Hä vµ tªn Lª xu©n hiÒn ®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn Líp 9 (N¨m häc 2004 2005) M«n To¸n Thêi gian 150 phót ( kh«ng kÓ chÐp ®Ò ) C©u 1 (2 ®iÓm) cho biÓu thøc A = 61 7 −− − x x a) Rót gän A b) BiÕt x =[.]
đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) Câu 1:(2 điểm) x cho biÓu thøc: A = x −1 − a) Rót gän A b) BiÕt x = - , Tính giá trị A Câu2: ( điểm) a) Giải phơng trình: x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 Víi x,y ∈ N C©u3: (2 điểm) Cho ax3 = by3 = cz3 Chứng minh: a x2 + 2 + x y b y2 + + =2 z c z = a + b +3 c C©u 4: ( điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Các điểm C, D di chuyển nửa đờng trßn cho gãc COD = 900 ( cung AC < cung AD ) Gọi E giao điểm đờng thẳng AC, BD a) Tìm quỹ tích ®iĨm E b) Gäi I, K lµ giao ®iĨm thø hai đờng tròn có đờng kính CD với AE, BE Chøng minh r»ng IK // AB c) Gäi M trung điểm IK, CMR: M trung điểm OE Câu 5: ( điểm ) Chứng minh r»ng: 1 + + + + đáp án 100 > 10 Câu 1: (2đ) a) Rót gän x A= − − x x x ĐK (0,5đ) x −1 −6 A= = − x − x − + = ( x − − 6) x − − V× x − − ( x − + ) ≠0 (0,5®) b) x = - cã x - = - -1=7- = 3- 2.2 +22 + (0,5®) =( -2)2 ⇒ A= (2 − 3) + =2 − + =2 - (0,5đ) Câu 2: giải phơng trình X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 (x,y ∈ N) (1) (1) ⇔ ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991 ( x-y) (x2 +3xy +y2) =1991 (2) (0,5®) Tõ (2) x - y nguyên dơng (do x,y N x - y nguyên dơng Nếu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ≥ ( x - y)2 x - y (0,5đ) Ta có ớc nguyên dơng 1991 1,11,181, 1991 (2) ⇔ (3) x + xy x − y =1 Hc (4) + x + 3xy x − y =11 (0,5®) HƯ PT (3) V« nghiƯm y =1991 + y =181 HƯ PT (4) cã nghiÖm x = 12, y = (t.m) (0,5đ) Vậy nghiệm hệ PT x = 12, y = C©u3: Ta cã = a x2 a x3 x = + b y2 + bx y cz = z + a x3 = x + a ⇒3 a = c z2 = a x3 x + by y x + y a x3 ( a x2 + by cz z + ) z + + cz (0,5đ) x Tơng Tự: 3 b = a x2 + by y + a + b + c = a x2 = cz ; + by + c = cz ( a x2 + by z + cz (0,5®) 1 + + ) x y z a x +by + cz (0,5đ) Vì ( a x 1 + + ) = =1 x y z + by cz − a + b +3 c = ( + ĐPCM) Câu 4:(3 điểm) tìm quỹ tích điểm E , BCE vuông C góc CBE = gãc COD = 450 (0,5®) ⇒ gãc CEB = 450 ⇒ E ∈ thc cung chøa gãc 450 giíi h¹n cung PQ tõ P vµ Q (AP ⊥ AB ; BQ ⊥ AB) b) gãc OKD = gãc OCD = 450 = gãc AED ( cïng ch¾n cung OD) ⇒ OK // AE ⇒ gãc K1 = I1 (1) l¹i cã: gãc K1 = gãc C1 ( tg OKIC néi tiÕp ) gãc c1 = gãc A ( ∆COA c©n ) (2) (3) Tõ : (1),(2),(3) ⇒ IK//AB c) Theo chứng minh : OK // AE chứng minh tơng tự OI // BE OIEK hình bình hành trung điểm IK trung điểm OE ( ĐPCM) Câu 5: Ta có 1 > 100 1 > 100 100 ⇒ = 1 (0,5®) 100 + + + (0,5đ) 100 > 100 100 =10 (ĐPCM) đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: (2điểm) phân tích phân thức thành nhân tử a) x3 - x2 - b) TÝnh A = x14 - 10 x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 ( với x = 9) Câu 2: ( 2điểm) Cho biÓu thøc: P = ( a +2 a −2 − a +1 a −1 ) a +1 a a) Rót gọn P b) Tìm a để P nguyên Câu 3: (2 ®iĨm) a) Cho ®a thøc : A(x) = a2x3 3ax2 - 6x -2a ( a Q) Xác định a cho A(x) (x+1) b) t×m x,y cho 2x2 + y2 + 2xy - 6x - 2y + = Câu 4: ( 3điểm) Cho hình bình hành ABCD , đờng thằng qua đỉnh A hình bình hành cắt BD, BC, DC theo thø tù ë E,K,G Chøng minh r»ng a) AE2 = EK EG b) 1 = + AE AK AG c) Khi đờng thẳng thay đổi vị trí nhng qua A tích BK DG có giá trị không đổi Câu 5: Rút gọn biểu thøc A= − 22 2 × − 32 × − 42 × ì n2 n đáp án + thang ®iĨm C©u 1: (2®) a) x3 - x2 - = x3- + - x2 = ( x3 - 23) - (x2 - 22) = ( x - 2) ( x2 +2x + 22) - ( x - 2) ( x + 2) = ( x - 2) ( x2 +x + 2) b) A = x14 - ( x+1)x13 +( x+1)x12 - ( x+1)x11 + +( x+1)x2 ( x+1)x +( x+1)x = x14 - x14 - x13 + x13 + x12 - x12 - x11 + - x2 - x + x + = C©u 2: (2đ) Làm phần cho điểm a) Rót gän : P = ( a +2 a −2 − a +1 a −1 ) ≠0 P= = ( a + 2) (a - 1) - ( a − 2) (a +1) a +1 × ( a +1) (a - 1) a 2a × = a −1 a a −1 a +1 a §K: a ≠ ± 1; a b) P Nguyªn ⇔ ⇔ a-1 a− nguyên a - Ư(2) {1; ±2 ) + NÕu a - 1= -1 ⇒ a = ( lo¹i) + NÕu a - 1= ⇒ a = (t/m) + NÕu a - 1= -2 ⇒ a = -1 ( lo¹i) + NÕu a - 1= ⇒ a = ( t/m) C©u 3: (2đ) a) Chia đa thức A(x) cho (x+1) đợc: A (x) = (x+1) [ a2x2 + (3a - a2)x -( + 3a - a2)] + (- a2 + a + 6) §Ĩ A (x) (x-1) ⇒ sè d - a2 + a + = ⇔ a =-2 ; a = b) x2 + 2xy + y2 - 2( x+ y) +1 + x2 - 4x + = ⇔ [( x+ y)2 - 2( x+ y) +1] + (x - 2)2 ⇔ ( x + y- 1)2 + ( x - 2)2 = ⇔ x +y −1 =0 x − =0 ⇔ x =2 y = −1 ( x + y - 1) V× ( x − 2) ≥ ∀ x, y x A Câu 4: (3 điểm) D B C G K a) Chøng minh: AE = EK EG Ta cã CD // AB (gt ABCD hình bình hành) AEB đồng dạng với GED (0.5đ) AE EB = EG ED (1) Tơng tự từ AD // BC DAE đồng dạng với BEK ( BK //AD) ⇒ AE ED = EK BK ( 2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ AE EK = EG AE AE2 = EK EG (ĐPCM) (0.5đ) b) Ta có AED đồng dạng với KEB hay AE ED = AE +KE ED + EB hay AE ED = KE EB AE ED = AK BD (2) Tơng tự : AEB đồng dạng với GED AE EB = AE +EG AE + ED Hay AE EB = EG BD AE EB = GE ED hay (3) (0.5®) Tõ (2),(3) ⇒ Hay AE( AK + AG AE AE = AK AG ) = 1⇒ ED EB + BD BD = AK + AG = = ED +EB BD = =1 BD BD AE (ĐPCM) (0.5đ) c) Ta có DG ED = AB EB vµ BK EB = AD ED ⇒ DG BK ED EB × = × =1 AB AD EB ED (0.5®) ⇒ DG BK = AB AD = const ( AB,AD Không đổi) (ĐPCM) (0.5đ) Câu5: (1điểm) Ta cã A = × 22 × ( n −1) ( n +1) 3.5 ×× n2 = 1.2.3.4 ( n −1) 3.4.5 n( n +1) × 2.3.4 n 2.3.4 n = n +1 n +1 × = n 2n (0.5®) (0.5®) ®Ị thi häc sinh giái cÊp tØnh Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) Câu 1: (2 ®iĨm) cho biĨu thøc B = y - 5x y + 6x2 a) Rút gọn tính giá trị cña B cho x = - ;y= 18 4+ b) Tìm cặp số (x,y) thoả mÃn ®ång thêi ®iỊu kiƯn sau: x- y +1 = B=0 Câu 2:(2 điểm) Giải phơng trình (6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35 Câu3:(2điểm) Chøng minh r»ng a b +c + b a +c + c a +b > ( Víi a,b,c > 0) Câu 4: Trên đờng kính AB đờng tròn tâm 0, lấy hai điểm T S đối sứng qua 0, lấy điểm M đờng tròn cho MA < MB , đờng thẳng MT,MO,MS cắt đờng tròn lần lợt C,E,D đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Qua D kẻ đờng thẳng // với AB cắt ME MC L,N a) Chøng minh LN = LD b) H¹ OH ⊥ CD chứng minh HNDE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh EF tiếp tuyến đờng tròn tâm O Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033 đáp án (ĐK: y 0) Câu 1: (2đ) a) B = y - 5x =( y y - 3x ) Ta cã : y = + = =8-2 y - 2x) ( + 6x2 = y ( y - 2x) - 3x y −2 x (0.5) 18 ⇒ y =( = VËy B = [( 18( − ) 16 −7 = 18(4 − ) -1)2 -1 - 1) + 2.2 ][ -1 + × ] = 22 + (0.5) b) Theo bµi ta cã (2) x − y y +1 = − 2x = (1) Hc x − y y +1 = − 3x = (0.5) Gi¶i hƯ (1) cã x =1 y =4 Gi¶i hƯ (1) cã x =1 y =9 (t/m) (t/m) VËy cặp số thoả mÃn đề là: x =1; y = vµ x = ; y = (0.5) Câu 2: (2đ) Giải PT (6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1) ⇔ (36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35 [12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) (0.5) §Ỉt: 3x2 + 5x + = t (3) (2) ⇔ víi (12t + 1) t = 35 ⇔ 12t2 + t - 35 = PT nµy cã t1 = ; t2 = - (0.5) Thế t = 35 vào (3) ta đợc: 9x2 + 15x + = −15 + 189 −5 + 21 = 18 PT nµy cã nghiƯm: x1 = ; −15 − 189 −5 − 21 = 18 x2 = (0.5) ThÕ t = - vµo PT (3) cã 12x2 + 20x +15 = ( PT vô nghịêm = 102 - 12 15 = - 80 nên theo bất đẳng thức côsi ta có b +c a +b + c +1 = a a 2a b+c+a DÊu "=" xÈy ⇔ T¬ng tù cã: c a +b ≥ 2c b+c+a b a +c (1) b +c =1 a ≥ 2b b+c+a (0.25®) hay a = b+ c (2) (3) (0.25®) Céng tõng vÕ cđa (1), (2),(3) ta đợc a b +c + b a +c + c b +a ≥ ( a + b + c>0 ) (0.25®) dÊu "=" xÈy ⇔ b + c =a a +b =c a + c =b ⇔ a + b + c = ( vô lý, a + b + c > 0) không xẩy dấu"=" Vậy a b +c + b a +c + c b +a > ( ĐPCM) (0.25đ) Câu4: (3điểm) Chứng minh LN = LD Ta cã: ND // TS ⇒ NL // TO LD//OS TO theo định lý talét ta có NL = OS LD ( = (0.5) mà TO = OS ⇒ NL = LD (0.5) b) ta cã OH ⊥ CD (gt) (§PCM) MO ML ) ⇒ HC = HD (1) LN = LD (2) Tõ (1) (2) LH đờng trung bình CDN ⇒ LH // CN hay LH // MC ⇒ (0.5) CME = HLE (đồngvị) Mà CME = CDE ( Cùng chắn cung CD) HLE = HDE tứ giác HLDE n«i tiÕp (0.5) c) HLDE n«i tiÕp ⇒ HEL = HDL (cùng chắn cung LH ) (0.5) mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900 EF tiếp tuyến đờng tròn (O) (0.5) Câu5: (1đ) P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033 = x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004 = ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 (0.5đ) ( ( x -3y + 2)2 ≥ ∀x,y ; vµ ( x -5)2 ≥ ∀x dÊu "=" xÈy ⇔ x − y + = x −5 = x = ⇔ y= x = VËy P = 2004 t¹i y = đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu1: (2điểm) Tính cách hỵp lý nhÊt a) p = 20 + b) Q = 30 1 1 1 + 42 + 56 + 72 + 90 + 110 + 132 + 156 18.123 + 9.4567.2 + 3.5310.6 + + + 10 + + 52 + 55 + 58 490.10 Câu2: (2 điểm) a) cho phân số 537 463 hÃy tìm số tự nhiên cho lấy tử số trừ số lấy mẫu số cộng với số đợc phân số b) tìm x biÕt : 360 : [41 - (2x-5)] =22 Câu 3: (2đ) a) cho biết (3a + 2b) 17 Chøng minh (10 a + b) b) chøng minh 88 +220 (a,b N ) 17 17 Câu4: Trên đờng thẳng xy ta lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ tia Om On a) kể tên góc hình b) giả sử góc xOm = 500 , yOn = 700 h·y chøng tá tia Om nằm hai tia Ox On Tia On nằm hai tia Oy Om c) Tính số đo góc mOn Câu 5: Cho M = 2! 2! 2! 2! + + + + 3! 4! 5! n! ( Víi n > 3) Chøng tá r»ng M < đáp án Câu1: (2 điểm) P= = 1 1 + + + + + 4.5 6.5 6.7 11 12 12.13 1 1 1 1 − + − + − + + − 5 6 12 13 b) Tư sè cđa Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310 = 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000 MÉu sè Q = + + + 10 + 52 + 55 + 58- 49.10 = (1 + 58) 20 = 590 - 490 = 100 (v× tõ dÉy 1,4,7 ,58 cã 20 sè ) VËy Q = 180 000 =1800 100 C©u 2: (2 điểm) a) gọi số tự nhiên phải tìm a theo bµi ta cã 537 −a = 463 +a ⇒ 9( 537 - a ) = (463 + a) ⇒ 10a = 4370 a = 437 b) t×m x 360 : [41 - ( 2x -5)] = 22.5 41 - (2x -5) = 360 : 20 41 - (2x -5) = 18 2x -5 = 41 - 18 2x -5 = 23 2x = 28 x = 14 Câu 3: (2 điểm) a) Ta có: 3a + 3b 17 ⇒ 10(3a + 2b) 17 ⇒ 10a + 20b 17 (1) mµ 17b 17 (2) ⇒ (30a + 20b) -17b 17 hay (30a + 20b) 3(10a + b) 17 ⇒10a +b 17 17b 17 b) chøng minh: 88 + 220 ta cã 88 + 220 = (2 ) 17 ( §PCM) 17 + 220 = 224 + 220 = 220 (24 + 1) = 220 17 17 c©u 4: ( điểm) a) có góc hình vẽ góc xOm, gãc xOn, gãc xOy, gãc mOn, gãc mOy, gãc nOy b) ta cã xOn + nOy = 1800 mµ nOy =700 nên xOn = 1100 Trên nửa mặt phẳng bê cha tia Ox cã hai tia Om vµ On Mà xOm < xOn (500 < 1100 ) nên tia Om nằm hai tia Ox On Ta có yOm + mox =1800 mà mOx =500 Nên yOm = 1300 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có hai tia On, Om Mà yOn < yOn (700 100 100 ⇒ = 1 (0,5®) 100 + + + (0,5®) 100 > 100 100 =10 (ĐPCM) đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: (2điểm) phân tích