Phạm Thục Anh2* Đại học Điện Lực Trường Đại học Bách khoa Hà Nội *Tác giả liên hệ: anh.nguyenphamthuc@hust.edu.vn (Nhận bài: 14/01/2022; Chấp nhận đăng: 24/3/2022) Tóm tắt - Bài tốn thiết kế quỹ đạo tối ưu vấn đề cần giải ứng dụng robot Quỹ đạo thiết kế tối ưu thời gian di chuyển đồng thời phải thỏa mãn ràng buộc khác giới hạn mô men, phạm vi di chuyển khớp không gian làm việc tốc độ chuyển động khớp Bài báo trình bày cách thức thiết kế quỹ đạo tối ưu sử dụng GA Khác với nghiên cứu trước, quỹ đạo tham chiếu cho giống quỹ đạo thực Do đó, mơ men tác động khớp tính tốn cách sử dụng động học nghịch động lực học thuận robot Bài báo đề xuất đưa thêm điều khiển vào thiết lập quỹ đạo tối ưu, mơ men khớp robot tính tốn từ đầu điều khiển Cách thiết kế đảm bảo tương đồng thiết kế quỹ đạo việc triển khai thực tế Các kết mô với loại quỹ đạo khác chứng minh tính khả thi phương án đề xuất Abstract - The optimal trajectory planning is a problem that needs to be solved in robotic applications The trajectory is optimally designed in terms of travel time, at the same time must satisfy different constraints such as limited torque, range of movement of joints in workspace and velocity of joints This paper presents the design of optimized trajectory using genetic algorithm Being different from previous researches, the reference trajectory is assumed to be the same as the real one Therefore, the controlled torque is calculated by using the inverse kinematic and dynamic equation of robot This paper proposes adding the controller when the optimal trajectory planning is designed, the controller torque is caculated from controller outputs This proposed calculation guarantees the similarity between design and implementation processes Simulations with different types of trajectories have been done to verify the effectiveness of the proposed approach Từ khóa - robot; thuật toán di truyền (GA); quỹ đạo tối ưu; thời gian tối ưu; thiết kế quỹ đạo Key words - robot; Genetic Algorithm (GA); optimal trajectory; time optimization; trajectory planning Giới thiệu Trong thời gian gần đây, thuật toán di truyền (GA) áp dụng số lĩnh vực điều khiển, nhận dạng hệ thống, robot, nhận dạng mẫu…Bài viết đề cập đến lĩnh vực robot, cụ thể thiết kế quỹ đạo cho khâu tác động cuối robot không gian làm việc Đã có nhiều nghiên cứu cho vấn đề thiết kế quỹ đạo Nghiên cứu Shigang Yue cộng [1] thiết kế quỹ đạo điểm – điểm cho tay máy robot Sử dụng kỹ thuật GA để đề xuất quỹ đạo chuyển động dựa yêu cầu độ rung/ thời gian di chuyển tối thiểu Các tác giả sử dụng đa thức bậc bốn bậc năm thời gian để biểu diễn quỹ đạo cho đoạn kết nối điểm đầu, điểm trung gian điểm cuối không gian khớp Những giới hạn ràng buộc góc khớp, vận tốc chuyển động mơ men khớp xem xét trình tối ưu Pires Machado [2] đề xuất phương pháp thiết kế đường dựa GA áp dụng động học trực tiếp động học nghịch đảo Quỹ đạo tối ưu quỹ đạo giảm chiều dài đường đi, với thời gian lượng di chuyển theo u cầu mà khơng có va chạm với chướng ngại vật khơng gian làm việc Cịn Pires cộng [3], sử dụng GA để tối ưu hóa quỹ đạo chuyển động robot planar Mục tiêu GA giảm thiểu không gian quỹ đạo /thời gian mà không vượt mô-men tối đa xác định trước Các tác giả sử dụng động học trực tiếp để tránh điểm kỳ dị Trong [4], đề xuất phương pháp thiết kế quỹ đạo điểm – tới điểm dựa GA sử dụng trực tiếp động học động lực học Quỹ đạo tối ưu quỹ đạo giảm thiểu thời gian di chuyển không gian di chuyển mà không vượt mô men tối đa xác định trước, không va chạm với trướng ngại vật không gian làm việc Hay [5], Stanislav cộng trình bày phương pháp thiết kế quỹ đạo dựa GA cho tay máy robot với việc tối ưu nhiều tiêu chí khác Phương pháp mơ tả dựa động học ngược quỹ đạo tối ưu giảm thiểu thời gian di chuyển giảm thiểu mức lượng tiêu thụ Như vậy, nghiên cứu trước điều khiển dạng mở khơng có phản hồi sử dụng Quỹ đạo tham chiếu cho giống quỹ đạo thực Do đó, mơ men tác động khớp tính tốn cách: Sử dụng động học nghịch để tính quỹ đạo tham chiếu khớp từ quỹ đạo tham chiếu khâu tác động cuối, sau quỹ đạo tham chiếu sử dụng để tính mơ men dựa vào phương trình động lực học robot Tuy nhiên, tất robot điều khiển điều khiển dạng phản hồi để ổn định hệ thống chống nhiễu, nên quỹ đạo đặt quỹ đạo thực khơng hồn toàn giống Do vậy, momen thực khớp robot khơng giống với tính tốn dùng phương trình động lực học Để khắc phục nhược điểm trên, báo đưa thêm điều khiển vị trí không gian làm việc vào hệ thống thiết kế quỹ đạo tối ưu cho Electric Power University (Luu Thi Hue) Ha Noi University of Science and Technology (Nguyen Pham Thuc Anh) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 4, 2022 khâu tác động cuối robot Lúc báo giải hai vấn đề: Bài toán quỹ đạo tối ưu tốn bám quỹ đạo Khi đó, momen tác động lên khớp lấy từ đầu điều khiển Giá trị đo vị trí, vận tốc chuyển động khớp, giá trị mô men đưa vào GA để xem xét với điều kiện giới hạn robot Mơ hình động lực học điều khiển robot Để điều khiển vị trí tay máy ta cần biết tính chất động lực học giá trị lực cần thiết tác động Lực lớn khiến robot va chạm với vật thể bên dao động xung quanh vị trí mong muốn Mơ hình động lực học robot mơ tả phương trình sau [6, tr 180]: H ( q ) q + C (q , q ) q + G ( q ) =  (1) với: H(q) ma trận qn tính có kích thước n  n ; C (q, q) ma trận tương hỗ ly tâm, xác định từ ma trận H(q) dựa vào tính chất H (q) − 2C (q, q) trận đối xứng lệch, có kích thước n  n ; 75 định sau [6]: a0 = z0 a1 = z0 a2 = a3 = −3( z0 − z f ) − (2 z0 + z f )(t f − t0 ) 2( z0 − z f ) + ( z0 + z f )(t f − t0 ) (t f − t0 )3 với, z0 , z0 vị trí, vận tốc ban đầu khâu tác động cuối; z f , z f vị trí, vận tốc điểm kết thúc khâu tác động cuối Thiết kế quỹ đạo sử dụng GA 4.1 Các thông số cần xác định Tác giả xem xét ví dụ robot planar ba bậc tự việc thiết kế quỹ đạo khâu tác động cuối Mơ hình robot planar minh họa Hình Y G (q ) véc tơ trọng trường có kích thước n  ; y0  véc tơ mô men tác động lên khớp tay máy có kích thước n  ; d3 Với giả thiết tham số robot biết cách xác Ở tác giả sử dụng thuật toán đơn giản để điều khiển quỹ đạo chuyển động robot, thuật toán JT (Jacobi chuyển vị)- PD bù trọng trường không gian làm việc lựa chọn Thuật tốn mơ tả phương trình (2) ) τ = J T K p (zd - z) - K d z + G (q) d2 yf f q2 d1 q1 xf x0 X (2) Trong đó, z d : Quỹ đạo vị trí hướng đặt khâu tác động cuối robot; z , z : Quỹ đạo vị trí, hướng tốc độ thực khâu tác động cuối robot; K p , K d : Tham số điều khiển, ma trận hệ số xác định dương; J : Ma trận Jacobi robot Thiết kế quỹ đạo Quỹ đạo chuyển động vị trí khâu tác động cuối robot thiết kế vùng làm việc chúng, với điều khiển sử dụng Mục Có nhiều dạng quỹ đạo chuyển động thiết kế cho vị trí khâu tác động cuối Ta đảm bảo tính liên tục quỹ đạo đa thức bậc ba vị trí khâu tác động cuối [6], cho phương trình: zd (t ) = a0 + a1 (t − t ) + a2 (t − t0 )2 + a3 (t − t0 )3 q3 0 q, q, q véc tơ vị trí, vận tốc, gia tốc khớp có kích thước n  ( (4) (t f − t0 )2 (3) với, t0  t  t f , t0 t f thời gian đầu thời gian cuối chuyển động; ( i = − ) vec tơ hệ số quỹ đạo, có kích thước  Các véc tơ hệ số ai, phương trình (3) xác Hình Mơ hình robot planar 0XY: khung tọa độ gốc gắn với khớp thứ nhất; d1, d2, d3: Chiều dài khâu nối khớp; q1, q2, q3: Góc khớp; x, y, : Vị trí, hướng khâu tác động cuối; z0 =  x0 , y0 ,0  vị trí đầu; T T z f =  x f , y f , f  vị trí cuối Với thiết kế quỹ đạo chuyển động cho khâu tác động cuối robot không gian làm việc quỹ đạo chuyển động thiết kế phương trình (3), tham số cần phải xác định hệ số quỹ đạo = azi = [a xi ; a yi ; a i ] , với z số quỹ đạo chuyển động theo trục x, y hướng khâu tác động cuối ( z = x, y, ) , i số hệ số quỹ đạo chuyển động cần thiết kế i = − Như vậy, thấy rằng, cần xác định mười hai tham số cho quỹ đạo thiết kế tạm thời Các tham số quỹ đạo cần xác định đảm bảo mục tiêu toán đề Lưu Thị Huế, Nguyễn Phạm Thục Anh 76 4.2 Thuật toán di truyền Con người tự nhiên phát triển nhờ tương tác với Mỗi cá thể đặc trưng kiểu gen độc lập với môi trường nơi họ sống Các toán tử di truyền làm việc sở kiểu gen, chế chọn lọc chúng hoạt động sở kiểu hình, GA sở thuật toán tối ưu ngẫu nhiên Nguyên lý hoạt động GA: GA kỹ thuật tối ưu hóa tìm kiếm dựa nguyên lý di truyền chọn lọc tự nhiên Một GA cho phép quần thể gồm nhiều cá thể tiến hóa theo quy tắc lựa chọn định đến trạng thái tối ưu hóa “fitness” (hàm chi phí nhỏ nhất) [7-10] Mỗi chu kỳ GA tạo hệ giải pháp khả thi cho vấn đề định Trong chu kỳ đầu, quần thể ban đầu mô tả đại diện giải pháp tiềm tạo để bắt đầu trình tìm kiếm Các yếu tố quần thể mã hóa thành chuỗi bit gọi nhiễm sắc thể Sự thực chuỗi gọi tối ưu, sau đánh giá số hàm chức năng, ràng buộc vấn đề Dựa tối ưu nhiễm sắc thể, chúng lựa chọn cho trình di truyền Quá trình chọn lọc đảm bảo chọn cá thể phù hợp Khi chọn lọc quần thể kết thúc, trình di truyền gồm hai bước thực Bước kết hợp chéo (lai ghép) bit (gen) hai chuỗi (nhiễm sắc thể) chọn Có hai loại lai ghép: Lai ghép điểm lai ghép hai điểm Các điểm lai ghép hai nhiễm sắc thể chọn cách ngẫu nhiên Bước thứ hai thao tác di truyền gọi đột biến, bit nhiều vị trí nhiễm sắc thể chọn cách ngẫu nhiên bị thay đổi Quá trình đột biến giúp khắc phục tượng cực đại cục Các tạo trình di truyền quần thể đánh giá 4.3 Hàm mục tiêu Việc thiết kế quỹ đạo tối ưu cho khâu tác động cuối tập trung vào việc tạo chuyển động ngoại tuyến để thực nhiệm vụ biết môi trường xác định Bài tốn thiết kế quỹ đạo tối ưu tuân theo tiêu chí tối ưu khác - Thời gian thực tối thiểu; - Năng lượng tối thiểu; - Độ giật tối thiểu Quỹ đạo thiết kế sử dụng tiêu chí thời gian thực tối thiểu chiếm vị trí quan trọng cơng nghiệp nhằm giảm chu kỳ sản xuất, điều có ý nghĩa kinh tế tăng suất công nghiệp Hàm mục tiêu thời gian di chuyển khâu tác động cuối sau: fness = T f (5) với, T f thời gian mà khâu tác động cuối robot di chuyển từ vị trí đầu tới vị trí cuối Một số thuật tốn để tính toán quỹ đạo tối ưu thời gian cho robot cần xem xét tới loại ràng buộc Do với robot, góc khớp có giới hạn chuyển động định Tốc độ chuyển động góc khớp giới hạn Ngồi ra, mơ men điều khiển tác động lên khớp robot không vượt giới hạn mô men lớn cung cấp động Các giới hạn điều kiện ràng buộc góc khớp, tốc độ mơ men khớp thiết kế quỹ đạo chuyển động chúng biểu thị sau: qmin  q  qmax qmin  q  qmax  i   i   i max (6) Sử dụng thuật toán GA xác định Tf tối ưu, dựa vào hàm mục tiêu (5) ràng buộc (6) để xác định Khi Tf xác định, xác định thông số azi quỹ đạo tối ưu dựa vào phương trình (4), thơng số azi hàm Tf (Tf = tf – t0) Thuật tốn GA xây dựng sau: Khi chương trình bắt đầu, quần thể Tf ban đầu tạo đánh giá, với cá thể Tf quần thể ban đầu xác định thông số quỹ đạo ban đầu (các thơng số quỹ đạo xác định theo phương trình (4) hàm Tf), xây dựng quỹ đạo ban đầu, quỹ đạo đưa tới điều khiển Momen tác động lên khớp lấy từ đầu điều khiển, sau đánh giá ràng buộc mô men (6) Vận tốc vị trí đo thực khớp đánh giá ràng buộc (6) Quá trình đánh giá quần thể ban đầu gặp gen tốt, tức tìm Tf tối ưu trình tìm kiếm dừng lại Nếu không, dựa tối ưu nhiễm sắc thể, Tf lựa chọn cho trình tiếp theo, trình chọn lọc đảm bảo Tf phù hợp Sau q trình di truyền thực hiện, nhằm tạo cho quần thể tiếp, quần thể tiếp tục đánh giá Quá trình tìm kiếm giá trị tối ưu Tf tiếp tục tìm giá trị Tf tối ưu, thực đến hết số hệ theo u cầu Thuật tốn tìm kiếm giá trị tối ưu thể qua lưu đồ thuật toán Hình Bắt đầu Quần thể Tf ban đầu Kiểm tra, đánh giá ràng buộc Gặp gen tốt ? Đ Dừng S Áp dụng lựa chọn, lai ghép cho nhiễm sắc thể quần thể Thế hệ thứ i+1= Cá thể tốt hệ thứ i+các cá thể tạo Hình Lưu đồ thuật tốn tìm kiếm ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 4, 2022 Với hàm mục tiêu (5) điều kiện ràng buộc (6), ta sử dụng thuật toán tối ưu GA [11] để xác định thời gian di chuyển tối ưu khâu tác động cuối robot (Tf tối ưu), từ xây dựng quỹ đạo tối ưu cho khâu tác động cuối robot Mơ Sử dụng robot planar có ba bậc tự có tham số Bảng để mơ cho thuật toán GA tối ưu thời gian chuyển động khâu tác động cuối robot Bảng Thông số robot planar m1 1,5kg m2 1,2kg m3 1kg d1 1m d2 0,8m d3 0,6m Sơ đồ mô tả hệ thống dùng GA để tối ưu thời gian chuyển động tay máy Hình J Xây dựng quỹ đạo chuyển động (3) q zd e + - Bộ điều khiển (2)  Động lực học robot (1) z q q Động học robot Tfmin Thuật toán GA (tối ưu thời gian Tf) Hình Sơ đồ mô tả hệ thống sử dụng GA để tối ưu thời gian chuyển động Sơ đồ hệ thống Hình làm việc sau: Với thời gian di chuyển khâu tác động cuối robot lấy từ quần thể Tf thuật toán GA, xây dựng quỹ đạo chuyển động tham chiếu (3), quỹ đạo đưa tới điều khiển (2) Vị trí hướng thực khâu tác động cuối xác định dựa vào động học robot đưa vào điều khiển Lúc mô men tác động lên khớp robot lấy từ đầu điều khiển để điều khiển robot, mô men đưa vào thuật toán GA để kiểm tra xem xét với điều kiện ràng buộc giới hạn mô men chuyển động cho khớp robot Đồng thời vị trí, vận tốc thực góc khớp đưa vào thuật toán GA để kiểm tra điều kiện giới hạn chuyển động tối ưu thời gian di chuyển tay máy Quỹ đạo khâu tác động cuối xây dựng Phần 3, với điểm đầu điểm kết cuối chuyển động sử dụng mô phỏng, điểm đầu điểm cuối chuyển động robot planar minh họa Hình cho sau: 77 Bảng Giới hạn khớp robot Khớp 3 Mục q1 q2 q3 q1 q2 q3 1 2 3 max -0,3 -3 2.7 -2,7 10 -10 10 -10 10 -10 25 -25 25 -25 25 -25 Sử dụng thuật toán GA, tham số GA sau: Số cá thể quần thể 20; Quá trình di truyền thực tối đa 20 hệ; Quần thể hệ có cá thể tốt hệ trước giữ lại; Sai số hàm đánh giá 10-8; Sử dụng hàm lai ghép: @crossoverscattered Tác giả mô với hai loại quỹ đạo cho khâu tác động cuối tay máy: Quỹ đạo bậc ba quỹ đạo bậc năm Với loại quỹ đạo thời gian tối ưu di chuyển khâu tác động cuối khác nhau, cụ thể: ❖ Quỹ đạo chuyển động bậc khâu tác động cuối với thời gian chuyển động tối ưu Tf = 1,290893 s Quỹ đạo tối ưu vị trí hướng khâu tác động cuối xác định sau: x = 1, 7317 − 5, 2779t + 2, 7257t y = 1,5853 − 1, 4498t + 0, 7487t  = 1, 0472 + 2,8279t − 1, 4604t Kết mô thiết kế quỹ đạo bậc tối ưu thời gian di chuyển khâu tác động cuối robot không gian làm việc với giới hạn góc khớp, vận tốc chuyển động mô men lấy từ điều khiển tác động lên khớp robot thể Hình – Hình Hình Quỹ đạo chuyển động góc khớp x0 = 1, 7m; y0 = 1,5m ;  = 1,0472 rad x f = −1, 2m; y f = 0,78m ;  f = 2,6180rad Đối với điều kiện giới hạn giới hạn góc khớp, vận tốc khớp mô men khớp robot cho Bảng tham khảo [12] Hình Vận tốc khớp quỹ đạo chuyển động bậc ba Lưu Thị Huế, Nguyễn Phạm Thục Anh 78 Hình Mơ men tác động lên khớp quỹ đạo chuyển động bậc ba Hình Quỹ đạo chuyển động bậc ba vị trí hướng khâu tác động cuối Hình Vận tốc khớp quỹ đạo chuyển động bậc năm Hình 10 Mơ men tác động lên khớp quỹ đạo chuyển động bậc năm ❖ Quỹ đạo chuyển động bậc khâu tác động cuối với thời gian chuyển động tối ưu Tf = 1,610158s Quỹ đạo tối ưu vị trí hướng khâu tác động cuối xác định sau: x= 1,7317 – 7,0229 t3 + 6,5424 t4 – 1,6253 t5 y = 1,5853 – 1,9291 t3 + 1,7971 t4 – 0,4464 t5  = 1,0472 +3,7628t −3,5054t + 0,8708t Kết mô thiết kế quỹ đạo bậc tối ưu thời gian di chuyển khâu tác động cuối robot không gian làm việc với giới hạn góc khớp, vận tốc chuyển động mô men lấy từ điều khiển tác động lên khớp robot thể Hình – Hình 11 Hình 11 Quỹ đạo chuyển động bậc năm vị trí hướng khâu tác động cuối Hình Quỹ đạo chuyển động bậc năm khớp Từ đồ thị Hình – Hình 11 cho thấy, tất giới hạn góc khớp, tốc độ chuyển động góc khớp mơ men tác động lên khớp nằm giới hạn cho phép Hình Hình10 cho thấy, mơ men khớp thứ đạt giá trị giới hạn lớn nhất, thời gian chuyển động khâu tác động cuối mà GA đưa tối ưu Kết cho thấy, GA hoạt động tốt, không bị mắc lỗi hội tụ sớm Hình Hình 11 cho thấy, quỹ đạo thiết kế theo bậc khác vị trí hướng khâu tác động cuối bám với quỹ đạo hướng đặt Với độ điều chỉnh 2,56% ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 4, 2022 Kết luận Vấn đề thiết kế quỹ đạo chuyển động tối ưu robot có xem xét đưa thêm điều khiển vào hệ thống nghiên cứu Dựa GA, trình tối ưu thời gian di chuyển khâu tác động cuối tay máy giải Lúc này, quỹ đạo tối ưu dạng đa thức khâu tác động cuối tay máy xây dựng Trong q trình tối ưu, mơ men tác động lên khớp robot lấy từ đầu điều khiển, vị trí vận tốc chuyển động khớp lấy từ giá trị đo thực Các giá trị mơ men, vị trí vận tốc đưa vào GA để kiểm tra ràng buộc giới hạn mơ men chuyển động Do đó, quỹ đạo thu tối ưu thực tế, quỹ đạo tối ưu tay máy xây dựng mà không vi phạm ràng buộc truyền động robot Như vậy, báo giải đồng thời hai vấn đề: Bài toán tối ưu quỹ đạo chuyển động bám quỹ đạo Do quỹ đạo tối ưu độc lập với hình dạng robot, nên sử dụng việc điều khiển loại robot [4] [5] [6] [7] [8] [9] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Shigang Yue, Dominik Henrich, W L Xu and S K Tso, "Point-toPoint trajectory planning of fexible redundant robot manipulators using genetic algorithms”, Robotica, vol 20, pp 269–280, 2002 [2] E J S P J A T Machado, "A Ga Perspective of The Energy Requirement For Manipulators Maneuvering In A Workspace With Obstacles”, Cec 2000- Congress On Evolutionary Computation, pp 1110- 1116, 16-19 July 2000, Santiago, California, USA [3] J A T M P B M O E.J Solteriro Pires, "Fractional Order [10] [11] [12] 79 Dynamic In A Genetic Algorithm”, The 11th International Conference On Advanced Robotics, Colombia, Portugal, pp 264 269, June 30- July 3, 2003 A I M Bahaa Ibraheem Kazem, Ali Talib Oudah, "Motion Planning for a Robot Arm by Using Genetic Algorithm”, Jordan Journal of Mechanical and Industrial Engineering, vol 2, Number 3, pp 131 - 136, Sep 2008 S S I S M Dekan, "Optimization of Robotic Arm Trajectory Using Genetic Algorithm”, Proceedings of the 19th World Congress The International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, August 24-29, 2014 J J Craig, "Introduction to Robotics Mechanics and Control”, Pearson Education International, third Edition 2005 M P Hidalgo D, Castillo O, "An optimization method for designing type-2 fuzzy inference systems based on the footprint of uncertainty using genetic algorithms”, elsevier Expert Syst Appl, vol 39, Issue 4, pp 4590-4598, March 2012 P D Roy SS, "Soft computing-based expert systems to predict energy consumption and stability margin in turning gaits of sixlegged robots”, elsevier Expert Syst Appl, vol 39, Issue 5, pp 54605469, April 2012 KöKer, R, "Agenetic algorithm approach to a neural-network-based inverse € kinematics solution of robotic manipulators based on error minimization", Information Sciences, vol 222, pp.528-543, February 2013 G J Eder R, "Special genetic identification algorithm with smoothing in the frequency domain”, elsevier Adv Eng Software, vol 70, pp 113-122, April 2014 D E Goldberg, and Manohar P Samtani, "Engineering optimization via genetic algorithm", In Electronic computation, pp 471-482, 1986 A S M a A M S Z S Sun, "Trajectory planning of multiple coordinating robots using genetic algorithms”, Robotica, vol 14, Issue 02, pp 227-234, March 1996