Hàm Mật Độ của Phân Phối Gauss Một Chiều
Hàm Mật Độ Phân Phối Gauss Một Chiều Trần Nam Hưng* Ngày 19 tháng năm 2021 Phân phối chuẩn chiều Định nghĩa (Phân phối chuẩn) Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) với hai tham số trung bình µ phương sai σ2 (trong −∞ < µ < +∞ σ > 0), ký hiệu X ∼ N (µ , σ), X phân phối liên tục với hàm mật độ phân phối xác suất (p.d.f.) xác định sau ´ ® 1 (x − µ)2 f (x | µ , σ ) = √ exp − với − ∞ < x < +∞ σ2 σ 2π (p.d.f.) Hàm mật độ phân phối Định lí Hàm (p.d.f.) hàm mật độ phân phối xác suất phân phối Gauss Chứng minh Dễ dàng ta thấy hàm (p.d.f.) hàm không âm Ta cần chứng minh +∞ −∞ Đặt a = (x−µ) σ , ta có da = σ1 dx Khi (1) trở thành +∞ +∞ −∞ Đặt I = Å I = f (x | µ , σ) dx = +∞ −∞ exp +∞ −∞ (1) f (x | µ , σ) dx = ß −∞ ß ™ 1 √ exp − a σ da = √ σ 2π 2π +∞ −∞ ß ™ exp − a da − 21 a2 da, ™ ã Å exp a da · +∞ −∞ ß ™ ã exp − b db = ß ™ 2 exp − a + b da db Da,b Áp dụng phép song ánh sang hệ tọa độ cực cách đặt a = r cos ϕ b = r sin ϕ hàm liên tục, a2 + b2 = r2 Cùng với đạo hàm riêng cấp chúng miền mới, ta có ma trận Jacobi * E-mail: hungb1906052@student.ctu.edu.vn Ü J≜ ∂a ∂r ∂b ∂r ∂a ∂ϕ ∂b ∂ϕ ê cos ϕ −r sin ϕ = sin ϕ r cos ϕ Vi phân hàm hai biến a = r cos ϕ b = r sin ϕ ta có kết biểu diễn sau da db = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ · dr dϕ Khi ta tính tích phân hai lớp I chuyển sang hệ tọa độ cực với miền xác định mặt phẳng Dr,ϕ : {0 ≤ ϕ ≤ 2π , < r < +∞} Ta có ß ™ exp − a2 + b2 da db Da,b ™ ß cos ϕ −r sin ϕ dr dϕ = exp − r · Dr,ϕ sin ϕ r cos ϕ ß ™ +∞ 2π exp − r2 · r dr dϕ = 0 I2 = Đặt t = r2 dt = r dr, tích phân tiếp tục tính sau +∞ 2π I2 = dϕ Khi I = 2π I = 2π exp {−t} dt = − exp{−t} +∞ 2π dϕ = 2π dϕ = √ 2π Cuối cùng, ta có +∞ −∞ f (x | µ , σ) dx = √ · I = 2π Ta có điều phải chứng minh Tham khảo [1] Morris H DeGroot, Mark J Schervish, "Probability and Statistics", Fourth Edition, ISBN 978-0-321-50046-5, 2012, 2002 Pearson Education ... phẳng Dr,ϕ : {0 ≤ ϕ ≤ 2π , < r < +∞} Ta có ß ™ exp − a2 + b2 da db Da,b ™ ß cos ϕ −r sin ϕ dr d? ? = exp − r · Dr,ϕ sin ϕ r cos ϕ ß ™ +∞ 2π exp − r2 · r dr d? ? = 0 I2 = Đặt t = r2 dt = r dr, tích... +∞ 2π I2 = d? ? Khi I = 2π I = 2π exp {−t} dt = − exp{−t} +∞ 2π d? ? = 2π d? ? = √ 2π Cuối cùng, ta có +∞ −∞ f (x | µ , σ) dx = √ · I = 2π Ta có điều phải chứng minh Tham khảo [1] Morris H DeGroot, Mark... ∂b ∂ϕ ê cos ϕ −r sin ϕ = sin ϕ r cos ϕ Vi phân hàm hai biến a = r cos ϕ b = r sin ϕ ta có kết biểu diễn sau da db = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ · dr d? ? Khi ta tính tích phân hai lớp I chuyển