CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trường THCS Trí Phải Đề cương ôn tập toán 9 HKII năm học 2016 2017 CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hệ phương trình , 0 ( ) '''' '''' '''',[.]

Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax + by = c , a ≠ ( D ) Cho hệ phương trình:  a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ ( D ') a b ⇔ Hệ phương trình có nghiệm ≠ a' b' a b c ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm = ≠ • (D) // (D’) ⇔ a' b' c' a b c ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm = = • (D) ≡ (D’) ⇔ a' b' c' II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải hệ phương trình: • (D) cắt (D’) ⇔ x + y = m Bài tập 1: Cho hệ phương trình  (1) 2 x − my = Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a) x = y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = x + y = k + Bài tập 2: Cho hệ phương trình  (1) 2 x + y = − k Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm x = – y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k x + y = Bài tập 3: Cho hệ phương trình  (1) 2 x − my = 1 Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: a) x = – y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vơ nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m mx − y = −1 Bài tập 4: Cho hệ phương trình  (1) 2 x + y = 1 Giải hệ phương trình (1) m = 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = − y = 3 Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m x + y = Bài tập : Cho hệ phương trình  (1) 2 x + y = m Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 Giải hệ phương trình (1) m = –1 x > Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa  y < 2 x + y = 3m + Bài tập 6: Cho hệ phương trình  3 x + y = 2m − Giải hệ phương trình m = – x < Với giá trị m hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa  y <  − 2mx + y =  mx + y = Bài tập 7: Cho hệ phương trình :  (1) Giải hệ (1) m = Xác định giá trị m để hệ (1): a) Có nghiệm tìm nghiệm theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y =  mx − y = m  −2 x + y = m + Bài tập : Cho hệ phương trình :  ( m tham số) (I) a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng b) Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm tính nghiệm theo m CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a ≠ 0): Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có tính chất sau: • Nếu a > hàm số đồng biến x > nghịch biến x < • Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2(a ≠ 0): • Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng • Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh điểm thấp đồ thị • Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0): • Lập bảng giá trị tương ứng (P) • Dựa bảng giá trị → vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) (D): y = ax + b: • Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Giải pt hồnh độ giao điểm: + Nếu ∆ > ⇒ pt có nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại điểm phân biệt + Nếu ∆ = ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) (P) tiếp xúc + Nếu ∆ < ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) (P) không giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) (Dm) theo tham số m: Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D m): cho vế phải hàm số → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) pt hoành độ giao điểm • Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt ∆ > → giải bất pt → tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) tại điểm ∆ = → giải pt → tìm m + (Dm) (P) không giao ∆ < → giải bất pt → tìm m II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D4) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hồnh độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D1) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) tại điểm có hoành độ − b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc Gọi A( − ; −7 ) B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y = − x2 có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (D) Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm – Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) 3 Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D)  x A = xB Xác định tọa độ A B 11 y A = yB Gọi A điểm ∈ (P) B điểm ∈ (D) cho  Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số b) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hồnh cho MA + MB nhỏ Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vuông -CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm:  x1 = • a + b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm:   x2 = c a   x1 = − • a – b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm:   x2 = − c a  b) Giải với ∆ ' : b Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac − b'+ ∆ ' −b'− ∆ ' • Nếu ∆ ' > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = a a −b' • Nếu ∆ ' = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a • Nếu ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghiệm c) Giải với ∆ : Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac − b+ ∆ − b− ∆ • Nếu ∆ > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 2a 2a Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 • Nếu ∆ = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a • Nếu ∆ < ⇒ phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi ét ứng dụng: a) Định lý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) ta có: b  S = x + x = −  a  c P = x x =  a  u + v= S =P uv b) Định lý đảo: Nếu  ⇒ u, v nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: • Tổng bình phương nghiệm: x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 – 2P • Tổng nghịch đảo nghiệm: • 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1x2 P 1 x12 + x22 S2 − 2P = Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: + = x1 x2 (x1x2 )2 P2 • Bình phương hiệu nghiệm: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 – 4P • Tổng lập phương nghiệm: x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) x12 + x22 b) 1 + x1 x2 c) (x1 − x2 )2 d) x13 + x23 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ hoặc a.c < 0) • b   S = x1 + x2 = − a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  P = x x = c  a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P → Đó hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải:  u+ v = S ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) uv = P  • Nếu số u v c ó:  • Giải pt (*): u= x1 u= x2 hoặc   v= x2  v= x1 + Nếu ∆ ' > (hoặc ∆ > 0) ⇒ pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy  Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập toán HKII năm học 2016-2017 + Nếu ∆ ' = (hoặc ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = − b' b' Vậy u = v = − a a + Nếu ∆ ' < (hoặc ∆ < 0) ⇒ pt (*) vơ nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa đề Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28 Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (với c số dương) • Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m • Kết luận: Vậy phương trình cho ln nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm kép ∆ ' = → giải pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình vơ nghiệm ∆ ' < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A ± B)2 + c ⇒ P = (A ± B)2 + c ≥ c • Giá trị nhỏ P: Pmin = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A ± B)2 ⇒ Q = c – (A ± B)2 ≤ c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm – 2 Giả sử x1, x2 nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: ∀m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tính A = x12 + x22 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc m Tìm m để x12 + x22 = 10 Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương nghiệm pt (1) 11 Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép tính nghiệm kép b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m -CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): • Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; • Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn qua đại lượng biết ; • Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ đại lượng Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK trả lời yêu cầu II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số lớn số ban đầu 682 HD: • Gọi x chữ số hàng chục (x ∈ N, < x ≤ 9) • Gọi y chữ số hàng đơn vị (y ∈ N, x ≤ 9) • Số cần tìm có dạng xy = 10x + y • Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên ta có pt: x – y = (1) • Khi thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y • Vì số lớn số ban đầu 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682 ⇔ 91x + 9y = 682 (2) x − y = • Từ (1) (2) ta có hệ pt:  91x + y = 682 x = • Giải hệ pt ta  (thỏa ĐK) ⇒ số cần tìm 75 y =  Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số HD: • Gọi x, y hai số cần tìm (x, y ∈ N)  x + y = 59  x + y = 59 ⇔ • Theo đề ta có hệ pt:  2 x + = y 2 x − y = −  x = 34 • Giải hệ ta được:  (thỏa ĐK) ⇒ hai số cần tìm 34 25  y = 25 Bài tập 3: Giải toán sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số 10; tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho HD: • Gọi x chữ số hàng chục số cho (x ∈ N, < x ≤ 9) • Chữ số hàng đơn vị: 10 – x • Số cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 • Tích hai chữ số ấy: x(10 – x) • Theo đề ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 ⇔ x2 – = • Giải pt ta được: x1 = –1( loại); x2 = (nhận) • Vậy số cần tìm 28 Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 Bài tập 4: Giải toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 144m Tính kích thước hình chữ nhật HD: • Nửa chu vi hình chữ nhật: • • • • 280 = 140 (m) Gọi x (m) chiều dài hình chữ nhật (0 < x < 140) Chiều rộng hình chữ nhật 140 – x (m) Diện tích ban đầu hình chữ nhật x(140 – x) (m2) Khi giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m hình chữ nhật có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2) • Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 ⇔ 5x = 430 ⇔ x = 86 (thỏa ĐK) • Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m) Bài tập 5: Giải toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m Tính diện tích khu vườn ban đầu HD: • Chiều dài 100m chiều rộng 60m • Diện tích khu vườn: 000 m2 Bài tập 6: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kich thước HD: • Nửa chu vi hình chữ nhật: 160 = 80 (m) • Gọi x (m) kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80) • Kích thước cịn lại hình chữ nhật 80 – x (m) • Diện tích hình chữ nhật x(80 – x) (m2) • Vì diện tích hình chữ nhật 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500 ⇔ x2 – 80x + 1500 = • Giải pt ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận) • Vậy hình chữ nhật có kích thước 30m 50m Bài tập 7: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính diện tích sân trường HD: • Gọi x, y (m) chiều dài chiều rộng sân trường ( < x, y < 170) • Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 ⇔ x + y = 170 (1) • Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2)  x + y = 170 • Từ (1) (2) ta có hệ pt:  3 x − y = 20  x = 100 • Giải hệ pt ta  (thỏa ĐK)  y = 70 Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 Bài tập 8: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm Tình hai cạnh góc vng tam giác HD: • Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (x > 5, y > 5) 5 x + y = 200 • Theo đề ta có hệ pt:   x + y = 45  x = 20 Giải hệ pt ta  (thỏa ĐK)  y = 25 • Vậy độ dài hai cạnh góc vuông 20cm 25cm Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh hùn 5cm, diện tích 6cm Tìm độ dài cạnh góc vng HD: • Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5) • Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1) • • Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = ⇔ xy = 12 (2)  x + y = 25 ( x + y )2 − xy = 25 ⇔ • Từ (1) (2) ta có hệ pt:   x y = 12  x y = 12 ( x + y )2 = 49 x + y = ( x, y > 0) ⇔ ⇔ x y = 12   x y = 12 x = x = • Giải hệ pt ta   (thỏa ĐK) y = y = • Vậy độ dài hai cạnh góc vng 3cm 4cm Bài tập 10: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước cùng chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vịi thứ hai bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? HD: • Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4) (bể) x Trong 1h, vòi chảy được: (bể) y • Trong 1h, vịi chảy được: • • Vì hai vịi nước chảy 48 phút = 24 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy 5 bể, ta có pt: + = (1) y 24 x 24 10 Trường THCS Trí Phải nửa số đo góc tâm chắn cung Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 · nội tiếp chắn nửa đường tròn BAC · đường kính BC ⇒ BAC = 900 d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng (O,R) có: · tạo tia tiếp tuyến dây BAx · cung chắn »AB ⇒ BAx = sđ »AB Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: * Định lý: Trong đường tròn, số đo góc tạo (O,R) có: tia tiếp tuyến »dây cung · tao boi tt & dc chăn AB  BAx nửa số đo cung · bị ·  ⇒ BAx = ACB ·ACB » chắn noi tiep chăn AB  * Hệ quả: Trong đường (O,R) có: trịn, góc tạo tia tiếp BEC · có đỉnh bên đường trịn tuyến dây cung góc · » »AD ) ⇒tiếp BEC = ( sđ BC + sđ cung nội chắn Góc có đỉnh bên (O,R) có: đường trịn: · * Định lý: Góc có đỉnh BEC có đỉnh bên ngồi đường tròn · » tròn »AD ) bên ⇒ BEC = đường ( sđ BC − sđ nửa tổng số2 đo hai cung bị chắn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: * Định lý: Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Cung chứa góc: * Tập hợp điểm nhìn đoạn thẳng AB góc α khơng đổi hai a) · ADB = ·AEB = ·AFB = α nhìn cung trịn chứa góc α đoạn AB ⇒ A, B, D, E, F thuộc đường tròn 15 Trường THCS Trí Phải * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, nhìn đoạn AB góc khơng đổi ⇒ Các đểm A, B, D, E, F thuộc đường trịn Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 · · b) ACB = ADB = ·AEB = ·AFB = 900 nhìn đoạn AB ⇒ A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB b) Các điểm C, D, E, F nhìn đoạn AB góc vng ⇒ Các đểm * Tứ giác ABCD có A, B, C, D ∈ (O) A, B, C, D, E, F thuộc ⇔ ABCD tứ giác nội tiếp (O) đường trịn đường kính AB * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) µ µ A +C = 180 Tứ giác nội tiếp: ⇔ µ µ * Định nghĩa: Một tứ giác  B +D = 180 có bốn đỉnh nằm * Tứ giác ABCD có: dường trịn gọi tứ µ µ A + C = 1800 ⇔ ABCD tứ giác giác nội tiếp đường tròn * Định lý: Trong tứ giác n.tiếp nội tiếp, tổng số đo hai góc Hoặc: µ +D µ = 1800 ⇔ ABCD tứ giác B đối diện 1800 n.tiếp * Định lý đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: * Độ dài cung trịn: Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: * Diện tích hình trịn: C = 2π R =π d l = π Rn 1800 S = π R2 = π d2 * Diện tích hình quạt trịn: 16 Trường THCS Trí Phải Đề cương ôn tập toán HKII năm học 2016-2017 S = * Diện tích hình viên phân: π R n l R = 360 Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình vành khăn: HÌNH KHƠNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: S = π ( R12 − R22 ) * Diện tích tồn phần: S xq = 2π Rh * Thể tích: Stp = Sxq + 2.Sđáy Stp = 2π Rh + 2π R 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh: V = S h = π R 2h * Diện tích tồn phần: S: diện tích đáy; h: chiều cao S xq = π R.l * Thể tích: Stp = Sxq + Sđáy Stp = π Rl + π R 2 Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: Vnón = Vtrụ V = * Diện tích tồn phần: π R2h S xq = π ( R1 + R2 )l S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh l = h2 + R Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ 17 Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 * Thể tích: Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: * Thể tích: V = π R3 Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R22 ) 2 + R 22 + R1 R2 ) VS== 4ππhR( R = π d BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Các phân giác góc ·ABC , ·ACB cắt đường tròn tại E, F CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID ⊥ MN · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600 HD: CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC: + (O,R) có: ·ACF n.tiep chăn »AF   · » » » BCF n.tiep chăn BF  ⇒ AF = BF ⇒ OF ⊥ AB  ·ACF = BCF · (CF laphân giac )   + (O,R) có: ·ABE n.tiep chăn »AE   · » » » CAE n.tiep chănCE  ⇒ AE = CE ⇒ OE ⊥ AC  ·ABE = CAE · ( BE la phân giac)   CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: · OF ⊥ AB tai M ⇒ OMA = 900  · ·  ⇒ OMA + ONA = 180 ⇒ Tứ AMON nội tiếp · OE ⊥ AC tai N ⇒ ONA = 90  * Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2 OA π R2  OA  Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA ⇒ S = π  = π = ÷ 4   CMR: ID ⊥ MN: + I D đối xứng qua BC ⇒ ID ⊥ BC (1) 18 Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 + (O,R) có:  OF ⊥ AB taïi M ⇒ MA = MB = AB  ⇒ MN đường trung bình ∆ ABC ⇒ MN // BC (2)  OE ⊥ AC taïi N ⇒ NA = NC = AC   Từ (1) (2) ⇒ ⇒ ID ⊥ MN · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600: + I D đối xứng qua BC ⇔ BC đường trung trực ID, suy ra: · · • ∆ IBD cân B ⇒ CBD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = CBE · · • ∆ ICD cân C ⇒ BCD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = BCF + Khi D nằm (O,R) thì: • CBD · »  n.tiep chănCD  ·CBE n.tiep chănCE »  ⇒ CD » = CE »    » = CD »  ⇒ »AE = EC » »  Mà: CE = AE (cmt) · ·  CBD = CBE (cmt )   » + CD » = ACD ¼ ⇒ CD » = ACD ¼ • Mặc khác: »AE + EC (1) • BCD · »  ntiế p chắ nBD  · »  ⇒ BD » = BF »  BCF ntieá p chaé nBF » » »   ⇒ AF = FB = BD » »  Mà: BF = AF (cmt) · · BCD = BCF (cmt)   » + BD » = ABD ¼ ⇒ BD » = ABD ẳ ã Mc khỏc: ằAF + FB (2) · » ⇒ ·BAC = sđ BC » = ( sđ BD » + sđ CD » ) (3) • BAC n tiep chăn BC 2 11 1  ¼ ABD + sđ ¼ ABD ÷= sđ ¼ ABD + sđ ABD = 3600 = 600 + Từ (1), (2) (3) ⇒ ·BAC =  sđ ¼ 23  Bài 2: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M điểm cạnh BC N điểm cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM BN cắt tại H CMR: Các tứ giác AHND MHNC tứ giác nội tiếp ( Khi BM = ) a Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a HD: CMR: Tứ giác AHND MHNC nội tiếp: · · + ∆ ABM = ∆ BCN (c.g.c) ⇒ BAM = CBN · · · · + CBN + ABH = ABC = 900 ⇒ AHB = 900 (ĐL tổng góc ∆ AHB) · ⇒ AM ⊥ BN H ⇒ ·AHN = MHN = 900 + Tứ giác AHND có: ⇒ ·AHN + ·ADN = 1800 ⇒ AHND tứ giác nội tiếp · · + Tứ giác MHNC có: ⇒ MHN + MCN = 1800 ⇒ MHNC tứ giác nội tiếp 19 Trường THCS Trí Phải Đề cương ơn tập tốn HKII năm học 2016-2017 a Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: a a 3a ⇒ CN = ⇒ DN = + Khi BM = 4 Khi BM = + ∆ AND vuông D ⇒ AN = 5a  3a  AD + DN = a +  ÷ =   2 2 AN 25π a  5a  = π  ÷ :4 = + Diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND: S = π 64   Tìm giá trị nhỏ MN theo a: + Đặt x = BM = CN ⇒ CM = a – x a  a2  + ∆ MCN vuông C ⇒ MN2 = CM2 + CN2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 =  x − ÷+ 2  a ⇒ MN2 đạt giá trị nhỏ a x − =0 2 a ⇒ MN đạt giá trị nhỏ a = a x = 2 a a Vậy giá trị nhỏ MN BM = 2 Bài 3: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao BH CK cắt (O) tại E F a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp b) CMR: OA ⊥ EF EF // HK c) Khi ∆ ABC tam giác đều có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) HD: a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp: · + BH ⊥ AC ⇒ BHC = 900 nhìn đoạn BC ⇒ H ∈ đường trịn đường kính BC (1) · + CK ⊥ AB ⇒ BKC = 900 nhìn đoạn BC ⇒ K ∈ đường trịn đường kính BC (2) + Từ (1) (2) ⇒ B, H, C, K ∈ đường tròn đường kính BC ⇒ Tứ giác BKHC nội tiếp đường trịn đường kính BC b) CMR: OA ⊥ EF EF // HK: + Đường trịn đường kính BC có: · ¼  KBH n.tiep chăn HK · · · ·  ⇒ KBH = KCH ⇒ ABE = ACF · ¼  KCH n tiep chăn HK  + Đường trịn (O) có: ·ABE n.tiep chăn »AE   · » ⇒ AE = AF (1) CAE n.tiep chăn »AF  ⇒ »AE = CF  ·ABE = CAF · (cmt )   + Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) ( 2) ⇒ OA đường trung trực EF ⇒ OA ⊥ EF 20