Së GD&§T Tuyªn Quang ĐÊ THI HSG LỚP 11 NĂM 2008 2009 THPT BẮC SƠN LẠNG SƠN §Ò bµi C©u 1 (5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 3 3 31 1 5x x x+ + − = C©u 2 (4 ®iÓm) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau 2 2 2 2 2 2 x y[.]
ĐÊ THI HSG LỚP 11 NĂM 2008-2009 THPT BẮC SƠN - LNG SN Đề bài: Câu 1: (5 điểm) Giải phơng trình sau: x + + x = 5x Câu 2: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x2 y z x Câu 3: (4 điểm) u1 = 11 Cho dÃy số (un) xác định bởi: un+1 = 10un + n,n N Tìm công thức tính un theo n Câu 4: (4 điểm) Tổng m số nguyên dơng liên tiếp 2008 Xác định số Câu 5: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có canh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = 3MD Kẻ tia Bx cắt c¹nh CD t¹i I cho · · · Tính diện Kẻ tia phân giác BN ( N ∈ CD) cña gãc CBI ABM = MBI tÝch tam gi¸c BMN Đáp án thang điểm Câu 1: (5 điểm) x + + x − = 5x ⇔ 2x + 3 x2 − ( ) x + + x − = 5x ⇒ x2 − 5x = x ⇒ 4x3 − 5x = ⇒ x = 0;x = ± Thư l¹i ta thÊy ph ơng trì nh có nghiệm: x =0; x = Câu 2: (4 điểm) Ta có: x x2 + ≥ y÷ y2 y2 y + ≥ z÷ z2 z2 z ≥ 2 ÷ x x Cộng ba bất đẳng thức trên, ta đợc: x y z x2 y2 z2 + + + ≥ + + ÷ (1) y z x y z x ¸p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dơng, ta ®ỵc: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + ≥ = (2) y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 z2 x y z Tõ (1) vµ (2) suy ra: + + ÷≥ + + ÷ y z x y z x Tõ ta có bất đẳng thức cần chứng minh Câu 3: Ta cã: u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán un = 10n + n (1) Chøng minh: Ta cã: u1 = 11 = 101 + công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta cã: uk = 10k + k Ta cã: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) C«ng thøc (1) ®óng víi n = k + VËy un = 10n + n, n Ơ Câu 4: (4 điểm) Giả sử tổng m số nguyên dơng liên tiếp số k 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 m( m− 1) ⇒ mk + = 2008 ⇒ m( 2k + m− 1) = 4016 = 4.251 NÕu m lẻ 2k + m - chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - = 24 (không xảy ra) 2k + m = 251 m= 16 ⇒ NÕu m ch½n ⇒ 2k + m - lỴ Ta cã: k = 118 m= Vậy số cần tìm 118, 119,133 Câu 5: (3 điểm) Trên tia BI, lấy điểm H cho BH = a Khi ®ã BH = AB = BC nên ta có: ABM = HBM(c.g.c) CBN =∆HBN(c.g.c) Do ®ã: MH · · · · = AM vµ NH = CN BHM = BAM = 900 vµ BHN = BCN = 900 Suy M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn H MN A = AM + NC.B 1 VËy SBMN = BH.MN = a( AM + NC ) 2 Vì AM = 3MD nên MD = a;AM = a M 4 H Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho D I N C tam giác vuông MDN, ta có: 2 MN = MD2 + DN ⇔ ( AM + NC ) = MD2 + ( DC − NC ) 2 a 3 a ⇔ a + x ÷ = + ( a − x) ⇔ x = 4 16 3 a 25 Suy ra:SBMN = a a + ÷ = a2 4 56