së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸ Céng hoµ x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §Ò thi häc sinh giái m«n to¸n KHèI 12 b¶ng a Bµi 1 (7 ®iÓm) Cho hµm sè x xx y 12 ++= (1) 1) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2) BiÖn luËn[.]
Đề thi học sinh giỏi môn toán KHốI 12 bảng a Bài 1: (7 điểm) Cho hàm số: y= x2 + x + (1) x 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: x + x +1 x =m 3) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành độ x0# 0.Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị điểm M và, cắt trục tung điểm A, cắt đờng thẳng y=x+1 B Chứng minh: M trung điểm đoạn thẳng AB 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =6 (1) đờng Bài 2: (7 điểm) 1) Cho phơng trình: cos3x – cos2x + mcosx –1 = (1) a) Giải phơng trình m = b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x ( ;2) 2) Giải phơng trình: x lim tg + 3) TÝnh: x→0 2 log tgx = log sin x tg x x + + n tg n 2 2 Bài 3: (2 điểm) Cho tam gi¸c ∆ABC nhän Chøng minh : ( sin A) sin A.( sin B ) sin B ( sin C ) sin C 〉 3 Bài 4: (2 điểm) Cho parabol (P): y2=(-4x) mặt phẳng toạ độ Oxy 1) Viết phơng trình (E) có hai tiêu điểm thuộc Ox mà tiêu điểm trùng với tiêu điểm F parabol (P) có tâm sai e= 2 2) Khi (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng HÃy viết phơng trình tiếp tuyến chung parabol (P) elip (E) lúc Bài 5: ( điểm) 1) TÝnh: x sin x dx x ∫π cos − 2) Chøng minh: ≤ p ≤ n th× C n n ≤ 2n + p C 2n p (C ) n 2n Đáp án thang điểm Đề thi học sinh giỏi khối 12 môn toán bảng a BàiCâ u .1 Nội dung Điểm 7.0 2.0 0.25 a) Tập xác định: \ {0} b) Sù biÕn thiªn: y’= − DÊu y’: x + x2 − = , y ' = ⇔ x = 1, x = −1 x2 x -1 yC§ = y (-1) = (-1), yCT = y (1) = Đờng thẳng x = tiệm cận đứng Đờng thẳng y = x+1 tiệm cận xiên Bảng biến thiên: x - -1 +∞ y’ + + -1 +∞ +∞ -∞ + 0.25 0.25 0.5 y -∞ 0.25 0.5 c) Đồ thị: .2 Số nghiệm phơng trình: điểm đờng y = f(x) = x + x +1 x x + x +1 x =m (*) số giao (C1) đờng thẳng y =m y = f(x) có TXĐ: D = Nên ∀x ∈ D ⇒ (-x) ∈D f(-x) = f(x) ⇒ f hàm số chẵn nên ĐTHS đối xứng lẫn qua Oy Víi ∀x > th× f(x) = x2 + x + x 2.0 0.5 0.5 (C) (C1):+Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung 0.5 đợc phần (C1) +Vứt bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục tung +Lấy đối xứng phần đồ (C) phía bên phải trục tung qua trục tung đợc phần lại (C1) Biện luận: + m >3 (*) cã nghiƯm ph©n biƯt 0.5 + m =3 (*) cã nghiÖm kÐp + m < (*) v« nghiƯm Ι.3 2.0 0.5 x + x0 + PTTT t¹i M(x0; ) ∈ (C) có phơng trình là: x0 2 x y − x0 + x0 + = ( x − x0 ) x0 x0 (d) ∩ Oy =A : Cho x = 0; y = (d) x0 + x0 0.25 A(0; x0 + ) x0 0.25 (d) () = B (() có phơng trình: y= x +1) toạ độ điểm B thoả mÃn hÖ: 0.25 y = x+ 2 x0 + x0 + x0 − y = x ( x − x0 ) + x 0 B(2x0; 2x0+1) 0.25 0.25 x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 ; 2 Vậy M trung điểm đoạn thẳng AB 0.25 .4 1.0 Diện tích cần tìm lần diện tích hình phẳng giới 0.25 hạn hai đờng x2 + x + y=7 x x2 + x + = ⇔ x = 2 x y= Giải phơng trình: S= +2 0.5 3+2 ∫ −2 x + x +1 x2 (3 + ) − dx = − x + ln x x (3 − ) 2 VËy S = −6 ΙΙ ;x= +ln 3+ 3− 0.25 (đvdt) 7.0 3.0 a) Đặt t = cosx ( t =0 m=3: ⇔ x1 = 2.0 ≤1 ) pt trë thµnh: 4t - 3t - (2t -1) + mt -1 0.5 ⇔ t (4t2 – 2t + m – 3) = t = 0; t = 1/2 π + kπ ; x2 = π + k 2π 0.5 0.5 (∀k∈Z) VËy m = phơng trình có họ nghiệm x1, x2 b) XÐt sè nghiÖm x ∈(t -∞ sè n0 π -1 ;2) phơng trình cosx = t +∞ 0.5 1.0 0.25 PT (1) cã ®óng nghiƯm x ∈(- π ;2π) ⇔ tam thøc f(t) = 4t 0.25 – 2t +m – cã nghiÖm t1,t2 cho: -1 ⇔ 10 §Ỉt t = log sin x ⇒ t = ⇒sin x = 2t ; tg x = 3t ⇒ + 3t = t 4 t t t + 4t = ⇔ ⇔ + 12 = − 4t 3 ⇒x = π + k 2π 0.25 0.25 0.25 0.25 (k∈Z) ΙΙ.3 x x x tg + + n tg n mµ ln cos n 2 2 2 x x x * Đặt Pn= cos cos cos n th× Sn= - (ln Pn ) ’ 2 sin x * Pn= 2n sin x 2n x Sn= − cot gx + n cot g n 2 lim S n = * Đặt Sn= tg + 2 x 2.0 0.5 x ' = − n tg n 2 0.25 0.25 0.5 0.5 n →∞ ΙΙΙ * Cã 0.5 0.5 (*) t = -1 lµ mét nghiƯm cđa (*) t>-1 VT(*)>VP(*) tb ⇒ e = c/a ⇒ a = + a2= b2+c2 ⇔ b = + PTCT cđa elip lµ: x2 ( 2) 2.0 1.0 0.25 0.5 + y2 = *TH2: (E) có tâm Ithuộc Ox, có F2=F(-1;0), gọi elip (E2) (E1) → (E2) ( Víi I (-2;0)) ( x + 2) + y = Vậy (E2) có phơng trình: 0.25 T OI ( 2) 1.0 (E) thoả câu 1) có Ox, Oy hai trục đối xứng elip 0.25 (E1) có phơng trình: x2+2y2-2 = Gọi M( x0, y0) điểm thuộc (E) tiếp tuyến với (E) M là: (T): x0x + 2y0y – = * (T) tiÕp xóc víi (P) ⇔ pB2 = -2AC ⇔ 2y02 = x0 0.25 2 * M(x0;y0) ∈ (E) ⇔ x0 + 2y0 - = 0.25 ⇒ -x0 - x0 + = Víi (− ) ≤ x0 ≤ x =1 = −2(loai ) ⇔ x0 x0= 1; y0 = + 0.25 2 ;− 2 Cã tiÕp tuyÕn chung lµ: (T1): x + y −2 = vµ (T2): x − y −2 = ∇ ∇ * Hµm sè dới dấu tích phân hàm số chẵn nên: π 3 2.0 1.0 0.25 π I = ∫ x sin2 x dx = −2 ∫ x d cos2 x = ∫ xd ( ) Đặt cos x cos x u = x ⇒I = dv = d cos x cos x 0.25 π π x dx − ∫ cos x 0 cos x x π d tg ( + ) π dx dx = ln(tg ( x + π )) = = ∫0 cos x ∫0 ∫ π x π sin( x + ) tg ( + ) 2 2π π 2π x π 5π I = π − ln(tg ( + ) = 2 − ln tg 12 cos π π π ∇ ≤ p ≤ n §FCM ⇔ n n C n 2n + p n n n C n − p ≤ C n C n n n §Ỉt x p = C n + p C n − p ⇒ x0 = C n C n 0.25 0.25 1.0 0.25 Ta chøng minh: gi¶m ThËt vËy: xp *x xp x p +1 x p ≤ x0 C = C n (Víi ∀p: ≤ p ≤ n ) Hay n 2n + p n C n − p n n + p +1 C n − p − = {x } lµ d·y 0.5 p (n + p + 1)(2n − p) (2n + p + 1)(n − p) ≥ ⇔ ( 2n − p ).( n + p + 1) ≥ ( 2n + p + 1)( n − p ) ⇔ 2np + n ≥ p +1 VËy, ta cã ®pcm HÕt HÕt (®óng) 0.25