Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng như các đồng nghiệp.
MATHEDUCARE.COM LỜI MỞ ĐẦU Chúng thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế tạo điều kiện để giảng đời Trong q trình viết chắn khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận nhiều tốt ý kiến đóng góp bạn đọc, sinh viên đồng nghiệp Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác giả i MATHEDUCARE.COM Mục lục Lý thuyết đường 1.1 1.2 1.3 1.4 Đường tham số 1.1.1 Định nghĩa đường tham số 1.1.2 Đường tham số quy Độ dài cung Các tính chất địa phương đường tham số R3 1.2.1 Độ cong 1.2.2 Trường mục tiêu Frénet 1.2.3 Độ xoắn Công thức Frénet 10 1.2.4 Cơng thức tính độ cong độ xoắn 13 1.2.5 Định lý cho đường tham số R3 15 Đường tham số R2 (Đường tham số phẳng) 17 1.3.1 Định lý cho đường tham số phẳng 19 1.3.2 Đường tròn mật tiếp 20 1.3.3 Đường túc bế đường thân khai 21 Một số tính chất tồn cục đường cong phẳng 23 1.4.1 Bài toán đẳng chu bất đẳng thức đẳng chu 24 ii MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 1.4.2 Định lý bốn đỉnh 29 iii MATHEDUCARE.COM Chương Lý thuyết đường 1.1 Đường tham số Phép tính vi tích phân cơng cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân Do cách tự nhiên hợp lý để sử dụng công cụ đồng chúng phận chúng với đối tượng giải tích, hàm khả vi 1.1.1 Định nghĩa đường tham số Định nghĩa Cho ánh xạ c : I −→ Rn với I ⊂ R khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực tồn đường thẳng thực ) Gọi C = c(I) ⊂ Rn , ảnh toàn tập I Khi (C, c) gọi đường tham số (parametrized curve) với tham số hóa c tham số t C gọi vết đường tham số Nếu c hàm liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ tương ứng ta nói C đường tham số liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ Giả sử c(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)), c khả vi lớp C k (k = 0, 1, 2, ) có nghĩa hàm thành phần xi : I −→ R MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân khả vi lớp C k (k = 0, 1, 2, ) Nếu c khả vi vector c′ (t) := (x′1 (t), x′2 (t), , x′n (t)) ∈ Rn , gọi vector tiếp xúc hay vector vận tốc C c(t) (hay c t) Chú ý Trong suốt giáo trình này, khơng nói thêm, thuật ngữ khả vi hiểu khả vi điểm khả vi đến lớp cần thiết Từ trở xét đường tham số khả vi Vì thế, khơng cần nhấn mạnh bỏ từ khả vi Để đơn giản, thay dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để đường tham số ta nói C đường tham số tham số hóa biết Thật tham số hóa đường tham số cho phép ta xác định vết nên nói đường tham số cần cho tham số hóa đủ Đây lý đa số tài liệu đồng đường tham số với tham số hóa Chúng ta làm suốt giáo trình Nhiều tài liệu sử dụng thuật ngữ cung tham số thay đường tham số Khái niệm đường cong chương hiểu vết đường tham số Về sau khái niệm hiểu theo nghĩa rộng (xem Nhận xét ??, Chương II) Các ví dụ cho thấy tập C ⊂ Rn có nhiều tham số hóa khác Với hai tham số khác cho tính chất khác Ví dụ Chúng ta xem đồ thị hàm số y = f (x) với miền xác định I ⊂ R vết đường tham số c : I −→ R2 ; c(t) = (t, f (t)) Ví dụ Đường tham số (với tham số hóa) c(t) = p + tv ∈ Rn , đường thẳng qua điểm p với vector vận tốc v Ví dụ Đường trịn tâm O, bán kính r có tham số hóa dạng c(t) = (r cos t, r sin t), MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân c(I) f (b) f (a) c(I) c c(t) = (t, f (t) a b I I Hình 1.2: c(t) = (x(t), y(t)) Hình 1.1: c(t) = (t, f(t)) Ví dụ Đường parabol có tham số hóa dạng c(t) = (t, t2 ), Ví dụ Cho đường tham số C với tham số hóa c(t) = (a cos t, a sin t, bt); t ∈ R, a > 0, b = Đường tham số C gọi đường xoắn ốc Đường nằm mặt trụ x2 + y = a2 với độ dốc 2πb Tham số t góc trục x với đường thẳng nối O với hình chiếu c(t) lên mặt phẳng Oxy Ví dụ Ánh xạ c : R −→ R2 , xác định c(t) = (t3, t2 ); t ∈ R, tham số hóa đường tham số khả vi lớp C ∞ Chú ý c′ (0) = (0, 0), tức t = vector vận tốc Ví dụ Ánh xạ c : R −→ R2 , xác định c(t) = (t3 − 4t, t2 − 4); t ∈ R, tham số hóa đường tham số khả vi lớp C ∞ Chú ý c(2) = c(−2) = (0, 0), tức ánh xạ c khơng đơn ánh MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân Ví dụ Ánh xạ c : R −→ R2 , xác định c(t) = (t, |t|); t ∈ R, tham số hóa đường tham số liên tục khơng khả vi hàm y(t) = |t| khơng khả vi t Ví dụ Hai ánh xạ c, r : R −→ R2 , xác định c(t) = (cos t, sin t), r(t) = (cos 2t, sin 2t); hai tham số hóa khác đường trịn x2 + y = Chúng xác định hai đường tham số với vector tiếp xúc điểm khác có độ dài khác Ví dụ 10 Hai ánh xạ c, r : R −→ R2 , xác định c(t) = (t, t), r(t) = (t3, t3 ); hai tham số hóa đường thẳng x = y Chúng xác định hai đường tham số với vector tiếp xúc điểm khác Hai đường cong mô tả hai chuyển động quỹ đạo cách chuyển động hoàn toàn khác Đường cong thứ mô tả chuyển động đường thẳng Đường cong tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t < 0), vận tốc tức thời không t = 0, sau (với t > 0) chuyển động nhanh dần 1.1.2 Đường tham số quy Độ dài cung Định nghĩa Cho đường tham số c : I −→ Rn Nếu c′ (t) = t (hay c(t)) gọi điểm quy cịn điểm mà c′ (t) = gọi điểm kỳ dị Với t ∈ I mà c′ (t) = 0, gọi đường thẳng qua c(t) với vector phương c′ (t) tiếp tuyến c t Đường tham số c : I −→ Rn gọi đường tham số quy điểm điểm qui, tức c′ (t) = với t ∈ I MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân Định nghĩa Độ dài cung đường tham số quy c : I −→ Rn , từ điểm t0 đến t, với t0 , t ∈ I, định nghĩa số t s(t) = t0 |c′ (t)|dt Do c′ (t) = nên độ dài cung hàm khả vi t ds = |c′ (t)| dt Định nghĩa Đường tham số qui c : I −→ Rn , (n = 2, 3) với |c(t)| = 1, ∀t gọi đường tham số với tham số độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên Tham số độ dài cung thường ký hiệu s Nếu ta có |c′ (t)| = 1, t t0 dt = t − t0 Do độ dài cung c số đo từ tham số Trong trường hợp t0 = 0, s(t) = t Điều giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung Định nghĩa Hai đường tham số c : I −→ Rn , r : J −→ Rn gọi tương đương tồn vi phôi ϕ : I −→ J cho c = r ◦ ϕ Nhận xét Dễ nhận thấy đường tham số c qui r đường tham số tương đương với r qui Nếu ϕ′ < 0, c′ r ′ ngược chiều Trong trường hợp ta nói c r tương đương ngược hướng Nếu ϕ′ > 0, c′ r ′ chiều Trong trường hợp ta nói c r tương đương hướng Cho đường tham số qui c : [a, b] −→ Rn Khi ta định nghĩa độ dài đường tham số c số b L(c) = a |c′ (t)|dt MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân Khi hai đường tham số qui c : [a, b] −→ Rn r : [c, d] −→ Rn tương đương L(c) = L(r) Thật vậy, b b ′ L(c) = a |c (t)|dt = a |(r ◦ ϕ)′ (t)|dt b d ′ a ′ |(r (ϕ(t))|.|ϕ (t)|dt = c |(r ′ (τ )|dτ Ví dụ 11 Cho c : I −→ Rn đường tham số qui với tham số độ dài cung với I = (a, b) Ta xác định đường tham số r : (−b, −a) −→ Rn , r(−s) = c(s) Khi dễ thấy vết c r trùng nhau, |r ′ (−s)| = |c′ (s)|, r ′ (−s) = −c′ (s) Hai đường cong tham số ngược hướng Chúng ta có định lý sau: Định lý 1.1.1 Mọi đường tham số quy tồn đường tham số với tham số độ dài cung tương đương (cùng hướng) với Chứng minh Giả sử c : I −→ Rn đường tham số với tham số không thiết độ dài cung Xét hàm t s = s(t) = t0 |c′ (t)|dt, t, t0 ∈ I ds = |c′ (t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngược khả vi t = t(s) ∈ s(I) = J Để đơn dt giản mặt ký hiệu ta dùng t để hàm ngược s tức t = s− Đặt β = c◦t : −1 dt ds ′ ′ ′ n J −→ R , dễ thấy β(J ) = c(I) |β (s)| = |c (t) | = |c (t) | = ds dt Như β đường tham số với tham số độ dài cung tương đương với c Do Ví dụ 12 Cho đường tham số c(t) = (a cos t, a sin t, bt); t ∈ R, a > 0, b = Hãy tính độ dài đường xác định đoạn [0, 1] (độ dài đường từ điểm đến 1) xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân Ta có L(c|[0,1]) = ′ |c (t)|dt = Đặt a2 + b2 dt = a2 + b2 t s(t) = |c′ (t)|dt = Suy t(s) = √ a2 + b2 t s a2 + b2 Như ta có tham số hóa với tham số độ dài cung r(s) = 1.2 s s s , a sin √ , b√ a cos √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Các tính chất địa phương đường tham số R3 Trong mục xét đường tham số R3 1.2.1 Độ cong Định nghĩa Cho đường tham số với tham số độ dài cung c : I −→ R3 Số không âm |c′′ (s)| gọi độ cong c s ký hiệu k(s) Khi ta có hàm khơng âm k : I −→ R, gọi hàm độ cong đường tham số c Ý nghĩa hình học độ cong Gọi θ góc c′ (s) c′ (s + △s) (tính radian) θ k(s) = lim △s→0 △s Thật vậy, ta có θ |2 sin | = |c′ (s + △s) − c′ (s)| = |△s(c′′ (s) + ǫ)|, MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Phương tiệm cận liên hợp với Tại điểm rốn khơng phẳng, hai phương trực giao liên hợp với Tại điểm phẳng, phương liên hợp với phương Bài tập 3.9 Cho điểm p ∈ S điểm rốn gọi {e1 , e2 } sở trực chuẩn cho DNP (e1 ) = −k1 e1 , DNP (e2 ) = −k2 e2 Giả sử θ ϕ góc mà hai vector v1 , v2 tạo với vector e1 Chứng minh v1 , v2 hai vector liên hợp Bài tập 3.10 3.7.3 k1 cos θ cos ϕ = −k2 sin θ sin ϕ Đường trắc địa Cho S mặt qui α : I −→ S đường tham số mặt Đường tham số α gọi đường trắc địa mặt α′′ (t) ⊥ Tα(t) S, ∀t ∈ I Nhận xét Từ giả thiết α′′ ⊥ Tα(t) S, suy α′′ (t) ⊥ α′ (t) suy |α| = const Mọi đường thẳng nằm mặt đường trắc địa Nếu đường tham số α với thám số độ dài cung nằm mặt S nằm mặt phẳng P cắt trực giao mặt S, α đường trắc địa Thật vậy, |α′ | = 1, suy α′′ ⊥ α′ Nhưng α′ , α′′ nằm mặt phẳng P trực giao với S α′ vector tiếp xúc S nên ta suy α′′ ⊥ S Ví dụ 13 Đường trắc địa mặt phẳng Cho mặt phẳng P với pháp vector u Giả sử alpha đường trắc địa mặt Do α đường trắc địa nên α′′ u Nhưng α đường tham số có vết nằm mặt phẳng P nên α′′ ⊥ u Do α′′ = 0, ta suy α đường thẳng Vậy đường trắc địa mặt phẳng đường thẳng Ví dụ 14 Đường trắc địa mặt trụ Xét mặt trụ x2 + y = r2 Một đường tham số mặt trụ có dạng α(t) = (r cos u(t), r sin u(t), v(t)) Do vector pháp mặt trụ có thành phần tọa độ thứ ba z = 0, nên α đường trắc địa ta phải có v ′′ (t) = hay v(t) = ct + d Do vector vận tốc đường trắc địa nên α đường trắc địa (r2 (u′ )2 + (v ′ )2 ) = const Từ suy u′ = const u(t) = at + b Nếu a, c = 0; ta có α đường xoắn ốc Nếu a = 0, c = 0; ta có α đường sinh Nếu a = 0, c = 0; ta có α đường trịn 21 MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Hình 3.1: Các đường trắc địa mặt phẳng đường trắc địa tương ứng mặt trụ 22 MATHEDUCARE.COM Chương Ánh xạ Gauss BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 3.1 Cho S1 , S2 hai mặt qui định hướng S1 ∩ S2 liên thông Chứng minh S = S1 ∪ S2 mặt qui S định hướng Bài tập 3.2 Cho S, S1 , S2 ba mặt qui cho S = S1 ∪ S2 ; S1 S2 liên thơng; S1 ∩ S2 có hai thành phần liên thông A B Chứng minh S1 S2 định hướng cho định hướng cảm sinh A trùng định hướng cảm sinh B ngược (hướng) S khơng định hướng Hãy trường hợp băng Mobius Bài tập 3.3 Cho S1 , S2 hai mặt qui, S2 mặt định hướng f : S1 −→ S2 vi phôi địa phương Giả sử N2 định hướng S2 , xác định ánh xạ N1 : S1 −→ R3 sau: p ∈ S1 , đặt a∧b , N1 (p) = |a ∧ b| với {a, b} sở Tp S1 thỏa mãn det(Dfp (a), Dfp (b), N2 (f (p))) > Chứng minh N1 trường vector pháp S1 S1 định hướng Bài tập 3.4 Cho S1 S2 hai mặt qui định hướng Chứng minh S1 định hướng S2 định hướng Bài tập 3.5 Giả sử S mặt định hướng với định hướng N p ∈ S Chúng ta nới sở {a, b} không gian tiếp xúc Tp S định hướng dương det(a, b, N (p)) > Ngược lại ta nói định hướng âm Cho S1 S2 hai mặt qui định hướng, ta nói vi phơi địa phương f : S1 −→ S2 bảo toàn hướng đạo hàm f điểm S1 biến sở định hướng dương S1 thành sở định hướng dương S2 Chúng ta xác định hàm Jf : S1 −→ R, gọi Jacobian f đẳng thức Jf (p) = det(Dfp (e1 ), Dfp (e2 ), N2 (f (p))), MATHEDUCARE.COM Bài tập Hình học vi phân với {e1 , e2 } sở định hướng dương Tp S1 Chứng minh rằng, S1 S2 liên thơng, f bảo tồn hướng Jacobian dương điểm Bài tập 3.6 Khảo sát mặt sau (xác định dạng I, II, độ cong, điểm kỳ dị, điểm rốn ): mặt tròn xoay trục Oz x = f (u) cos v, y = f (u) sin v, z = g(u); mặt cầu x = R cos u cos v, y = R cos u sin v, z = R sin u; mặt ellipsoid tròn xoay x = a cos u cos v, y = a cos u sin v, z = c sin u, a, c > 0; mặt hyperboloid 1-tầng tròn xoay x = a cosh u cos v, y = a cosh u sin v, z = c sinh u, a, c > 0; mặt hyperboloid 2-tầng tròn xoay x = a sinh u cos v, y = a sinh u sin v, z = c cosh u, a, c > 0; mặt paraboloid tròn xoay x = u cos v, y = u sin v, z = u2 ; mặt trụ tròn xoay x = R cos v, y = R sin v, z = u; mặt nón trịn xoay trừ điểm đỉnh x = u cos v, y = u sin v, z = ku, u = 0; mặt xuyến x = (a + b cos u) cos v, y = (a + b cos u) sin v, z = b sin u, < b < a; 10 mặt catenoid x = a cosh u u cos v, y = a cosh sin v, z = u, a > 0; a a 11 mặt giả cầu u π x = a sin u cos v, y = a sin u sin v, z = a(ln(tan ) + cos u), u = , a > 2 MATHEDUCARE.COM Bài tập Hình học vi phân Bài tập 3.7 Dùng phần mềm Maple Mathematica để vẽ mặt cho tập ?? Bài tập 3.8 Chứng minh mặt qui tiếp xúc với mặt phẳng dọc theo đường cong điểm đường cong điểm parabolic điểm phẳng Bài tập 3.9 Giả sử mặt qui S có tính chất |k1 | ≤ 1, |k2 | ≤ điểm Có khơng độ cong đường cong mặt S thỏa mãn |k| ≤ Bài tập 3.10 Chứng minh tổng độ cong pháp theo hai hướng trực giao điểm p ∈ S số Bài tập 3.11 Chứng tỏ điểm gốc O(0, 0, 0) mặt yên ngựa (hyperbolic paraboloid ) z = axy, độ cong Gauss K = −a2 , độ cong trung bình H = Bài tập 3.12 Cho tham số hóa mặt Enneper X(u, v) = (u − v3 u3 + uv , v − + vu2 , u2 − v ) 3 Hãy tính hệ số dạng thứ thứ hai Tính độ cong Từ suy mặt Enneper mặt cực tiểu Các đường tọa độ đường khúc Các đường u ± v =const đường tiệm cận Dùng phần mềm Maple Mathematica để vẽ mặt Enneper Bài tập 3.13 Xét đường tractrix mặt phẳng Oxz x(t) = sin t, t z(t) = cos t + ln(tan ) y(t) = 0, Quay đường tractrix quanh trục Oz ta nhận mặt tròn xoay gọi mặt giả cầu Hãy xác định tham số hóa mặt giả cầu lân cận điểm qui Chứng minh độ cong Gauss mặt giả cầu điểm qui −1 Dùng phần mềm Maple Mathematica để vẽ mặt giả cầu Bài tập 3.14 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt Helicoid xác định tham số hóa x = sinh v cos u, y = sinh v sin u, z = cu; c = chứng minh mặt Helicoid mặt cực tiểu Bài tập 3.15 Xác định đường tiệm cận Catenoid xác định tham số hóa X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v) MATHEDUCARE.COM Bài tập Hình học vi phân Chứng minh mặt Catenoid mặt cực tiểu Bài tập 3.16 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt z = xy Bài tập 3.17 Chứng tỏ điểm hyperbolic, phương phân giác đường tiệm cận Bài tập 3.18 Cho C ⊂ S đường cong qui mặt qui S với độ cong Gauss K > Chứng minh độ cong k C điểm p ∈ C thỏa k ≥ min(|k1 |, |k2 |), với k1 , k2 độ cong S p Bài tập 3.19 Trên mặt qui, chứng minh độ cong trung bình không điểm điểm phẳng điểm có hai phương tiệm cận trực giao Bài tập 3.20 Mô tả miền mặt cầu đơn vị phủ ảnh ánh xạ Gauss mặt sau đây: paraboloid tròn xoay z = x2 + y ; hyperboloid 1-tầng tròn xoay x2 + y − z = 1; catenoid x2 + y = cosh z BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG Bài tập 3.21 Chứng minh độ cong trung bình mặt S điểm p ∈ S H= π π kn (θ)dθ, với kn (θ) độ cong pháp p theo hướng lập với hướng cố định v góc θ Bài tập 3.22 Chứng minh rằng: ảnh N ◦ α đường tham số qui α : I −→ S không chứa điểm phẳng điểm parabolic qua ánh xạ Gauss N : S −→ S đường tham số qui S (gọi ảnh cầu α); C = α(I) đường khúc k độ cong p k = |kn kN |, với kn độ cong pháp p theo tiếp tuyến C kN độ cong ảnh cầu N (C) ⊂ S N (p) MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) PHỤ LỤC 0.1 Khơng gian Rn Không gian Rn không gian metric với khoảng cách (xi − yi )2 , d(x, y) = x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) hai phần tử Rn Các phép biến đổi Rn bảo toàn khoảng cách gọi phép biến đổi đẳng cự Ví dụ Phép tịnh tiến Tv : Rn −→ Rn x −→ x + v, với v ∈ Rn phần tử cố định phép biến đổi đẳng cự Ví dụ Phép biến đổi (tuyến tính) trực giao L : Rn −→ Rn với L phép biến đổi tuyến tính thỏa điều kiện L(x).L(y) = x.y phép biến đổi đẳng cự Một phép biến đổi trực giao bảo toàn hướng phép biến đổi trực giao mà ma trận sở tắc (có cột L(e1 ), L(e2 ), , L(en )) có định thức +1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ ρ : Rn −→ Rn ; ρ(x) = −x bảo tồn hướng n chẵn khơng bảo tồn hướng n lẻ Một phép biến đổi đẳng cự có dạng tổng quát sau B : Rn −→ Rn x −→ L(x) + x0 , với L phép biến đổi trực giao x0 ∈ Rn Khi L gọi thành phần trực giao B 0.2 Tính liên tục Rn Một ánh xạ F : A ⊂ Rn −→ Rm thường gọi hàm vector Cho U tập mở Rn Hàm vector F : U ⊂ Rn −→ Rm gọi liên tục p ∈ U ∀ǫ > 0, ∃δ > cho d(x, p) < δ d(f (x), f (p)) < ǫ MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Nói cách khác, F liên tục p ∈ U ∀ǫ > 0, ∃δ > cho F (Bδ (p) ⊂ Bǫ (F (p)) Ký hiệu Br (a) hình cầu mở tâm a bán kính r Một cách trực quan, F liên tục p điểm x ∈ U đủ gần p f (x) đủ gần f (p) Hàm vector F gọi liên tục (trên tập mở U ) F liên tục điểm U Cho F : U ⊂ Rn −→ Rm , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , f (x) = y = (y1 , y2 , , ym ) ∈ Rm Khi ta viết y1 = f (x1 , x2 , , xn ), y2 = f (x1 , x2 , , xn ), , ym = f m (x1 , x2 , , xn ); hay F = (f , f , , f m ) Các hàm f i , i = 1, 2, , m gọi hàm thành phần F Hàm f i gọi hàm thành phần thứ i Dễ thấy f i = Πi ◦ F, với Πi : Rm −→ R phép chiếu lên thành phần thứ i Ví dụ Các hàm vector sau hàm liên tục Phép đối xứng qua gốc O F : Rn −→ Rn (x1 , x2 , , xn ) −→ (−x1 , −x2 , , −xn ) Phép nghịch đảo F : R2 − {(0, 0)} −→ R2 (x, y) −→ Phép chiếu x2 y x , 2 +y x +y F : R3 −→ R2 (x, y, z) −→ (x, y) Mệnh đề sau cho thấy tính liên tục hàm vector F tương đương với tính liên tục hàm thành phần Mệnh đề 0.2.1 Hàm vector F : U ⊂ Rn −→ Rm liên tục điểm p ∈ U hàm thành phần f i , i = 1, 2, , m; liên tục p Chứng minh Mệnh đề sau mơ tả tính liên tục thông qua thuật ngữ lân cận MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Mệnh đề 0.2.2 Hàm vector F : U ⊂ Rn −→ Rm liên tục điểm p ∈ U với lân cận Wf (p) f (p) Rm , tồn lân cận Wp p Rn cho f (Wp ) ⊂ Wf (p) Chứng minh Chứng minh xin dành cho bạn đọc Mệnh đề 0.2.3 Cho hàm vector F : U ⊂ Rn −→ Rm G : V ⊂ Rm −→ Rk Giả sử F (U ) ⊂ V, F liên tục điểm p ∈ U G liên tục điểm F (p) Khi G ◦ F liên tục p Chứng minh Giả sử WG◦F (p) lân cận G ◦ F (p) Do G liên tục F (p) nên tồn lân cận WF (p) F (p) cho G(WF (p) ) ⊂ WG◦F (p) Lại F liên tục p, nên tồn lân cận Wp p cho F (Wp ) ⊂ WF (p) Như G ◦ F (Wp ) ⊂ G(WF (p) ) ⊂ WG◦F (p) , nên theo định nghĩa G ◦ F liên tục p ✷ Hệ 0.2.4 Cho hàm vector F : U ⊂ Rn −→ Rm G : V ⊂ Rm −→ Rk Nếu F G liên tục F (U ) ⊂ V, G ◦ F liên tục Chúng ta mở rộng khái niệm hàm vector liên tục tập A Hàm vector tập A ⊂ Rn bất kỳ, F : A ⊂ Rn −→ Rm , gọi liên tục (trên A) F hạn chế hàm vector liên tục tập mở U chứa A Dễ thấy, F : A ⊂ Rn −→ Rm , p ∈ A WF (p) lân cận F (p) Rm có lân cận Wp p Rn cho F (Wp ∩ A) ⊂ WF (p) Vì thường nói Wp ∩ A lân cận p A Tương tự, W ∩ A với W tập mở Rn gọi tập mở A Chúng ta nói hàm vector liên tục F : A ⊂ Rn −→ Rn đồng phôi (lên ảnh) F đơn ánh ánh xạ ngược F −1 : F (A) ⊂ Rn −→ Rn liên tục Khi ta nói A F (A) hai tập đồng phơi Ví dụ Cho E ellipsoid E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 y z + + = 1} a2 b c Π : R3 −→ R2 , Π(x, y, z) = (x, y) phép chiếu Khi Π|E hàm vector liên tục E Ví dụ Cho hàm vector liên tục F : R3 −→ R3 (x, y, z) −→ (ax, by, cz) Hạn chế F lên mặt cầu S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y + z = 1} MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) hàm liên tục Dễ thấy F |S (S ) = E, E ellipsoid ví dụ Hàm F |S đơn ánh x y z , , (F |S )−1 (x, y, z) = a b c Rõ ràng (F |S )−1 = F −1 |E F |S đồng phôi 0.3 Khả vi Rn Ký hiệu L(Rn , Rm ) không gian vector ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rn với hai phép toán (L1 + L2 )(x) = L1 (x) + L2 (x); (λL)(x) = λL(x) Mỗi phần tử L ∈ L(Rn , Rn ) thường đồng với ma trận A = (aij ) ∈ M at(m, n) cặp sở tắc Rn Rn Khi chuẩn L định nghĩa chuẩn ma trận A |L|2 = |A|2 = a2ij Giả sử U ⊂ Rn tập mở F : U −→ Rm ánh xạ liên tục Ta nói F khả vi x0 ∈ U tồn ánh xạ tuyến tính L := L(F, x0 ) ∈ L(Rn , Rm ) cho lim x→x0 |F (x) − F (x0 ) − L(x − x0 )| = |x − x0 | (1) Nếu ký hiệu o(x) hàm có tính chất o(x) = 0, x→0 |x| lim đẳng thức viết lại |F (x) − F (x0 ) − L(x − x0 )| = o(x − x0 ) Nếu ánh xạ tuyến tính L = L(F, x0 ) tồn L Thật vậy, giả sử L L′ hai ánh xạ tuyến tính có tính chất Khi dùng bất đẳng thức tam giác ta có |(L − L′ )(x − x0 )| = |(L − L′ )(x − x0 ) + F (x) − F (x) + F (x0 ) − F (x0 )| ≤ |F (x) − F (x0 ) − L(x − x0 )| + |F (x) − F (x0 ) − L′ (x − x0 )| = o(x − x0 ) + o(x − x0 ) = o(x − x0 ) Vậy |(L − L′ )(x − x0 )| ≤ o(x − x0 ) Đặc biệt lấy x − x0 = rei , r > 0, r( j (aji − a′ji )2 ) ≤ o(rei ) Do đó, aij = a′ij , ∀i, j Tức L = L′ MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Chúng ta sử dụng ký hiệu DFx0 thay cho L gọi đạo hàm F x0 Hàm F gọi khả vi U F khả vi điểm x ∈ U Ma trận ánh xạ tuyến tính DFx0 cặp sở tắc Rn RM gọi ma trận Jacobi ký hiệu Fx′ Nếu F khả vi U ta có ánh xạ sau DF : U −→ L(Rn , Rm ) = Rnm x −→ DFx Nếu DF liên tục, ta nói F khả vi liên tục hay F thuộc lớp C Nếu DF khả vi, ta nói F khả vi hai lần (cấp 2) 2m D(DF ) := D2 F : U −→ L(Rn , Rnm ) = Rn liên tục, ta nói F khả vi liên tục hai lần (cấp 2) thuộc lớp C Tương tự, ta có định nghĩa hàm khả vi liên tục lớp C k Hàm có đạo hàm cấp, tức thuộc lớp C k với k = 1, 2, gọi thuộc lớp C ∞ hàm trơn (smooth) Hàm F : A ⊂ Rn −→ Rm xác định tập A tùy ý gọi khả vi F hạn chế hàm khả vi xác định tập mở U chứa A Sau số ví dụ hàm khả vi đạo hàm chúng Ví dụ Ánh xạ tuyến tính L : Rn −→ Rm hàm khả vi Khi DLx = L, ∀x ∈ Rn Phép biến đổi đẳng cự B : Rn −→ Rn hàm khả vi Khi DBx = L, ∀x ∈ Rn , với L thành phần trực giao B Ánh xạ (x, y) −→ x.y từ Rn × Rn −→ R x −→ |x|2 từ Rn −→ R hàm khả vi Tích vector (x, y) −→ x × y từ R3 × R3 −→ R3 khả vi Các hàm số giải tích biến số như: hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarithm hàm khả vi Dễ chứng minh hợp hai hàm khả vi hàm khả vi Giả sử U, V ⊂ Rn hai tập mở F : U −→ V song ánh khả vi Nếu F −1 : V −→ U khả vi ta nói F vi phơi (giữa U V ) Khi ta nói hai tập U V vi phơi với Với định nghĩa việc xác định đạo hàm hàm vector việc không dễ dàng Các vấn đề trình bày tiếp sau cho ta cách xác định đạo hàm hàm vector cách cụ thể thông qua khái niệm đạo hàm riêng ma trận Jacobi Cho hàm F : U ⊂ Rn −→ R x0 = (x01 , x02 , , x0n ) ∈ U Giới hạn F (x01 , , x0i + h, , x0n ) − F (x01 , x02 , , x0n ) h→0 h lim tồn gọi đạo hàm riêng thứ i F x0 , ký hiệu Di F (x0 ) hay ∂F |x=x0 ∂xi MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Ví dụ Cho hàm F (x, y) = 2xy + y Ta có ∂F ∂F (x, y) = 2y; (x, y) = 2x + ∂x ∂y Nếu Di Fx tồn với x ∈ U, ta có hàm Di F : U −→ R, ∂2F tính Dj (Di F ) := Dij F Theo cách ký hiệu cổ điển người ta viết Nói ∂xj ∂xi chung trường hợp tổng quát Dij F = Dji F Nhưng hàm thường dùng Dij F = Dji F Định lý sau cho điều kiện đủ để đảm bảo đẳng thức Định lý 0.3.1 Nếu Dij F Dji F liên tục tập mở chứa x0 Dij F (x0 ) = Dji F (x0 ) Dij F gọi đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai Một cách hoàn toàn tương tự, có định nghĩa đạo hàm riêng hỗn hợp cấp cao Định lý sau cho ta áp dụng quan trọng đạo hàm riêng Định lý 0.3.2 Nếu hàm F : U ⊂ Rn −→ R đạt giá trị cực đại hay cực tiểu x0 ∈ U đạo hàm riêng Di F (x0 ) tồn Di F (x0 ) = Cần ý điều ngược lại không đúng, với n = Định lý sau giúp ta tính đạo hàm hàm vector thơng qua việc tính đạo hàm riêng Định lý 0.3.3 Nếu hàm F = (f , f , , f m ) : U ⊂ Rn −→ Rm khả vi x0 Dj f i (x0 ) tồn với i, j, ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m ma trận (Dj f i (x0 )) ma trận Jacobi F ′ (x0 ) Chứng minh (Xem chứng minh [?]) ✷ Định lý đảo Định lý 0.3.3 không Tuy nhiên đạo hàm riêng Dj f i (x0 ) tồn lân cận chứa điểm x0 liên tục x0 F khả vi x0 , tức định lý đảo Chúng ta có định lý sau mà chứng minh tham khảo [?] Định lý 0.3.4 Hàm F : U ⊂ Rn −→ Rm khả vi x0 ∈ U hàm tọa độ f i khả vi x0 DFx0 = (Df (x0 ), Df (x0 ), , Df m (x0 )) Định lý 0.3.5 Cho hàm g , g , , g m : U ⊂ Rn −→ Rm khả vi liên tục x0 ∈ U f : Rm −→ R khả vi liên tục (g (x0 ), g (x0 ), , g m (x0 )) Đặt F : U ⊂ Rn −→ R xác định F (x) = f (g (x), g (x), , g m (x)), Khi m Dj f (g (x0 ), g (x0 ), , g m (x0 ))Di g j (x0 ) Di F (x0 ) = j=1 MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Định lý 0.3.6 (Định lý hàm ngược) Cho F : U ⊂ Rn −→ Rn ánh xạ khả vi giả sử x0 ∈ U, đạo hàm DFx0 : Rn −→ Rn đẳng cấu Khi tồn lân cận Vx0 x0 U lân cận VF (x0 ) Rn cho F : Vx0 −→ VF (x0 ) có hàm ngược khả vi F −1 : VF (x0 ) −→ Vx0 Ví dụ Cho x(u, v), y(u, v), z(u, v) hàm khả vi U ⊂ R2 f (x, y, z) hàm khả vi R3 Khi theo ký hiệu cổ điển ta có ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂f = + + ; ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂f = + + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v Ví dụ Cho hàm Ta tính F : R2 −→ R2 (x, y) −→ (x2 − y , 2xy) 2a −2b , 2b 2a F ′ (a, b) = DF(a,b) (x, y) = (2ax − 2by, 2bx + 2ay) BÀI TẬP Bài tập 0.1 Cho L : Rn −→ Rm ánh xạ tuyến tính Chứng minh tồn M ∈ R, M > cho |L(x)| ≤ M |x|, ∀x ∈ Rn Từ chứng minh L liên tục Bài tập 0.2 Chứng minh phép biến đổi đẳng cự B : Rn −→ Rn liên tục Bài tập 0.3 Chứng minh ánh xạ tuyến tính L : Rn −→ Rm hàm khả vi DLx = L, ∀x ∈ Rn Bài tập 0.4 Chứng minh phép biến đổi đẳng cự B : Rn −→ Rn hàm khả vi DBx = L, ∀x ∈ Rn , với L thành phần trực giao B Bài tập 0.5 Chứng minh ánh xạ sau khả vi f : Rn × Rn −→ R (x, y) −→ xy; f : Rn −→ R x −→ |x|2 ; MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) f : R3 × R3 −→ R3 (x, y) −→ x × y Bài tập 0.6 Cho hàm f : Rn −→ R thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ |x|2 Chứng minh f khả vi x = Df0 = Bài tập 0.7 Chứng minh hàm f : Rn −→ Rm khả vi x0 f liên tục x0 Bài tập 0.8 Tìm đạo hàm riêng hàm sau f (x, y, z) = xy ; f (x, y, z) = z; f (x, y) = sin(x sin y); f (x, y, z) = sin(x sin(y sin z)); f (x, y, z) = xy ; f (x, y, z) = xy+z ; f (x, y, z) = (x + y)z ; f (x, y, z) = sin(xy); f (x, y, z) = sin(xy) cos z z Bài tập 0.9 Biểu diễn đạo hàm riêng f qua đạo hàm g h f (x, y) = g(x)h(y); f (x, y) = g(x)h(y) ; f (x, y) = g(x); f (x, y) = h(y); f (x, y) = g(x + y) Bài tập 0.10 Tìm đạo hàm hàm cho 0.8 Bài tập 0.11 Cho hàm f : R2 −→ R xác định f (x, y) = √x|y| (x, y) = (0, 0) x2 +y (x, y) = (0, 0) Tính D1 f (0, 0) D2 f (0, 0) MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý) Chứng minh f không khả vi (0, 0) Bài tập 0.12 Cho hàm f : R2 −→ R xác định f (x, y) = (x2 + y ) sin √ x2 +y (x, y) = (0, 0) (x, y) = (0, 0) Chứng minh f khả vi (0, 0) đạo hàm riêng D1 f D2 f gián đoạn (0, 0) Bài tập 0.13 Sử dụng ví dụ f (x) = x + x2 sin x1 x=0 x=0 để chứng tỏ điều kiện liên tục đạo hàm định lý hàm ngược bỏ Bài tập 0.14 Cho hàm f : R2 −→ R khả vi liên tục Chứng minh f đơn ánh ... đẳng chu bất đẳng thức đẳng chu 24 ii MATHEDUCARE. COM Hình học vi phân 1.4.2 Định lý bốn đỉnh 29 iii MATHEDUCARE. COM Chương Lý thuyết đường 1.1 Đường tham số Phép... cong Chúng ta không chứng minh định lý Tham khảo chứng minh định lý [?] 30 MATHEDUCARE. COM Hình học vi phân 31 MATHEDUCARE. COM Hình học vi phân Một đường tham số qui phẳng (khơng thiết đơn) c : [a,... tuyệt đối hiệu hai bán kính cong a b đường thân khai Ví dụ 15 Xét ellipse với tham số hóa β(t) = (a cos t, b sin t) 21 MATHEDUCARE. COM Hình học vi phân Ta có quỹ tích tâm đường trịn mật tiếp đường