PHÒNG GD & ĐT THANH OAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi Toán Ngày thi 14/11/2020 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VỊNG NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi : Tốn Ngày thi : 14/11/2020 Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) x2 20 x 28 3x 15x 20 2) Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : x y z Chứng minh rằng: x y z xyz 3) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện: (a b)3 (b c)3 (c a )3 378 Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Câu 2: (3,0 điểm) 1) Cho a,b,c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 12 Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12 2) Có tồn hay khơng số ngun x, y , z thỏa mãn điều kiện : x3 y z x y z 2020 Câu 3: ( 3,0 điểm) 1) Cho x,y hai số thực dương Chứng minh rằng: x y 3x 3y 40 y x y2 x 2) Cho số thực x thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: 100 A 2021 2 x x Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt H 1) Chứng minh: BH BD BC.BK BH BD CH CE BC 2) Chứng minh BH AC.cot ABC 3) Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD, CE Q P Chứng minh : MP MQ Câu 5: ( 1,0 điểm) Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? - Hết Họ tên Thí sinh: .SBD Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh nộp lại đề thi xong PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM Năm học 2020-2021 Môn thi : Tốn Câu ý 1 Nội dung trình bày Giải phương trình: x2 20 x 28 3x 15x 20 Đặt t x x 7, t x x t ĐKXĐ: x R Điểm 3,0 đ 0,5 đ Phương trình trở thành: 2t 3t t 3t 2t t 1 3t 1 1 t 1 ( loại), t ( thỏa mãn ) +/ Ta có : t +/ Với t = 1, ta có : x 5x x 5x x x 2 0,5 đ Cho x y z Chứng minh rằng: x y z xyz 1,5 đ Ta có : x y z z x y 0,5 đ VT x3 y3 z x3 y3 x y x3 y3 x3 3x y 3xy y 0,5 VT 3xy x y 3xyz VP 0,5 đ Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a b)3 (b c)3 (c a )3 378 1,5 đ Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Đặt a b x; b c y ; c a z x y z Ta có: x3 y z 378 3xyz 378 xyz 126 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz 126 x y.z (2).(7).9 0,5 đ Suy : A a b b c c a 18 0,5 đ Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;3 x 2 x 2 x 7 x 7 x x Nên y 7; y ; y 2; y ; y 7; y 2 z z 7 z z 2 z 2 z 7 0,5 đ 3 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Cho a,b,c số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 1,5 đ 12.Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12 Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) – 6abc (*) Do (a + b)(b + c)(c + a)= (a+b+c)(ab+bc+ca) – abc Giả sử a, b, c chia dư a+ b + c chia dư (1) Mà a + b + c 12 a + b + c (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn Điều giả sử sai Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 6abc 12 (**) Từ (*) (**) P 12 Có tồn hay khơng số nguyên x, y , z thỏa mãn : x3 y z x y z 2020 0,25 đ 0,25 đ 1,5 đ 0,5 đ Tương tự ta có: y y 0,5 đ ;z z 3 Biến đổi PT thành: x x y 3 x x y y z z 3 0,5 đ Ta có: x3 x x x2 1 x 1 x x 1 3 0,5 đ y z3 z 2020 Mà 2020 Vậy không tồn ba số nguyên x, y, z thỏa mãn điều kiện : x3 y z x y z 2020 Cho x,y hai số thực dương x y 3x 3y 40 Chứng minh rằng: y x y x x y x y xy x y Ta có: với x, y > y x xy xy 0,5đ 2,0 đ x y x y x y y 0; 1 x y x x y y 1 x y x x y 3x 3y 40 y2 x y x 100 2021 2 x x 100 100 2021 36 x 36 x 1949 Ta có : A 2 x x 2 x x Mà x suy : x Cho x Tìm GTNN biểu thức A Áp dụng BĐT : a b ab với a, b , dấu xảy a b ta có: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 100 36 x 120 ,dấu xảy x x x , dấu xảy 36 x 24 2 x 100 100 Suy A 2021 36 x 36 x 1949 2093 2 x x 2 x x Vậy MinA = 2093 x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a2 b2 a b a, b R x, y y x y với Cách 2: Sử dụng BĐT: x Q A P E H B 0,5 đ D K M C Chứng minh: BH BD BC.BK BH BD CH CE BC Xét tam giác: BHK đồng dạng BCD có: KBH chung BKH BDC 900 BHK đồng dạng BCD ( g.g) BH BK BC BD BH.BD BC.BK nên Tương tự: CHK đồng dạng CBE nên CH KC CH CE BC.KC BC CE Cộng vế với vế hai đẳng thức ta : BH BD CH CE BC.BK BC.KC hay BH BD CH CE BC ( BK KC ) BC 2 Chứng minh BH AC.cot ABC 4,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,5 đ Chứng minh : BEH đồng dạng CEA( g g ) Xét BEC vuông E cot ABC BH BE CA CE BE CE 0,5 đ BH BE cot ABC BH AC.cot ABC CA CE 0,5 đ Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng BD, CE Q P Chứng minh : MP MQ 1,0 đ Chứng minh PAH đồng dạng AMB( g.g ) PA AH AM MB 0,25 đ Chứng minh: QAH đồng dạng MAC ( g g ) QA AH AM MC 0,25 đ Do MB MC ( gt) QA PA AM AM PA QA QMP cân M MP MQ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau 1,0 đ thực trị chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bảng viết số a b lên bảng Việc làm thực liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Tổng tất số ban đầu bảng: S 99 100 5050 0,5 đ Qua bước ta thấy tổng giảm 0,25 đ Lúc đầu tổng S 5050 sau 99 bước số lại 5050 2.99 4852 0,25 đ Tổ giám khảo thống để chia nhỏ điểm thành phần không thay đổi tổng điểm Học sinh làm cách khác mà vẫn cho điểm tối đa Bài thi làm tròn chữ số thập phân sau dấu phẩy theo quy định ...PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM Năm học 2020-2021 Mơn thi : Tốn Câu ý 1 Nội dung... có : A 2 x x 2 x x Mà x suy : x Cho x Tìm GTNN biểu thức A Áp dụng BĐT : a b ab với a, b , dấu xảy a b ta có: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 100 ... = 2093 x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a2 b2 a b a, b R x, y y x y với Cách 2: Sử dụng BĐT: x Q A P E H B 0,5 đ D K M C Chứng minh: BH BD BC.BK BH BD CH CE BC Xét tam giác: BHK