Microsoft Word Document3 OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC NĂM 1994 ĐẠI SỐ 1994 Câu 1 Cho a1, a2, a3, a4 ∈ R Chứng minh rằng ma trận +−− −+ + −−+ = 2 1234 2 2 143 34 2 1[.]
OLYMPIC TỐN HỌC SINH VIÊN TỒN QUỐC NĂM 1994 ĐẠI SỐ 1994 Câu Cho a1, a2, a3, a4 ∈ R Chứng minh ma trận: 1 + a 12 − a a4 − a3 + a1 a4 a3 a2 A= a4 + a 12 − a a3 −a a2 + a 12 − a3 khả nghịch Tìm det(A-1) Câu Cho aij số nguyên cho trước (i, j = 1, …, n) Hãy giải hệ: 1 x = a 11 x + a 12 x + + a 1n x n x = a x + a x + + a x 21 22 2n n 2 x = a x + a x + + a x n1 n2 nn n n Câu Cho ma trận: 2πj 2πj − sin cos n n ; Aj = j∈ N sin 2πj cos 2πj n n Tính tổng: (p, n ∈ N+) S p = A 0p + A 1p + + A pn −1 ; Câu Tìm lim lim (A n − E) ; A = x →0 n →∞ x − x n x n ; n∈ N+, E ma trận đơn vị Câu Chứng minh A ma trận vuông cấp n với A2 = E thì: hạng(A + E) + hạng(E - A) = n Câu Cho ma trận vuông cấp hai A thoả mãn A2 = A Chứng minh để AX - XA = (X ma trận vuông cấp hai, ma trận không), cần đủ tồn ma trận vuông cấp hai X0 cho: X = AX0 + X0A - X0 GIẢI TÍCH 1994 Câu Cho 2n số nguyên dương: ak, bk ∈ R (k = 1, …, n) Chứng minh phương trình: n x + ∑ (a k sin kx + b k cos kx ) = k =1 có nghiệm khoảng (-π, π) Câu Cho hàm số liên tục có đạo hàm cấp (0, +∞) số; a, b hai số thực thoả mãn < a < b Chứng minh phương trình: af (b) − bf (a ) xf ' ( x ) − f ( x ) = b−a có nghiệm thuộc (a, b) Câu a) Cho hàm số f: [a, b] → [a, b], a < b, thoả mãn điều kiện |f(x) - f(y)| < |x - y|, ∀ x, y ∈ [a, b], x ≠ y Chứng minh phương trình f(x) = x có nghiệm [a, b] b) Cho hàm số f(x) khả vi [a, b] thoả mãn điều kiện: phương trình f(x) = có nghiệm [a, b] ∀x ∈ [a, b] |f'(x)| < |f(x)| Chứng minh f(x) = 0, ∀x ∈ [a, b] Câu 4 Xét I n = ∫ x n − x dx , (n ∈ N) a) Tính In b) Chứng minh In < 22n+3(2ne)2 Câu Tìm đạo hàm cấp n hàm số y = arctgx x = Câu ∞ dx không phụ thuộc α a) Chứng tỏ: ∫ (1 + x )(1 + x α ) dx b) Tính: I = ∫ x + x2 + x +1 ... nghiệm thuộc (a, b) Câu a) Cho hàm số f: [a, b] → [a, b], a < b, thoả mãn điều kiện |f(x) - f(y)| < |x - y|, ∀ x, y ∈ [a, b], x ≠ y Chứng minh phương trình f(x) = x có nghiệm [a, b] b) Cho hàm... = 1, …, n) Chứng minh phương trình: n x + ∑ (a k sin kx + b k cos kx ) = k =1 có nghiệm khoảng (-? ?, π) Câu Cho hàm số liên tục có đạo hàm cấp (0, +∞) số; a, b hai số thực thoả mãn < a < b Chứng