®Ò kh¶o s¸t häc sinh kh¸ giái lÇn 2 - n¨m häc 2008 - 2009

®Ò kh¶o s¸t häc sinh kh¸ giái lÇn 2 n¨m häc 2008 2009 ®Ò kh¶o s¸t häc sinh kh¸ giái lÇn 2 n¨m häc 2008 – 2009 M«n To¸n 11 Thêi gian lµm bµi 150 phót A PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I (3 ®iÓm)[.]

đề khảo sát học sinh giỏi lần - năm học 2008 2009 Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 150 phút A - Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (3 điểm) Giải phơng trình, hệ phơng trình bất phơng trình sau: a/ cot x − = cos x + sin x − sin x + tan x b/  x − = y −  x y   y = x3 +  c/ A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 x C©u II: (2 ®iĨm)  u1 = 2; u = 1/ Cho d·y sè   u n+ = 3u n − 2u n− ; n = 2,3, HÃy xác định số hạng tổng quát dÃy số tính tổng: u1 + u + + u n 2/ TÝnh tæng S = + 77 + 777 + … + 77…7 (n chữ số 7) Câu III (3 điểm) 1/ a Lập phơng trình đờng tròn (C) qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) b Viết phơng trình đờng thẳng qua M(2; 4) cắt đờng tròn (C) điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB 2/ Cho hình hộp ABCD.ABCD a Chứng minh rằng: mặt phẳng (BDA) song song với mặt phẳng (BDC) b Chứng minh đờng chéo AC qua tâm G1 G2 BDA BDC Câu IV (1 điểm) (Thí sinh khối D làm câu này) 1 + + =4 x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Cho x, y, z số dơng thoả mÃn CMR: B - Phần dành riêng (Thí sinh đợc chọn câu V.a câu V.b để làm) Câu V.a (Khối A, B: điểm khối D: điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng thẳng d1: x – y = vµ d2: 2x + y – = Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD biÕt r»ng ®Ønh A thuéc d 1, ®Ønh C thuôc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Câu V.b (Khối A, B: điểm khối D: điểm) Trong bó hoa có hoa đỏ, hoa vàng hoa trắng Chọn ngẫu nhiên hoa Tính xác xuất để hoa đợc chọn: 1) có đủ mầu hoa 2) có hoa đỏ ..Hết Chú ý: + Nếu thí sinh làm câu V.a câu V.b phần dành riêng không chấm + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Họ tên HS:SBD: Hớng dẫn chấm thi khảo sát học sinh giỏi Môn: Toán học lớp 11 Câ u ý Nội dung Điể m I sin x ≠ o  + §iỊu kiƯn cos x ≠  tan x ≠ −1  0.25 đ (*) Khi phơng trình trở thành PT ⇔ cos x cos x − sin x −1 = + sin x( sin x − cos x ) sin x sin x 1+ cos x  cos x − sin x = ⇔ ⇔ ( cos x − sin x) − sin x cos x + sin x − ⇔   − sin x cos x + sin x = ( + sin x − cos x = ⇔ ⇔ x = ) π + kπ (k ∈ Z) + − sin x cos x + sin x = ⇔ sin x + 0.25 đ (thoả mÃn ®iỊu kiƯn (*)) − cos x = ⇔ sin x + cos x = 0.25 đ Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm : x = Giải hệ phơng tr×nh  x − = y −  x y   y = x3 +   1 + Ta cã (1) ⇔ ( x − y )  +  = ⇔  xy    x= y  xy = −  π + kπ (1) (k ∈ Z) 0.25 ® ®iỊu kiƯn: x, y ≠ ( 2) 0.25 ® 0.5 ®   x=  x = y  x = y − 1+  TH1:  ⇔ ⇔ x=    2y = x +  ( x − 1) x + x − =   x = − 1−  0.25 ® ( )  −1  xy −=  y = TH2:  ⇔ x  2y = x +  x4 + x + = hệ phơng trình vô nghiệm 2  1  x + x + =  x +  +  x −  + > 0, ∀x 2  2  I + §iỊu kiƯn  2x ≥  x≥   ⇔ x≥  x≥  x 0.25 đ (*) Khi phơng trình trë thµnh ( x )! x! x! − ≤ ⇔ x − 12 ≤ ⇔ x ≤ ( x − )! ( x − )! x ( x − 3)!.3! Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm BPT lµ: x ∈{3;4} II + Ta cã u n +1 − u n = 2( u n − u n ) (1) n = 2,3,4 + Đặt v n = u n +1 − u n ∀n = 1,2,3, Khi ®ã tõ (1) ta cã 0.5 ® 0.25 ® 0.25 ® v n = 2v n −1 ∀n = 2,3,4, Nh vËy v1 , v , v3 , lËp thµnh CSN víi công bội q = v1 = u − u1 = + Khi ®ã u n = ( u n − u n −1 ) + ( u n −1 − u n − ) + + ( u − u1 ) + u1 = v n−1 + v n− + + v1 + 0.25 ® ⇒ un = ( ) 0.25 ® v q n −1 − + = n −1 + q −1 + Tính đợc đúng: u1 + u + + u n = n + n − 0.25 đ 0.25 đ + Viết lại đợc S = ( + 99 + 999 + + 99 9) + S= ( ) 7 10 10 n −  10 n +1 − 10 − 9n 10 + 10 + + 10 n − n =  = 9  10 −  9 ( VËy S = ) 7(10 n +1 − 10 − 9n ) 81 0.5 đ 0.25 đ III a + Gọi phơng trình đờng tròn (C): x2 + y2 2ax 2by + c = (a2 + b2 –c > 0) + (C) ®i qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) nªn ta cã: 12 + 12 – 2a.1 – 2b.1 + c = (1) + – 2a.1 – 2b.5 + c = (2) 32 + 32 – 2a.3 – 2b.3 + c = (3) 2 0.25 đ + Từ (1) (2) (3) ta cã: a = 1, b = 3, c = b + Vậy phơng trình đờng tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = 0.25 đ +Đờng tròn (C): ( x 1) + ( y − 3) 0.25 ® MI =(1;1) + Ta có: (d): =4, tâm I (1; 3), bán kÝnh R = 2,  uaMq  uaMq  uaMq (2;4)  ⇔ (d ) :  ⇔ (d ) :   MA= MB  AB⊥ MI  vtp MI= (1;) ⇔ (d ) : x − + y − = ⇔ (d ) : x + y − = 0.5 ® 0.25 ® a 0.25 ®  BD / B' D' Ta cã  ⇒ BD / ( B' D'C)  B' D ' ⊂ ( B ' D ' C ) 0.25 đ A' B / CD' A' B / B' D'C  CD'⊂ ( B' D'C ) Vì BD AB nằm (ABD) nên (A’BD) // (B’D’C) b  AC'⊂ ( AA'C'C) +  ⇒ ( AA'C'C) ∩ ( A' BD) = A'O  AC ∩ BD = O 0.25 ® 0.25 ®  G1 ∈ ( A' BD) ⇒ AC'∩ A'O = G1 ⇒   G1 ∈ AC' ∆G1 AO ~ ∆G1C ' A' ⇒ 0.25 ® G1O OA = = G1 A' A' C ' ⇒ G1 lµ träng tâm ABD Tơng tự G2 = AC '( B' D ' C ) 0.25 ® G O' O' C ' ∆G2 O' C ' ~ ∆G2 CA ⇒ = = G2 C AC ⇒ G2 lµ träng t©m ΔB’D’C IV + Víi a, b > ta cã 4ab ≤ ( a + b ) ⇔ a+b 11 1 ≤ ⇔ ≤  +  a + b 4ab a+b 4a b DÊu “=” xảy a = b 0.25 đ áp dụng kết ta có 1 1   1  1   ≤  +  +  = ≤  + x + y + z  x y + z   x  y z   11 1   + +   x y 2z  1 1  ≤  + +  x + y + z  y 2x 2z  ( 2) 1 1   + +   z x y  (3) ≤ x + y + 2z (1) 0.5 ® 1 11 1 1 VËy x + y + z + x + y + z + x + y + z ≤  x + y + z  Dấu = xảy chØ x = y = z = 0.25 đ Phần dành riêng + Vì A d1 A (t; t) V.a + Vì A C ®èi xøng qua BD vµ B, D ∈ ox nên C (t; -t) + Vì C d2 nên 2t - t - = ⇔ t = VËy A (1; 1), C (1; -1) 0.25 ® (0.5 đ) + Gọi I trung điểm AC I (1; 0) Vì I tâm hình 0.25 vuông nên đ IB = IA =   ID = IA = (0.5 ®) B∈ Ox B(b;0) b− 1=  0;bb ==  ⇔ ⇒ ⇔ D ∈ Ox D(d;0)  d− 1=  0dd == 2; 0.25 ® (0.5 ®) 0.25 ® (0.5 ®) Suy ra, B (0; 0) vµ D (2; 0) B (2; 0) D (0; 0) Vậy đỉnh hình vuông là: A (1; 1), B (0; 0), C (1; -1), D (2; 0) hc A (1; 1), B (2; 0), C (1; -1), D (0; 0) V.b Kh«ng gian mÉu n(Ω) = C134 = 715 + A = hoa có đủ mÇu hoa” ⇒ n( A) = C C C + C C C + C C C = 400 4 4 n( A) 400 +Xác xuất A P( A) = n() = 715 ≈ 0.56 0.25 (0.5) 0.25 (0.5) + B = có hoa đỏ n( B ) = C52 C82 = 280 0.25 (0.5) n( B ) 280 +Xác suất B P( B) = n(Ω) = 715 ≈ 0.39 0.25 (0.5) Lu ý: NÕu học sinh giải theo cách khác vận dung thang điểm để chấm, đề nghị đồng chí giáo viên vận dụng đáp án, chấm đủ, chấm xác để trả cho học sinh  ... 0.5 đ 0 .25 đ III a + Gọi phơng trình ®êng trßn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (a2 + b2 –c > 0) + (C) ®i qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) nªn ta cã: 12 + 12 – 2a.1 – 2b.1 + c = (1) + – 2a.1 – 2b.5 +... = (2) 32 + 32 – 2a.3 – 2b.3 + c = (3) 2 0 .25 đ + Từ (1) (2) (3) ta cã: a = 1, b = 3, c = b + Vậy phơng trình đờng tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = 0 .25 đ +Đờng tròn (C): ( x 1) + ( y − 3) 0 .25 ... A) = n(Ω) = 715 ≈ 0.56 0 .25 (0.5) 0 .25 (0.5) + B = có hoa đỏ n( B ) = C 52 C 82 = 28 0 0 .25 (0.5) n( B ) 28 0 +Xác suất B P( B) = n() = 715 ≈ 0.39 0 .25 (0.5) Lu ý: NÕu häc sinh giải theo cách khác